小學(xué)奧數(shù)教程-分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)計(jì)算 教師版 全國(guó)通用（含答案）

分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)計(jì)算

勖腥翱等能

本講知識(shí)點(diǎn)屬于計(jì)算大板塊內(nèi)容，其實(shí)分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)很大程度上是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過程，可以分為

觀察、改造、運(yùn)用公式等過程。很多時(shí)候裂項(xiàng)的方式不易找到，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，或者先進(jìn)行一部分

運(yùn)算，使其變得更加簡(jiǎn)單明了。

本講是整個(gè)奧數(shù)知識(shí)體系中的一個(gè)精華部分，列項(xiàng)與通項(xiàng)歸納是密不可分的，所以先找通項(xiàng)是裂項(xiàng)的

前提，是能力的體現(xiàn)，對(duì)學(xué)生要求較高。

分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)

一、“裂差”型運(yùn)算

將算式中的項(xiàng)進(jìn)行拆分，使拆分后的項(xiàng)可前后抵消，這種拆項(xiàng)計(jì)算稱為裂項(xiàng)法.裂項(xiàng)分為分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)和整

數(shù)裂項(xiàng)，常見的裂項(xiàng)方法是將數(shù)字分拆成兩個(gè)或多個(gè)數(shù)字單位的和或差。遇到裂項(xiàng)的計(jì)算題時(shí)，要仔細(xì)的

觀察每項(xiàng)的分子和分母，找出每項(xiàng)分子分母之間具有的相同的關(guān)系，找出共有部分，裂項(xiàng)的題目無(wú)需復(fù)雜

的計(jì)算，一般都是中間部分消去的過程，這樣的話，找到相鄰兩項(xiàng)的相似部分，讓它們消去才是最根本的。

(1)對(duì)于分母可以寫作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即一!一形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即

axb

那么有」一=」一d-3

a'xbb-aab

(2)對(duì)于分母上為3個(gè)或4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：

--------1--------,------------1-----------形式的，我們有：

〃x(〃+1)x(〃+2)nx(〃+l)x(〃+2)x(〃+3)

〃x(〃+l)x(〃+2)2，7x(〃+l)(〃+1)(〃+2)

I=lt11J

〃x(〃+1)x(〃+2)x(及+3)3〃x(〃+1)x(〃+2)(幾+1)x(及+2)x(〃+3)

裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征：

(1)分子全部相同，最簡(jiǎn)單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將X

提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。

(2)分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”

(3)分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。

二、“裂和”型運(yùn)算:

常見的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式:

a+bab11crb2ab

(1)------=-------+------=-+—⑵*=--------+---------=-----F-

axbaxbaxbbaaxbaxbaxbba

裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比：

裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的“，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的,

同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。

【例11-----+------+------+------+------=

1x22x33x44x55x6

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】美國(guó)長(zhǎng)島，小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

11115

【解析】原式=+1_1+…+

235~61-6~6

提醒學(xué)生注意要乘以（分母差）分之一，如改為：計(jì)算過程就要變?yōu)椋?/p>

1x33x55x77x9

11111

------1-------+------+------1-1X—

1x33x55x77x9I92

5

【答案】

6

11

【鞏固】-------------1---------------F.......+-------------

10x1111x1259x60

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】2星【題型】計(jì)算

原式=(工一口+己_工)+……

【解析】

101111125960106012

1

【答案】

n

2222

【鞏固】-I-----------1-------1------------1---------=

10x99x85x44x3一

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】2星【題型】計(jì)算

原式=2乂仕_11111117

【解析】-------F???H-------5+3~4=2x1_1

910894310L5

【答案】7

15

111

【例21—I----------1-------------------F.........H----------------------------

11+21+2+31+2+…+100

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

【解析】本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分?jǐn)?shù)裂差型裂項(xiàng)”問題。此類問題需要從最簡(jiǎn)單

的項(xiàng)開始入手，通過公式的運(yùn)算尋找規(guī)律。從第一項(xiàng)開始，對(duì)分母進(jìn)行等差數(shù)列求和運(yùn)算公式的

代入有；=212

-J

(l+l)xlTTPT+2(1+2)X2-2^3

22

一222+^=2x(1-4=出=段

原式=----+-----+-----+

1x22x33x4100x101101101101

【答案】

101

1

[例3]------+----------1--------H-------F

1x33x55x799x101

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】2星【題型】計(jì)算

111111111、50

【解析】----+----+-----+???+_______—__x(z1----1----------F***H----------------)=------

