中考數(shù)學勾股定理單元測試附解析

一、選擇題

1.勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國算書《網(wǎng)醉算經(jīng)》中就有“若勾三，股四,

則弦五”的記載.如圖1,是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積

關系驗證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，ZBAC=90°,AB=3,BC=5,點D,

E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（）

2.如圖，在aABC中，NBAC=90°,AC=2AB,點D是AC的中點，將一塊銳角為45°的直角三

角板ADE如圖放置,連接BE,EC.下列判

斷:①△ABEZZ\DCE;②BE=EC;③BE1.EC;④EC=J^DE.其中正確的有（）

3.如圖，在R/AA8C中，ZACB=90,A.B=5cm,AC=3cm,動點P從點5出發(fā)，沿

射線BC以la〃/s的速度移動，設運動的時間為f秒，當/ABP為等腰三角形時，f的值

不可能為（）

4.已知，如圖，ABC,點RQ分別是NB4C的角平分線AO,邊AB上的兩個動點,

NC=45°，8。=6,則PB+PQ的最小值是（）

o.

p

A.3B.2百C.4D.372

5.在直角三角形中，自兩銳角所引的兩條中線長分別為5和2加，則斜邊長為

（）

A.10B.4710C.V13D.2^/13

6.如圖，已知1號、4號兩個正方形的面積之和為7,2號、3號兩個正方形的面積之和

為4,則a、b、c三個正方形的面積之和為（）

A.4B.8C.16D.史

2

8.已知^ABC的三邊分別是6,8,10,則aABC的面積是（）

A.24B.30C.40D.48

9.如圖，直角三角形兩直角邊的長分別為3和4,以直角三角形的兩直邊為直徑作半圓,

C.2HD.12

10.在直角三角形A8C中，NC=90°,兩直角邊長及斜邊上的高分別為。力,〃，則下列

關系式成立的是（）

DB

221111,,,,

A.-+-^7=jyB.—+-^7=C./?-=abD.h'=a~+b~

二、填空題

11.如圖，點E在△DBC邊DB上，點A在△Z)BC內(nèi)部，NDAE=NBAC=90。，AD=

AE,AB=AC,給出下列結論，其中正確的是(填序號)

①BD=CE；②NDCB=NABD=45°；③BD_LCE；?BE2=2(AD2+AB2).

12.已知，如圖：在平面直角坐標系中，。為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點A、C的

坐標分別為A(10,0)、C(0.4),點。是。A的中點，點P在8c邊上運動，當△OOP

是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為.

口

13.如圖，RtABC中，ZA=90°,AC=8,AB=6,DE1AC,CD=；BC,

CE=^AC,P是直線AC上一點，

把COP沿。P所在的直線翻折后，點。落在直線

OE上的點”處，CP的長是__________

14.如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖,線段A8,BC,BD,DE的端點均在格點

上，線段AB和DE交于點F,則DF的長度為

15.以直角三角形的三邊為邊向外作正方形P,Q,K,若SP=4,SQ=9,則SK=—

16.如圖，在等邊AABC中，A8=6,AN=2,NBAC的平分線交8c于點。，/W是AD上的

動點，則BM+MN的最小值是.

17.如圖，在△ABC中，NC=90。，NA8C=45。，D是8c邊上的一點，BD=2,將△AC。沿直

線翻折，點C剛好落在AB邊上的點E處.若P是直線A。上的動點，則aPEB的周長的

最小值是.

18.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=3,PB=4,PC=5,以BC為邊在AABC外

作△BQC絲4BPA,連接PQ,則以下結論中正確有（填序號）

①△BPQ是等邊三角形②△PCQ是直角三角形③NAPB=150°④/APC=135。

19.如圖，長方體紙箱的長、寬、高分別為50cm、30cm、60cm,一只螞蟻從點A處沿著

紙箱的表面爬到點B處.螞蟻爬行的最短路程為cm.

20.如圖，RtA48c中，NC=90°,AB=5,BC=4,斜邊AB的垂直平分線DE交邊8c于點

D,連接AD,線段CD的長為.

c

三、解答題

21.在等邊A5c中，點。是線段BC的中點，/理力?=120°,?！辏号c線段48相交于點

E,DF與射線AC相交于點F.

（1）如圖1,若垂足為￡AB=4,求BE的長；

（2）如圖2,將（1）中的NEDP繞點。順時針旋轉一定的角度，仍與線段AC相交于

點尸.求證：BE+CF=-AB.

2

⑶如圖3,將⑵中的尸繼續(xù)繞點。順時針旋轉一定的角度，使。E與線段AC的

延長線交于點￡作ON_LAC于點N,若DN=FN,設BE=x,CF=y,寫出y關于工

的函數(shù)關系式.

