福建省2020屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列十六

PAGEPAGE1福建省2020屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列十六極坐標(biāo)與參數(shù)方程典例剖析與資源推送（福建省高三畢業(yè)班復(fù)習(xí)教學(xué)指導(dǎo)組盧燕霞執(zhí)筆整理）一、典型問題剖析典型問題一：兩種“互化”及其應(yīng)用【例18】（2013全國卷23）已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ.(Ⅰ)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(Ⅱ)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解析】(Ⅰ)將消去參數(shù)t，化為普通方程，即.將代入得.所以的極坐標(biāo)方程為.(Ⅱ)的普通方程為.由解得或所以與交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，.【評(píng)析】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，以及利用“互化”解決有關(guān)曲線交點(diǎn)的問題.解題的關(guān)鍵在于兩種“互化”相關(guān)公式的理解與熟練掌握.典型問題二：利用參數(shù)方程解決問題【例19】（2014全國卷23）已知曲線，直線（為參數(shù)）（Ⅰ）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（Ⅱ）過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為30°的直線，交于點(diǎn)，求的最大值與最小值.【解析】（Ⅰ）曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），直線l的普通方程為：.（Ⅱ）在曲線C上任意取一點(diǎn)P(2cos,3sin)到l的距離為，則，其中為銳角．且.當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.【評(píng)析】本題解題的關(guān)鍵之一在于將的最值問題，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到直線的距離的最值問題，其二在于確定P點(diǎn)的坐標(biāo)形式，通過橢圓的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)，進(jìn)而利用三角函數(shù)有界性解決問題，解題過程輕松、快捷.典型問題三：利用的幾何意義解決問題【例20】(2016全國卷Ⅱ22)在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為．（Ⅰ）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）,與交于兩點(diǎn)，，求的斜率．【解析】（Ⅰ）由，得，因?yàn)?，所以的極坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）設(shè)對(duì)應(yīng)的極徑分別為，則得，，所以，由得，所以的斜率為或．典型問題四：極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 【例21】（廈門市2018屆高三上學(xué)期期末質(zhì)檢）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，為上兩點(diǎn)，且，設(shè)射線，其中.（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求的最小值.【解析】（Ⅰ）將的方程化為直角坐標(biāo)方程為，即.將，代入可得化簡(jiǎn)得（Ⅱ）根據(jù)題意：射線的極坐標(biāo)方程為或.，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.故的最小值為.【評(píng)析】射線的極坐標(biāo)方程有兩種情況，容易忽視的情形，另外應(yīng)用均值不等式求最值，要注意取等號(hào)的條件?！纠?2】已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．(Ⅰ）求拋物線的方程；(Ⅱ）動(dòng)直線恒過點(diǎn)與拋物線交于A、B不同兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，請(qǐng)你觀察并判斷：在線段MA，MB，MC，AB中，哪三條線段的長總能構(gòu)成等比數(shù)列？說明你的結(jié)論并給出證明．【解析】（Ⅰ）∵橢圓方程為：，∴，所以，即橢圓的右焦點(diǎn)為（1,0），因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為（，0），所以＝2，則拋物線的方程為．（Ⅱ）先特殊化：當(dāng)直線MA過拋物線的焦點(diǎn)F時(shí)，此時(shí)F與C重合，直線MA方程為x+y=1,設(shè)點(diǎn)M,A,C,B是滿足條件依次從上到下排列的點(diǎn).由由此可得即可得所以，成等比數(shù)列.猜想：成等比數(shù)列，證明如下：依題意，，直線的斜率必然存在．設(shè)直線：，則C（－，0），由得，因?yàn)椤鳎?，所以k＜1.用直線的參數(shù)方程容易表達(dá)MA、MB的長，設(shè)直線MA的參數(shù)方程為代入拋物線中，整理得所以所以,即成等比數(shù)列.【評(píng)析】第(Ⅱ）問中究竟哪三條線段總能構(gòu)成等比數(shù)列，顯然討論的情況不少，但如果能用特殊化計(jì)算出線段MA，MB，MC，AB的值，便不能得出構(gòu)成等比數(shù)列的三條線段，再給出一般性的證明，問題便解決了。值得注意的是，本題是解析幾何的問題，本來不應(yīng)該出現(xiàn)在這里，想說的是利用參數(shù)方程證明能給問題的順利解答帶來了方便。二、資源推送【練習(xí)1】（荊州中學(xué)2018屆高三5月模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為，為曲線上異于極點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且成等比數(shù)列．（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）已知,是曲線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為，直線與交于兩點(diǎn)，試求的值．【解析】（Ⅰ）設(shè)，，則由成等比數(shù)列，可得，即，．又滿足，即，∴，化為直角坐標(biāo)方程為．（Ⅱ）依題意可得，故，即直線傾斜角為，∴直線的參數(shù)方程為代入圓的直角坐標(biāo)方程，得，故，，∴．【練習(xí)2】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)，，若與曲線分別交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，求的面積.【解析】（Ⅰ）將C的參數(shù)方程化為普通方程為(x-3)2+(y-4)2=25，即x2+y2-6x-8y=0．∴C的極坐標(biāo)方程為．（Ⅱ）把代入，得，∴．把代入，得，∴．∴S△AOB．【練習(xí)3】（三明市2018屆高三5月質(zhì)量檢查）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)．在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求．【解析】解法一：（Ⅰ）由得的普通方程為，又因?yàn)椋缘臉O坐標(biāo)方程為．（或）由得，即，所以的直角坐標(biāo)方程為．（Ⅱ）設(shè)的極坐標(biāo)分別為，則，由消去得，化為，即，因?yàn)椋?，所以，或，即或所以．解法二：（Ⅰ）同解法?（Ⅱ）曲線的方程可化為，表示圓心為且半徑為1的圓． 6分將的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式(其中為參數(shù))，代入的直角坐標(biāo)方程為得，，整理得，，解得或．設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則．所以，又因?yàn)槭菆A上的點(diǎn)，所以。解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）曲線的方程可化為，表示圓心為且半徑為1的圓．又由①得的普通方程為，則點(diǎn)到直線的距離為， 所以，所以是等邊三角形，所以，又因?yàn)槭菆A上的點(diǎn)，所以?！揪毩?xí)4】（寧德市2018屆高三第二次（5月）質(zhì)量檢查）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）當(dāng)變化時(shí)，設(shè)的交點(diǎn)的軌跡為．若過原點(diǎn)，傾斜角為的直線與曲線交于點(diǎn)，求的值．【解析】解法一：（Ⅰ）由：，得，即，曲線化為一般方程為：，即，化為極坐標(biāo)方程為：．（Ⅱ）由及，消去，得曲線的極坐標(biāo)方程為．將代入曲線的極坐標(biāo)方程，可得，故，，故．（或由得得，故。解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）由及，消去，得曲線的直角坐標(biāo)方程為．設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與聯(lián)立得，即，故，，∴．（或由得，得，∴．【練習(xí)5】（龍巖市2020屆高三第一學(xué)期期末質(zhì)檢）在直角坐標(biāo)系中，曲