外接球與內(nèi)切球（新高考地區(qū)專用）（解析版）-2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解題技巧匯總

專題08外接球與內(nèi)切球

外接球8大模型秒殺公式推導(dǎo)

說明：r為底面外接圓的半徑，R為球的半徑，1為兩面公共邊的長度

a為兩個面的二面角，h是空間幾何體的高，H為某一面的高

1.墻角模型

(1)使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長方體中畫出該圖且各頂點(diǎn)與長方體的頂點(diǎn)重合

(2)推導(dǎo)過程：長方體的體對角線就是外接球的直徑

222

(2)秒殺公式：R2=a+b+c(^^c為長方體的長寬高)R?寸(a正方體的邊長)

44

尊(4)圖示過程W三

2.漢堡模型

(1)使用范圍：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或椎體

(2)推導(dǎo)過程

第一步：取底面的外心必，過外心做高的的平行且長度相等，在該線上中點(diǎn)為球心的位置

第二步：根據(jù)勾股定理可得口2=產(chǎn)+土

4

1_2

(3)秒殺公式：R2=r2+—

4

(4)圖示過程

3.斗笠模型

(1)使用范圍：正棱錐或頂點(diǎn)的投影在底面的外心上

(2)推導(dǎo)過程

第一步：取底面的外心瓦，連接頂點(diǎn)與外心，該線為空間幾何體的高h(yuǎn)

第二步：在h上取一點(diǎn)作為球心0

第三步：根據(jù)勾股定理R2=(h-R)2+r2=R='^-

2h

(3)秒殺公式：R=

2h

(4)圖示過程

4.折疊模型

(1)使用范圍：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊

(2)推導(dǎo)過程

第一步：過兩個平面取其外心K、上，分別過兩個外心做這兩個面的垂線且垂線相交于球心0

第二步：計算=H,E2gtan2-=(CE-H,E)2tan2-=(H-r)2tai?4(a為兩個平面的二面角)

222

第三步：OC2=OH；+CH：=(H-r)2tan24+r2

2

(3)秒殺技巧：R2=(H-r)2tan2-+r2

2

(4)圖示過程

5.切瓜模型

(1)使用范圍：有兩個平面互相垂直的棱錐

(2)推導(dǎo)過程：

第一步：分別在兩個互相垂直的平面上取外心F、N,過兩個外心做兩個垂面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為

球心0,取BC的中點(diǎn)為M,連接FM、MN、OF、ON

12

第二步：QONMF為矩形,由勾股可得|OA『=|AN|2+|ON|2=|AN『+|MF卜.R2=r；+r；-丁

⑶秒殺公式：R2=r：+r〉w

(4)圖示過程

(2;三

6.麻花模型

(1)使用范圍：對棱相等的三棱錐

(2)推導(dǎo)過程：設(shè)3組對棱的長度分別為X、、八z,長方體的長寬高分別為a、b、c

x2=a2+b2

.y2=b2+c2=R2=x2+y、z2

8

z2=a2+c2

⑶秒殺公式:R2=X+「

(4)圖示過程

7.矩形模型

(1)使用范圍：棱錐有兩個平面為直角三角形且斜邊為同一邊

(2)推導(dǎo)過程：根據(jù)球的定義可知一個點(diǎn)到各個頂點(diǎn)的距離相等該點(diǎn)為球心可得，斜邊為球的直徑

(3)秒殺公式：R2=-

4

(4)圖示過程

8.鱷魚模型

(1)使用范圍：適用所有的棱錐

(2)推導(dǎo)過程：

第一步：在兩個平面上分別找外心OpO,且過兩外心做這兩面的垂線相交于球心O

第二步:QOQOzE四點(diǎn)共圓，，正弦定理可得0E=2尸也回(1)

sina

在AOQ2E中=|O2E[+|O】E『一2|€>2E||O1E|cosa(2)

|OD『=|OQ「+|O耐(3)

