合工大材料力學(xué)課件第六章

第六章

梁的復(fù)雜問(wèn)題§6-1

其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形§6-2

平面曲桿中的應(yīng)力§6-3

非對(duì)稱彎曲與斜彎曲§6-4

開(kāi)口薄壁桿的彎曲切應(yīng)力與彎曲中心§6-5

連續(xù)梁*§6-6

組合梁小結(jié)1．多跨靜定梁：§6-1其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形一、多跨靜定梁含有中間鉸的組合靜定梁1)從中間鉸處拆成主梁和次梁；2．內(nèi)力圖作法：2)注意到中間鉸處的反力矩為零，將次梁端的中間鉸假設(shè)為固定鉸，則次梁成為簡(jiǎn)支梁或外伸梁，可以利用平衡條件求解中間鉸處的支反力；3)將該支反力反方向作用于主梁，求解出所有支反力；4)分別作主、次梁的內(nèi)力圖再合成；也可以由求出支反力的原圖直接作圖，不必理會(huì)中間鉸；5)若中間鉸處無(wú)集中荷載，則剪力連續(xù)，彎矩為零光滑過(guò)渡；若中間鉸處有集中荷載，在拆分時(shí)可將其假設(shè)到主梁或次梁任意一側(cè)進(jìn)行求解。2．求解變形：宜采用疊加法，次梁的變形包括兩部分：簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)支梁或外伸梁的次梁變形；主梁變形引起次梁的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)。注意：中間鉸處撓度連續(xù)。而轉(zhuǎn)角不連續(xù)?！?-1其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形FQBFQBM__+ql

2FQql

2/2ql

2/2BqAql2BC例6-1作圖示多跨靜定梁的內(nèi)力圖，并求qA(已知EI)。qql2BCAlllql/23ql/2_FAy解：1)求約束反力：從B點(diǎn)將梁拆開(kāi)成次梁AB和主梁BC兩部分。B截面只有剪力FQB考慮次梁AB的平衡：2)作剪力、彎矩圖：§6-1其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形解：3)求qA：BC梁在FQB和q作用下變形為：AB梁一方面隨B點(diǎn)的鉛垂位移而剛性轉(zhuǎn)動(dòng)：另一方面在集中力偶ql2作用下變形：