22.如圖，在兩個等腰直角A5c和△CDE中，ZACB=ZDCE=90°.

（1）觀察猜想：如圖1,點E在BC上，線段AE與BD的數(shù)量關系是，位置關系

是;

（2）探究證明：把△CDE繞直角頂點C旋轉到圖2的位置，（1）中的結論還成立嗎？

說明理由；

（3）拓展延伸：把△C0E繞點C在平面內(nèi)自由旋轉，若AC=BC=10,DE=12,當A、E、

D三點在直線上時，請直接寫出AD的長.

23.在等腰aABC與等腰AADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,且點D、E、C三點、

在同一條直線上，連接BD.

（1）如圖1,求證：Zk/WB絲

（2）如圖2,當/84?=/%￡=90。時，試猜想線段AD,BD,CD之間的數(shù)量關系，并寫

出證明過程；

（3）如圖3,當請直接寫出線段AD,BD,CD之間的數(shù)量關系式

為：（不寫證明過程）

24.定義：如圖1,點M、N把線段分割成AM、MN和BN,若以AM、MN、

8N為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點〃、N是線段A3的勾股分割點.

（1）已知點A/、N是線段AB的勾股分割點，若AM=2，MN=3,求BN的長;

(2)如圖2,在中，AC=BC,點M、N在斜邊4B上，4MCN=45°,

求證：點M、N是線段AB的勾股分割點(提示：把ACM繞點C逆時針旋轉

90°)；

(3)在(2)的問題中，NACM=15°,AM^\,求的長.

25.已知AABC中，NACB=90°,AC^BC,過頂點A作射線AP.

(1)當射線AP在N8AC外部時，如圖①，點。在射線AP上，連結CO、BD，已知

AD=n2-1-AB=H2+1>BD-2n(H>1).

①試證明八46。是直角三角形；

②求線段CO的長.(用含〃的代數(shù)式表示)

(2)當射線AP在NfiAC內(nèi)部時，如圖②，過點6作BDLAP于點。，連結CO,請

寫出線段AD、BD、8的數(shù)量關系，并說明理由.

圖②

26.如圖1,△ABC和4CDE均為等腰三角形，AC=BC,CD=CE,AC>CD,NACB=NDCE=a,且點

A、D、E在同一直線上，連結BE.

⑴求證：AD=BE.

(2)如圖2,若a=90°,CM±AE于E.若CM=7,BE=10,試求AB的長.

(3)如圖3,若a=120°,CM1AE于E,BN±AE于N,BN=a,CM=b，直接寫出AE的值(用a,b的代

數(shù)式表示).

27.如圖，在邊長為近正方形ABCD中，點。是對角線AC的中點，E是線段。4上一

動點（不包括兩個端點），連接5E.

（1）如圖1,過點E作砂，BE交CO于點F，連接8尸交AC于點G.

①求證：BE=EF;

②設=CG=y,求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

（2）在如圖2中，請用無刻度的直尺作出一個以3E為邊的菱形.

28.（知識背景）

據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，

兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括為“勾

三、股四、弦五像3、4、5這樣為三邊長能構成直角三角形的三個正整數(shù)，稱為勾股

數(shù).

（應用舉例）

觀察3,4,5；5,12,13；7,24,25；...

可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，并且

勾為3時，股4=g（9—1）,弦5=g（9+l）；

勾為5時，股12=；（25—1）,弦13=g（25+l）；

請仿照上面兩組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：

（1）如果勾為7,則股24=弦25=

（2）如果勾用“（〃之3,且“為奇數(shù)）表示時，請用含有"的式子表示股和弦，則股

=,弦=.

（解決問題）

觀察4,3,5；6,8,10；8,15,17；...根據(jù)應用舉例獲得的經(jīng)驗進行填空：

（3）如果是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，a=2m（加表示大于1的整數(shù)），則

b=,c=,這就是古希臘的哲學家柏拉圖提出的構造勾股數(shù)組的公式.

（4）請你利用柏拉圖公式，補全下面兩組勾股數(shù)（數(shù)據(jù)從小到大排列）第一組：、

24、：第二組：、、37.

29.如圖1,在正方形ABCD中，點E,F分別是AC,BC上的點，且滿足DELEF,垂足為

點E,連接DF.

(1)求NEDF=(填度數(shù))；

(2)延長DE交AB于點G,連接FG,如圖2,猜想AG,GF,FC三者的數(shù)量關系，并給出

證明；

(3)①若AB=6,G是AB的中點，求△BFG的面積；

②設AG=a,CF=b,△BFG的面積記為S,試確定S與a,b的關系，并說明理由.