第三步：由(1)(2)(3)整理可得

|ODL+|OP『

222

=|OE|-|O1E|+|O1D|

=黑1一|0球+何

sma

=|0再「+|0網(wǎng)2―2|o國|O網(wǎng)cosa引+|OD『

sin2aI'I1

==|0國2+|0國2-,|0國|0國85(1田+Q網(wǎng)2

第四步：設(shè)|()2E|=m,[O]E|=n,|AB|=L兩個面的二面角為a

由第三步可得R2=m?+」.mncosa十四

sina4

m2+n2-2mncosaI

（3）秒殺公式：R2=+—

sin2a4

（4）圖示過程

二.內(nèi)切球的半徑——等體積法

1.推導(dǎo)過程

以三棱錐P-ABC為例

Vp_ABC=4s底面h=-RSAPAB+[RSAPAC+RSAPBC+RSMBC

JJ3

一3R(SAPAB+S&PAC+S&PBC+SA\BC)

=3RS表面積

3V

.?.R=。▼幾何體

s表面積

2.秒殺公式：氏=乎醛

S表面積

3.圖示過程

pp

特別說明：下面例題或練習(xí)都是常規(guī)方法解題，大家可以利用模型的秒殺公式

例題舉證

技巧1外接球之墻角模型

【例1】（2020?河南高三月考）已知長方體45C。一中，A'B'=日=A'3與平

面ACC4所成角的正弦值為好，則該長方體的外接球的表面積為（）

10

32

A.4萬B.16萬C.—nD.—7t

33

【答案】B

【解析】作BE_LAC，垂足為E，連接A'E,BE.

因為平面A3C_L平面ACC'A',平面ABC平面ACC'A'=AC，BEu平面ABC，

所以6E1平面ACC'4,所以NB4E是A3與平面ACC'A'所成的平面角.

=6

又BE

V（V3）2+I22'

A'B=J（后+AV=y]3+AA'2-

歷以sinNBAO慧飛+公B，

10

解得44'=2g.

故該長方體的體對角線為J（2后）2+（我2+]2=4.

設(shè)長方體的外接球的半徑為R，則2R=4,解得火=2.

所以該長方體的外接球的表面積為5=4萬A?=47x22=164.故選區(qū)

【舉一反三】

1.（2020?全國高三專題練習(xí)）棱長為2的正方體的外接球的表面積為（）

A.4萬B.坦^C.12萬D.

3

【答案】C

【解析】因為正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線的長，所以2R=25，

解得R=6,所以球的表面積為：5=4萬&=12%.故選：C

2.（2019?綏德中學(xué)）球面上有A,B,C,O四個點(diǎn)，若AB,AC,AO兩兩垂直，且AB=AC=AZ>=4,

則該球的表面積為（）

A.膽B(tài).32IC.42萬D.48%

3

【答案】D

【解析】由題意可知，該球是一個棱長為4的正方體的外接球，

設(shè)球的半徑為R,由題意可得：（2R）2=42+42+42,據(jù)此可得：4=]2,外接球的表面積為：

s=4萬/?2=4^X12=48].本題選擇。選項.

技巧2外接球之漢堡模型

【例2】（2020?四川瀘州市?高三）已知四棱錐A—BCDE中，四邊形3COE是邊長為2的正方形，43=3

且A3_L平面3CDE,則該四棱錐外接球的表面積為（）

17〃「

A.4萬B.C.17兀D.8乃

4

【答案】C

【解析】由題意，四棱錐A—BC￡>E中，四邊形5COE是邊長為2的正方形，

鉆=3且AB_L平面BCDE，

可把四棱錐A-BQDE放置在如圖所示的一個長方體內(nèi)，

其中長方體的長、寬、高分別為2,2,3,

則四棱錐A-BCDE的外接球和長方體的外接球表示同一個球，

設(shè)四棱錐A-BCDE的外接球的半徑為R,

可得亞百U=2R，解得R=叵,

所以該四棱錐外接球的表面積為S=4?R2=4乃x（當(dāng)『=17乃.

