映山紅盛開,夜亦是紅色-2022年高考數(shù)學(xué)試題解題分析及復(fù)習(xí)備考建議

中國始嚶滴下半月（高中版）年笫/U期（總笫d”-生硼）解題研究

編者按：《中國數(shù)學(xué)教育》“高考?？鄙罡呖佳芯渴d，堅持圍繞當(dāng)年的高考數(shù)

學(xué)試題策劃高考專題.2022年，章建躍主編和各位編委群策群力，結(jié)合目前新、舊高考并

存的現(xiàn)狀調(diào)整撰寫方案，遵循“承舊啟新、新舊融合”的方針，突出核心素養(yǎng)導(dǎo)向的評價

觀.邀請來自全國14個省、市的權(quán)威專家分“命題分析”和“解題分析”兩個專版，按

“整體評價”和“專題評價”兩個層次，通過三個維度展開分析，幫助教師理解新高考的

命題理念和考查要求，促進(jìn)學(xué)生理解高考試題考查要點和解題方向.文章中所用高考試題如

有出入，以官方發(fā)布為準(zhǔn).本專題文章持續(xù)刊登，歡迎廣大教師圍繞本專題內(nèi)容踴躍投稿！

映山紅盛開，夜亦是紅色

2022年高考數(shù)學(xué)試題解題分析及復(fù)習(xí)備考建議

郭慧清，黃文輝，葛一偉

（廣東省深圳中學(xué)）

摘要：通過對2022年高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行梳理，從必備知識、關(guān)鍵能力和學(xué)科

素養(yǎng)等方面對試題特點進(jìn)行分析.從整體角度分析試題的基礎(chǔ)性、聯(lián)系性、綜合

性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性；以典型試題為例進(jìn)行解法分析，挖掘試題中蘊含的思想方

法.既重視試題解答的通性、通法，又關(guān)注高水平數(shù)學(xué)思維下的試題解答.通過典型

試題的分析，為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)新課程尋找正確路徑，為復(fù)習(xí)備考提供策略與建議.

關(guān)鍵詞：高考試題；試題特點；試題分析；復(fù)習(xí)建議

2（）22年高考數(shù)學(xué)試題聚焦“四基”“四能”與數(shù)學(xué)在沒有其他方法的情況下，特別是在高考時間特

核心素養(yǎng)的考查，試題力求反映數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，要別緊的狀態(tài)下，學(xué)生能否根據(jù)以上結(jié)果選擇正確答案

求學(xué)生在解題時更多地關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系性和綜合選項C?仔細(xì)想想，會發(fā)現(xiàn)這道試題是可以不用上述方

性，重視模型的應(yīng)用與結(jié)果的估算，注重解題過程中法求解的，但不容易.因此，就自然會引出以下問題.

數(shù)學(xué)思想（如數(shù)形結(jié)合思想、算法思想、轉(zhuǎn)換思想、問題1：如果不像上面這樣做，學(xué)生應(yīng)該怎樣做？

方程思想、元思想）的運用.問題2：高考中是否應(yīng)該出現(xiàn)這樣的問題？

以全國新高考I卷第7題（詳見例12）為例，最自

問題3：平時教學(xué)到底應(yīng)該教給學(xué)生些什么？對于

然的解題思路就是看能否把叫b,c的值計算出來，

教學(xué)內(nèi)容到底應(yīng)該講到什么程度？

如果不能得出其精確值，是否可以得到叫6,c分別

問題4：對于數(shù)學(xué)水平不一的學(xué)生，我們是否要限

對應(yīng)的近似值，并由此得出明6,c之間的大小關(guān)系.

制學(xué)生在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容？

站在深刻領(lǐng)會了微積分思想的學(xué)生角度考慮，自然

問題5：怎樣引導(dǎo)學(xué)生在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)？

會想到在x=0附近的結(jié)論e'a1+x+y和ln（l+x）=如果我們回頭仔細(xì)研究《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

x-^-.所以-0.1（1+0.1+明=0.1105;6=1?0.1111;（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》），會發(fā)現(xiàn)

以上問題都不難回答，也能更深入地理解為什么《標(biāo)

r,、i「（-0.1）1

c=-ln[l+（-0.1）]?--0.1-'2'=0.1050.準(zhǔn)》在設(shè)置了必修內(nèi)容、選擇性必修內(nèi)容后，還要設(shè)

置選修內(nèi)容，促使我們更深入地理解“因材施教”的

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：郭慧清（1961—）,男，正高級教師，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究.

