輔助圓題型精講精練（解析版）

24.4輔助圓一、題型特征：①動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓②圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最短：即圓外一點(diǎn)與圓心連線與圓的交點(diǎn)③常見確定圓的模型：定點(diǎn)定長(zhǎng)、定弦定角（參考知識(shí)梳理）。二、模型本質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短。TOC\o"1-3"\h\u24.4輔助圓 1一、模型搭建 1一、觸發(fā)隱圓模型的類型 1二、分類題型 3三、對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固 3一、模型搭建一、觸發(fā)隱圓模型的類型（1）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)定長(zhǎng)模型（共頂點(diǎn)的三條等線段）若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP原理：圓A中，AB=AC=AP則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑備注：常轉(zhuǎn)全等或相似證明出定長(zhǎng)（2）直角圓周角模型固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠C恒為90°原理：圓O中，圓周角為90°所對(duì)弦是直徑則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑備注：常通過互余轉(zhuǎn)換等證明出動(dòng)角恒為直角（3）定邊對(duì)定角模型固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠P為定值原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡為過A、B、C三點(diǎn)的圓備注：點(diǎn)P在優(yōu)弧、劣弧上運(yùn)動(dòng)皆可（4）四點(diǎn)共圓模型①若動(dòng)角∠A+動(dòng)角∠C=180°原理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)則A、B、C、D四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)A與點(diǎn)C在線段AB異側(cè)（5）四點(diǎn)共圓模型②固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角∠P=∠C原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等則A、B、C、P四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)P與點(diǎn)C需在線段AB同側(cè)二、分類題型1．如圖，已知中，，，，，過點(diǎn)作的垂線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】C【分析】由，，證明，推出，當(dāng)有最大值時(shí)，有最大值，根據(jù)，得到點(diǎn)A、C、B、P四點(diǎn)共圓，若有最大值，則應(yīng)為直徑，由，得到是圓的直徑，勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：∵∴∵∴∴∴∴，∴當(dāng)有最大值時(shí)，有最大值，∵，∴點(diǎn)A、C、B、P四點(diǎn)共圓，若有最大值，則應(yīng)為直徑，∵，∴是圓的直徑，∴，∴的最大值為，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，四點(diǎn)共圓的判定和性質(zhì)，正確掌握四點(diǎn)共圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，AB=AC=5，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)，G分別是BC，DE的中點(diǎn)，連接，，當(dāng)AG=FG時(shí)，線段長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】連接DF，EF，過點(diǎn)F作FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，結(jié)合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得點(diǎn)A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，∠DFE=90°，然后根據(jù)勾股定理及正方形的判定和性質(zhì)求得AE的長(zhǎng)度，從而求解．【詳解】解：連接DF，EF，過點(diǎn)F作FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB∵在中，，點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)，∴AG=DG=EG又∵AG=FG∴點(diǎn)A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，且DE是圓的直徑∴∠DFE=90°∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，∴CF=BF=，F(xiàn)N=FM=又∵FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，∴四邊形NAMF是正方形∴AN=AM=FN=又∵，∴∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3∴在Rt△DAE中，DE=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查直徑所對(duì)的圓周角是90°，四點(diǎn)共圓及正方形的判定和性質(zhì)和用勾股定理解直角三角形，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．3．如圖，在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，連接，將沿直線翻折得到，連接．若，則線段的長(zhǎng)為．

【答案】//【分析】連接，延長(zhǎng)交與點(diǎn)H，作，垂足為F．首先證明垂直平分線段，是直角三角形，利用三角形的面積求出，得到的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，延長(zhǎng)交與點(diǎn)H，作，垂足為F．