故選：C.

【舉一反三】

1.（2020?廣州市廣外）各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面）高為2,

體積為8,則這個球的表面積是（）

A.167rB.121c.io"D.8%

【答案】B

【解析】因為正四棱柱高為2,體積為8,所以它的底面邊長是2,

所以它的體對角線的長是2JL因此它的外接球的直徑是26，所以這個球的表面積是：5=4乃（右）2=12萬.

故選：B.

2.（2020?遼寧省高三）如圖，在三棱錐力-6繆中，做1平面4T,劭=1,AB=2,%=3,AC=舊,

則三棱錐4-8徵外接球的體積為（）

A.4"B.3萬C.2也nD.4Gn

【答案】D

【解析】因為應(yīng)［平面所以8￡＞，AD，BD±DC.

所以ATP=Afi2一B￡）2=4-1=3，=3。2-8。2=9-1=8，

所以AC?=4）2+。。2,所以A。，。。，

所以以D4、DB、DC為棱的長方體與三棱錐力-以方具有相同的外接球，

所以該外接球的直徑為JfH?+DB?+DC2=J3+1+8=2不，半徑為小，

則該外接球的體積為g乃x（Ji）3=4及故選：D.

3.（2020?廣東廣州市?高三月考）在長方體A8CD-中，AB=CC1=72,8c=1,點(diǎn)M在

正方形CORG內(nèi)，G/?1?平面4cM，則三棱錐用一4?！甑耐饨忧虮砻娣e為（）

A.—7tB.7兀C.1InD.14K

2

【答案】C

D1

（解析】長方體AG中，A1平面CDD.C,,C,Mu平面CDD￡,：.CtM1.

又GM，平面A。“，4。＜=平面4。用，；.。1〃，4。，

VA.CA9=4，■平面而C。u平面AC。，；?G"，

CZ）AG是正方形，.?.〃是CR與G。交點(diǎn)，即為CR的中點(diǎn)，也是G。的中點(diǎn).

△GMC是直角三角形，設(shè)E是CG中點(diǎn)，F(xiàn)是84中點(diǎn)，則由印//BC可得EF_L平面MCG（長方

體中棱與相交面垂直），E是△GMC的外心，三棱錐4—MCG的外接球球心0在直線EF上（線段砂

或石尸的延長線上）.

設(shè)0￡=〃，則=（近）2+（*）+（1-/?）2,解得/?=?，

二外接球半徑為廠=卜31+（立］:叵,

丫⑴I2）2

表面積為S=4萬/=4%xU=11萬.

4

故選：C.

4.（2020嚏國高三月考（文））三棱柱ABC—A4G中，A&，平面ABC,AC_LAB,AC=\,AB<,

AA,=2,則該三棱柱ABC-4gC1的外接球的體積為（）

4728&「16應(yīng)n心

333

【答案】B

【解析】如圖，取8C中點(diǎn)。一連3G交BQ于點(diǎn)。,

ACLAB,：?為RfABC的外接圓圓心，

AB=6,AC=1,:.BC=2,ABC外接圓半徑為手=1,

OO\HCC\HAA,,A4,J.平面ABC,■■。。L平面ABC,

又。。=竿=1,點(diǎn)。為三棱柱ABC-A,4G的外接球球心，

外接球半徑R=OB=JOO；+80；=72,

，外接球體積V=±%/?3=辿萬.故選：B.

33

技巧3外接球之斗笠模型

【例3】（2020?江蘇南通市?高三期中）正三棱錐S—ABC中，SA=2,45=2JE，則該棱錐外接球

的表面積為（）

A.4小兀B.4萬C.127rD.6"

【答案】C

【解析】正三棱錐S—ABC中，S4=2,AB=2五.

