數(shù)列2021年高考數(shù)學(xué)大題精做（新高考專用）

精做01數(shù)列

一、等差數(shù)列與等比數(shù)列

（一）利用方程思想求等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

【例1】（2021.陜西省咸陽(yáng)市高三模擬）設(shè)數(shù)列｛4｝是公差大于零的等差數(shù)列，已知4=3,

a；=4+24.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

sina“乃（〃為奇數(shù)）

（2）設(shè)數(shù)列也｝滿足人=<…小〃為偶數(shù)）‘求…+...+%「

（1）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,???0；=4+24

二（6+=（4+34）+24,又???4=3,

（3+d『=（3+3d）+24,解得4=一6或d=3,

>0,：.d=3,=3+3（〃-1）=3〃.

sina“zr（〃為奇數(shù)）

（2）,/b=<

n"[cosa/（〃為偶數(shù)）

二當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，=sin3〃%=sin-=0,

，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，bn-cos3n7r-cosO=1,

故｛%｝是以2為周期的周期數(shù)列，且4+打=1，

瓦+Zz,+,—F"⑼=1010（4+仇）+偽=1010+0—1010.

反對(duì)策略

給出數(shù)列是等差仕匕）數(shù)列求通項(xiàng)一般是利用方程思想把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于功和d（g）的方程組，通過(guò)

解方程求以和d（q）,再利用等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求通項(xiàng).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2021.浙江省竦州市高三期末）

1.已知數(shù)列｛《,｝中，?,=|,而向=a,+3（〃eN*）.

（1）證明：數(shù)列｛4一1｝是等比數(shù)列，并求｛為｝前〃項(xiàng)的和S,；

11113

（2）+++<

令么=2q，求證：2Z?I+32Z>2+3-"2/??+340,

答案：（1）證明見(jiàn)解析，S”=〃+；-/；（2）證明見(jiàn)解析.

。+1-11/x11

（1）將4。,m=?！?3變形為即可證明數(shù)列｛a,「1｝是以I為首項(xiàng)，（為公比

的等比數(shù)列，然后求得。“=1+5，然后利用分組求和法可算出S.；

12"

（去）可得2^+3-2（22n+l）+3-2n

2'_______2"_11一—

-（2n+l）（2n+,+l）+l＜（2n+l）（2n+1+l）-2"+12,,+|+1,然后可證明.

【詳解】（1）因?yàn)?。用一4=%-1,所以區(qū)m_1=；（4一1）.

1a]—11

又4-1二00,所以a〃一IwO,從而」、=

4一14

所以數(shù)列｛為-1｝是以:為首項(xiàng)，:為公比的等比數(shù)列.

所以4-1=9,即4=1+京；

（111、4I4n）1

所以5“=4+%+…+”“=〃+[[+不■+???+.）=〃+-----\=n+3

1----

4

（2）由⑴可知，凡=1+城，所以"=2"。=2"+&.

1__]_2"_________T_______

所以乃“+3-2（2"+1）+3—2（2"'+1）+3?2"-2"?2,,+|+2"+'+2"+2，

（2n+l）（2,,+1+l）+l（2n+l）（2H+1+l）-2"+l2n+1+r

1113

當(dāng)〃=1時(shí)-----=一<—

2々+3840,

當(dāng)〃22時(shí),

_j__j_...^_<ip___qp___o...p__L_

24+3+2%+3++2a+38+U2+l23+l；+123+124+l)++[2"+l2n+1+l

1I113

-.1------:--<--

852,,+l+l40

點(diǎn)評(píng)：結(jié)論點(diǎn)睛：常見(jiàn)數(shù)列的求和方法：公式法(等差等比數(shù)列)、分組求和法、裂項(xiàng)相

消法、錯(cuò)位相減法.

(二)等差數(shù)列與等比數(shù)列的判斷與證明

t/iI2

【例2】(2021.山西省呂梁市高三第一次模擬)數(shù)列｛4｝滿足4=2,a=^—a.

n+]2nn

(1)求證：數(shù)列\(zhòng)八\為等比數(shù)列；

1〃(〃+1)J

(2)設(shè)，求2前〃項(xiàng)和T..

/1、rh_〃+24〃+l_J_X4

n+l2n++2+

又言j所以[就d為首項(xiàng)為1‘公比為3的等比數(shù)列.

ci1a幾

(2)由(1)得‘^1)^'即〃，=蕭=聲.

