4.6.1函數(shù)零點(diǎn)與方程的解(原卷版)

4.6.1函數(shù)零點(diǎn)與方程的解TOC\o"13"\h\z\u題型1求函數(shù)零點(diǎn) 3題型2判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間 6題型3判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù) 7◆類型1直接法或方程法 8◆類型2零點(diǎn)存在性定理 8◆類型3圖像法 9◆類型4利用奇偶性對(duì)稱性判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù) 9題型4根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍 11◆類型1利用零點(diǎn)存在性定理 11◆類型2圖像法 11題型5零點(diǎn)和差積商問題 12題型6二次函數(shù)零點(diǎn)問題 14題型7復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題 14知識(shí)點(diǎn)一.函數(shù)的零點(diǎn)一般地，如果函數(shù)在實(shí)數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)．注意：①函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根．歸納：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)二.二次函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)見下表.判別式方程的根函數(shù)的零點(diǎn)兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)二重零點(diǎn)無實(shí)根無零點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三.二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過零點(diǎn)時(shí)（不是二重零點(diǎn)），函數(shù)值變號(hào).②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有的函數(shù)值保持同號(hào).知識(shí)點(diǎn)四.函數(shù)的零點(diǎn)、方程的解、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．知識(shí)點(diǎn)五.函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解．補(bǔ)充：1.平移變換2.對(duì)稱變換①y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)的圖像；②y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)的圖像；③y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)的圖像；④y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖像eq\o(→,\s\up10(關(guān)于直線y＝x對(duì)稱))y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖像．3.翻折變換①y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up11(x軸下方部分翻折到上方),\s\do4(x軸上方部分不變))y＝|f(x)|的圖像；②y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up11(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\do4(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖像題型1求函數(shù)零點(diǎn)【方法總結(jié)】判定函數(shù)fx（1）直接法：直接求解函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，得到方程的根，即可得出結(jié)果；（2）數(shù)形結(jié)合法：先令fx=0，將函數(shù)【例題1】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）下列圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)零點(diǎn)的定義結(jié)合函數(shù)圖象觀察即可.【詳解】函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即函數(shù)的零點(diǎn)．故選:B．【變式11】1.（2018上·全國·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的零點(diǎn)：（1）y=-x（2）y=x（3）y=1-log（4）y=x（5）f(x)=x【答案】（1）-5,4；（2）-2；（3）3；（4）-6；（5）0,1．【分析】(1)直接令y=0解方程即得函數(shù)的零點(diǎn).(2)直接令y=0解方程即得函數(shù)的零點(diǎn).(3)直接令y=0解方程即得函數(shù)的零點(diǎn).(4)直接令y=0解方程即得函數(shù)的零點(diǎn).(5)分x≤0和【詳解】（1）令y=0，即-x2-x+20=0，解得x1=-5,（2）y=x3+8=(x+2)(x2-2x+4)，令(x+2)(x（3）令1-log3x=0，解得x=3（4）y=x2+4x-12x-2=(x+6)(x-2)x-2．令(x+6)(x-2)（5）當(dāng)x≤0時(shí)，令x3=0，得x=0，符合題意；當(dāng)x>0時(shí)，令lnx=0，得x=1，符合題意，故所求函數(shù)f(x)=【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)求函數(shù)的零點(diǎn)常用解方程的方法.【變式11】2.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)f(x)=x2【答案】3【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義，求解方程的根即可.【詳解】由f1=1+a+3=0?a=-4，所以令f(x)=x故答案為：3【變式11】3.（2020·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax-b(a≠0)的零點(diǎn)為3，求函數(shù)【答案】0和－1【解析】根據(jù)f(x)＝ax－b(a≠0)的零點(diǎn)為3可得b＝3a.