任意角三角函數(shù)公開課

1.2.1任意角的三角函數(shù)

東升西落照蒼穹，影短影長角不同。晝夜循環(huán)潮起伏，冬春更替草枯榮。新課引入日出日落，冬去春來，自然界中存在許多“按一定規(guī)律周而復始”的現(xiàn)象，我們把它們稱為周期現(xiàn)象，用怎樣的數(shù)學模型來刻畫周期現(xiàn)象呢？周期現(xiàn)象與周期運動有關(guān)，一個簡單的例子就是：圓周上一點的旋轉(zhuǎn)運動.請看下面實例.新課引入問題探索問題1：如圖，摩天輪的半徑為10m，中心O離地面為20m，現(xiàn)在小明坐上了摩天輪，并從點P開始以每秒1度的速度逆時針轉(zhuǎn)動，當轉(zhuǎn)動30秒后小明離地面的高度是多少？.10m20m300P1M問題探索問題2：設(shè)轉(zhuǎn)動度后小明離地面的高度為h,

為00～900,試著寫出h和的關(guān)系式。P1問題3：當推廣到任意角后，你覺得上述關(guān)系式還能適用嗎？MP2在初中階段,我們對在直角三角形中銳角的三角函數(shù)定義如下：cba①正弦函數(shù)：②余弦函數(shù)③正切函數(shù)：BAC┏復習回顧你能用直角坐標系中角的終邊上點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎？我們先在平面上建立一個直角坐標系xoy,將銳角α的頂點放在坐標原點,始邊放在x軸的非負半軸上,設(shè)OP為它的終邊,如右圖：xyo知識建構(gòu)用坐標形式表示銳角三角函數(shù):y答案P（x,y)Ox的終邊M設(shè)點P(x,y)是銳角α終邊上的任意一點，記OP=r（r≠0）則：【探究】比值是否因為P(x,y)點在終邊上的位置發(fā)生變化而變化？結(jié)論:三個比值都不會隨點P在α終邊上的位置變化而改變.xyoPM

的終邊r=1當點P(x,y)滿足x2+y2=1時,正弦、余弦、正切函數(shù)值會有什么樣的結(jié)果？xA(1,0)yOP(x,y)αM結(jié)論：

銳角三角函數(shù)可以用終邊與單位圓的交點的坐標來表示。yxO設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y)，則:y

叫做α的正弦x

叫做α的余弦叫做α的正切推廣——任意角三角函數(shù)的定義任意角三角函數(shù)的定義:正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)。

————三角函數(shù)定義域：R定義域：R定義域：如何求α角的三角函數(shù)值?關(guān)鍵：

求出α角的終邊與單位圓的交點。思考:例1：求的正弦,余弦和正切值.ABO練習：摩天輪有個美麗的傳說，當摩天輪轉(zhuǎn)到最高點時許下的愿望一般能實現(xiàn)，你能求出小明第一次到達最高點許愿時轉(zhuǎn)過的角

的正弦、余弦、正切值嗎?問題回顧問題2：設(shè)轉(zhuǎn)動度后小明離地面的高度為h,

為00～900,試著寫出h和的關(guān)系式。.P1問題3：當推廣到任意角后，你覺得上述關(guān)系式還能適用嗎？PM20m10m角轉(zhuǎn)到第二象限時：PM20m10m角轉(zhuǎn)到第三象限時：當角轉(zhuǎn)到第四象限的時候，同學們可以證明，該式也一定成立?，F(xiàn)代三角學的確認

直到十八世紀，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始終被認為是已知圓內(nèi)與同一條弧有關(guān)的某些線段，即三角學是以幾何的面貌表現(xiàn)出來的，這也可以說是三角學的古典面貌．三角學的現(xiàn)代特征，是把三角量看作為函數(shù)，即看作為是一種與角相對應的函數(shù)值．這方面的工作是由歐拉作出的．1748年，歐拉發(fā)表著名的《無窮小分析引論》一書，指出：“三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值”．具體地說，任意一個角的三角函數(shù)，都可以認為是以這個角的頂點為圓心，以某定長為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點P向另一邊作垂線PM后，所得的線段OP、OM、MP（即函數(shù)線）相互之間所取的比值．若令半徑為單位長，那么所有的六個三角函數(shù)又可大為簡化．

歐拉的這個定義是極其科學的，它使三角學從靜態(tài)地只是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來，使它有可能去反映運動和變化的過程，從而使三角學成為一門具有現(xiàn)代特征的分析性學科．正如歐拉所說，引進三角函數(shù)以后，原來意義下的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進行自由的運算．一切三角關(guān)系式也將很容易地從三角函數(shù)的定義出發(fā)直接得出．這樣，就使得從希帕克起許多數(shù)學家為之奮斗而得出的三角關(guān)系式，有了堅實的理論依據(jù)，而且大大地豐富了．嚴格地說，這時才是三角學的真正確立．

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