30.在平面直角坐標系中，點A(0.4),8(m,0)在坐標軸上，點C,。關于直線AB

對稱，點。在線段AB上.

(1)如圖1,若m=8,求A8的長；

(2)如圖2,若m=4,連接。D,在y軸上取一點E,使。。=。邑求證：CE=血DE；

(3)如圖3,若m=4G，在射線A。上裁取AF,使AF=8D,當CD+CF的值最小時，請

在圖中畫出點。的位置，并直接寫出這個最小值.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.B

解析：B

【分析】

延長A3交KR于點O,延長AC交于點尸，可得四邊形AQLP是正方形，然后求

出正方形的邊長，再求出矩形KLM7的長與寬，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得

解.

【詳解】

解：如圖，延長A3交KF于點O,延長AC交于點P,則四邊形。4LP是矩形.

NCBF=90°,

:.ZABC+AOBF^90°,

又直角AABC中，ZABC+ZACB=90°,

:.ZOBF=ZACB,

在△O8F'和AACB中，

ZBAC=NBOF

<NACB=ZOBF,

BC=BF

：.^OBF=MCB(AAS),

：.AC^OB,

同理：AACBaAPGC,

：.PC=AB,

:.OA=AP,

所以，矩形AOLP是正方形，

邊長AO=AB+AC=3+4=7,

所以，AZ=3+7=10,LM=4+7=11,

因此，矩形KLM；的面積為10x11=11(),

故選B.

本題考查了勾股定理的證明，作出輔助線構造出正方形是解題的關鍵.

2.C

解析：C

【分析】

根據(jù)AC=2AB,點D是AC的中點求出AB=CD,再根據(jù)4ADE是等腰直角三角形求出

AE=DE,并求出NBAE=/CDE=135°,然后利用“邊角邊"證明^ABE和4DCE全等，從而判斷

出①小題正確；根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=EC,從而判斷出②小題正確；根據(jù)全

等三角形對應角相等可得NAEB=/DEC,然后推出/BEC=/AED,從而判斷出③小題正確；

根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的0倍，用DE表示出AD,然后得到AB、AC,再根

據(jù)勾股定理用DE與EC表示出BC,整理即可得解，從而判斷出④小題錯誤.

【詳解】

解：：AC=2AB,點D是AC的中點，

1

.\CD=-AC=AB,

2

「△ADE是等腰直角三角形，

；.AE=DE,

ZBAE=90°+45°=135°,ZCDE=180°-45°=135°,

AZBAE=ZCDE,

在ZSABE和ADCE中，

AB=CD

<NBAE=NCDE,

AE=DE

.,.△ABE^ADCE(SAS),故①小題正確；

，BE=EC,NAEB=NDEC,故②小題正確；

VZAEB+ZBED=90",

.".ZDEC+ZBED=90°,

ABEXEC,故③小題正確；

VAADE是等腰直角三角形，

.,.AD=72DE,

VAC=2AB,點D是AC的中點，

，AB=0DE,AC=20DE,

在Rt^ABC中，BC2=AB2+AC2=(V2DE)2+(2&DE)2=10DE2,

；BE=EC,BEJ_EC,

.\BC2=BE2+EC2=2EC2,

.,.2EC2=10DE2,

解得EC=?DE,故④小題錯誤，

綜上所述，判斷正確的有①②③共3個.

故選：C.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，準確識圖，根據(jù)4ADE是

等腰直角三角形推出AE=DE,NBAE=NCDE=135。是解題的關鍵，也是解決本題的突破口.

3.C

解析：C

【分析】

根據(jù)八45尸為等腰三角形，分三種情況進行討論，分別求出BP的長度，從而求出t值即

可.

【詳解】

在用ABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16.

/.BC=4cm,

①如圖，當AB=BP時,BP=5cm,t=5,

；AC1BP，

BP=2BC—8cm，/=8；

,則CP=(4-x)cm,AC=3cm,

?在RfACP中，AP2=AC2+CP2)

x2=32+(4-X)\

25

解得：x=—

8

25

,,t=---,

8

25

綜上所述，當人鉆尸為等腰三角形時，f=5或，=8或七子.

8

故選：C.

【點睛】

本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質，注意分類討論.

4.D

解析：D

【分析】

先根據(jù)等腰三角形的性質得出A。是線段QE垂直平分線，再根據(jù)垂直平分線的性質、兩

點之間線段最短得出PB+PQ最小值為BE,最后根據(jù)垂線段最短、直角三角形的性質得

出BE的最小值即可得.

