江蘇省揚(yáng)州市蔣王中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

江蘇省揚(yáng)州市蔣王中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知單位圓有一條長為的弦，動(dòng)點(diǎn)在圓內(nèi)，則使得的概率為()A． B． C． D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，則當(dāng)時(shí)，應(yīng)當(dāng)在時(shí)對(duì)應(yīng)的等式的左邊加上（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．4．函數(shù)f（x）＝xsinx+cosx的導(dǎo)函數(shù)為，則導(dǎo)函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．5．設(shè)函數(shù)，則（）A．為的極大值點(diǎn) B．為的極小值點(diǎn)C．為的極大值點(diǎn) D．為的極小值點(diǎn)6．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是A． B．1 C． D．7．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為()A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．9．由曲線，圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．10．若函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都有，則函數(shù)可能是A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)滿足：，且的實(shí)部為2，則A．3 B． C． D．12．已知為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.14．已知拋物線的方程為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為拋物線上的點(diǎn)，若為等邊三角形，且面積為，則的值為__________．15．設(shè)定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．16．已知函數(shù)，對(duì)于任意，都存在，使得，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且對(duì)任意的正整數(shù)n都有:（1）求S1（2）猜想Sn的表達(dá)式并證明18．（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).證明：（1）在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn)；（2）有且僅有個(gè)零點(diǎn).19．（12分）已知函數(shù).（1）求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)．是否存在直線（）與函數(shù)的圖象相切？若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．20．（12分）已知橢圓的離心率為，，分別是其左，右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，連結(jié)分別與直線交于點(diǎn)，若，求的值．21．（12分）已知命題：.（Ⅰ）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)命題：；若“”為真命題且“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且成等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，故，則使得的概率為，故選A．【題目點(diǎn)撥】（1）當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度?面積?體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解．（2）利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域．（3）幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無限性，二是等可能性．基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率．2、C【解題分析】

由數(shù)學(xué)歸納法可知時(shí)，左端，當(dāng)時(shí)，，即可得到答案.【題目詳解】由題意，用數(shù)學(xué)歸納法法證明等式時(shí)，假設(shè)時(shí)，左端，當(dāng)時(shí)，，所以由到時(shí)需要添加的項(xiàng)數(shù)是，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，著重考查了理解與觀察能力，以及推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

求得導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在上單調(diào)，得出或在上恒成立，分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解?！绢}目詳解】由題意，函數(shù)，則，因?yàn)?，在上單調(diào)，所以①當(dāng)在上恒成立時(shí)，在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，則在上恒成立，令，，則在為增函數(shù)，∴．②當(dāng)在上恒成立時(shí)，在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，則在上恒成立，同①可得，綜上，可得或．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值問題，用到了分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，恒成立問題的處理及轉(zhuǎn)化與化歸思想是本題的靈魂，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于偏難題．4、C【解題分析】

先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的奇偶性和正負(fù)，判斷出正確選項(xiàng).【題目詳解】，為奇函數(shù)，且在上有，故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)圖像的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】試題分析：因?yàn)椋裕?，所以為的極小值點(diǎn)．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．點(diǎn)評(píng)：極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．6、A【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，由于為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，因此可知其虛部為-1，故答案為A.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算點(diǎn)評(píng)：主要是考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。7、A【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得，即可求得其共軛復(fù)數(shù).【題目詳解】由題：，所以，所以的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A【題目點(diǎn)撥】此題考查求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出復(fù)數(shù)Z，需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確求解.8、D【解題分析】

可以得出，從而得出c＜a，同樣的方法得出a＜b，從而得出a，b，c的大小關(guān)系．【題目詳解】,,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a>c,,又因?yàn)?，，再由?duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a<b,∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故選D．【題目點(diǎn)撥】考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．比較兩數(shù)的大小常見方法有：做差和0比較，做商和1比較，或者構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)果.9、C【解題分析】圍成的封閉圖形的面積為，選C.10、A【解題分析】

由判斷；由判斷；由判斷判斷；由判斷.【題目詳解】對(duì)于，，對(duì)．對(duì)于，，不對(duì)．對(duì)于，，不對(duì)．對(duì)于，，不對(duì)，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的解析式的性質(zhì)以及指數(shù)的運(yùn)算、對(duì)數(shù)的運(yùn)算、兩角和的正弦公式，意在考查對(duì)基本運(yùn)算與基本公式的掌握與應(yīng)用，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】分析：根據(jù)題意設(shè)根據(jù)題意得到，從而根據(jù)復(fù)數(shù)的模的概念得到結(jié)果.詳解：設(shè)根據(jù)題意得到則=.故答案為B.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題,復(fù)數(shù)問題高考必考，常見考點(diǎn)有：點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長的計(jì)算.12、B【解題分析】分析：由，則成立，反之：如，即可判斷關(guān)系．詳解：由，則成立，反之：如，則不成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查了不等式的性質(zhì)及必要不充分條件的判定，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