1x33x55x799x101233599101101

50

【答案】

101

111

【鞏固】計(jì)算：25x------+--------4---------+???+

1x33x55x723x25

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】迎春杯，初賽，六年級(jí)

原式=25xgx[l-1111112524s

【解析】=25XIT=-x—=12

335232525225

【答案】12

空+空_+衛(wèi)251251

【鞏固】+...+--------------------F--------------------

4x88x1212x162000x20042004x2008

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】臺(tái)灣，小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，初賽

【解析】原式="lx1

-----1------1-----F???H1----------

161x22x33x4------500x501501x502

251

---x-2+2_3+3_4+，，，+

16501502

251501501?21

165023232

21

【答案】15—

32

324

【鞏固】計(jì)算:---------1-----------1------------F三+3+—+，=

2x55x77x1111x1616x2222x2929

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

^,,11111111111111

【解析】用、-------卜--------卜---------卜---------+----------+-----------T-----=一

2557711111616222229292

【答案】

2

1

[例4]計(jì)算:1±±±_L_L_L_LX

(8+24+48+80+120+168+224+288)128.

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】101中學(xué)

【解析】原式=('+,+’+…+—?—)x128

2x44x66x816x18

1111111、…

=—x(Z------1------F—F-------)x128

224461618

=(———)x64

218

=28-

【答案】28-

9

11111111

【鞏固】—I-------1--------1-------1--------1-------1-------1------=

612203042567290

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級(jí)

【解析】根據(jù)裂項(xiàng)性質(zhì)進(jìn)行拆分為：

11111±11

++++十+

6-2

203042567290

+++++++

XX44XX66XX88X9XO

12

=

-O5-

2

5-

111111

【鞏固】+一+-4--4--+—+—=

3610152128

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】6星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級(jí)，決賽

［解■析］原式=141-----------H----------------------F,?,4-------------------------------------

1+21+2+31+2+3+41+2+3+4+5+6+7

222

+-------+--------+?H---------

2x33x47x8

【答案】-

4

【鞏固】計(jì)算：11=

2612203042567290----------------

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級(jí)，決賽

原式=，_（」_+111

【解析】-------+--------+--------++-------+--------4-)

2「2x33x44x55x66x77x88x99x10

【答案】-

10

1111

【鞏固】—+—+—+-------1--------=

104088154238

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

.1111I

【解析】原式=-----1-----------1-------------1---------------1-------------

2x55x88x1111x1414x17

1

+8-n+TT-i4+i4-r7

【答案】

34

11

[例5]計(jì)算:-----++---------+…+

1x3x53x5x75x7x92001x2003x2005

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】華杯賽，總決賽，二試

【解析】

2001x20032003x2005

【答案】

12048045

7.

‘X4.5+0.16

1111

[例6]18x—I------1--------H-------

13」-3.75x3.23153563

3

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)校

7916-1

—x—I--------

11

【解析】原式=_運(yùn)23一x------F-----+------+------

1x33x55x77x9

13--3xl.25x4x0.8

3

71

-Zixlxfl-1+1」++---

13--122133579

3

4631823

-X—X—X——

2442936

23

【答案】

36

〃Jc1J”1

[例7]計(jì)算:1-+2-+3—+4—+…+20——

261220420

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】小數(shù)報(bào)，初賽

1111

【解析】原式=(1+2+3+…+20)+--j------1------H---------!-???+------

261220420

…11111

=210+-----+------+------+------+…+

1x22x33x44x520x21

…?1111111

=210+1—H---------1--------+???-<---------

223342021

=210+1--=210—

2121

【答案】21()220

21

【鞏固】計(jì)算：2008—+2009—+2010—+2011—+2012—=

1854108180270—

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí)，1試

【解析】原式二2008+2009+2010+2011+2012+,+'+—^—+――+—?—

3x66x99x1212x1515x18

11111

=2010x5+-x-------+---------+..?+——

9122356

=10050—

54

【答案】10050工

54

11224

【鞏固】計(jì)算:—+—+—+—+——=______

26153577

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí)

13-25-37-511-7

【解析】原式='+=+J2+--------1----------

26153577

11111111

-2+2_3+3-5+5-7+7-11

,110

=1=—

1111

【答案】號(hào)