123n-1n

所以<=西+尹7+西+…尸？+聲①

1,123n-\n

/=耍+及+少+…廣+^②

,八?01Tli111n

由①-②得，/=1+]+齊+>+L+尹萬(wàn)

1__L

n

-11T—------2-"--------=Lc-----〃--+---2-

2",12"2"

2

n+2

所以<=4一

2"T

及對(duì)策略

(1)證明數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列的兩種基本方法

①利用定義，證明品+i—a〃5ef0為一常數(shù);

②利用等差中項(xiàng)，即證明2a〃=a〃-i+a〃+i（〃N2,〃WN*）.

（2）證明數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列的兩種基本方法

①利用定義，證明智為一常數(shù)；

②利用等比中項(xiàng)，即證明品=劣-g?+1（〃22,AGN*）.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2]（2021.浙江省杭州市高三期末）

2.在數(shù)列｛q｝中，q=1,。21，。2*，4*（攵6%*）成等比數(shù)列，公比為%>0.

（I）若/=2,求4+%+。5+…+a2k-\；

（H）若%,。2*+”%+2（%6乂）成等差數(shù)列，公差為"，設(shè)4=，？.

%—1

①求證：也,｝為等差數(shù)列；

②若4=2,求數(shù)列｛4｝的前&項(xiàng)和&.

答案：（I）￡『；（II）①證明見(jiàn)解析；②D』“：）.

（I）根據(jù)題中條件，得到詠=d=4,求出的通項(xiàng)，利用等比數(shù)列的求和公式,

a2k-\

即可求出結(jié)果；

（II）①先由條件,得到2%=a2k+a2k+2，推出2=—+4日,得出bM-bk=\,即可證

明數(shù)列是等差數(shù)列；

②根據(jù)4=2,由①的結(jié)論，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出4,推出%=1+!，得到

k

詠=,根據(jù)4=。2川-。2.，求出｛4｝的通項(xiàng)，判斷其是等差數(shù)列，由等差數(shù)列

a2k-y'k）

的求和公式，即可得出結(jié)果.

【詳解】（I）由已知，外=幻=4,所以4*T=4i,

a2k-\

又4=1,所以數(shù)列｛%1｝是以1為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)歹U,

1x(1-4。4*-1

所以％+%+…+/I

1-4-3

(II)①對(duì)任意的后eN*,a2k,a1M,a2t+2成等差數(shù)列,

所以24kM=%?+4?+2，即2=9+詠，即2=一+%5,

a2k+\a2k+\%

1二1二1?]

所以為+1-1i_±-1+，即4+1-4=1，

縱

所以M｝成等差數(shù)列，其公差為i.

②若4=2,則出=4|,。3=端，％-“2=2,

所以W-5一2=0，又%>°，所以？=2，

即％=1+1

從而r=7+k-l=k,

/T"1K

所以詠=(紅1],可得…x3=/，

。2"11^74。3a2k-3

則a2A=a2k-\^k=以攵+1),

2

所以4=*一a2k=(k+l)-k(k+l)=k+l,即⑷為等差數(shù)列，

所以%(4+4)=3.

“22

點(diǎn)評(píng)：思路點(diǎn)睛：

求解等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題時(shí)，一般需要根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,

以及求和公式，進(jìn)行求解.(有時(shí)需要根據(jù)遞推公式，先證明數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，

再進(jìn)一步求解)

二、數(shù)列求和

(一)裂項(xiàng)求和

【例3】(2021.寧夏固原高三期末)等比數(shù)列｛a,,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2科+3a2=1,a/=9a2a.

(1)求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式.

(2)Z>?=logai+log3^+---+loga?,求數(shù)列“丁，的前A項(xiàng)和.

33也J

(1)。；=9g“6，即d=9詔，所以q2=g,又因?yàn)椤丁?,4〉0

所以q=g

又因?yàn)?a[+34=1,所以24+3%X；=1,所以q=g.

n(〃+1)

(2)因?yàn)閘ogs?！?-〃,所以=(-l)+(-2)+L+(—〃)=——'----

則

\n+1)71+1

一2〃

所以，7-＞的前〃項(xiàng)和為

n+l

反對(duì)策略

(1)裂項(xiàng)求和的基本思想就是把通項(xiàng)為分拆成劣=4+*—4("21,A6N*)的形式，從而在求

和時(shí)達(dá)到某些項(xiàng)相消的目的，在解題時(shí)要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式,

使之符合裂項(xiàng)相消的條件.要適用于或(其中｛&,｝為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列

求和.使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏

寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與

目的.