?3?

下半月(高中版)dw仟笫/「期(忌笫d：，/力」期)中國象海奇

教學(xué)原則，思考數(shù)學(xué)內(nèi)容中的思想方法與素養(yǎng)到底是(A)V,=2V2(B)V,=V,

什么，并由此進(jìn)一步思考高考試題的特點和我們現(xiàn)在

(C)V,=Vt+V2(D)2匕=3匕

教學(xué)中存在的缺陷.試題分析：此題考查基本幾何體的概念、計算幾

帶著上述問題，我們進(jìn)一步分析2022年高考數(shù)學(xué)何體體積的基本方法，以及模型思想與“補(bǔ)集”思想.

試題的解題過程，期望能給一線教師的教學(xué)帶來啟示.

在匕，匕，匕三個體積中，難點是求匕.通常的

做法是把F-4CE分拆來計算.

一、試題特點分析

如果我們把所給的兒何體看作由正方體切割而

來，則可以把匕的計算轉(zhuǎn)化為易算的體積間接地計算

1.強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性

出來，這要求學(xué)生對基本幾何體(特別是正方體)的

雖然數(shù)學(xué)試題千變?nèi)f化，但不變的是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)

切割有基本了解.

知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗.因此，

如果教師在日常教學(xué)中對《標(biāo)準(zhǔn)》中的案例11加

基礎(chǔ)性仍然是2022年高考數(shù)學(xué)試題的顯著特點.

以重視，那么學(xué)生對這道試題的解決就會容易很多.

例1(全國新高考1卷?2)若i(l-z)=l,則

z+N的值為().解法1：設(shè)48=￡〃=2FB=2a.

(A)-2(B)-1(C)1(D)2因為￡O_L平面48C0.FB//ED,

試題分析：此題考查復(fù)數(shù)的基本概念、基本運所以匕=：xEDXS4*S=匕=；x/8x

算，以及解方程的基本思想.

如圖2,連接8。交AC于點連接自乩FM,

通常的做法是解出z,從而求z+了，即由題設(shè)有

易得8O_L4C.

I-z=1,通過移項及計算，得z=l+i.所以z+?=

1

(l+i)+(l-i)=2.

如果了解解方程的基本思想是把未知數(shù)的系數(shù)變

為1,那么將條件式的兩邊同乘i會比兩邊同除以i的解

題過程更簡單.當(dāng)然，如果能理解z+2的意義是復(fù)數(shù)實

部的兩倍，則只需求出Z的實部.而由i(l-z)=l,可

知I-Z必為純虛數(shù)，所以Z的實部必為1.

解法1:在i(l-z)=l兩邊同時乘i,得z-l=i,即

因為EDI平面48C。，4CU平面48C。，

z=1+i.所以z+Z=2.

所以EDIAC.

解法2：由i(I-z)=l,知1-z必為純虛數(shù).所以z

因為/??？?。=0,ED,80U平面80EF,

的實部必為1.所以z+2=2.

所以4。_1_平面加郎.

后記：即使是簡單的數(shù)學(xué)問題，也要弄清其背后

因為BM=DM=^BD=42a,過點F作FG1DE

的數(shù)學(xué)概念、原理、方法與思想，這才是數(shù)學(xué)解題的

最終目的.于點C,易得四邊形80CF為矩形.

例2(全國新高考fl卷?11)如圖1,四邊形48co^FG=BD=2^2a,EG=a.

加方形，EDmABCD,FB//ED,AB=ED=2FB.

所以EM=[(2af+(3)'=屈a,FM='+二

t己三棱錐F-ABC,F-4CE的體積分另I］為

匕，匕，V,,則().J3a,EF=j?2+(2V2?)2=3a.

所以EM'+FM-^EF'.

所以EMLFM.

所以SA“W=寺EM,FM=

所以匕=匕一的+心麗=卜C?S=2?5.

所以％=3匕,2匕=3匕,%=匕+匕.

?4?