【詳解】

如圖，作QE_LAO,交AC于點E,

VAD平分NBAC,

ZBAD=ZCAD,

.?./W是線段QE垂直平分線(等腰三角形的三線合一)

：.PQ=PE

:.PB+PQ=PB+PE

由兩點之間線段最短得：當點區(qū)P,E共線時，PB+尸E最小,最小值為3E

點RQ都是動點

.?.8￡隨點RQ的運動而變化

由垂線段最短得：當8E1AC時，BE取得最小值

在RrASCE中，ZC=45°,BC=6

V2

：.BE=CE=—BC=3y/r2

2

即PB+PQ的最小值為3亞

故選：D.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質、垂直平分線的性質、兩點之間線段最短等知識點，利用兩

點之間線段最短和垂線段最短確認PB+PQ的最小值是解題關鍵.

5.D

解析：D

【分析】

根據(jù)已知設AC=x,BC=y,在RtZ\ACD和Rt^BCE中，根據(jù)勾股定理分別列等式，從而求

得AC,BC的長，最后根據(jù)勾股定理即可求得AB的長.

【詳解】

如圖，在AABC中，ZC=90°,AD、BE為aABC的兩條中線，且AD=2而，BE=5,求

AB的長.

設AC=x,BC=y,

根據(jù)勾股定理得：

在Rt^ACD中，x2+(-y)2=(2J10)2,

2

在RtZ^BCE中，（，x）2+丫2=52,

解之得，x=6,y=4,

.?.在RtZ\ABC中，AB=A/62+42=2713-

故選：D.

CDB

【點睛】

此題考查勾股定理的運用，在直角三角形中，已知兩條邊長時，可利用勾股定理求第三條

邊的長度.

6.B

解析：B

【分析】

由直角三角形的勾股定理以及正方形的面積公式不難發(fā)現(xiàn)：a的面積等于1號的面積加上2

號的面積，b的面積等于2號的面積加上3號的面積，c的面積等于3號的面積加上4號的

面積，據(jù)此可以求出三個的面積之和.

【詳解】

利用勾股定理可得：

=S]+§2,Sh-S2+S3,Sc=S3+S4

Sa+Sh+S(.=S]+S,+S2+S3+S3+S4

=7+4+4=15

故選B

【點睛】

本題主要考查勾股定理的應用，熟練掌握相關性質定理是解題關鍵.

7.B

解析：B

【分析】

作AD_LBC,則D為BC的中點，即BD=DC=2,根據(jù)勾股定理可以求得AD,則根據(jù)

S=—xBCxAD可以求得AABC的面積.

2

【詳解】

解：作AD_LBC,則D為BC的中點，

BD

則BD=DC=2,

AB=2y/5，且AD=-JAB2-BD2=4，

...AABC的面積為S=—xBCxAD=—x4x4=8,

22

故選：B.

【點睛】

本題考查了勾股定理的運用，三角形面積的計算，本題中正確的運用勾股定理求AD是解

題的關鍵.

8.A

解析：A

【解析】

已知aABC的三邊分別為6,10,8,62+82=102,即可判定△的C是直角三角形,兩直角

邊是6,8,所以△ABC的面積為,X6X8=24,故選A.

2

9.A

解析：A

【分析】

分別求出以AB、AC、BC為直徑的半圓及aABC的面積，再根據(jù)SM&疔SI+SZ+SAABC-SB即可得

出結論.

【詳解】

解：如圖所示：

VZBAC=90°,AB=4cm,AC=3cm,BC=5cm,

.??以AB為直徑的半圓的面積Si=2"(cm2)；

9

以AC為直徑的半圓的面積S2=—n(cm2)；

8

以BC為直徑的半圓的面積S3=—"(cm2)；

8

SAABC=6(cm2)；

S陽彩=SI+$2+SAABC-S3=6(cm2)；

故選A.

【點睛】

本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等

于斜邊長的平方是解答此題的關鍵.

10.B

解析：B

【分析】

設斜邊為C,根據(jù)勾股定理得出c=Ja2+02,再由三角形的面積公式即可得出結論.

【詳解】

解：設斜邊為C,根據(jù)勾股定理得出C=Ja2+02,

；.ab="2+Z?2?h,即a2b2=a2h?+b2h2,

.a2b2a2l-rb2h2

??,

a2b2h2a2b2h2a2b2h2

故選:B.

【點睛】

本題考查勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜

邊長的平方是解題關鍵.

二、填空題

11.①③

【分析】

①由已知條件證明DAB合EAC即可；

②由①可得NABD=/ACE<45°,ZDCB>45°；

③由/ECB+ZEBC=ZABD+ZECB+ZABC=ZACE+ZECB+ZABC=45°+45°=90°可判斷③；

④由BE2=BC2—EC2=2AB2—(CD2-DE2)=2AB2-CD2+2AD2=2(AD2+AB2)-CD?可判斷

④.