(2)常用的裂項(xiàng)公式

①若｛a｝是等差數(shù)列，則」一=界一-一)，—^=￡(小--一)；

(lnCln+\u\/^ndn+\)ClnCln+22d\^nOn\2)

②〃(〃+A)-￡〃+)

(2〃一1)(2〃+1)—2^2^—

2〃+1

④5+高=5不5+斤W（屈-瘋

⑤小+J(“+2)]__J_________]

2+(n+l)(/?+2)

[(〃+2)(“++1)〃(“-1)]

3

n+21_______]

⑦/?(/?+l)2n+,-nF-(〃+l)2"+i

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2021.安徽省蕪湖市高三期末）

3.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,已知$2=3,㈤=S,,+l（“eN*）.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式;

7an,、1

（2）設(shè)）=（.+［/：_+］），記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為小求證：Tn<-.

答案：（1）a,=T-'-（2）證明見(jiàn)解析.

（1）利用%=S“-S"T消去S"，得到｛a,,｝為等比數(shù)列，公式法求通項(xiàng)公式；

（2）把?！?2~代入々=（”+］）自+］）,用裂項(xiàng)相消法求出7,，再證明（〈于

【詳解】解：（1）???%+I=S,,+l,.?.《,=S,i+1（〃22）

%+|一%=an，即???4+1=2%(〃>2).

又。2=S]+1=4+1,S2=4+%=3

，q=1,w=2,/.a2=2al也滿足a〃+]=2atl(n>2).

??.｛凡｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.?.4=2"T

,4_2"T_1__1_

(2)由(1)知"—+])(磯+1)—(2-+1乂2"+1)-2"T+]-2"+1?

1—b.+/??+?—Fb—-----------：+—：-----------------+…+：-----------------

"12"（2°+12'+1）V2'+l22+lJ（2"T+12"+1）

11111

-------------------------------------<---

2°+12"+122"+12'

點(diǎn)評(píng)：（1）證明等差（比）數(shù)列的方法：定義法和等差（比）中項(xiàng)法；

（2）數(shù)列求和的方法：公式法、分組求和法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法.

（二）錯(cuò)位相減法求和

2

[例4]（2021.湖北省高三模擬演練）在①5〃二口2；②《川=2a”—%,S?=4%=28；③

2

U+l

,S3=6這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加解答.

問(wèn)題：設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S”,，若匕=梟,求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一解答計(jì)分.

2

若選①S“二號(hào)

當(dāng)％=1時(shí);q=S[=1；當(dāng)〃之2時(shí)，an-Sn-S〃_]=n,

又由當(dāng)"=1滿足?！?〃，所以%=〃，所以25

\、2

fl+3x（）+一.+嗚）

則7；=lx+2x

72）

、2

；7；=lx|：1+2x]_fl

+???+（J7—1）十〃?

2727J7

所以坊=出+出+（\3

+,,,+〃?

2”7

、“+1

2=1一（〃+2＞《

7

、

所以數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；=2-+2）?1

7

若選②4+12?！ㄒ?,57=4%=28,

由a?+1=2??-a?_,,即an=/,可得數(shù)歹!I｛4｝是等差數(shù)歹U，

5=74+214=28

設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為4,貝卜1=4+61=7'解得％=3=1,所以

所以=.En-=—=n.

〃242〃5

1-(〃+2)1)rt+1

所以數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；=2—(“+2).(；、］,

7

an.,〃+1-,

若選③---=-----，=6,

an〃

由"^=但，可得乙=%,所以工=幺，即a“=〃q,

a

n〃n+lnn1

又由S3=4+%+%=6q=6,所以6=1,所以aa=〃，

所以仇=2=2=〃.

"T"2"2

+3x[￡|+…+〃?出，

則7；=lx+2x

2)1

1、2、3￡、〃+l

/=岡：+2xH---F(n-1)+〃?