中國將嚶滴下半月(高中版)年笫/U期(總笫d”-生硼)解題研究

所以答案為選項CD.第二盤與甲比賽的情況下，第一盤與乙比賽”，丫="在

解法2：所設(shè)及匕，匕的計算同解法1.第二盤與甲比賽的情況下，第一盤與丙比賽”，4=

將原幾何體“補(bǔ)成”如圖3所示的正方體.“該棋手勝甲”，8="該棋手勝乙”，C="該棋手勝丙”，

則P⑷=科,P⑻=p”P(C)=p”P(A)=1-P1,P(B)=

l-小，P(C)=1-/),,P(X)=P(X)=1

所以%=P(E)=P(X)尸(?X)+P(X)P(E\X)=P(X)?

P(BA+BAC)+P(X)P(CA+C.4B)=*(8.A)+P俾0+P(CA)+P(C4B)]=

/[PzPi+(1-Pjpja+(1-。?！盎痌=Pi(P?+pj-PiP2PA

圖3

3

則匕=Sa-V,-V2-VE.MAF-VE.CW=2能同理，可得PLpO+pJ-pgPa；Pw=pO+pJ-p&p?

++

所以匕=3匕，2匕=3匕，V,=V,+V2.所以ft.~PL=[PI(/)2P,)-p<Pzp]~[P2(PI/<0-l^PzP]=

所以答案為選項CD.++

(P「PJP，<O,P「Pg=[p2(P,P,)-ptp2p]~[p3(p,P2)-

后記：基本數(shù)學(xué)模型是解決問題的基礎(chǔ).將問題

必]=(P「PJPI<0?

中的復(fù)雜對象向基本數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

所以Pw<P"P乙

例3(全國乙卷?理10)某棋手與甲、乙、丙三

位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立.已知該所以該棋手在第二盤與丙比賽，p最大.

正確選項為D.

棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p,,p2,心,

且為>P2>Pi>0?記該棋手連勝兩盤的概率為P，則后記：如果不把隨機(jī)事件用字母表示出來，很難

厘清事件之間的關(guān)系，并由此獲得正確答案.因此，

().

數(shù)學(xué)表示是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功.

(A)p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)

例4(全國新高考I卷?18)記△48C的內(nèi)角4,

(B)該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

B,C的對邊分別為a,，，c,已知三嗎=叫24

(C)該棋手在第二盤與乙比賽，p最大l+sm41+cos2b

(D)該棋手在第二盤與丙比賽，p最大(1)若。=等求8；

試題分析：此題考查隨機(jī)事件的互斥性、獨立

(2)求近要的最小值.

性、條件概率等基本概念及相應(yīng)的概率計算；考查學(xué)C

生的數(shù)學(xué)表示能力與分類思想.試題分析：此題考查學(xué)生對三角函數(shù)公式的認(rèn)識

該棋手連勝兩盤的必要條件是第二盤為必勝盤.程度，三角恒等變形的能力，以及對三角形基本元素

因此，只要將該棋手第二盤取勝用基本事件分類表示(基本元素以下簡稱“元”)的獨立性和元思想的理解.

出來，并分別計算出該棋手在第二盤與甲比賽且連勝三角形的六個元(邊與角)中最多有三個獨立，

兩盤的概率P甲、該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤因此我們可以把三角形稱為三元數(shù)學(xué)對象.在此題中，

的概率匹、該棋手在第二盤與內(nèi)比賽且連勝兩盤的概題設(shè)只給出了等一個條件,此時三角

率年，就可以通過比較大小解決問題.

形是一個可變的二元對象.

以下解答，將此題中的“連勝兩盤”理解為“連

對于第(1)小題，增加了條件c=孕，三角形變成

勝兩盤或連勝三盤”，若將“連勝兩盤”理解為“連勝

一元對象了，但仍然是一個可變的數(shù)學(xué)對象，而角8

兩盤但非連勝三盤”，答案也為選項D.

是可變對象的不變量，所以解決問題的方向是將條件

解：若該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.

式轉(zhuǎn)化為含8的方程來求解.