所以SA?+582=AB?,

故必_153,

同理可得S4_LSC,SB1SC,

以SA,SB,SC為棱構(gòu)造正方體，

則該棱錐外接球即為該正方體的外接球,

如圖，

A

B

所以（2Rf=22+22+22=12,故球的表面積為S=4萬店=12萬，故選：C

【舉一反三】

1.（2020?秦皇島市撫寧區(qū)第一中學(xué)）已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長為46，底面邊長為6,則該正三

棱錐外接球的表面積是_______.

【答案】64%

【解析】過點(diǎn)S作SE，平面ABC于點(diǎn)E，記球心為O.

?.?在正三棱錐S—ABC中，底面邊長為6,側(cè)棱長為4JJ，

BE=2■義好義6=26，

32

???SE=^SB2-BE2=6

?.?球心。到四個頂點(diǎn)的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑長R,

：?OB=R,OE=6—R.

在Rt6OE中，OB?=BE2+OE2，

即R2=i2+（6—R）2,解得R=4，

二外接球的表面積為5=4兀R2=64萬.

故答案為：64%.

2.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為（）

81乃“27乃

A.----B.167rC.9乃D.-----

44

【答案】A

【解析】正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PQ上，

記為0,P0=A0=R,PQ1=4,。。=4-七

在中，A0]=e>

99

由勾股定理R2=2+（4—R）得R=W，

QI

球的表面積S=—不，故選A.

技巧4外接球之折疊模型

【例4】（2020?廣東省高三）在三棱錐4-靦中，△力即與均為邊長為2的等邊三角形，且二面角

A—8D—C的平面角為120°,則該三棱錐的外接球的表面積為（）

16萬

A.7nB.8nC.----D.——

33

【答案】D

【解析】如圖，取切中點(diǎn)//,連接4/,CH

因為△力期與物均為邊長為2的等邊三角形

所以mL80,CHLBD,則//和為二面角｛-被-C的平面角，即

設(shè)△力他與9外接圓圓心分別為區(qū)F

則由/〃=2x立=石可得熊=2AH=-石，EH=-AH=—

23333

分別過公尸作平面加沙，平面8⑦的垂線，則三棱錐的外接球一定是兩條垂線的交點(diǎn)

記為0,連接40,110,則由對稱性可得/。肥=60°

所以應(yīng)'=1,則R=OA=+EO。=浮

則三棱錐外接球的表面積4萬/?2=4乃*0=也

93

故選：D

【舉一反三】

1.（2020?山東棗莊市?高三期中）已知二面角P-AB-C的大小為120°,且NB43=NABC=90°,

AB=AP,AB+BC=6.若點(diǎn)、P、4、B、C都在同一個球面上，則該球的表面積的最小值為—

288萬

【答案】

7

【解析】設(shè)AB=x(O<x<6),則6C=6—x,

設(shè)△PAB和ABC的外心分別為E、H，則E,“分別為PB,AC的中點(diǎn),

過點(diǎn)E,“分別作△PM和A6c所在平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)為點(diǎn)O,則。為三棱錐P—ABC的外

心，

連接OB，則OB為三棱錐外接球的半徑.

取AB的中點(diǎn)G,連接EG、GH、OG,如圖所示,

XYY

由題意可知，EG=~,GH=3一一,GB=-,且EGLA5.GHVAB.

222

:.NEGH為二面角P-AB-C的平面角，即NEG"=120，

連接EH.

O￡_L平面RW，O”_L平面ABC，

:.OE±EG,OH1GH,

：.O,E,G,H四點(diǎn)共圓，且該圓的直徑為。G.