再代入函數(shù)g(x)＝bx2＋ax求解即可.【詳解】由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1).令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－13所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)為0和-1【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.【變式11】4.（2023上·北京海淀·高一校考階段練習(xí)）若m，n是二次函數(shù)y=x2+3x-6A．3 B．9 C．21 D．33【答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】由m，n是二次函數(shù)y=xΔ=9+24=33>0，所以m，n是x2所以m+n=-3,mn=-6，故m2故選：C題型2判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間【方法總結(jié)】零點(diǎn)存在定理：兩端點(diǎn)值異號(hào)【例題2】（2023上·廣東深圳·高一校考期末）函數(shù)fxA．-1,0 B．0,1 C．1,2 D．3,4【變式21】1.（2023上·重慶·高一重慶市潼南中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）若m為函數(shù)fx=logA．12,1 B．(1,32【變式21】2.（2023上·安徽合肥·高一?？茧A段練習(xí)）若x0是方程lnx+x-3=0的實(shí)數(shù)解，則A．1,1.5 B．1.5,2C．2,2.5 D．2.5,3【變式21】3.（2019上·安徽銅陵·高一銅陵一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x+2A．1,32 B．32,2【變式21】4.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)x=(log1A．(-3B．(-2C．1,2D．(2【變式21】5.（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程exx10123e0.3712.727.4020.12x+323456A．-1,0 B．0,1C．1,2 D．2,3【變式21】6.（2020·高一課時(shí)練習(xí)）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可以判定方程exx-10123e0.3712.277.3920.09x12345A．(-1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)題型3判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)【方法總結(jié)】直接法即直接求零點(diǎn)，令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn)定理法即利用零點(diǎn)存在性定理，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)圖象法即利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；將函數(shù)f(x)拆成兩個(gè)函數(shù)h(x)和g(x)的差，根據(jù)f(x)＝0?h(x)＝g(x)，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y＝h(x)和y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)性質(zhì)法即利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)◆類型1直接法或方程法【例題31】（2023上·北京·高一北京市第一六一中學(xué)校考期中）函數(shù)fxA．0 B．1 C．2 D．3【變式31】1.（2023上·北京·高一北京十四中?？计谥校┖瘮?shù)fxA．0 B．1 C．2 D．3【變式31】2.（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）函數(shù)y=xA．0 B．1 C．2 D．3【變式31】3.（2023上·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州市廣陵區(qū)紅橋高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)fxA．1 B．2 C．3 D．4【變式31】4.（2023上·天津河?xùn)|·高一天津市第五十四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx◆類型2零點(diǎn)存在性定理【例題32】（2023上·陜西榆林·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fxA．1 B．2 C．3 D．4【變式32】1.（2023上·遼寧大連·高一大連八中校考期中）函數(shù)f(x)=|2A．1 B．2 C．3 D．4【變式32】2.（2022上·新疆阿克蘇·高一?？计谀┮阎瘮?shù)fx=6A．1 B．2 C．3 D．0【變式32】3.（2023上·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)桂華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx【變式32】4.（2023上·安徽亳州·高一蒙城縣第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x2+2x◆類型3圖像法【例題33】（2023·全國·高一課堂例題）函數(shù)fx【變式33】1.（2023上·北京海淀·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fxA．0 B．1 C．2 D．3【變式33】2.（2023上·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=52x【變式33】3.（2023上·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=5x-5(x≤1)x2A．1 B．2 C．3 D．4【變式33】4.（2023下·江蘇南通·高一金沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx◆類型4利用奇偶性對(duì)稱性判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)【例題34】（2023下·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知fx為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，fx單調(diào)遞增，且f(-2)=0，f1A．