∵在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，，∴．∵，∴．∵，∴，解得．∵將沿直線翻折得到，∴，∴．∵，∴為直角三角形，，∴，∴，∵，∴．∴．∵，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求高．4．如圖，中，，中，，直線與交于，當(dāng)繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)的過程中，到直線距離的最大值是．【答案】/【分析】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況判斷點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)角度以及勾股定理求解最大值．【詳解】解：如圖旋轉(zhuǎn)，連接以為直徑作，以為半徑作過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)在和中∴點(diǎn)共圓，點(diǎn)共圓，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，的半徑為∴又∵，∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，到直線距離的最大，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，∴四邊形是矩形，

是圓心，設(shè)解得：（舍去）∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓動(dòng)點(diǎn)的最值問題。熟練運(yùn)用四點(diǎn)共圓性質(zhì)以及勾股定理解直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，，點(diǎn)E在線段上，，若，，則的最大值為．【答案】/【分析】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，可得是為等邊三角形，則，可知、、、四點(diǎn)共圓，令其圓心為，連接、、過作，交于，交圓于，過、分別作圓的切線，交于，連接交于，連接、，利用的直角三角形求得，由，與圓相切，可得（SSS），利用其性質(zhì)證得，計(jì)算出，，由，知，可得四邊形為平行四邊形，則，由三角形三邊關(guān)系可知：（當(dāng)、、在同一直線上時(shí)去等號(hào)），即可求得的最大值．【詳解】解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，可得是為等邊三角形，則，∵，，∴、、、四點(diǎn)共圓，令其圓心為，連接、、∴，則，過作，交于，交圓于，過、分別作圓得切線，交于，連接交于，連接、，∵，，∴，，∴，，∵，與圓相切，∴，∴（SSS）∴，∴，，，又∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，由三角形三邊關(guān)系可知：（當(dāng)、、在同一直線上時(shí)去等號(hào)）∴的最大值為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，考查了四點(diǎn)共圓，垂徑定理，切線長(zhǎng)定理，解直角三角形，平行四邊形的判定及三角形的三邊關(guān)系，構(gòu)造輔助線，利用圓的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段長(zhǎng)度及角度，構(gòu)造三角形三邊關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．6．如圖，的內(nèi)切圓與邊切于點(diǎn)，與邊相切，且與，的延長(zhǎng)線相切（為在內(nèi)的旁切圓），若，，，則【答案】【分析】連接，，，設(shè)與切與點(diǎn)，與切與點(diǎn)，與切于點(diǎn)，證明，，則四點(diǎn)共圓，證明，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：連接，，，設(shè)與切與點(diǎn)，與切與點(diǎn)，與切于點(diǎn)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，∵，，∴，∴，同理可得，∴，∴，即，同理可得，∴四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，四點(diǎn)共圓，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出四點(diǎn)共圓，并證明出是解題的關(guān)鍵．7．在中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，且，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)、分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)、，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】2或4/4或2【分析】分點(diǎn)D1在線段AE1上和點(diǎn)D1在線段AE1的延長(zhǎng)線上，兩種情況討論，由矩形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)即可可求解．【詳解】解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)D1在線段AE1上，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝4，BC＝2，∵將△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△BD1E1，∴D1B＝DB＝2，∠BD1E1＝90°，∴AD1，∴AD1＝BC，且AC＝BD1，∴四邊形ACBD1是平行四邊形，且∠ACB＝90°，∴四邊形ACBD1是矩形，∴CD1＝AB＝4；如圖2，當(dāng)點(diǎn)D1在線段AE1的延長(zhǎng)線上，∵∠ACB＝∠AD1B＝90°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)D1，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠AD1C＝∠ABC＝30°，∵AC＝BD1，AB＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△BAD1（HL）∴∠D1AB＝∠ABC＝30°，且∠BAC＝60°，∴∠CAD1＝30°＝∠AD1C，∴AC＝CD1＝2．綜上所述：CD1＝2或4．故答案為：2或4【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，圓的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，利用分類討論解決問題是本題的關(guān)鍵．8．如圖，已知在扇形中，，半徑．P為弧上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，點(diǎn)M，N分別在半徑上，連接．點(diǎn)D是的外心，則點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．【答案】．