任意角三角函數(shù)Microsoft PowerPoint 幻燈片

三角函數(shù)一輪復習8.17---8.18

k·360°＋α(k∈Z)

象限角一.角的概念×××××√l例2半徑長

圓心角

負

零．

|α|r

二、弧度制例3.如果一扇形的周長為20cm，問扇形的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形的面積最大？解：3.三角函數(shù)的定義銳角三角函數(shù)正弦余弦正切推廣任意角三角函數(shù)正弦余弦正切余割余切正割類比定義在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？

復習回顧ObaMPc1.2.1任意角的三角函數(shù)3.任意角的三角函數(shù)定義(1)設α是一個任意角，α的終邊上任意一點(非頂點)P的坐標是(x，y)，它與原點的距離為r，則sinα＝__，cosα＝__，tanα＝__.xoP(x,y)1.三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)()→角（其弧度數(shù)等于這個實數(shù)）→三角函數(shù)值（實數(shù)）實數(shù)【判斷】√2.一個任意角的三角函數(shù)只與這個角的終邊位置有關，與點P（x，y）在終邊上的位置無關.（）【判斷】√3.任意角的三角函數(shù)的定義揭示了三角函數(shù)值呈周期性變化，即角的終邊繞原點每旋轉一周，函數(shù)值重復出現(xiàn).（）5.可將求任意角的三角函數(shù)值，轉化為求0～（或0°～360°)范圍內的三角函數(shù)值.（）

4.終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等（）【判斷】√√√x軸

原點

正弦線

余弦線

正切線．例4函數(shù)y=++

的值域是()(A){－1，1}(B){－1，1，3}(C){－1，3}(D){1，3}C【思路】首先作出單位圓，然后根據(jù)各問題的約束條件利用三角函數(shù)線畫出角x滿足條件的終邊范圍．【變式訓練】(甲)再見R

R

(2)三角函數(shù)在各象限的符號是：sinαcosαtanαⅠ_________Ⅱ_________Ⅲ_________Ⅳ_________圖14．三角函數(shù)線如圖1所示，正弦線為

；余弦線為

；正切線為

.＋＋＋＋－－－－＋－＋－MPOMAT叫做角α的正弦，記作sinα，即sinα=；叫做角α的正切，記作tanα，即tanα=任意角的三角函數(shù):叫做角α的余弦，記作cosα,即cosα=；它們只依賴于α的大小，與點P在α終邊上的位置無關。終邊相同的角，三角函數(shù)值分別相等。角α的其他三種函數(shù)：角α的正割：角α的余割：角α的余切：

我們把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)．下面我們研究這些三角函數(shù)的定義域：xoP(x,y)三角函數(shù)定義域RR比值不隨P點位置的改變而改變(5)－300°角與60°角的終邊相同．(6)若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，則A＝B.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(6)×2．點P(sin2015°，cos2015°)位于第________象限．答案三知識梳理基礎自查1．角的定義：由一條射線繞著端點旋轉而成，其中旋轉開始時的射線叫始邊，射線的端點叫頂點，正角的形成是由逆時針旋轉，負角的形成是由

旋轉．當射線不轉時也形成一個角，這個角是

．順時針零角1．角的概念(1)象限角：角α的終邊落在

就稱α為第幾象限的角，終邊落在坐標軸上的角不屬于任何象限．(2)終邊相同的角：

．(3)與α終邊相同的角的集合為____________________________．第幾象限兩角的終邊重合{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}(4)各象限角的集合為Ⅰ象限：_____________________________________，Ⅱ象限：__________________________________________，Ⅲ象限：_____________________________________________，Ⅳ象限：

．{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}2．弧度制(1)什么叫1度的角：______________________________________________．(2)什么叫1弧度的角：___________________________________________．把圓周分成360份，每一份所對的圓心角叫1°的角弧長等于半徑的圓弧所對的圓心角叫1弧度的角(3)1°＝

弧度；1弧度＝

度．(4)若扇形的半徑為r，圓心角的弧度數(shù)為α，則此扇形的弧長l＝

，面積S＝

＝

.|α|·r第1講三角函數(shù)的概念1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化．3．理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．5．任意角的三角函數(shù)：P(x，y)為角α終邊上的任一點，它與原點的距離為r(r＞0)．請?zhí)钕卤恚?．三角函數(shù)值在各象限的符號

由三角函數(shù)的定義，可將三角函數(shù)值的符號簡記為：一全正，二正弦，三正切，四余弦．7．三角函數(shù)線三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線聯(lián)動思考想一想：終邊相同的角相等嗎？它們的大小有何關系？答案：終邊相同的角不一定相等，它們相差2π的整數(shù)倍．議一議：銳角是第一象限角，第一象限角是銳角嗎？小于90°的角是銳角嗎？答案：第一象限角不一定是銳角，如390°，－300°都是第一象限角，但它們不是銳角．小于90°的角也不一定是銳角，如0°，－30°，都不是銳角．1.角的概念的推廣(1)正角、負角和零角:一條射線繞頂點按①逆時針

方向旋轉所形成

的角叫做正角,按②順時針

方向旋轉所形成的角叫做負角.如果射線知識梳理沒有作任何旋轉,那么也把它看成一個角,叫做③零角

.(2)象限角:以角的頂點為坐標原點,角的始邊為x軸的正半軸,建立平面直

角坐標系,這樣,角的終邊在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限的角.