在EGH中,由余弦定理知,

EH2EG2+GH2-2EG-GHcosZEGH=f-1+(3-?---^+9

ujI2)2I2八2)42

EH2

EG"的外接圓直徑OG---x+9，

sin1205/342

??.gA+GB、"/|"+9卜。4若)+

1272

當(dāng)*=一時，OB?取得最小值，為

77

此時該球的表面積取得最小值，為4萬-。52=4萬?2=空竺

77

.,,288乃

故答案為：-----

7

2.（2020?南昌市八一中學(xué)）如圖所示，三棱錐5一/比中，與△￡%都是邊長為1的正三角形,

27r

二面角4-%-S的大小為一，若$A,B,。四點(diǎn)都在球。的表面上，則球。的表面積為（）

3

H

D.3n

【答案】A

【解析】取線段緲的中點(diǎn)〃，連結(jié)力。，SD,

由題意得8aSD1.BC,

27r

???乙仞S是二面角A-BC-S的平面角，J/ADS=—,

3

由題意得比人平面力〃S,

分別取力〃，助的三等分點(diǎn)￡,F,

在平面力〃5,內(nèi)，過點(diǎn)瓦尸分別作直線垂直于SD,

兩條直線的交點(diǎn)即球心0,

連結(jié)以，則球。半徑"=|物|,

1R叫AD邛，但刎邛,

由題意知加=—,/切

22

71LI

連結(jié)如，在Rt△肱中，NODE=—,()E=J3DE^-,

32

7

：?0N=0隊AF=—，

12

77r

球0的表面積為5=4冗川=.

故選：A.

技巧5外接球之切瓜模型

【例5】（2020?內(nèi)蒙古赤峰市?高三月考）已知三棱錐P—ABC中，B4=l，PB=3,AB=2五,

CA=CB=5面PAB,面ABC，則此三棱錐的外接球的表面積為（）

14〃28〃

C.1UD.12〃

【答案】B

【解析】如圖，PA=1，PB=3,AB=2>/2.

7T

所以AABP的外接圓的圓心為斜邊PB的中點(diǎn)N,

CA=CB<，■■A6c為等腰三角形.

取45的中點(diǎn)￡），連接CO,DN,

CDLAB,AD=BD=y/2,

CD=^BC2-BD2=上，

又面面ABC，面RWc面ABC=AB.CDu面ABC,

c。，面aw，

過點(diǎn)N作CD的平行線，則球心。一定在該直線上.

設(shè)ABC的外接圓的圓心為?！福瑒t。i點(diǎn)在CD上，連接。。，

由球的性質(zhì)則，。。1，平面48。，則O0M9為矩形.

在ABC1中，cosNCAB=§巫，則而/°8=巫

2xV5x2V255

BC下5上

所以A5c的外接圓的半徑2aA

sin/CABV153

"V

所以?A=平，則00=也4-2

則ON=OQ=—

2。3

叵

所以球的半徑為OP=yJON2+NP2

"V

所以三棱錐的外接球的表面積為4萬=4”紀(jì)陋

93

故選：B

c

【舉一反三】

1.（2020?四川瀘州市?高三一模）已知三棱錐A-38中，平面48。_1_平面38,且△ABO和△BCD

都是邊長為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）

【答案】D

【解析】如圖,

A

由已知可得，△ABD與△BCD均為等邊三角形,

取8。中點(diǎn)G，連接AG，CG,則AG_LBD,

???平面ABD±平面BCD.則AG，平面BCD,

分別取AABD與公BCD的外心E,F,過E,尸分別作兩面的垂線，相交于O,

則。為三棱錐A-BCD的外接球的球心，

由△A8O與△BCD均為邊長為2的等邊三角形,

可得OE=OF=—CG=—x2x,

3323

，庭=2速3亞.

233

R=OC=yJOE2+CE2=小哼了+（--）2=日，

...三棱錐人65的外接球的表面積為Mx/??=4萬x（半產(chǎn)=差.故選：D.

技巧6外接球之麻花模型

【例6】（2020?四川省眉山市彭山區(qū)第二中學(xué)）在四面體ABC。中，若AB=CD=6,AC=BD=2,

A。=BC=有，則四面體ABC。的外接球的表面積為（）

A.2萬B.41C.6兀D.8萬

【答案】C

【解析】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體/四的四個面為全等的三角形，

所以可在其每個面補(bǔ)上一個以JJ,2,有為三邊的三角形作為底面，且以分別x,y,z長、兩兩垂直的側(cè)

棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x,y,z的長方體，并且V+/=3,AZ2=5,A?=4,則

有（2/?）2=*2+六2?=6（"為球的半徑），得2*=3,

所以球的表面積為5=4n尤=6K.