【分析】根據(jù)點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)，其路徑也是一段弧，由題意可得，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角是，連接，取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)在和中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，可證得點(diǎn)，，，四點(diǎn)均在同一個(gè)圓，即上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由垂徑定理，，，可求得，再根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)重合，得到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角是，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求解．【詳解】解：點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)，其路徑也是一段弧，由題意可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角是，如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，，在和中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，根據(jù)圓的定義可知，點(diǎn)，，，四點(diǎn)均在同一個(gè)圓，即上，又，，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由垂徑定理得，，在中，，，則，，∵是的外接圓的圓心，即：點(diǎn)和點(diǎn)重合，如圖2，點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心為半徑，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角是，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角是，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，弧長(zhǎng)公式，三角形的外心的性質(zhì)，理解題意熟悉公式是解題的關(guān)鍵．9．如圖，是和的公共斜邊，AC=BC，，E是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE、CE、CD，那么．【答案】13【分析】先證明A、C、B、D四點(diǎn)共圓，得到∠DCB與∠BAD的是同弧所對(duì)的圓周角的關(guān)系，得到∠DCB的度數(shù)，再證∠ECB=45°，得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜邊，E是AB中點(diǎn)，∴AE=EB=EC=ED，∴A、C、B、D在以E為圓心的圓上，∵∠BAD=32°，∴∠DCB=∠BAD=32°，又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中點(diǎn)，∴∠ECB=45°，∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=13°．故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、圓周角定理和四點(diǎn)共圓問題，綜合性較強(qiáng)．10．如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝．【答案】17【分析】用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，得到∠AFE=60°，延長(zhǎng)FE至點(diǎn)G，使得FG=FA，連AG，AT，得到△AFG是等邊三角形，證明A、B、D、T四點(diǎn)共圓，設(shè)法證明△FAT≌△GAE（ASA），即可求得答案．【詳解】∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；延長(zhǎng)FE至點(diǎn)G，使得FG=FA，連AG，AT，∵∠AFE=60°，∴△AFG是等邊三角形，∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，∵∠BAF+∠EAF=∠CAG+∠EAF=60°，∴∠BAF=∠CAG，∵DT=CE，∴∠DBT=∠BTD，∵∠BAD=∠CBE，∴∠BAD=∠BTD，∴A、B、D、T四點(diǎn)共圓，∴∠BAD=∠DAT，∴∠FAT=∠GAE，在△FAT和△GAE中，，∴△FAT≌△GAE（ASA），∴FT=GE，∵FG=50，TE=16，∴FT=(FG-TE)=17．故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等，作出輔助線，判斷出△FAT≌△GAE是解本題的關(guān)鍵．11．如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25°得到，EF交BC于點(diǎn)N，連接AN，若，則．【答案】102.5°【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，得到點(diǎn)A、N、F、C共圓，再利用，根據(jù)平角的性質(zhì)即可得到答案；【詳解】解：如圖，AF與CB相交于點(diǎn)O，連接CF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：AC=AF，，，，∴點(diǎn)A、N、F、C共圓，∴，又∵點(diǎn)A、N、F、C共圓，∴，∴（平角的性質(zhì)），故答案為：102.5°【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平角的性質(zhì)、點(diǎn)共圓的判定，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上且CE＝1.5，連接OE，過點(diǎn)O作OF⊥OE交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接FE并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則＝．【答案】【分析】作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，根據(jù)三角形中位線定理分別求出OM、ON，根據(jù)勾股定理求出OE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出FN，得到FC的長(zhǎng)，證明△GFC∽△GOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計(jì)算得到答案．