2727272；

、3XM+l

所以，7,=

+???+n-

2"727

I

2fln+l1-(〃+2)]￡|M+l

~1〃'

I--5

2

所以數(shù)列也｝的前w項(xiàng)和7；=2-(〃+2)］，、

\27

應(yīng)對(duì)策暗

錯(cuò)位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列

｛4?4｝的前A項(xiàng)和,其中｛a｝,｛4｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.寫出“S,”與“qSj的

表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出“S-qS”的表達(dá)式.同

時(shí)注意的是相減后得到部分求等比數(shù)列的和，此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù).為保證結(jié)果正確,

可對(duì)得到的和取n=l,2進(jìn)行驗(yàn)證.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2021.黑龍江省齊齊哈爾市高三期末）

4.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知4=1,S.x—2S,,=l（〃eN*）.

（1）求證：數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列

⑵若數(shù)列也｝滿足：4=1,%吟+」-,求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式及數(shù)列也｝的前〃

項(xiàng)和卻

/］、〃-1、

答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）bn=n--,7；=4-（2〃+4>-.

（1）由S,,+「2s“=1,得S”一2S“T=1（〃N2）,兩式相減得。，用=2%,結(jié)合％=1,計(jì)算

出的,確定4=2%,從而證明出等比數(shù)列；

（2）由（1）求得。用，對(duì)｛〃,｝的遞推關(guān)系式變形得數(shù)列｛2"-%“｝是首項(xiàng)為1,公差為1的

等差數(shù)列.，從而求得2"-也,，得出?！昂笥缅e(cuò)位相減法求得和T”.

【詳解】（1）證明：由q=1,S,l+l-2Sn=\,得S“—2S,i=l（〃N2）,

兩式相減,得見(jiàn)+1-=0,

因?yàn)閝=l,由（4+出）一%!=1,得。2=2,所以￡=2,

ci.

所以3=2對(duì)任意乃eN*部成立.

4

所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2；

b112、

⑵由⑴知，…I,%寸=二人

27

即2"%=2"飛+1,

因?yàn)?=1,所以數(shù)列｛2"-%“｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.

]_

所以2"也=1+〃一1=〃，所以"=〃?

27

②設(shè)數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和7；=l+2.g+3.；+…

相減可得31=1+3+；+…+（￡|-?｛1）=寸一〃（｛I，

~2

化簡(jiǎn)可得數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為北=4-（2〃+4）.2.

點(diǎn)評(píng)：本題考查求等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求和.數(shù)列求和的常用方法:

設(shè)數(shù)列｛6,｝是等差數(shù)列，｛d｝是等比數(shù)列，

（1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；

（2）錯(cuò)位相減法：數(shù)列他也』的前〃項(xiàng)和應(yīng)用錯(cuò)位相減法；

,1、

（3）裂項(xiàng)相消法；數(shù)列｛-----1（攵為常數(shù)，的前〃項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法；

（4）分組（并項(xiàng)）求和法：數(shù)列｛pa“+q〃｝用分組求和法，如果數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)正負(fù)相

間等特征時(shí)可能用并項(xiàng)求和法；

（5）倒序相加法:滿足金+。…“=A（A為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和.

三、數(shù)列與不等式等知識(shí)的交匯

[例5]（2021.浙江省紹興市高三質(zhì)量調(diào)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S“，

4S“=an-an+}+1,q=l.

（1）求?！昂蚐〃；

(2)若a=24，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為7；.記4=音+音r+#r+…+#-

n11115

B,=—+—+—+'"+—'求證：4+B<~,rteN*.

l□,2%2n

(1)V4S?=an-an+i+l,q=1,

/.4S]=6?。2+1，；?%=3,

當(dāng)〃22時(shí)，有4S,I=4MI+1,

.?.4S?-4S?+1=anan+l-an_yan,：.4a“=a?(arl+l-a,,,,),

?.?4w0,.?.a,+|_a,i=4

數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，

*=1+4(〃-1)=2(2〃-1)-1,

偶數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，

%“=3+4(n-1)=2-2n-l,

a=

?'*n271-1,nGZ*，

Jl+2n-l)n

,,□?——rl.

"2

(2)因?yàn)閍=2樂(lè)，所以J=22"T,7；=21+23+25+---+22n-'=|(4n-l),

%_22__94"_3(1_1]

石=2(4"_1)2(4"+-)=2(4?-l)(4n+'-l)=4-.