4 B．3 C．2 D．1【變式34】1.（2023上·江蘇蘇州·高一蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f(x)=f(2-x)，且當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)=2x-1.若函數(shù)g(x)=f(x)-logaA．5<a<9 B．1<a<9C．a(chǎn)>9 D．1<a≤5【變式34】2.（2023上·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2x+x-3【變式34】3.（2021·高一單元測(cè)試）定義在R的奇函數(shù)fx滿足fx+4=fx，且當(dāng)x∈0,2時(shí)，f【變式34】4.（2022下·北京·高一?？计谥校┮阎x在R上的函數(shù)fx是周期為3的奇函數(shù).當(dāng)x∈0,32時(shí)，fx【變式34】5.（多選）（2023上·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）若fx是定義在R上的奇函數(shù)，fx+2是偶函數(shù)，當(dāng)x∈0,2A．fx在-4,-2上單調(diào)遞減 B．C．fx在-4,4上恰有5個(gè)零點(diǎn) D．f【變式34】6.（多選）（2022上·湖北黃岡·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，fA．x>0時(shí)，fx=-xC．fx在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞增 D．不等式fx>0題型4根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍◆類型1利用零點(diǎn)存在性定理【例題41】（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)=3kx+1在(-1,1)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A．-13C．13,+∞ D．【變式41】1.（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)=lnx-1x+a【變式41】2.（2021上·內(nèi)蒙古赤峰·高一?？计谥校┤艉瘮?shù)fx=lnx-2A．2e-1,2 B．1e,1【變式41】3.（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)fx=log2x+A．-∞,-18C．(5,18) D．-18,-5【變式41】4.（2023上·江蘇南京·高一期末）已知fx=ex+4x-3A．-1 B．0 C．1 D．2【變式41】5.（2023上·四川·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=3x-◆類型2圖像法【例題42】（2024上·河南洛陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)fx=exA．-1,2 B．-1,1 C．0,1 D．-1,0【變式42】1.（2023上·甘肅白銀·高一?？计谀┮阎瘮?shù)fx=-x+2,x≥1x2A．0,1 B．-1,0,1 C．0,1 D．0,1【變式42】2.（2023上·河南駐馬店·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=-xx-4,x≥0【變式42】3.．（2023上·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx=x【變式42】4.（2023上·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)fx=2x+1,x≤0【變式42】5.（2017上·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)fx(1)畫出函數(shù)圖象，并寫出函數(shù)的值域；(2)求使函數(shù)Fx題型5零點(diǎn)和差積商問題【例題5】（2024上·重慶·高一重慶市第二十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2xx2+1,x≥0-3A．22,+∞ B．22【變式51】1.（2023上·安徽阜陽·高一阜陽市第三中學(xué)校考期中）已知函數(shù)fx=log2x,x>0xA．2,+∞ B．C．2,+∞ D．【變式51】2.（2023上·河南開封·高一河南省杞縣高中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=2x-1,x?1log3x-1,x>1，若函數(shù)y=fx-aa∈RA．0,3 B．22,3 C．2【變式51】3.（多選）（2023上·云南·高一云南師大附中校考期末）已知函數(shù)fx=xA．實(shí)數(shù)a的取值范圍是-B．函數(shù)fxC．xD．x1+3【變式51】4.（多選）（2023上·江蘇南京·高一江蘇省高淳高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：fx=f2-x，且當(dāng)x≥A．fx的值域?yàn)锽．fx在(-C．fx在RD．若方程|f(x)|=m有4個(gè)不同的解x1,x2,x題型6二次函數(shù)零點(diǎn)問題【例題6】（2023上·江蘇淮安·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2-ax+4A．8,10 B．8,10 C．4,5 D．4,5【變式61】1.（2024上·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)f(x)=x2-2ax+1在(0,2)【變式61】2.（2021上·高一課時(shí)練習(xí)）已知：f(x)=(x-a)(x-b)-2的零點(diǎn)α,β，那么a，b，α,β大小關(guān)系可能是（

）A．α<a<b<β B．a(chǎn)<α<β<bC．a(chǎn)<α<b<β D．α<a<β<b【變式61】3.（2020上·湖南常德·高一?？茧A段練習(xí)）已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b)，m，n是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)(m<n)，則實(shí)數(shù)m，n，a，b的大小關(guān)系為（

）A．m<a<b<n B．a(chǎn)<m<n<b C．a(chǎn)<m<b<n D．m<a<n<b【變式61】4.（2023上·廣東汕頭·高一汕頭市潮陽實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax(1)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若