BC梁在FQB和q作用下，fB'為：引起A截面剛性轉(zhuǎn)動(dòng)qA'為AB梁在ql2作用下，qA"為A截面總轉(zhuǎn)角qA為qql2BCAlllFQBFQBBqAql2BCFAy§6-1其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形解：1)求約束反力：2aaaaF=qaCDqAMe=qa2EB例6-2作圖示多跨靜定梁的剪力、彎矩圖。qa2/2M_+FQFAyFByFDyqa/23qa/2qaqa__+qa2/2qa22qa2考慮次梁CD的平衡：考慮整體平衡：2)作剪力、彎矩圖：§6-1其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形1．相關(guān)概念：二、平面剛架1)剛節(jié)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)組成部分不能相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的聯(lián)接點(diǎn)；2)剛架：各部分由剛節(jié)點(diǎn)聯(lián)接成的框架結(jié)構(gòu)；3)平面剛架：組成剛架的桿件的軸線在同一平面內(nèi)就稱為平面剛架。2．剛架的內(nèi)力及內(nèi)力圖作法：1)剛架橫截面上的內(nèi)力：一般有彎矩M、剪力FQ和軸力FN；§6-1其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形3．剛架的變形：3)剛架的內(nèi)力圖就畫(huà)在剛架上，軸力、剪力圖畫(huà)在任一側(cè)，需標(biāo)明正負(fù)，彎矩圖畫(huà)在受壓側(cè)，不標(biāo)正負(fù)；2)軸力FN：拉為正，壓為負(fù)；剪力FQ：對(duì)所考察段梁內(nèi)任點(diǎn)取矩，若力矩為順時(shí)針?lè)较?，則為正，反之為負(fù)；宜用疊加法求解，對(duì)于以彎曲為主的剛架，軸力和剪力所產(chǎn)生的變形一般較小可忽略?！?-1其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形解：1)作內(nèi)力圖：AB段：F產(chǎn)生剪力和彎矩；FF例6-3作圖示剛架的內(nèi)力圖并求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角qA、水平位移xA和鉛垂位移yA，已知?jiǎng)偧艿目箯潉偠葹镋I，忽略軸力、剪力影響。ABFCabFQ+MFN+FaFaBC段：F產(chǎn)生軸力和彎矩；§6-1其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形2)求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角qA、水平位移xA、鉛垂位移yA：先將BC剛化，AB成為懸臂梁，A點(diǎn)的qA'、yA'為再將AB剛化，BC解除剛化，F(xiàn)由A點(diǎn)簡(jiǎn)化到B點(diǎn)在B點(diǎn)產(chǎn)生qB"、xB"為FAFBFaABC引起A點(diǎn)剛性轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的qA"、xA"、yA"為A點(diǎn)的qA、xA、yA為ABFCabxy§6-1其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形1．平面曲桿：三、平面曲桿2)軸力、剪力的正負(fù)與平面剛架相同；彎矩以使曲桿的曲率減小為正；3)內(nèi)力圖畫(huà)在曲桿上，軸力剪力圖畫(huà)在任一側(cè)，需標(biāo)明正負(fù)，彎矩圖畫(huà)在受壓側(cè)，不標(biāo)正負(fù)；具有縱向?qū)ΨQ面，軸線是平面曲線的構(gòu)件，稱為平面曲桿或平面曲梁。2．平面曲桿中的內(nèi)力及內(nèi)力圖的作法：1)橫截面上的內(nèi)力：一般有彎矩M、剪力FQ和軸力FN；§6-1其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形解：1)求j截面內(nèi)力：例6-4如圖所示，一端固定的1/4圓桿在其軸線平面內(nèi)受集中力作用，試求曲桿橫截面上的內(nèi)力，并作內(nèi)力圖。AORFBCjFNFQMnt+BAFQFjCOBABMFNBA-FFFR2)作內(nèi)力圖：§6-1其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形四、附加題AaBaqa2aqqaaCD1．作剪力圖和彎矩圖AaBaqa2qqa2aCD2．作剪力圖和彎矩圖§6-1其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形AqaBCaaq3．