25

/2=i時(shí)，A=g,B[=1,4+4<萬(wàn).

443(1113(11)3f1T)

〃之2時(shí)，7ruJ+/|jr7r百

=-3n---1------i----I、=--i----3-----i------<—i

2134,,+|-1)224,,+1-12,

B”=1+J+3++++-+^」]=2」<2.

2n\2)123JkH-1n)n

A)+4+紇<5，rtGN*

應(yīng)對(duì)策略

數(shù)列與不等式的交匯問(wèn)題主要有數(shù)列不等式的證明、比較大小、數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)、恒

成立問(wèn)題，不等式的證明一般是把所給數(shù)列放縮為可以求和的數(shù)列，求和后再利用不等式

知識(shí)證明，比較大小、數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)、恒成立問(wèn)題，常利用數(shù)列（或函數(shù)）的單調(diào)性

求解，若卜沁…則為最大；若歸"i則&最小.

an^an-\,1：

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2021.江蘇省南通市高三一模）

5.已知等差數(shù)列｛4｝滿足%+2”,用=3〃+5.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列［」一］的前〃項(xiàng)和為S“.若V〃eN*,5，＜-萬(wàn)+奴儀為偶數(shù)），求義的值.

3,4+1J

答案:（1）an=n+l；（2）4=2.

（1）在已知式中令〃=1和〃=2,可解得為和公差d,得通項(xiàng)公式小;

（2）由裂項(xiàng)相消法求得和S“，得出S”的范圍后，可由不等式恒成立得出X的不等關(guān)系,

求得其范圍，從而得結(jié)論.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為&

a,+2a.=8,

因?yàn)??！?2。,用=3〃+5,所以｛-

a2+2〃3=11,

+2d=8,

即〔3q+5d=ll,

解得q=2,d=l,所以%=2+（〃-1）=〃+1.

經(jīng)檢驗(yàn)，勺=〃+1符合題設(shè)，

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=〃+1.

1111

（2）由（1）得，-----=,加-=~T7一一77-

anan+l（〃+1）（〃+2）〃+1〃+2

nGN*,S<—,

"2

2

因?yàn)閂〃wN*,Sn<—A+42,

i7

所以+4/1.弓，即（丸—2）2”J

因?yàn)?為偶數(shù)，所以4=2.

點(diǎn)評(píng)：方法點(diǎn)睛：本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，及數(shù)列不等式恒成

立問(wèn)題.其中數(shù)列求和的常用方法有：公式法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組（并項(xiàng)）

求和法，倒序相加法等等.

（2021.山東省荷澤市高三期末）

6.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和是S“=〃2.

（1）求數(shù)列｛?,｝的通項(xiàng)公式；

（2）記包=一二一，設(shè)色｝的前"項(xiàng)和是，，求使得7；>的最小正整數(shù)

4A+12021

答案：（1）an=2n-l；（2）1011.

（1）利用%=S“-S,I可得答案；

（2）求出瓦=二二一丁二利用裂項(xiàng)相消可得答案.

2〃一12〃+1

【詳解】(1)%=&=1,

當(dāng)〃22時(shí)，a“=Sn—%=—(〃—Ip=2“-1,

a\符合上式，

所以勺=2〃-1.

,211

(2)

"一(2〃-1)(2〃+1)2〃-12〃+1

H-------------=1-------

2n-l2〃+12/1+1

12020

令1一>----解--得〃>1010,

2n+l2021

所以最小正整數(shù)〃為1011.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列求和的方法技巧：

（1）倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和.

（2）錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和.

（3）分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和.

（4）裂項(xiàng)相消法：用于通項(xiàng)能變成兩個(gè)式子相減，求和時(shí)能前后相消的數(shù)列求和.

（2021.江蘇省南通市高三期末）

7.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，首項(xiàng)q=l,5?+1=2S?+1.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)a=〃％,記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為1,是否存在正整數(shù)〃，使得7；=2021?若存

在，求出〃的值；若不存在，說(shuō)明理由.

答案：（1）?=2"\（2）不存在,理由見(jiàn)解析.

（1）根據(jù)田=S"-S”以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得結(jié)果;

（2）利用錯(cuò)位相減法求出分別對(duì)〃=1,〃=2和討論等式是否成立可得答案.