設(shè)該棋手第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率為p中，

對于第(2)小題，關(guān)鍵是對正弦定理的不同表現(xiàn)形

該棋手第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率為p,該棋

c式要有深入了解，認(rèn)識到在題設(shè)下上世本質(zhì)上是一

手第二盤與內(nèi)比賽且連勝兩盤的概率為p”,.C

設(shè)E="在第二盤勝甲的情況下連勝兩盤”，X="在元數(shù)學(xué)對象，關(guān)鍵是如何選取變“元二將其化為一元

?5?

下半月(高中版)dw仟笫/「期(忌笫d：，/力」期)中國羲學(xué)校有

函數(shù)來求最值.這里，最重要的是要由題設(shè)得出c=過M且平行于彳軸的直線與線段48交于點T,點，滿足

￡+8,從而由三角形內(nèi)角和定理得出4=3-28.這MT=TH.證明：直線〃/V過定點.

試題分析：此題考查橢圓知識的綜合運用，數(shù)形

樣心史就成為關(guān)于8的一元函數(shù)了，即使不能用基

C結(jié)合思想、從特殊到一般的思想，以及數(shù)學(xué)運算能力.

本不等式解決問題，也可以借助導(dǎo)數(shù)求出最小值.對于第(1)小題，根據(jù)試題條件可以判斷出所求的

角4(1)因為sin2B_2sinAcosB-sinB橢圓方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，但不確定是哪種形式.如果分類

解.u々l+cos282cos2呂cosB'

討論，費時費力；而要避免分類討論，則需要學(xué)生在

所以產(chǎn)3=應(yīng)嗎.平時的學(xué)習(xí)中注意將￡+[=i(0>/>>())和[+每=

1+sinAcosD

a~b~ab

所以sinB=cos4cosB-sinAsinB=cos(.4+B)="cosC=y.

1(?>6>0)綜合為mV+ztVul(m>0,n>0,JLm#n).

因為。<8〈拳對于第(2)小題，需要作出圖形(如圖4)幫助理

清宜線H/V與相關(guān)點、直線之間的關(guān)系，并在運動變化

所以8=丁

6中觀察直線MV過定點這一不變性.我們知道，直線HN

(2)由⑴,知sin8=-cosC>0,在斜率存在時由其斜率A?確定，從而點M,N的坐標(biāo)可

所以()<8〈半以由斜率人表示出來，進(jìn)而將兀H的坐標(biāo)用斜率A表

示，最終得到直線"N的以％為參數(shù)的方程，并由此得

因為sin8=-cosC=sin(C-5),

到直線HN恒過定點4((),-2).但這樣做運算量巨大，

所以C=3+8.一般難以在短時間內(nèi)解決問題.如果我們在運動的狀

態(tài)下觀察直線MN的特殊位置，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點N位于

所以4=孑-28

點(0,2)時，直線HN的方程為x=0;當(dāng)點N趨向于

所以?+-=sin"+sin*_旅28+1-?右_4遍g+點4時，直線HN的極限位置P4的方程為y=-2.因

c2sin2ccos法

此,若直線“N過定點，該定點應(yīng)為點4(0,-2).所以

-4T7-5&4^-5.當(dāng)且僅當(dāng)cos*=4時取等號.

coso2在把宜線HN的方程表示出來后，只需證明點4((),-2)

所以迂婪的最小值為4收-5.的坐標(biāo)滿足方程即可.

C

后記：當(dāng)我們將近要表示成關(guān)于某個變量的一

C

元函數(shù)后，即使不能用基本不等式來求最小值，仍然

可以用導(dǎo)數(shù)求出最小值.所以分析清楚所研究的數(shù)學(xué)

對象中所含變量的獨立性非常重要.

2.突出綜合性

高考試題是在學(xué)習(xí)完高中數(shù)學(xué)知識后，站在整體

角度命制的選拔性試題.因此，綜合性成為高考數(shù)學(xué)

圖4

試題的重要特征.因為圓錐曲線試題與函數(shù)試題綜合(1)解：設(shè)橢圓E的方程為巾精+“y=1(；?>0,

性較強(qiáng)，所以高考試題也通常將這方面的試題放在壓

n>0,且).

軸的位置.由點4(0,-2),限-1)在橢圓上,得

例5(全國乙卷?理20)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)

原點，對稱軸為x軸、)軸，且過4(0,-2),86，

[4/?.=1,機(jī)工不

解得1

兩點.[4

(1)求￡的方程；

所以橢圓E的方程為卷+*1.