作彎矩圖4．1.5m1.5m3m5kN/m20kN作彎矩圖§6-1其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形1．軸力產(chǎn)生均勻分布的正應(yīng)力，按軸向拉壓計(jì)算；一、平面曲桿橫截面上的應(yīng)力假定變形前與軸線垂直的橫截面，在變形后仍為平面且保持與軸線垂直。1)平截面假設(shè)：2．剪力產(chǎn)生的切應(yīng)力，按直梁計(jì)算；3．彎矩產(chǎn)生不均勻的正應(yīng)力，曲率較小時(shí)，按直梁計(jì)算；二、純彎曲下平面大曲率梁橫截面上的正應(yīng)力1．假設(shè)：縱向纖維之間無(wú)正應(yīng)力作用。2)單向受力假設(shè)：§6-2平面曲桿中的應(yīng)力1)幾何條件：2．公式推導(dǎo)：MMrrr1r12121yz軸線z1中性層a'adAy1y1yyeejDjstmaxscmaxsx2)物理?xiàng)l件：3)力學(xué)條件：§6-2平面曲桿中的應(yīng)力3．正應(yīng)力公式：k：曲梁的截面模量；1)任意點(diǎn)的應(yīng)力：e：中性軸與軸線的偏心；r：軸線曲率半徑；A：橫截面面積；y：點(diǎn)到軸線距離；rr1yz(形心軸)z1(中性軸)y1yeh1h22)下(上)邊緣處的最大拉(壓)應(yīng)力：§6-2平面曲桿中的應(yīng)力4．曲梁截面模量k的數(shù)值計(jì)算：1)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式：2)矩形(高h(yuǎn)，寬b為中性軸)截面：3)圓形(半徑a)和橢圓截面(長(zhǎng)軸2a、短軸2b為中性軸)：§6-2平面曲桿中的應(yīng)力ABF三、例題例6-5圖示由直徑d=80mm圓桿制成圓環(huán)，內(nèi)徑D=120mm，F(xiàn)=20kN，求A、B點(diǎn)的正應(yīng)力。FAdDB軸線rMFN2)求截面模量k及中性軸與軸線的偏心e：解：1)求橫截面AB上的內(nèi)力：3)求A、B點(diǎn)的正應(yīng)力：彎矩M引起：軸力FN引起：A、B點(diǎn)的正應(yīng)力：§6-2平面曲桿中的應(yīng)力1．對(duì)稱與非對(duì)稱彎曲：§6-3非對(duì)稱彎曲與斜彎曲一、非對(duì)稱彎曲梁有縱向?qū)ΨQ面，載荷作用在該面內(nèi)；1)對(duì)稱彎曲：梁有縱向?qū)ΨQ面，載荷不作用在該面內(nèi)，或梁無(wú)縱向?qū)ΨQ面；2)非對(duì)稱彎曲：1)純彎曲情況下，彎矩在截面的形心主慣性平面內(nèi)作用時(shí)，任意截面梁的變形都是平面彎曲；2．非對(duì)稱彎曲的處理方法：2)當(dāng)彎矩不在形心主慣性平面內(nèi)作用時(shí)，沿兩個(gè)形心主軸將其分解，可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面彎曲的疊加；3)橫力彎曲情況下，對(duì)于實(shí)體或閉口桿件，當(dāng)橫向力作用于形心，不在形心主慣性平面內(nèi)作用時(shí)，也近似可以沿兩個(gè)形心主軸分解為兩個(gè)平面彎曲的疊加。zy1．斜彎曲：二、斜彎曲的應(yīng)力與變形兩個(gè)垂直平面彎曲的組合變形。2．斜彎曲橫截面任意點(diǎn)的正應(yīng)力：MyMMzzyMs"s'yzMxMaay'§6-3非對(duì)稱彎曲與斜彎曲3．中性軸位置：zyay'MyMMzzynnb令s=0，得：1)對(duì)于Iy≠Iz的截面，b≠a，表明變形后梁的撓曲線與載荷作用面不在一個(gè)平面內(nèi)，這就稱為“斜彎曲”；2)對(duì)于Iy=Iz的截面，如圓形和方形，有b=a，表明梁的撓曲線與載荷作用面在同一平面內(nèi)，仍然是平面彎曲，此時(shí)彎矩不需要分解，直接按平面彎曲求解；3)最大應(yīng)力點(diǎn)最大應(yīng)力點(diǎn)可能發(fā)生在截面外凸的棱角；如果截面無(wú)外凸的棱角，則為中性軸平行線與截面的切點(diǎn)；—離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)：§6-3非對(duì)稱彎曲與斜彎曲5．撓度：求得My、Mz兩平面彎曲分別產(chǎn)生的撓度dy、dz，再進(jìn)行矢量合成：4．討論：斜彎曲的正應(yīng)力和中性軸位置計(jì)算不需要公式，應(yīng)根據(jù)形心主軸方向的力分別計(jì)算任意點(diǎn)的應(yīng)力，觀察變形確定應(yīng)力的符號(hào)，然后疊加，再直接用s=0求解中性軸位置?！?-3非對(duì)稱彎曲與斜彎曲s's"10107010100Fz0例6-6Z字形截面懸臂梁，受豎直力F作用。已知：z、y為形心主慣性矩，Iz=6.28×10-6mm4，