【詳解】⑴由S,用=2S“+1①，知〃22時(shí)，S,=2S.T+1②,

①一②得4+i=2。,,（〃22）,

在①式中令“=1=4+“2=24+1=>。2=2,-=2,

???對(duì)任意〃eN",均有等=2,.?.{4}為等比數(shù)列，4=1X2"T=2"T,

(2)由(1)得。=〃-2"'

所以7；=l-2°+22+3-22+...+(〃—l).2"-2+〃.2"T,

所以27；=l-2i+2?22+…+5-2)-2"-2+(八一i).2"T+〃-2",

所以—7；=1+2+2?+…+2”T一〃-2"=1；)-+2"=2"-1_〃-2”，

所以7；=(〃-1)-2"+1,

令(W-1)?2"+1=2021=>(〃-1)?2"=2020,

當(dāng)〃=1和〃=2時(shí)，等式顯然不成立；當(dāng)〃23時(shí)，方程化為5-1>2"-2=505,左邊為偶

數(shù)，右邊等于505為奇數(shù)，等式也不成立，故不存在正整數(shù)〃，使得7；=2021成立.

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用用=S“M-S”求出通項(xiàng)公式，根據(jù)錯(cuò)位相減法求出7；是解題關(guān)鍵.

(2021.江西宜春市高三期末)

8.已知等差數(shù)列｛%｝,且%=5,$5=15,首項(xiàng)為1的數(shù)列也｝滿足2%4=瓦《用

(1)求數(shù)列｛氏,｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和S”；

(2)求數(shù)列出｝前〃項(xiàng)和&

答案：(1)a?=n,5,,=號(hào)2(2)(=4—崇?

(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為。，結(jié)合%=5,S.5=15列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，

求出首項(xiàng)和公差，可得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式及其前〃項(xiàng)和s.；

(2)先求得上=上4(〃21),得到［%］是包=1為首項(xiàng)，工為公比的等比數(shù)列，可得

數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式：5=3,再用錯(cuò)位相減法可得數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和小

【詳解】(1)依題意，設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為△

因?yàn)镾5=5q=15,所以《=3,故"=四二?=1.

故%=%+(〃-3)1=〃，=~(/y-1)

⑵依題意，2%4=3用，A±L=1A(?>I)

n+\In

所以1%］是4=1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，組=口■『，從而”=

"J12n⑶

123n-\n

??

=F2°+—21F+F22+,+2"-之+2〃_]

1123n-\n

/二喳+初+初+…+產(chǎn)+吩

T

1nn-n+2

立N+N+..?_|-------------—=2-----

22'222〃一|T2”2"

"+2

所以（=4—

2"-'

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式、等比數(shù)列前〃項(xiàng)

和公式、錯(cuò)位相減求和，綜合性強(qiáng)，難度中檔.“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難

點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn):

（1）掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)

的積構(gòu)成的新數(shù)列）；

（2）相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號(hào)；

（3）求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；

（4）最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以

（2021.豫南九校高三11月聯(lián)考）

9.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃“｝,滿足azaFl,熱是12al與5al的等差中項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)2=+（一）””求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S.

(%-2)(%-1)

1n2

1-.4—,n=2k

2n+l-12

答案：（1）凡=2"3；（2）S,,=,

\-n1

,n=2k-\

I22n+,-l

（1）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解出公比q,即可求出通項(xiàng)公式;

（2）求得2=不工-不；工+（-1）-〃，對(duì)〃分奇偶項(xiàng)討論，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和.

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,

因?yàn)椤?是124i與5%的等差中項(xiàng)，

所以2a4=12q+54d,解得d=4或/=-不（舍去）,

因?yàn)閿?shù)列｛4｝為正項(xiàng)數(shù)列，所以4＞。，所以4=2,

因?yàn)閍2a4=1，所以d=l，

又因?yàn)閍”>0,所以的=1,

所以a“=%q"3=2"7.

(2)由(1)得a“=2"-3,所以4M=2向,

因?yàn)?院￡立一)+(可"所以

,2用(2"(11

h=------------r+(-11)V(?n=-------------+(-1)V(?ri---------；----F(z-11)V?n

(2,,+|-2)(2,[+|-1)((2"-1)(2,,+|-1)[2"-12,,+1-1''

所以S“=U(g_g)+(3W/..+(^7_^J^y)+[_]+2_3+4_5+_+(-l)”T，

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，S?=l--!—+^,/?eN\

2—12

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，=1-=J--^-=^-7^-,J,neN".

z—11ZJZ-1ZZZ-1

n

-+—,n=2k

12

所以s"二:

1

,n=2k—\

22n+l-l

點(diǎn)評(píng)：（1）等差（比）數(shù)列問(wèn)題解決的基本方法：基本量代換；

（2）數(shù)列求和的方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法.