【詳解】

解：：NDAE=NBAC=90。，

，NDAB=NEAC,

VAD=AE,AB=AC,

ZAED=ZADE=ZABC=ZACB=45°,

：在DAB和EAC中，

AD=AE

<DAB=EAC,

AB=AC

：.DAB會EAC,

，BD=CE,NABD=NECA,故①正確；

由①可得NABD=NACE<45。，NDCB>45。故②錯誤；

ZECB+ZEBC=ZABD+ZECB+ZABC=ZACE+ZECB+ZABC=450+45°=90°,

...ZCEB=90°,即CE±BD,故③正確；

.".BE2=BC2-EC2=2AB2—（CD2-DE2）=2AB2—CD2+2AD2=2（AD2+AB2）—CD2.

；.BE2=2（AD2+AB2）—CD2,故④錯誤.

故答案為：①③.

【點睛】

本題主要考查全等三角形判定與性質以及勾股定理的應用，熟記全等三角形的判定與性質

定理以及勾股定理公式是解題關鍵.

12..（3,4）或（2,4）或（8,4）.

【分析】

題中沒有指明AODP的腰長與底分別是哪個邊，故應該分情況進行分析，從而求得點P的

坐標.

【詳解】

解：（1）。。是等腰三角形的底邊時，P就是。。的垂直平分線與CB的交點，此時。P=

PD#5；

（2）。。是等腰三角形的一條腰時：

①若點。是頂角頂點時，P點就是以點。為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點，

在直角△。?。中，CP=y/（）產(chǎn)―OC?='52-42=3,則P的坐標是（3,4）.

②若D是頂角頂點時，P點就是以點D為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點，

過。作于點M,

在直角△PDM中，PM=yjPD2-DM2=3，

當P在M的左邊時，CP=5-3=2,則P的坐標是（2,4）；

當P在M的右側時，CP=5+3=8,則P的坐標是（8,4）.

故P的坐標為：（3,4）或（2,4）或（8,4）.

故答案為：（3,4）或（2,4）或（8,4）.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質和勾股定理的運用等知識，注意正確地進行分類，考慮到所有

可能的情況并進行分析求解是解題的關鍵.

【分析】

根據(jù)折疊后點C的對應點H與AC的位置關系分類討論，分別畫出對應的圖形，利用勾股

定理求出各邊的長，再根據(jù)折疊的性質與勾股定理列出對應的方程即可求出結論.

【詳解】

解：①當折疊后點C的對應點H在AC的下方時，如下圖所示

RtABC中，ZA=90°,AC=8，AB=6,

根據(jù)勾股定理可得BC=7AB2+AC2=10

VCD=-BC,CE=-AC,

33

ACD=-BC=—,CE=-AC=-

3333

DELAC

根據(jù)勾股定理可得DE=y)CD2-CE2=2

由折疊的性質可得：DH=CD=—,CP=PH

3

4

.?.EH=DH-DE=一

3

Q

設CP=PH=x,貝I」EP=CE-CP=--x

3

在RtZ\PEH中，EP2+EH2=PH2

Q4

即(--X)2+(-)2=x2

33

解得:x=g

即止匕時CP=3；

3

②當折疊后點C的對應點H在AC的上方時，如下圖所示

根據(jù)折疊的性質可得DH=CD=一，CP=PH

3

16

AEH=DH+DE=—

3

Q

設CP=PH=y,則EP=CP-CE=y--

在RtZ\PEH中，EP2+EH2=PH2

o16

即(y-|)2+(y)2=y2

解得：y=g

即止匕時CP=2^.

3

520

綜上所述：CP=2或、.

33

故答案為：己5或2,0.

33

【點睛】

此題考查的是勾股定理和折疊問題，掌握利用勾股定理解直角三角形、折疊的性質和分類

討論的數(shù)學思想是解決此題的關鍵.

14.2

【分析】

連接AD、CD,由勾股定理得：AB=DE=V42+32=5-BD=dU=2也，

CD=AD=々+22=后,得出AB=DE=BC，BD2+AD2=AB2<由此可得4ABD為

直角三角形，同理可得aBCD為直角三角用形，繼而得出A、D、C三點共線.再證明

△ABC^ADEB,得出NBAC=/EDB,得出DF_LAB,BD平分NABC,再由角平分線的性得

出DF=DG=2即可的解.