Iy=0.64×10-6mm4

，a=27o28’，F(xiàn)=2kN，l=1m，試求梁內(nèi)的最大應(yīng)力。lFACBAB由圖，F(xiàn)y在z軸上方引起拉應(yīng)力，F(xiàn)z在y軸右側(cè)引起拉應(yīng)力，所以固定端截面的A點(diǎn)有最大拉應(yīng)力；同理，B點(diǎn)有相同數(shù)值的最大壓應(yīng)力。aayzFzFyFyFz解：外力沿形心主軸分解：§6-3非對(duì)稱彎曲與斜彎曲1．桿有對(duì)稱軸，則縱向?qū)ΨQ面即為形心主慣性平面，載荷在該面內(nèi)，產(chǎn)生平面彎曲；一、產(chǎn)生平面彎曲的條件2．桿無(wú)對(duì)稱軸，橫向力平行于主慣性軸，并通過(guò)彎曲中心時(shí)，仍可產(chǎn)生平面彎曲，此時(shí)平面假設(shè)仍適用，所以正應(yīng)力仍可用前面推導(dǎo)公式計(jì)算；§6-4開(kāi)口薄壁桿的彎曲切應(yīng)力與彎曲中心§6-4開(kāi)口薄壁桿的彎曲切應(yīng)力與彎曲中心1．橫截面上切應(yīng)力分布的假設(shè)及推論：二、開(kāi)口薄壁桿件的彎曲切應(yīng)力1)因壁厚t很薄，假設(shè)t沿壁厚均布；2)切應(yīng)力應(yīng)與截面周邊相切(切應(yīng)力互等定理)?；ハ啻怪钡钠矫鎻澢鶎?duì)應(yīng)剪力作用線的交點(diǎn)，是圖形的幾何性質(zhì)。當(dāng)外力作用于彎曲中心，梁只產(chǎn)生彎曲變形。彎曲中心：過(guò)彎曲中心，與主慣性平面平行的平面。當(dāng)外力作用于彎心平面內(nèi)，梁只產(chǎn)生平面彎曲。彎心平面：2．橫截面上的切應(yīng)力公式：FAydxztcabdy、z為形心慣性主軸，載荷F平行于y軸，并通過(guò)彎曲中心A；yzxFN1FN2t'xdxt§6-4開(kāi)口薄壁桿的彎曲切應(yīng)力與彎曲中心yzt3．切應(yīng)力公式說(shuō)明：Ct橫截面上沿y軸剪力；FQy

：橫截面對(duì)z軸的慣性矩；Iz

：研究點(diǎn)一邊截面對(duì)z軸的靜矩；Sz*：壁厚；t：§6-4開(kāi)口薄壁桿的彎曲切應(yīng)力與彎曲中心yztFQyABazr1)假設(shè)FQy作用于彎曲中心A；3)截面上由FQy產(chǎn)生的切應(yīng)力大小由前公式求解；4)r是微面積上切應(yīng)力的合力到B點(diǎn)的垂直距離；2)任取參照點(diǎn)B；5)由上式求出az；三、開(kāi)口薄壁桿件的彎曲中心1．確定彎曲中心的基本方法：橫截面上彎曲切應(yīng)力對(duì)某點(diǎn)的合力矩等于產(chǎn)生這些切應(yīng)力的剪力對(duì)該點(diǎn)的力矩。6)作用FQz，重復(fù)上述步驟同理可以求出ay，利用az、ay

即可由B點(diǎn)定出彎曲中心A點(diǎn)的位置；§6-4開(kāi)口薄壁桿的彎曲切應(yīng)力與彎曲中心t1)若截面有兩對(duì)稱(反對(duì)稱)軸，則截面形心就是彎曲中心；3)若截面中線僅為兩直線組成，則其交點(diǎn)即為彎曲中心。2)若截面有一個(gè)對(duì)稱軸，則彎曲中心一定在對(duì)稱軸上；2．工程中常用的彎曲中心：3．若外力不過(guò)彎曲中心，則需將外力向彎曲中心等效