故答案為6".

技巧7外接球之矩形模型

【例7】（2020?新疆維吾爾自治區(qū)）在四面體ABCO中，AB=《，DA=DB^CA=CB^l,則四面

體ABC。的外接球的表面積為（）

A.兀B.27rC.3"D.4萬

【答案】B

【解析】由=n4=O5=C4=C3=l,

所以CA2+CB2=舫2,AD2+BD2=AB-

可得ZACB=403=9()，所以。A=OB=OC=O0=也，

2

即O為外接球的球心，球的半彳仝R=也所以四面體ABCZ）的外接球的衣面積為:

2

,1

S=4TTR-=4〃x—=2〃.故選：B

2

【舉一反三】

1.（2020?黑龍江省哈爾濱三中）四面體S45c中，ACVBC,S4,平面A8C，SA=?AC=J7,

8C=6,則該四面體外接球的表面積為（）

32萬167r

A.----B.——C.16%I).327r

33

【答案】C

【解析】如圖所示:

由已知可得SAB'JSBC為直角三角形，所以該幾何體的外接球球心為S3的中點(diǎn)0,

因為AC=",8C=有，且ACJ_3C,所以A8=M，

所以SB=yjs^+AB2=76+10=4，

所以四面體S48C的外接球半徑R=2,則表面積5=47穴2=]6%.故答案選：C

2.（2020?重慶一中高三）已知四面體ABC。滿足：AB^BC=CD=DA=AC=\,BD=立,則

四面體A3CD外接球的表面積為.

【答案】2冗

【解析】因為AB=BC=Cr>=￡>A=l,BD=^，

所以BO?=Afi2+AC>2，BD2=BC2+CD2

所以△ABO,△C5D,均為直角三角形，取斜邊皿的中點(diǎn)。，連接CO、AO,如圖：

易得CO=AO=BO=DO,所以點(diǎn)O為該四面體外接球的球心，

所以球的半徑r=0￡>=35。=￥，故其表面枳5=4萬，=4萬*[*）=2兀.

故答案為：2不.

技巧8內(nèi)切球半徑

【例8】（2020?全國）正四面體的外接球與內(nèi)切球的表面積比為（）

A.9:1B.27:1C.3:1D.不確定

【答案】A

【解析】如圖，正四面體ABCD的中心。即為外接球與內(nèi)切球的球心，設(shè)正四面體的棱長為。，可得

班哼'AE=^a，乂。E="E,;.R=°A邛"'r=*

3^2

=4TTR2=-1^a2,S內(nèi)=4萬r萬“2.所以*=---=3故選：A

26s內(nèi)1^21

6

【舉一反三】

1.（2020?北京）如圖所示，球內(nèi)切于正方體.如果該正方體的棱長為a,那么球的體積為（）

3333

A.-/raB.aC.—^aD.-Tia

326

【答案】D

【解析】因為球內(nèi)切于正方體，所以球的半徑等于正方體棱長的!，

2

4/、33

所以球的半徑為色，所以球的體積為3乃@=旦，故選：D.

23⑶6

2.（2020?山西大同一中）已知直三棱柱/除48G的底面4a1為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內(nèi)