【鞏固】計(jì)算：-+-+—+—+—+—+—

315356399143195

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

【解析】分析這個(gè)算式各項(xiàng)的分母，可以發(fā)現(xiàn)它們可以表示為：3=22—1=1x3,15=42-1=3X5,

195=142-1=13x15,

1111111

9x1111x1313x15

1315J

【答案】

15

■也由省1511192997019899

【鞏(固】Vj—H------1-------1-------1-------1■???+9702+9966

26122030

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】四中

【解析】

9900

100

【答案】98—

100

111

[例8]---------------1-----------------F???H---------------

1x2x32x3x47x8x9

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

【解析】

144

35

【答案】

U4

【鞏固】計(jì)算:---------------1--------------+???H------------------------

1x2x32x3x498x99x100

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

原式二」x(―---1111

【解析】----------1------------------------1----------1-,,?+99x100)

21x22x32x33x43x498x99

lx(J_―——)=L”竺4949

21x299x1002990019800

4949

【答案】

19800

【鞏固】計(jì)算：—!—+—-—+——+——-——

1x3x52x4x63x5x720x22x24

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

【解析】原式=—!—+—!—H—+----!----+—-—+,,,+----!----

1x3x53x5x719x21x232x4x620x22x24

=-(―-—^)+-

41x321x2342x422x24

_40+65=28160+10465

―4832112—340032340032

_38625

―340032

340032

4444

【鞏固】1卜....11

1x3x53x5x793x95x9795x97x99

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

11、/11、11、/11、

【解析】—(z)+()++(z)+()

1x33x53x55x793x9595x9795x9797x99

113200

-1x397x99—9603

3200

【答案】

9603

9998971

【鞏固】1II,??I

1x2x32x3x43x4x599x100x101

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

99=100-1=100__i_=100___J_

【解析】

1x2x31x2x31x2x32x31x2x32x3

98=100—2=100_2=100__J_

2x3x42x3x42x3x42x3x42x3x43x4

97=100—3=100_3=100__J_...

3x4x53x4x53x4x53x4x53x4x54x5

]=100-99=100_99=100__1_

99x100x10199x100x10199x100x10199x100x10199x100x101100x101

100100100100111

原式—+++...+(z++...+)

1x2x32x3x43x4x599x100x1012x33x4100x101

=100x1x(1——---)=24—

22101002101101

【答案】24—

101

11111

[例9]+++?,?++

Ix2x3x42x3x4x53x4x5x66x7x8x97x8x9x10

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

一1，1111111

【解析】原式—X++???+

311x2x32x3x42x3x43x4x57x8x98x9x107

_______Mi

311x2x38x9xl0j2160

119

【答案】

2160

333

【鞏固】+++...........—■

Ix2x3x42x3x4x517x18x19x20

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

-J/111111

【解析】原式—3x[x(++...4-)]

31x2x32x3x42x3x43x4x517x18x1918x19x20

1________13x19x20-11139

-1x2x318x19x2。-18x19x20—6840

1139

【答案】

6840

【例S計(jì)算：高+―+…+多=---------.

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

【解析】如果式子中每一項(xiàng)的分子都相同，那么就是一道很常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的題目.但是本題中分子不相

同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2.相比較于2,4,6,……這一公差為2的等差數(shù)

列（該數(shù)列的第〃個(gè)數(shù)恰好為〃的2倍），原式中分子所成的等差數(shù)列每一項(xiàng)都比其大3,所以可

以先把原式中每一項(xiàng)的分子都分成3與另一個(gè)的和再進(jìn)行計(jì)算.

原式=3+2+3+4+…+3+16

1x2x32x3x48x9x10

111128

=3x--------1--------+???H----+---2---x---------------1--------十??.-1-----------------

1x2x32x3x48x9x101x2x32x3x48x9x10

11

+2x---+---+???+

2x33x49x10

也可以直接進(jìn)行通項(xiàng)歸納.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知分子的通項(xiàng)公式為2〃+3,所以

2〃+3232

_________________'______________I__________________再將每一項(xiàng)的與

〃x(〃+1)X(〃+2)(幾+1)x(拉+2)〃x(〃+l)x(〃+2)'

3

分別加在一起進(jìn)行裂項(xiàng).后面的過程與前面的方法相同.

23

【答案】—

15

571719、

【鞏固】計(jì)算:1155x（---------------1---------------F■■■+--------H----------)

2x3x43x4x58x9x109x10x11

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】迎春杯，初賽，五年級(jí)

571719

【解析】本題的重點(diǎn)在于計(jì)算括號(hào)內(nèi)的算式:-------H---------++---------F---------這個(gè)算式不同

2x3x43x4x58x9x109x10x11

于我們常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的地方在于每一項(xiàng)的分子依次成等差數(shù)列，而非常見的分子相同、或分子

是分母的差或和的情況.所以應(yīng)當(dāng)對(duì)分子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使之轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式.