(2)設(shè)過點夕(1.-2)的直線交￡于時，N兩點，

?6?

中國將嚶滴下半月(高中版)年笫/U期(總笫d”-生硼),幽制掰

(2)證明：由4(0,-2),8(9，-1),得樣做會使運算變得復(fù)雜.因此，要注意將變量適當(dāng)分

類，選擇適當(dāng)時機(jī)將一類變量向另一類變量轉(zhuǎn)化，再

直線A8：y=jx-2.

將最后一類變量用某一個變量表示出來，這是筒化運

①若過點P(l,-2)的直線斜率不存在，將x算的重要途徑.

類似試題還有2020年全國I卷理科第20題.

代入］+1=1,得小,

，訓(xùn)1,例6(全國新高考fl卷?22)已知函數(shù)/。)=

^axx

xe-e.

結(jié)合直線48的方程，得T3-n，-

(1)當(dāng)a=1時,討論/(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x>0時,/(x)<-l,求a的取值范圍;

由MT=而，得〃|5-2芯，-

(3)設(shè)〃eN”,證明：+2=+.“+T=>

JF+13+2^+n

所以直線//N的方程為y=2+-2.ln(n+1).

試題分析：此題考查求導(dǎo)運算，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

所以宜線HN過點(0.-2).

性質(zhì)，將求變量變化范圍向求函數(shù)最值轉(zhuǎn)化，以及運

②若過點P。，-2)的直線斜率k存在,

用函數(shù)及性質(zhì)證明不等式；考查分類討論思想、等價

則直線MN的方程為kx-y-(k+2)=0.

轉(zhuǎn)化思想，以及邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

設(shè)y),

%),N(X2,2第(1)小題原型見人教A版《普通高中教科書?數(shù)

kx-y-(k+2)=0,學(xué)》選擇性必修第二冊(以下統(tǒng)稱“教材”)第95頁

聯(lián)立…得

例7,按照教材給出的思路就可以解決問題.

對于第(2)小題，令Mx)=xe"-e*+l.關(guān)鍵是求出

(3k2+4)『-6M2+k'jx+3k(k+4)=0.

/?)在(0,+8)上的最大值.在求出K(x)=(l+碗)e”-

_6M2+k)

e*后，困難的是成竹=()解不出來.因此，要充分利用

,23V+4'

所以

3M4+3)A(0)=0,把h(x)W0轉(zhuǎn)化為本(4)W0.在研究函數(shù)

*氏=3*+4.h'(x)=(l+ax)^-e時,利用〃(x)=e""ME-e，可以將

)'=%，h\x)W0轉(zhuǎn)化為ax+ln(l+ax)Wx來處理，而這可以聯(lián)

聯(lián)立，鼻乜得

系不等式ln(l+x)<x來解決.

對于第(3)小題，關(guān)鍵是處理不等式左邊的和.基

+3,y,.“(3力+6-陽，力).

于對稱性，可以考慮把不等式右邊拆成心("+1)=片2-

—21122_(-1ln1+In3-In2+?1,+ln(zi+1)-Inn的形式，把問題轉(zhuǎn)

可求得此時HN：y-y23%+6-町-%2(xxJ

換為證明不等式ln(n+l)-lnn<-=L=-.在第(2)小題

將(0,-2)代入，整理得2+建

2(%,+%,)-6(3+%)+%加+與％-37^-12=0.的結(jié)論中，令廣￥便可獲得結(jié)論.當(dāng)然，第(3)小題

因為％=如一(4+2),y=kx-(A：+2),

22也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.

所以(3公-(陽+%2)+(2k-3犬)孫％2-3K=0.(1)解題過程略.

所以供詞黑粵+儂-3好器3-3肥=0,(2)解：設(shè)〃(%)=%d"-e'+1(久N0),貝lj

顯

A(0)=0,hf(x)=(1+ax)ettV-e\

然成立.

設(shè)g(x)=(1+ax)eai-e,,貝lj=(2a+a2x)e,r-e\

綜上，可得直線HN過定點(()，-2).

若a>★,則g〈0)=2a-I>0.

后記：在具有聯(lián)系的多變量的運算中，很多時候

可以用其中一個變量表示其余變量，但如果開始就這因為g'(x)為圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，

?7?