【詳解】

連接AD、CD,如圖所示：

由勾股定理可得,

AB=DE=JU+32=5,BD=J甲+*=2石，CD=AD=&+*=亞，

VBE=BC=5,；.AB=DE=AB=BC,BD2+AD2=AB2>

.二△ABD是直角三角形，NADB=90°,

同理可得：4BCD是直角三角形，ZBDC=90°,

；./ADC=180°,二點A、D、C三點共線，

???AC=2AD=275=BD，

^EAABC和ADEB中，

'AB=DE

<BC=EB,.;△ABC絲△DEB(SSS),；./BAC=/EDB,

AC=BD

VZEDB+ZADF=90°,AZBAD+ZADF=90°,

NBFD=90°,DF±AB,

VAB=BC,BD1AC,；.BD平分/ABC,

VDG1BC,.\DF=DG=2.

【點睛】

本題考查全等三角形的性質與判定以及勾股定理的相關知識，解題的關鍵是熟練掌握勾股

定理和過股定理的逆定理.

15.5或13

【分析】

根據(jù)已知可得題意中的圖是一個勾股圖，可得SP+SQ=SK為從而易求SK.

【詳解】

解：如下圖所示，

若A=Sp=4.B=SQ=9,C=SK,

根據(jù)勾股定理，可得

A+B=C,

AC-13.

若A=Sp=4.C=SQ=9,B=SK,

根據(jù)勾股定理，可得

A+B=C,

.1B=9-4=5.

，SK為5或13.

故答案為：5或13.

【點睛】

本題考查了勾股定理.此題所給的圖中，以直角三角形兩直角邊為邊所作的正方形的面積

和等于以斜邊為邊所作的正方形的面積.

16.

【解析】

【分析】

通過作輔助線轉化BM,MN的值，從而找出其最小值求解.

【詳解】

解：連接CN,與AD交于點M.則6/就是BM+MN的最小值.取8N中點E,連接DE,

等邊"SC的邊長為6,AN=2,

：.BN=AC-AN=6-2=4,

：.BE=EN=AN=2,

又AD是8c邊上的中線，

：.DE是4BCN的中位線，

CN=2DE,CN//DE,

又為AE?的中點，

為AD的中點，

：.MN是A4DE的中位線，

DE=2MN,

:.CN=2DE=4MN,

3

CM=-CN.

4

1]3萬

在直角ACDM中，CD=-BC=3,DM=-AD=—,

222

__________Q

：.CM=y/CD2+MD2=-V7,

2

：.CN=-x-V7=277.

32

BM+MN=CN,

.?.B/W+MN的最小值為2療.

故答案是：2近.

【點睛】

考查等邊三角形的性質和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用.

17.20+2

【分析】

連接CE,交AD于M,根據(jù)折疊和等腰三角形性質得出當P和D重合時，PE+BP的值最

小，此時ABPE的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE,先求出BC和BE長,

代入求出即可.

【詳解】

如圖，

連接CE,交AD于M,

?.?沿AD折疊C和E重合，

AZACD=ZAED=90°,AC=AE,ZCAD=ZEAD,

；.AD垂直平分CE,即C和E關于AD對稱，BD=2,

，CD=DE=0,

...當P和D重合時,PE+BP的值最小，即此時4BPE的周長最小,最小值是

BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE,

VZDEA=90°,

.,.ZDEB=90",

NABC=45°,

，/B=45°,

VDE=V2,

，BE=&,

即BC=2+V2,

??.△PEB的周長的最小值是BC+BE=2+&+夜=2+2&.

故答案為2+2、歷.

【點睛】

本題考查了折疊性質，等腰三角形性質，軸對稱-最短路線問題，勾股定理，含30度角的

直角三角形性質的應用，關鍵是求出P點的位置.

18.①②③

【解析】

【詳解】

解：???△A8c是等邊三角形，

ZABC=60，

:△BQgABPA,

：.ZBPA=ZBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,NABP=NQBC,

ZPBQ=NPBC+4CBQ=ZPBC+NABP=ZABC=60,

.?.△8PQ是等邊三角形，①正確.

PQ=BP=4,

PQr+QC2=42+32=25,PC2=52=25,

PQ2+QC2=PC2,

.?.NPQC=90,即△PQC是直角三角形，②正確.

???△8PQ是等邊三角形，

NPBQ=NBQP=60,

:△BQgABPA,

，ZAPB=ZBQC,

NBPA=ZBQC=60+90=150,③正確.

.-.ZAPC=360-150-60-ZQPC=150-ZQPC,

NPQC=90,PQ*QC,

NQPCH45,

即NAPCW135，④錯誤.

故答案為①②③.