（2021.浙江省紹興市高三期末）

10.已知正項(xiàng)數(shù)列｛為｝、｛2｝,記數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S.，若%+4=?2s“+%=1,

應(yīng)-她「5+1）殳1=0

（1）求數(shù)列｛4｝、也｝的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列｛2a,Q“｝的前〃項(xiàng)和Ta.

答案：（1）%=5，勿=等；（2）7；=:〃+1

（1）由〃=1求得q,再凰4,然后由。向=5,用-5.得到數(shù)列僅“｝的遞推關(guān)系，知其為等

比數(shù)列，從而得通項(xiàng)公式，由4的遞推關(guān)系得〃％=（〃+1應(yīng)一，用累乘的方法求得/；

（2）用錯(cuò)位相減法求和T..

|4

【詳解】(1)由題意知：2SI+q=2%+%=1,4=§,.?.4=§—q=1,

,/25.+。“=1,25,用+%+|=1

…11

??=a“=4=§=>%=3

又???（2+如〉H-（?+1）%]=。也>o

bbn+ln3.n+l

.?.必=(〃+1)%=>昔?產(chǎn)b?;="=三一（白也適合）,

如hn-2h\nn—\

（2）.北。也=今?

234〃+1

-+—+—+-■-+

332333"

23n〃+1

=—+—+?■?+—+

32333"

.1=5__1__n+1

**11-4-4-3）,_|-2-3"'

點(diǎn)評(píng)：本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，累乘法求通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求和.數(shù)列求和

的常用方法：

設(shè)數(shù)列｛/｝是等差數(shù)列，｛勿｝是等比數(shù)列，

（1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；

（2）錯(cuò)位相減法：數(shù)列伍/〃｝的前“項(xiàng)和應(yīng)用錯(cuò)位相減法；

1,

（3）裂項(xiàng)相消法；數(shù)列｛r-----｝（攵為常數(shù)，4NO）的前〃項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法；

4%?

（4）分組（并項(xiàng)）求和法：數(shù)列｛“4+4〃｝用分組求和法，如果數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)正負(fù)相

間等特征時(shí)可能用并項(xiàng)求和法;

（5）倒序相加法：滿足冊(cè)=A（A為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和.

（2021.陜西省咸陽(yáng)市高三模擬）

11.設(shè)數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，已知4=3,%=9.

（I）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

,3

(II)設(shè)a=,求5+b,T----Fa02i.

44+1

2021

答案:(I)%=3〃；(II)

6066

（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求公差，再求通項(xiàng)公式;（2）由（1）可知

再利用裂項(xiàng)相消法求和.

3〃?3(〃+1)3〃,(幾+1)

【詳解】（I）設(shè)等差數(shù)列&｝的公差為&則由題意有%=%+2d,

T=3,

/.an=3+3(〃-1)=3n,

3n-3(n+1)3〃?(〃+1)3(〃n+\J

___也

4+2+4+，,?+^2021=-

2)(23j(20212022)\3(2022J6066

(2021四川省蓉城名校聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考)

12.已知數(shù)列｛。.｝的首項(xiàng)q=2,若向量a=（a“+],2）,,〃wN*,且￡_1_兒

（1）求數(shù)列｛6,｝的通項(xiàng)公式

（2）已知數(shù)列也｝,若a=唾2?！埃髷?shù)列｛。a｝的前〃項(xiàng)和S,.

答案：（1）“,=2"；（2）S?=（n-l）x2"+l+2.

（1）由向量垂直可得數(shù)量積等于0,即。e=2可，數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等

比數(shù)列，即可得數(shù)列｛6,｝的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）可得"=〃，所以%d=〃x2",利用乘公比錯(cuò)位相減即可求和.