觀察可知5=2+3,7=3+4,……即每一項(xiàng)的分子都等于分母中前兩個(gè)乘數(shù)的和，所以

1719

---------------1-----------------F

2x3x43x4x58x9x109x10x11

2+33+49+10

--------1--------+?..-1-------------------

2x3x43x4x59x10x11

=----------1------------1------------1----------F???H---------------1------------

3x42x44x53x510x119x11

111111

-----1------F???4-+-----1------1-,,?+

3x44x510x112x43x59x11

1111111111111、

——+———+...+——-------------------------------+■??+-------------F----------

4451043546810911J

色+*+9］衛(wèi)

332(533J55

所以原式=1155x」=651.

55

（法二）

上面的方法是最直觀的轉(zhuǎn)化方法，但不是唯一的轉(zhuǎn)化方法.由于分子成等差數(shù)列，而等差數(shù)列的

通項(xiàng)公式為a+其中d為公差.如果能把分子變成這樣的形式，再將。與分開，每一項(xiàng)都

變成兩個(gè)分?jǐn)?shù)，接下來就可以裂項(xiàng)了.

571719

--------r-------r,?,4-+---------

2x3x43x4x5------8x9x109x10x11

1+2x21+3x21+8x21+9x2

---------------1-----------------F,?-------------------1------------------

2x3x43x4x58x9x109x10x11

12x213x218x219x2

---------------1-----------------1-----------------1---------------F,?-------------------1--------------------1--------------------1------------------

2x3x42x3x43x4x53x4x58x9x108x9x109x10x119x10x11

1112222

---------------1---------------F???4-------------------1--------------------+-----1------1-???+----------4--------------

2x3x43x4x58x9x109x10x113x44x59x1010x11

1111

高）44510n]

J____1_2234131

12-226+3-n-4_226-55

所以原式二1155x—=651.

55

（法三）

本題不對(duì)分子進(jìn)行轉(zhuǎn)化也是可以進(jìn)行計(jì)算的:

---------------1----------------F???+----------------4-------------------

2x3x43x4x58x9x109x10x11

57[-L-自)+…十一j,11]

=—X+—X

2(2x33x4)2(3x4(8x99xl0jri,9x10lOxllJ

,191711

51/’75114+（1927）11191

=—X一5x----十??,4-21'9x10X--------------

22^3\<2~2卜毅4x5，一10x11

—X------------1---------------1---------------1---------1-------------------------X---------------

22x33x44x59x10210x11

5j__J___19__3j_

12+3-io-22()-55

31

所以原式=U55x——=651.

55

（法四）對(duì)于這類變化較多的式子，最基本的方法就是通項(xiàng)歸納.先找每一項(xiàng)的通項(xiàng)公式:

??=—2一(“=2,3,

,9)

n(n+1)(〃+2)

如果將分子2〃+1分成2〃和1,就是上面的法二：如果將分子分成〃和〃+1,就是上面的法一.

【答案】651

【鞏固】計(jì)算:--------------------1-----------------------1----------------------F???H-----------------------------

Ix2x4x52x3x5x63x4x6x710x11x13x14

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【難度】3星【題型】計(jì)算

【解析】觀察可知原式每一項(xiàng)的分母中如果補(bǔ)上分子中的數(shù)，就會(huì)是5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，所以可以先

將每一項(xiàng)的分子、分母都乘以分子中的數(shù).即：

52122

原式=------------+----------+--------------------------F,??+----------------------------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

現(xiàn)在進(jìn)行裂項(xiàng)的話無(wú)法全部相消，需要對(duì)分子進(jìn)行分拆，考慮到每一項(xiàng)中分子、分母的對(duì)稱性,

可以用平方差公式：32=1x5+4,42=2x6+4,52=3x7+4

122

原式=-------------F----------------------------F--------------------------F,■■+

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

1x5+42x6+43x7+410x14+4

--------------------------1----------------------------1---------------------------+?..-(-----------------------------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

f—L_+_^+_l_+...+,1

(2x3x43x4x54x5x611x12x13

++++...+

IIx2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

11

11x1212x13

fl11111)

+--------------------------------------1-----------------------------------------1-…-I---------------------------------------------------

(Ix2x3x42x3x4x52x3x4x53x4x5x610x11x12x1311x12x13x14)

2(2x312x13；11x2x3x411x12x13x14)

11J_________1177+1111__1_75

-12-2xl2xl324-llxl2xl3xl4-8-llxl2xl3xl4

75

【答案】—

616

9

【例11】—I---------1------------------1-------------------+…+

22x32x3x42x3x4x52x3x4…x10

【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)