(彎扭組合變形，采用第八章的方法解決)。beAyzOth/2h/2eAyzOr0AyzOzAyOAyzOzAyO§6-4開(kāi)口薄壁桿的彎曲切應(yīng)力與彎曲中心§6-4開(kāi)口薄壁桿的彎曲切應(yīng)力與彎曲中心三、幾種開(kāi)口薄壁桿件的切應(yīng)力流1．角鋼開(kāi)口薄壁桿件切應(yīng)力的方向。切應(yīng)力流：2．立槽鋼§6-4開(kāi)口薄壁桿的彎曲切應(yīng)力與彎曲中心3．U形槽鋼4．半圓槽鋼五、例題例6-7求圖示槽形截面的彎曲中心。zbh/2yh/2tBazAFQyxt解：1)由于z軸是截面對(duì)稱軸，其彎曲中心A

在該線上，在該點(diǎn)加FQy如圖：2)則FQy在截面上只引起彎曲切應(yīng)力，在上翼緣距邊緣x處的切應(yīng)力t為：3)取下翼緣中線與腹板中線交點(diǎn)B為矩心，則FQy對(duì)該點(diǎn)產(chǎn)生的力矩與截面切應(yīng)力合力對(duì)該點(diǎn)力矩相等：因?yàn)橄乱砭壟c腹板上切應(yīng)力的合力通過(guò)B點(diǎn)，不產(chǎn)生力矩，則：§6-4開(kāi)口薄壁桿的彎曲切應(yīng)力與彎曲中心zyRtCD例6-8試確定求圖示薄壁圓環(huán)截面的彎曲中心。解：1)彎曲中心A在對(duì)稱軸z軸上，在該點(diǎn)加FQy如圖：2)計(jì)算q角處的t

：FQyAdjjtdABqe取圓心C為矩心，據(jù)合力矩定律有：§6-4開(kāi)口薄壁桿的彎曲切應(yīng)力與彎曲中心1．連續(xù)梁：具有三個(gè)以上支座的超靜定梁。2．三彎矩方程：lili+1lnl1l2Mi-1Miqi+1Mi+1qin-2021i-1ii+1n-1nqi+1MeFqiMn-2Mn-1M2Mi-1MiMi+1M1變形條件：左跨梁載荷(包括Mi-1、Mi)在i支座產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角：右跨梁載荷(包括Mi、Mi+1)在i支座產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角：§6-5連續(xù)梁*3．公式說(shuō)明：1)式中Mi-1、Mi、Mi+1分別是i-1、i、i+1支座處的彎矩，

li、li+1分別是i段、i+1段長(zhǎng)度，是i支座左跨(第i-1段)

梁上所有外載在i支座產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角；是i支座右跨(第i段)

梁上所有外載在i支座產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角；2)支座編號(hào)從0開(kāi)始，固定端可看成長(zhǎng)度為零的簡(jiǎn)支梁，對(duì)于n跨連續(xù)梁，有n-1個(gè)中間支座(總支座n+1個(gè))，可列出n-1個(gè)三彎矩方程，求解出n-1個(gè)中間支座處的彎矩；§6-5連續(xù)梁*4．例題：MBMCMA解：1)將固定端A看成長(zhǎng)度為零的簡(jiǎn)支梁，并從各鉸支處將梁拆開(kāi)：2)對(duì)A支座列三彎矩方程：例6-9圖示連續(xù)梁A端固定，C端外伸，受載如圖，已知EI，解此連續(xù)梁。Cq=25kN/mAF=10kNB2m1m1m1mDMe=20kN·mq=25kN/mABCF=10kNDMe=20kN·ml003)對(duì)B支座列三彎矩方程：4)聯(lián)立求解：§6-5連續(xù)梁*§6-6組合梁二、組合梁的基本方程1．組合梁：一、組合梁由不同的材料組合成一體而形成的梁。2．本節(jié)討論的組合梁，橫截面左右對(duì)稱(材料、幾何)，載荷作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，因此，發(fā)生的是平面彎曲；3．組合梁平面彎