【詳解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB，∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3，∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6，在Rt△OME中，OE==3，∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°，∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF，∴，即，解得，F(xiàn)N=9，∴FC=FN+NC=12，∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四點(diǎn)共圓，∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，設(shè)是的三條高，若則線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)AD，BE，CF為三角形的三條高，可得B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，證得△AEF∽△ABC，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，代入數(shù)值進(jìn)行求解．【詳解】解：∵AD，BE，CF為△ABC的三條高，∴B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴△AEF∽△ABC，∴，即cos∠BAC=，∴sin∠BAC=，∴在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6×=，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的知識(shí)．14．如圖，在四邊形中，，對(duì)角線平分，，且．

(1)證明：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由題意推出，從而得到、、、四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得出結(jié)論即可；（2）首先根據(jù)已知信息求出，再結(jié)合四點(diǎn)共圓的結(jié)論，在中求解即可．【詳解】（1）證：∵，∴，∵，∴，∴、、、四點(diǎn)共圓，∴；（2）解：∵，∴，∵，平分，∴，∴在中，，∵，∴，，∵、、、四點(diǎn)共圓，∴，∴在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共圓的證明、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及解直角三角形等，掌握?qǐng)A當(dāng)中的重要結(jié)論，準(zhǔn)確求解直角三角形是解題關(guān)鍵．15．問題提出

如圖1，點(diǎn)E為等腰內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，求證：．嘗試應(yīng)用

如圖2，點(diǎn)D為等腰外一點(diǎn)，，，過點(diǎn)A的直線分別交的延長(zhǎng)線和的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，M，求證：．問題拓展

如圖3，中，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，，，交于點(diǎn)H．若，，直接寫出的長(zhǎng)度（用含a，b的式子）．【答案】見解析【分析】問題提出：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證得，，進(jìn)而得證，即可利用證明．嘗試應(yīng)用：延長(zhǎng)，使，連接，由題意可知、、、四點(diǎn)共圓，可得，進(jìn)而可得，利用SAS可證得，根據(jù)其性質(zhì)得，，，進(jìn)而可證得，，即可得證．問題拓展：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則為等邊三角形，由，可知、、、、五點(diǎn)共圓，可得，，，根據(jù)，，可得，進(jìn)而得證，可得，則，作交于，則，可求得，，即可求得的長(zhǎng)度．【詳解】解：?jiǎn)栴}提出：證明：∵，，將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，即：，在與中，，∴．嘗試應(yīng)用：延長(zhǎng)，使，連接，∵為等腰直角三角形，∴，，又∵，即：，∴、、、四點(diǎn)共圓，∴，∴，在與中，，∴．∴，，∴，即：，∴∵∴，∴即：．問題拓展：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則為等邊三角形，∴，，∵，∴、、、、五點(diǎn)共圓，則：，，，，，又∵，∴，∴，∵，，，∴∴，∵，，，∴∴，∴，則，作交于，則，∵，∴，∴，則：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合，考查全等三角的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，解直角三角形，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和利用圓周角定理轉(zhuǎn)化角是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．16．射線AB與直線CD交于點(diǎn)E，∠AED＝60°，點(diǎn)F在直線CD上運(yùn)動(dòng)，連接AF，線段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AG，連接FG，EG，過點(diǎn)G作于點(diǎn)H．(1)如圖1，點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線AB的同側(cè)時(shí)，EG與GH的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，點(diǎn)F和點(diǎn)G在射線AB的兩側(cè)時(shí)，線段EF，AE，GH之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(3)若點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線AB的同側(cè)，，，請(qǐng)直接寫出HG的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)，證明見解析；(3)或【分析】（1）先證明是等邊三角形得，再證明點(diǎn)A、E、G、F四點(diǎn)共圓，得，從而計(jì)算得到，最后在直角三角形GEH中，求出即可得到答案；（2）在射線ED上截取，連接AN，如圖3，先證是等邊三角形，得，，再證，從而得到，進(jìn)而得，從而求得結(jié)論；（3）分兩種情況討論求解GH的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線AB的右側(cè)時(shí)，在射線ED上取一點(diǎn)M，使得EM=EG，連接MG，如圖4；當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線AB的左側(cè)時(shí)，在線段GE上取一點(diǎn)N，使得NE=EF，如圖5，通過構(gòu)造三角形全等，利用三角函數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：線段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AG，，，是等邊三角形，，，∠AED＝60°，，點(diǎn)A、E、G、F四點(diǎn)共圓，，，，，，故答案為：；（2）解：在射線ED上截取，連