終邊落在坐標軸上的角(軸線角)不屬于任何象限.(3)與角α的終邊相同的角的集合為④

{β|β=k·360°+α,k∈Z}

.2.角的度量(1)1弧度的角:長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.(2)弧度制與角度制的關系:1度=⑤

弧度(用分數(shù)表示),1弧度=⑥

度(用分數(shù)表示).(3)弧度制下的弧長公式:l=⑦|α|r

.(4)弧度制下的扇形面積公式:S=

rl=

|α|r2.3.任意角的三角函數(shù)的定義設角α的終邊上任意一點的坐標為P(x,y)(除原點),點P到坐標原點的距離

為r(r=

),則sinα=⑧

,cosα=⑨

,tanα=⑩

.4.三角函數(shù)的定義域在弧度制下,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域分別是

R

、

R

、

α

α≠

+kπ,k∈Z

.5.三角函數(shù)線設角α的終邊與單位圓交于點P,過點P作PM⊥x軸于點M,則有向線段MP

叫做角α的正弦線,有向線段

OM

叫做角α的余弦線;過點A(1,0)作單位圓的切線交角α的終邊或其反向延長線于點T,則有向線段AT叫做角α的

正切

線.6.三角函數(shù)的符號規(guī)律第一象限全“+”,第二象限正弦“+”,第三象限正切“+”,第四象限余

弦“+”.簡稱:一全、二正、三切、四余.7.同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系:

sin2α+cos2α=1

;(2)商數(shù)關系:

=tanα

.8.誘導公式正弦、余弦、正切函數(shù)的值在各象限的符號：（1）正弦函數(shù)值的符號與y的符號相同；余弦函數(shù)的符號與x的符號相同；（2）三角函數(shù)正值口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦．組數(shù)一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α

-α

+α正弦

sinα

-sinα

-sinα

sinα

cosα

cosα余弦

cosα

-cosα

cosα

-cosα

sinα

-sinα正切

tanα

tanα

-tanα

-tanα

口訣函數(shù)名不變,符號看象限函數(shù)名改變,符號看象限1、任意角的概念角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形。OABα2、正角、負角、零角按逆時針方向旋轉所成的角叫正角；按順時針方向旋轉所成的角叫負角；一條射線沒有作任何旋轉而形成的角叫零角。3、(1)象限角當角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角。3、(2)軸線角當角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，如果角的終邊落在坐標軸上，這時這個角不屬于任何象限，我們稱之為軸線角。4、終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合：終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同；終邊相同的有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍。象限角的表示第一象限第二象限第三象限第四象限解：（1）因為當α=0時，x=r，y=0.所以例3.求下列各角三角函數(shù)值：（1）0；（2）π；（3）sin0=0，cos0=1，tan0=0，（2）因為當α=π時，x=－r，y=0.所以sinπ=0，cosπ=－1，tanπ=0，（3）因為當α=時，x=0，y=－r.所以sin=－1，cos=0，tan不存在5、弧度制1、1弧度的角3、換算公式2、弧長公式規(guī)定：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；問題：一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角等于1弧度嗎？為什么？演示6、弧度數(shù)一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是零；角的概念推廣后，無論是用角度制還是用弧度制，都能在角的集合與實數(shù)R之間建立一種一一對應的關系。用弧度制表示角時，不能與角度制混用。典型例題

各個象限的半角范圍可以用下圖記憶，圖中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分別指第一、二、三、四象限角的半角范圍；例1.若α是第三象限的角，問α/2是哪個象限的角?2α是哪個象限的角?例題示范終邊相同的角一定相等第一象限的角都是銳角銳角都是第一象限的角小于90°的角都是銳角例1(1)下列各命題正確的是C例題示范例4(3)已知集合Ｍ＝{第一象限角},N＝{銳角},P＝{小于90°角},則下列關系式中正確的是D

考向一象限角的判定【答案】

①四②二③2α是第一或第二象限角或y軸非負半軸上的角4．sin2·cos3·tan4的值(

)A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案A遷移發(fā)散1．如果sinα·tanα＜0，且sinα＋cosα∈(0,1)，那么角α終邊在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限