19.100

【解析】

螞蟻有三種爬法，就是把正視和俯視（或正視和側視，或俯視和側視）二個面展平成一個

長方形，然后求其對角線：

第一種情況：如圖1，把我們所看到的前面和上面組成一個平面，

/?0

A50

圖1

則這個長方形的長和寬分別是90cm和50cm,

則所走的最短線段AB=<\/502+902=10VToS0"1;

第二種情況：如圖2,把我們看到的左面與上面組成一個長方形,

B30

60

50

圖2/

則這個長方形的長和寬分別是110cm和30cm,

所以走的最短線段AB=iJ||02+302=10VlSO01";

第三種情況：如圖3,把我們所看到的前面和右面組成一個長方形,

50圖330

則這個長方形的長和寬分別是80cm和60cm,

所以走的最短線段AB二J不+6Q2=100cm；

三種情況比較而言，第三種情況最短.

故答案為100cm.

點睛：本題考查了立體圖形中的最短路線問題；通常應把立體幾何中的最短路線問題轉化

為平面幾何中的求兩點間距離的問題；注意長方體展開圖形應分情況進行探討.

7

20.—

8

【解析】

ZC=90°,AB=5,BC=4，=AC=J^~^=3.

???AB的垂直平分線DE交邊BC于點。，二BD=AD.

7

設CD=x,則AD=BD=4-x,在RSACD中，32+X2=(4-%)2,解得：》=一.故答案為:

8

7

三、解答題

21.(1)BE=1；(2)見解析；(3)y=(2-百)X

【分析】

(1)如圖L根據(jù)等邊三角形的性質和四邊形的內(nèi)角和定理可得N8ED=90。，進而可得

N8DE=30。，然后根據(jù)30。角的直角三角形的性質即可求出結果；

(2)過點。作于M,作DNJ_AC于N,如圖2,根據(jù)AAS易證△MBD畛△NCD,

則有8/M=CN,DM=DN,進而可根據(jù)ASA證明絲△FND,可得EM=FN,再根據(jù)線

段的和差即可推出結論：

(3)過點。作于M,如圖3,同(2)的方法和已知條件可得。M=ON=FN=

EM,然后根據(jù)線段的和差關系可得8E+CF=2DM,BE-CF=2BM,在RM8/WD中，根據(jù)

30。角的直角三角形的性質可得DM=GB/M,進而可得B￡+CF=J^(BE-CF)，代入X、

y后整理即得結果.

【詳解】

解：(1)如圖1,?..△A8c是等邊三角形，

：.ZB=ZC=60°,8c=AC=A8=4.

???點。是線段8c的中點，

：.BD=DC=-BC^2.

2

"JDFVAC,即/AFD=90°,

ZAED=360°-60°-90°-120。=90。，

AZBED=90°,/8DE=30°,

：.BE=-BD=1;

2

(2)過點。作于M,作DN_LAC于N,如圖2,

則有NAMD=NB/WD=/AND=NCN。=90。.

NA=60。，

NMDN=360°-60°-90°-90°=120°.

'：ZEDF=120°,

：.NMDE=NNDF.

在△MBD和△NCD中，

,:NBMD=NCND,NB=NC,BD=CD,

:.AMBD運/\NCD(AAS),

:.BM=CN,DM=DN.

在△EMD和△「可￡)中，

■:NEMD=NFND,DM=DN,NMDE=/NDF,

：./\EMD^/\FND(ASA),

:?EM=FN,

11

???BE+CF=BM+EM+CN-FN=BM+CN=2BM=BD=—8c=—A8；

22

(3)過點D作DM_L48于M,如圖3,同(2)的方法可得：BM=CN,DM=DN,EM=

FN.

DN=FN,

DM=DN=FN=EM,

：.BE+CF=BM+EM+FN-CN=NF+EM=2DM=x+y,

BE-CF=BM+EM-(FN-CN)=BM+NC=2BM=x-y,

在RtZXBMD中，?.?N8DM=30°,：?BD=2BM,

DM=《BD?-BM2=6BM,

X+y=6(x-y),整理，得y=(2-6)x.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質、四邊形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質、30。角的

直角三角形的性質以及勾股定理等知識，具有一定的綜合性，正確添加輔助線、熟練掌握

上述知識是解題的關鍵.

22.(1)AE=BD，AE±BD;(2)成立，理由見解析；(3)14或2.

【分析】

(1)先根據(jù)等腰三角形的定義可得AC=BC,CE=CD,再根據(jù)三角形全等的判定定

理與性質可得A￡=8D，/EAC=/DBC，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余、等量代換

即可得NAHD=90°,由此即可得；

(2)先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得AE=8。，NEAC=ZDBC,再根據(jù)直

角三角形兩銳角互余可得NE4C+NAOC=90°,然后根據(jù)對頂角相等、等量代換可得

ZDBC+ZBOH=90°，從而可得NO”B=90°,由此即可得；

(3)先利用勾股定理求出=10后，再分①點在直線上，且點E位于中間，②

點AE,。在直線上，且點D位于中間兩種情況，結合(1)(2)的結論，利用勾股定理求

解即可得.