切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積之比為（）

A.25：1B.1：25C.1：5D.5：1

【答案】D

【解析】設(shè)點(diǎn)。是三.棱柱外接球和內(nèi)切球的球心，點(diǎn)〃是底面等邊三角形的中心，點(diǎn)N是底邊AB的中

點(diǎn)，連結(jié)OM,MN,AM，0A,設(shè)底面三角形的邊長為“，則MN=@a，MA=2叵a，

33

因為三棱錐內(nèi)切球與各面都相切，所以三棱柱的高是內(nèi)切球的直徑，底面三角形內(nèi)切圓的直徑也是三棱柱

內(nèi)切球的直徑，所以O(shè)M=MN=^~a，即三棱柱內(nèi)切球的半徑「=走。，

33

AM=巫r所以O(shè)A=JOM2+AM2=巫”,即三棱柱外接球的半徑/?=巫。，

333

,4,,20,

所以內(nèi)切球的表面積為4萬，=一乃"，外接球的表面積s=4萬A?=一啟，

33

所以三棱柱外接球和內(nèi)切球表面積的比值為竺乃a?：自萬/=5：1

33

故選：D

3.（2020?江蘇無錫市第六高級中學(xué)）正三棱柱有一個半徑為am的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是（）.

A.96cm'B.54cmC.27cm3D.1S-j3cm}

【答案】B

【解析】???正三棱柱有一個半徑為后cm的內(nèi)切球，則正三棱柱的高為26。必，

底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為JJcw,

設(shè)底面正三角形的邊長為acm,則走ax'=有，解得a=6c”

23

二正三棱柱的底面面積為1x6x6x——=96cnf,

22

故此正三棱柱的體積眸9由x2#=54c/.故選：B.

技巧強(qiáng)化

1.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?高三期中）直三棱柱ABC-A4G的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且A8=AC=2,

N84C=90°,A4,=472,則該球的表面積為（）

A.40%B.321C.10%D.8%

【答案】A

【解析】如圖所示，直三棱柱ABC—A4cl的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且AB=AC=2,

ABAC=90°,A4,=4夜，

???可將直三棱柱ABC—A4G補(bǔ)成長方體，其中A5=AC==CM=2,

AA=34=4j5，長方體的對角線

C旦=Jo/2+MB：=JCM?+MB?+BB；=,+2?+（4點(diǎn)了=2M，即為球的直徑，則球的半徑

r為回.

球的表面枳為S=4萬/"2=4萬x（7io）2=40萬.故選：A.

2.（2020?江西高三其他模擬）在三棱錐P—ABC中，AB=AC=2g，ZBAC=120，PB=PC=2?,

PA=25則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.4（）4B.204C.807rD.60zr

【答案】A

【解析】在BAC中，BC2=AB2+4C2-2ABACCOSZBAC=24-即8C=2#,乂

PB=PC=276，

二PBC為等邊三角形

根據(jù)題意，有如下示意圖:

如圖，設(shè)ABC的外接圓的圓心為。|，連接QC,OtA,BCcO]A=H,連接尸〃

由題意可得AH_L3C,且4"=；。4=四，BH=-BC=y/6.

.?.由上知：PH上BC且PH=?。?府-1=3忘，又PH?+.2=p*,

:.PHLAH，由A/7BC=H,H7_L平面

設(shè)〃為三棱錐尸一ABC外接球的球心，連接0Q,0P，勿過。作。。，刊7,垂足為。，則外接球的半

徑"滿足R2=OO：+cq2=（p”—OQj2+（oo）2,CO、=AB=2日OD=C\H=AH=丘，代

入解得oq=應(yīng)，即有店=io,

...三棱錐P—A3。外接球的表面積為4萬R2=40%.故選：A.

3.（2020?四川瀘州市?高三）已知四棱錐A-BCDE中，ABBCDE,底面5cDE是邊長為2

的正方形，且45=3,則該四棱錐外接球的表面積為（）

A.4萬B.C.17兀D.8〃

4

【答案】C

【解析】由題意，四棱錐A—BC0E中，四邊形5CDE是邊長為2的正方形，

A8=3且AB_L平面5COE,

可把四棱錐A-BCDE放置在如圖所示的一個長方體內(nèi)，

其中長方體的長、寬、高分別為2,2,3,

則四棱錐A-BCDE的外接球和長方體的外接球表示同一個球,

設(shè)四棱錐A—3CDE的外接球的半徑為R,

可得亞壽17=2R，解得R=與,

所以該四棱錐外接球的表面積為5=47/?2=4乃乂（苧）2=17萬.