接AN，如圖3，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴∴，∴，，∵∴，∴，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線AB的右側(cè)時(shí)，在射線ED上取一點(diǎn)M，使得EM=EG，連接MG，如圖4，線段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AG，，，是等邊三角形，，，∠AED＝60°，，點(diǎn)A、E、G、F四點(diǎn)共圓，，，EM=EG，是等邊三角形，，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線AB的左側(cè)時(shí)，在線段GE上取一點(diǎn)N，使得NE=EF，如圖5，，點(diǎn)A、E、G、F四點(diǎn)共圓，，，，NE=EF，是等邊三角形，NE=EF=NF=1，，，，，，，，，，綜上所述，GH的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.17．（1）回歸教材：北師大七年級(jí)下冊(cè)P44，如圖1所示，點(diǎn)P是直線m外一點(diǎn)，，點(diǎn)O是垂足，點(diǎn)A、B、C在直線m上，比較線段PO，PA，PB，PC的長(zhǎng)短，你發(fā)現(xiàn)了什么？最短線段是______，于是，小明這樣總結(jié)：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，______．（2）小試牛刀：如圖2所示，中，，，．則點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則CP的最小值為______．（3）嘗試應(yīng)用：如圖3所示是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，其中點(diǎn)P為高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接PE、DE、CE．①請(qǐng)直接寫出DE的最小值．②在①的條件下求的面積．（4）拓展提高：如圖4，頂點(diǎn)F在矩形ABCD的對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，連接AE．．，，請(qǐng)求出AE的最小值．【答案】（1）PO，垂線段最短；（2）；（3）①DE的最小值是1；②△BPE的面積為；（4）AE的最小值為．【分析】（1）根據(jù)垂線段的性質(zhì)即可解答；（2）由（1）知當(dāng)PC⊥AB時(shí)，PC取得最小值，利用面積法即可求解；（3）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等，可證得△ABP≌△CBE，得到∠BCE=30°．得到點(diǎn)E在射線CE上，根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當(dāng)∠DEC=90°時(shí)，DE最短，據(jù)此求解即可；②利用勾股定理求得EC=，即AP=，再利用勾股定理先后求得AD、PD、BP的長(zhǎng)，即可求解；（4）作出如圖的輔助線，先判斷出點(diǎn)E在直線GH上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當(dāng)當(dāng)AE⊥GH時(shí)，AE最短，利用相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積公式即可求解．【詳解】解：（1）∵PO⊥直線m，∴從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．故答案為：PO，垂線段最短；（2）由（1）知當(dāng)PC⊥AB時(shí)，PC取得最小值，S△ABC=ACBC=ABPC，∴PC=，即CP的最小值為，故答案為：；（3）①由旋轉(zhuǎn)知∠PBE=60°，BP=BE，∴△PBE是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，邊長(zhǎng)為4，∴AB=BC，∠ABC=60°，∠ABD=∠CBD=30°，BD=CD=2，∴∠ABP=∠CBE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BCE=∠BAD=30°；∵點(diǎn)P為高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴點(diǎn)E在射線CE上，根據(jù)“垂線段最短”可知，當(dāng)DE⊥CE時(shí)，DE最短．∵∠BCE=30°，CD=2，∴DE=CD=1，即DE的最小值是1；②由①得CD=2，DE=1，∴CE=，∵△ABP≌△CBE，∴AP=CE，在Rt△BDA中，AB=4，BD=2，∴AD=，∴PD=AD-AP=，∴PB=，∴等邊三角形△PBE的高為，∴△BPE的面積為=；（4）過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則∠BHC=90°，∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACD+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠ACD，∵∠EBF=∠ACD，∴∠HBC=∠EBF，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E與點(diǎn)H重合，∵AB=3，BC=4，∴AC=，∵S△ABC=ABBC=ACBH，∴BH=，∴AH=，取AB中點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GI⊥AB交AC于點(diǎn)I，則∠BGI=90°，∴∠GBI=∠BAC，∵∠EBF=∠ACD=∠BAC，∴∠GBI=∠EBF，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)I重合，點(diǎn)E與點(diǎn)G重合，頂點(diǎn)F在矩形ABCD的對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，且，四點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)E在直線GH上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當(dāng)AE⊥GH時(shí)，AE最短，過點(diǎn)H作HP⊥AB于點(diǎn)P，∴△APH△ABC，∴，即，∴PH=，AP=，∴PG=AG-AP=，∴GH=，∵S△AGH=AGPH=GHAE，∴AE=，∴AE的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，垂線段最短，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．18．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的邊AE在線段AC上，AE＝AD＝2，將△ADE繞直角頂點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，連接CD、BE，直線CD，BE交于點(diǎn)F，連接AF，過BC中點(diǎn)G作GM⊥CD，GN⊥AF．