分析函數(shù)的單調(diào)性，由題設(shè)條件得出，于此求出實(shí)數(shù)的取值范圍?！绢}目詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。由于函數(shù)的最小值為，則，得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的最值問題，求解時(shí)要分析函數(shù)的單調(diào)性，還要注意分界點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系，找出一些關(guān)鍵的點(diǎn)進(jìn)行分析，考查分析問題，屬于中等題。14、2【解題分析】設(shè)，，∵，∴．又，，∴，即．又、與同號(hào)，∴．∴，即．根據(jù)拋物線對(duì)稱性可知點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，由為等邊三角形，不妨設(shè)直線的方程為，由，解得，∴．∵的面積為，∴，解得，∴．答案：2點(diǎn)睛：本題考查拋物線性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件先判斷得到點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱，然后在此基礎(chǔ)上得到直線直線（或）的方程，通過解方程組得到點(diǎn)（或A）的坐標(biāo)，求得等邊三角形的邊長后，根據(jù)面積可得．15、【解題分析】

根據(jù)滿足，得到的周期是4，再根據(jù)方程恰有兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題求解.【題目詳解】因?yàn)闈M足，所以，所以函數(shù)的周期是4，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，作出的圖象，如圖所示：已知，所以，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)殛P(guān)于的方程恰有兩個(gè)根，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)與方程，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.16、1【解題分析】試題分析：由知，；由f（m）=g（n）可化為；故；令，t≤1；則，則；故在（-∞，1]上是增函數(shù)，且y′=0時(shí)，t=0；故在t=0時(shí)有最小值，故n-m的最小值為1；考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題；全稱命題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）12,23【解題分析】

（1）分別代入n=1,2,3計(jì)算即可求解；（2）猜想:Sn=【題目詳解】當(dāng)n=1,S當(dāng)n=2,當(dāng)n=3,（2）猜想:Sn證明：①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N*)則當(dāng)n=k+1時(shí)，由(Sk+1-1)2整理得Sk+1即n=k+1時(shí),猜想也成立.綜合①②得Sn【題目點(diǎn)撥】本題考查遞推數(shù)列求值，數(shù)學(xué)歸納法證明，考查推理計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題18、（1）證明見解析；（2）證明見解析【解題分析】

（1）令，然后得到，得到的單調(diào)性和極值，從而證明在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn)；（2）根據(jù)的正負(fù)，得到的單調(diào)性，結(jié)合，，的值，得到的圖像，從而得到的單調(diào)性，結(jié)合和的值，從而判斷出有且僅有個(gè)零點(diǎn).【題目詳解】（1）令，，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，.∴在遞增，，.故存在使得，時(shí)，時(shí)，.綜上，在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn).（2）由（1）可得時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.且，.故的大致圖象如下：當(dāng)時(shí)，，∴此時(shí)，單調(diào)遞增，而.故存在，使得故在上，的圖象如下：綜上，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，.∴在遞增，在遞減，在遞增，而，，又當(dāng)時(shí)，，恒成立.故在上的圖象如下：∴有且僅有個(gè)零點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于中檔題.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和（2）存在，的值是．【解題分析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）假設(shè)存直線與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，則這條直線可以寫成，與直線比較，即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：（1）∵，∴．令，得，解之，得；令，得，解之，得，或．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和．（2）∵，，∴．∴．假設(shè)存直線與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)（），則這條直線可以寫成．∵，，∴．即．∴解之，得所以存在直線與函數(shù)的圖象相切，的值是．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20、（1）；（2）．【解題分析】

由題意可得，，，聯(lián)立求解即可得出；

設(shè)直線l的方程為：，，直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立化為：，根據(jù)共線以及共線，可得M，N的坐標(biāo)．根據(jù)，可得又，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．【題目詳解】（1）由題意，知又，解得．所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由，設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，并消去，得：，顯然．設(shè)，則，于是．設(shè)，由共線，得，所以，同理，．因?yàn)?，所以恒成立，解得．【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）若為真命題，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得，解不等式組求得答案；（Ⅱ）“”為真命題且“”為假命題，則真假或假真，解出命題，對(duì)真假和假真兩種情況進(jìn)行討論，從而得到答案．【題目詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所?/p>