【詳解】

(1)AE=BD，AE±BD，理由如下：

如圖1,延長AE交BD于H,

由題意得：AC^BC,ZACE=NBCD=90°,CE=CD,

：.ACE=BCD(SAS),

???AE=BD,ZEAC=ZDBC,

NDBC+NBDC=90。,

；?NEAC+NBDC=90。,

：.ZAHD=180°-(Z￡4C+ZBDC)=90°,

即

故答案為：AE=BD，AE上BD；

圖1

(2)成立，理由如下：

如圖2,延長AE交BD于H,交BC于。，

ZACB=ZECD=9QP,

：.ZACB-ABCE=ZECD-/BCE,即ZACE=ZBCD,

AC=BC

在4ACE和BCD中，＜ZACE=ZBCD,

CE=CD

：.ACE三BCD(SAS),

；.AE=BD，NEAC=ZDBC,

???ZACB=90°,

：.NE4C+ZAOC=90°,

???ZAOC=ZBOH,

...ZDBC+ABOH=90°,即ZOBH+/BOH=90°,

ZOHB=180°-(ZOBH+NBOH[=90°,

即AELHD；

（3）設AD=x,

AC=BC=10,ZACB=90°,

/.AB=^AC=lW，

由題意，分以下兩種情況：

①如圖3-1,點AE,。在直線上，且點E位于中間，

同理可證：AE=BD，AE±BD，

DE=12,

：.BD=AE=AD-DE=x-12,

在RtAABD中,AD2+BD2=AB2-即f+（工一12）2=（10后產(chǎn),

解得x=14或x=-2（不符題意，舍去），

即49=14，

②如圖3-2,點A,E,O在直線上，且點D位于中間，

同理可證：AE=BD，AE±BD，

DE=12,

/.BD=AE=AD+DE=x+12,

在RtAAB。中，AD2+BD2=AB2-即/+（x+12）?=（10后了,

解得x=2或％=-14（不符題意，舍去），

即AD=2，

綜上，AD的長為14或2.

E

圖3-1圖3-2

【點睛】

本題考查了三角形全等的判定與性質、勾股定理等知識點，較難的是題（3）,正確分兩種

情況討論，并畫出圖形是解題關鍵.

23.（1）見解析；（2）CD=y/2AD+BD,理由見解析；（3）CD=6AD+BD

【分析】

（1）由"SAS”可證AA。8gZVIEC；

（2）由"SA5"可證△ADBZA4EC,可得BD=CE,由直角三角形的性質可得DE=0AD,

可得結論；

（3）由△DA8會△EAC,可知8D=CE,由勾股定理可求。H=由AD=AE,

2

AH1.DE,推出OH=HE,由CD=DE+EC=2DH+BD=6AD+BD,即可解決問題;

【詳解】

證明：(1),：ZBAC^ZDAE,

：.ZBAD^ZCAE,

又AD=AE,

：./\ADB^^AEC(SAS)；

(2)CD=0AD+8D,

理由如下：VABAC=ZDAE,

：.ZBAD=ZCAE,

y.\"AB=AC,AD=AE,

：./\ADB^/\AEC(SAS)；

：.BD=CE,

"：ZBAC=90°,AD=AE,

:.DE=6，AD,

'：CD=DE+CE,

：.CD=y[2AD+BD；

(3)作A"_LCD于H.

,：ZBAC=ZDAE,

：.ZBAD=ZCAE,

5i'：AB=AC,AD=AE,

：./\ADB^/\AEC(SAS)；

:.BD=CE,

VZD4E=120o,AD=AE,

???ZADH=30\

1

：.AH=-AD

2f

?'?DH=yjAD--AH-=^AD,

"：AD=AE,AHLDE,

：.DH=HE,

：.CD=DE+EC^2DH+BD=yfjAD+BD,

故答案為：CD=6AD+BD.

【點睛】

本題是結合了全等三角形的性質與判定，勾股定理等知識的綜合問題，熟練掌握知識點，

有簡入難，層層推進是解答關鍵.

24.(1)亞或岳；(2)見解析；(3)2+73

【分析】

(1)分兩種分割法利用勾股定理即可解決問題；

(2)如圖，過點A作AD_LAB,且AD=BN.只要證明△ADCgZ\BNC,推出CD=CN,

Z