【詳解】（1）由￡_!_〃，則—2々〃=0,〃eN*,

所以。〃+1=2%,NGN*

數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

則%=2X2"T=2",

（2）由d=log?4=n,

則。也=〃x2",neN*

由5?=1x2+2x22+3x2?+…-1)X2"T+〃x2”①

由①x2,Pj^25?=lx22+2x23+3x24+---+(n-l)x2,,+nx2,,+l(2)

由①一②可得，-5“=1x2,+22+23+…+2"—〃x2"i

2(1-2")

-nx2,,+l=(l-n)x2,,+l-2,

1-2

則

S,=(〃—1)X2"T+2,NEN\

所以數(shù)列｛ae,｝的前〃項(xiàng)和S“=（〃-1）x2"7+2.

點(diǎn)評(píng)：方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法

（1）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列僅“｝的前〃項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同

一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和即可以用倒序相加法；

（2）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積

構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來(lái)求；

（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些項(xiàng)可相互抵消，

從而求得其和；

（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列

組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；

（5）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和，形如

%=（一1）"/（〃）類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.

（2021.遼寧省大連市高三期末）

3

13.在①5“-析+l（〃eN*,左為常數(shù)），②a“+j=a“+d（〃eN,",d為常數(shù)），③

。，用=4a"（4>°，〃wN*M為常數(shù)）這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中

的數(shù)列存在，求數(shù)列，三一卜〃wN*）的前10項(xiàng)和；若問(wèn)題中的數(shù)列不存在，說(shuō)明理由.

問(wèn)題：是否存在數(shù)列｛%｝（〃￡”），其前〃項(xiàng)和為S,,,且q=l,%=4,?注：

如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

答案：答案見(jiàn)解析

選擇①，由S,求出外和生，常數(shù)上不存在，數(shù)列不存在；

選擇②，得數(shù)列為等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式?！埃昧秧?xiàng)相消法結(jié)果；

選擇③，得數(shù)列為等比數(shù)列，從而｛」一｝也是等比數(shù)列，由等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式可得

結(jié)論.

【詳解】解.如果選擇①，由'°

口3=\一工，

\=--k+\

即|4

27

4=上-3"3+2%

4

4

解得

k=-'

4

該方程組無(wú)解，

所以該數(shù)列不存在.

如果選擇②/M=4+d（neN*,d為常數(shù)）,即數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，

由％=1,q=4,可得公差1=牝幺=9,

所以4=；〃—萬(wàn)

…1112rli1111）5

所以----1------------F…H-----------=---------------1----------------F???4----------------=一

aa

axa2iow31a1a2a2a3aiQanJ8

如果選擇③>0,“eN*,q為常數(shù)），即數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，

由6=1,.3=4,可得公比q=J^=2,

11=%〃》

所以

44+1

所以數(shù)列」一是首項(xiàng)為公比其的等比數(shù)列,

IA4+J2

2

所以其前10項(xiàng)和為]

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查由前〃項(xiàng)和S“求通項(xiàng)公式％,解題時(shí)要注意

4=S“-S,i(〃N2)，而4=5,是兩種不同的求法，如果要求通項(xiàng)公式，注意最后的結(jié)

論能否統(tǒng)一，否則寫成分段函數(shù)形式.

(2021.浙江省紹興一中高三期末)

14.已知公差為2的等差數(shù)列｛%｝,且％,%，牝成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛|%|｝的前〃項(xiàng)和為S“，求數(shù)列｛彳｝的最小項(xiàng).

29

答案：(1)Ctn=2/?-11；(2)最小項(xiàng)為第7項(xiàng)為~y.

(1)由等比中項(xiàng)的性質(zhì)以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)〃W5時(shí)，由以|=11-2〃得出S“，由二次函數(shù)的性質(zhì)得出數(shù)列｛手｝的最小項(xiàng)，當(dāng)

〃>6時(shí)，由4=2〃-11得出S“結(jié)合導(dǎo)數(shù)數(shù)列的最小項(xiàng).

【詳解】(1)由題知：1=%?%，則(12+aj2=q.(%+8)得:a,=-9

即an=q+(n—V)d=2n-11

(2)當(dāng)〃<5時(shí):同=11-2〃，S”=9+1；2.x.=]0九一〃之

則&=.10"-2=10—即〃=5時(shí)，f—"I=5

nn\n7min

1+2wH2

當(dāng)“26時(shí)，an=2n-U,S?Ss+~x(n-5)n-10n+50,則2=〃+留—10

2