故選：C.

4.（2020?四川宜賓市?高三）已知點(diǎn)只A,B,C在同一個球的球表面上，必，平面1比；ABLAC,P斤小,

B0上,S2,則該球的表面積為（）

A.6〃B.8〃C.12JiD.16”

【答案】A

【解析】如圖，三棱錐P-ABC補(bǔ)體在長方體中，三棱錐的外接球就是補(bǔ)體后長方體的外接球，長方體的

PA2+AB2+AB2*22

外接球的直徑2R=JPA:AB-AC?=^l（）（+^）+（PA

^PB2+BC2+PC2_

即R="

2

則該球的表面積S=4IR2=61.

p

5.（2020?江西贛州市?高三）四面體A—BCD中，A8J_底面BCD,AB=BD=?，CB=CD=1,

則四面體A—3CO的外接球表面積為（）

A.3乃B.4乃C.6兀D.12萬

【答案】B

如圖，在四面體A—BCD中，A5J_底面BCD,AB=BD=e，CB=CD=L

可得NBCD=90。，補(bǔ)形為長方體，則過一個頂點(diǎn)的三條棱長分別為1,1,、歷，

則長方體的對角線長為^12+12+（72）2=2，

則三棱錐A-3C。的外接球的半徑為1.

其表面積為4萬xF=4萬.

故選：B.

6.（2020?全國高三專題練習(xí)））平行四邊形A8CO中，ABLBD，且2AB2+B￡>2=4,沿BO將四

邊形折起成平面ABD_L平面3DC,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（）

n

A.—B.2萬C.4萬D.16乃

2

【答案】C

【解析】由題意，平面平面BOC，

又因為平面ABOc平面BDC=B￡＞，AB\平面N），ABA.BD-可得ABJ_平面BDC,

因為四邊形ABC。為平行四邊形，所以AB//C。，

同理CD_L平面A5D,所以AABC、AACD均為RA,

設(shè)AC中點(diǎn)為O,連80、DO,

則A。=8。=CO=。。='AC=R,其中尺為三棱錐A-BCD外接球半徑，

2

則3=介+叱=6+"＞2=儂+財+必=2.2+瓦＞=4，AC=2,

則R=,AC=1,故三棱錐4-BCD外接球的表面積為41.

2

故選：C.

7.（2020?湖北省鄂州高中高三月考）張衡（78年~139年）是中國東漢時期偉大的天文學(xué)家、文學(xué)家、數(shù)學(xué)

家.他的數(shù)學(xué)著作有《算罔論》，他曾經(jīng)得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方體的外

接球與內(nèi)切球上各有一個動點(diǎn)A，B,若線段A3的最小值為6-1，利用張衡的結(jié)論可得該正方體的外

接球的表面積為（）

A.30B.loVlOC.12710D.36

【答案】C

【解析】設(shè)正方體的棱長為。，正方體的內(nèi)切球半徑為r=@，

2

正方體的外接球半徑R滿足：卡=(@]+f—.則R=^a.

⑶(2J2

由題意知：R-r=—a--=^/3-\<則a=2,R=6，

22

該正方體的外接球的表面積為12兀，

又因為圓周率的平方除以十六等于八分之五，即貯=2,所以兀=加,

168

所以外接球的表面積為12JI6.

故選：C.

8.(2020?江蘇南京市第二十九中學(xué)高三期中)已知直三棱柱ABC-AgG的頂點(diǎn)都在球。上，且AB=4,

AA=6,NACB=30°,則此直三棱柱的外接球。的表面積是()

A.257rB.50KC.IOOKD.衛(wèi)如

3

【答案】C

【解析】如圖所示:

設(shè)點(diǎn)。'為A5C外接圓的圓心，

因為NACB=3()°,

所以NAO'B=60，又OA=0'B=r