下半月(高中版)dw仟笫/「期(忌笫d：，/力」期)中國象海奇

所以存在/e(0,+00),使得V》w(0,%),總有因為2.7'>lO46>lO24=4'=e'>4'=e">4=e0>4,

g'(%)>0.所以n=l時，原不等式成立.

所以4工)在(0.%)為增函數(shù).設(shè)〃=4代右9)時原不等式成立，則

所以g(x)>g(0)=0,即典動>0.[+]+…+1+]>

力22：

所以“X)在(0,3)為增函數(shù).JF+12+2-jlc+kJ(fe+1)+(A+1)

所以Mx)>“0)=0.這與題設(shè)矛盾.ln(A-+1)+J一.

J(-+l『+(*+l)

若0<a得,則“(X)=(1+詞e"-e*=

要證ln(A+1)+1>ln(k+2),即證

先證明對任意x>(),總有l(wèi)n(l+￡)<x成立.J(k+l)：+(Zr+1)

設(shè)s(x)=ln(l+x)-x(x&0),

則s'U)=/T=T^W0,當(dāng)且僅當(dāng)工=0時等J(k+l)2+(/c+1)+

71+x1+x

號成立.令片備,則4°，fl

所以s(x)在[0,+8)上為減函數(shù).

只需證明7J>ln(l+0.

所以當(dāng)x>0時，5(x)<5(0)=0.所以ln(l+*)<x.JF+T

由上述不等式，有

令s(/)=T^-ln(l+，)，Ze[o,外則

e"*叩-e'<e''*"-e"=e"'-e'W0.&+1

所以〃(x)wo總成立,即/?(￡)在(0,+8)上為減(TFTT-I)2

~-=4注0,當(dāng)且僅當(dāng)1=0時等號成立.

函數(shù).2(/+1)J7+T

所以人㈤<"0)=0.

所以水)在|o,J單調(diào)遞增.

當(dāng)a這。時，有〃(*)=ea,-e*+age"<1-1+0=0.

所以M幼在(0,+8)上為減函數(shù).因為當(dāng)，e((),當(dāng)時，,?)>$(())=0.

所以/i(.t)</i(0)=0.

所以,J-------->ln|

綜上可得，。的取值范圍為卜8,1].J(k+l)2+(/c+l)

(3)證法1：取a=},由(2)知，對于上>0,總即”=A+1時原不等式成立.

由數(shù)學(xué)歸納法，知原不等式對任意的"eN'均成立.

有xe2-e+1<0成立.后記：此題綜合性較強(qiáng)，解決問題的難點在于尋

找第(3)小題和第(2)小題之間的聯(lián)系，而運用數(shù)學(xué)歸

令，=e2,則，>1,t2=e*?x=2Inz.

所以納法證明第(3)小題是擺脫這種困難較自然的方法.因

此，對于有學(xué)習(xí)潛力的學(xué)生來說，可以在高二時選修

即2Int<L:對任意的t>1恒成立.

數(shù)學(xué)歸納法.

所以對于任意的wwN',有21‘哈<『?-宿.類似試題還有2020年全國H卷理科第21題.

3.重視聯(lián)系性

整理，得ln(n+1)-In〃<1.

沒有聯(lián)系就沒有數(shù)學(xué).因為聯(lián)系，數(shù)學(xué)才產(chǎn)生美

yin+n

與力量.因此，聯(lián)系不僅是數(shù)學(xué)本身的重要特征，也

所以[+[+…H—]>In2-In1+

Jl2+1\/22+2Jn2+n是解答高考數(shù)學(xué)試題的重要途徑與方法.

In3-ln2+???+ln(n+1)-lnn=ln(n+1).例7(全國新高考n卷?12)若*y滿足/+/-

所以不等式成立.xy-1,則().

證法2：用數(shù)學(xué)歸納法證明.(A)%(B)%+yN-2

?(C)+y2W2(D)欠2+y2N1

當(dāng)n=l時，1>ln2oe方>2oe)>4.

Jl2+1試題分析：此題考查不等式的基本性質(zhì)，利用不等

?8?

中國蒙學(xué)教育下半月（高中版）￡1圮」年第7-8期（總第缶7一1；￡出期）■幽重閣

式求最值；考查方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,解得-2Wx+yW2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-l時，x+y=

以及邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).-2;當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時，x+y=2.

令m=x+y,"=/+「，在條件d+y2-xy=1下，所以選項A錯誤，選項B正確.

m,〃本質(zhì)上都是關(guān)于某個變量的一元函數(shù)，則問題可

由J+y2-町=1,得（爐+-1=專,w-2）.

以轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)m,〃的最值.當(dāng)然，也可以從

￡+盯=1中解出y,將其代入m,n的表達(dá)式，利用解得/+'2±2,當(dāng)且僅當(dāng)工=>=±1時取等號.

導(dǎo)數(shù)求出m,"的最值即可解決問題.雖然這是一種通所以選項C正確.

法，但是由于表達(dá)式較復(fù)雜，所以并不簡單.因此，我x=~-,y=-*^■時滿足/+/-xy=1,但/+

們可以基于/+/-町=1的二次特點，聯(lián)系三角函數(shù),

丁云1不成立，所以選項D錯誤.

通過三角代換解決問題.由于求最值與求變量變化范

所以答案為選項BC.

圍通常可以相互轉(zhuǎn)化，因此也可以設(shè)法求得關(guān)于m,n

的不等式，以求得m,n的變化范圍并解決問題.后記：一個數(shù)學(xué)對象所含有的關(guān)鍵要素可能不止

一個（如此題中的和71=d+/），但在給定

當(dāng)然，此題本質(zhì)上還是關(guān)于不等式的問題，所以

利用不等式的性質(zhì)或重要不等式解決問題是不應(yīng)忽略的條件下，通?？梢赞D(zhuǎn)化為只有一個獨立元的數(shù)學(xué)對

的基本方法.象，這是高考試題的重要特征.

解法1:因為￡+y2-xy=1,所以卜-=1.類似試題還有2020年全國新高考I卷第11題.

例8（全國新高考II卷?16）已知直線/與橢圓

x-=cos0,~^-y=sin0,貝U（+1=1在第一象限交于4,8兩點，/與x軸、y軸

o3

I2

x=cos9+^^sin，，y-——sin0.分別交于M,N兩點，且|M4|=|N2|,\MN\=2^3,則

V343

I的方程為.

所以x+y=cos0+<3sine=2sin（9+V）.

試題分析：此題考查直線與橢圓的方程，直線與

因為-2Wx+yW2,所以選項A錯誤，選項B正確.橢圓的位置關(guān)系及其代數(shù)表示；考查方程思想、數(shù)形

因為x1+y2-cos'0+東山'，+—sin0cos0-1+」-sin20-結(jié)合思想和等價轉(zhuǎn)換思想，以及直觀想象素養(yǎng)與數(shù)學(xué)

343J3運算素養(yǎng).

Jcos26+J=等+/sin（29-eR,21.通常的解法是設(shè)直線/的方程為y=丘+加，由

jjjj\

所以選項C正確，選項D錯誤.|加叫=2"得到一個關(guān)于限機(jī)的方程；由條件|M4|=

所以答案為選項BC.|/VB|,得知+辦=如=-隼聯(lián)立直線和橢圓的方程，

解法2:令m=#+y,貝=

再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于A,m的另一個方程.

代入，+/-工7=],整理得3x2-3mX+m2-1=0.

如果與三角和向量知識聯(lián)系起來，則可以更簡便

因為上面關(guān)于x的方程有解，

地獲得答案：設(shè)直線/的傾斜角為a,點M（a,0）,直

所以9m=I???-l）N0o-2W7nW2.

線，上任一點為P（x,y）,則有MP=t（cosa,sina）

令"=：/+)*,x=Vncosa,y~詬sina,

（/為參數(shù)）.由此得到直線/的參數(shù)方程以解決問題.

代入"2+/_],整理得〃二^―G2

2-sin2a多]-解：根據(jù)題意作出解題圖形如圖5所示.

所以答案為選項BC.

V2+Y2

解法3：因為町W—(x,yeR),x+

y"-xy=1,

所以(x+j)--1=3x)W3(%'

?9?

下半月(高中版)dw仟笫/「期(忌笫d：，/力」期)中國象海奇

設(shè)直線/的傾斜角為明點M(*0),/V(0,6)(a>0,稱