（1）求證：BE＝CD；（2）求證：旋轉(zhuǎn)過程中總有∠BFA＝∠MGN；（僅對(duì)0°＜＜90°時(shí)加以證明）（3）在AB上取一點(diǎn)Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2﹣【分析】（1）根據(jù)題中各角之間的關(guān)系可得：，依據(jù)三角形全等的判定定理可證，由全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）由（1）中全等三角形的性質(zhì)可得：，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出：，得出點(diǎn)C，點(diǎn)B，點(diǎn)A，點(diǎn)F四點(diǎn)共圓，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得：，，再由四邊形內(nèi)角和及各角之間的等量關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）由點(diǎn)F在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可得點(diǎn)Q，點(diǎn)F，點(diǎn)G三點(diǎn)共線時(shí)，QF有最小值，由勾股定理及三角形中位線定理可得：，，再由勾股定理及各線段之間的數(shù)量關(guān)系即可得解．【詳解】（1）證明：∵，∴，在△BAE與△CAD中，，∴，∴；（2）證明：由（1）得：，∴，∵，，∴∴點(diǎn)C，點(diǎn)B，點(diǎn)A，點(diǎn)F四點(diǎn)共圓，如圖所示：∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（3）解：如（2）圖所示，過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，∵點(diǎn)C，點(diǎn)B，點(diǎn)A，點(diǎn)F四點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)F在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)Q，點(diǎn)F，點(diǎn)G三點(diǎn)共線時(shí)，QF有最小值，∵，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴QF的最小值為．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定定理及性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，線段間距離最短問題，理解題意，作出相應(yīng)圖形，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．19．【問題背景】如圖1，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＝150°，則PA2+PB2＝PC2．小剛為了證明這個(gè)結(jié)論，將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，請(qǐng)幫助小剛完成輔助線的作圖；【遷移應(yīng)用】如圖2，D是等邊△ABC外一點(diǎn)，E為CD上一點(diǎn)，AD∥BE，∠BEC＝120°，求證：△DBE是等邊三角形；【拓展創(chuàng)新】如圖3，EF＝6，點(diǎn)C為EF的中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC繞著點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，直線AE、BF交于點(diǎn)P，M為PG的中點(diǎn)，EF⊥FG于F，F(xiàn)G＝4，請(qǐng)直接寫出MC的最小值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°作圖即可；（2）由∠BEC＝120°得∠BED＝60°，由平行線的性質(zhì)得∠ADE＝∠BED＝60°，由等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，故可知A、D、B、C共圓，由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得出∠ADB＝120°,故可求出∠BDE＝60°，即可得證；（3）由CA＝CE＝CB＝CF＝3得A、E、B、F共圓C得出∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，進(jìn)而得出∠APF＝∠ABC＝60°，作△EPF的外接圓Q，則∠EQF＝120°，求出EQ，連接QG取中點(diǎn)N，由三角形中位線得MN，以點(diǎn)N為圓心MN為半徑作N，連接CN，與N交于點(diǎn)，即CM最小為，建立平面直角坐標(biāo)系求出即可．【詳解】（1）如圖1所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得；（2）∵∠BEC＝120°，∴∠BED＝60°，∵，∴∠ADE＝∠BED＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴A、D、B、C共圓，如圖2所示：∴∠ADB＝120°，∵∠ADE＝∠BED＝60°，∴∠BDE＝60°，∴△DBE是等邊三角形；（3）如圖3，∵CA＝CE＝CB＝CF＝3，∴A、E、B、F共圓C，∴∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝∠PAB+∠APB，∴∠APF＝∠ABC＝60°，∵∠EPF＝60°，EF＝6，作△EPF的外接圓Q，則∠EQF＝120°，QC⊥EF，∴∠EQC＝60°，∴，連接QG取中點(diǎn)N，則且，以點(diǎn)N為圓心MN為半徑作N，連接CN，與N交于點(diǎn)，即CM最小為，以點(diǎn)F為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，，，∴,，∴CM最小為．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，解三角函數(shù)以及圓的性質(zhì)，根據(jù)題意作出圓是解題的關(guān)鍵．20．“數(shù)學(xué)建?！笔侵袑W(xué)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，平時(shí)學(xué)習(xí)過程中能歸納一些幾何模型，解決幾何問題就能起到事半功倍的作用．（1）如圖1，正方形中，，且，求證：；（2）如圖2，正方形中，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由；（3）如圖3在（2）的條件下，作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)，求證：．【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論依然成立，理由見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)半角旋轉(zhuǎn)模型，把△ABF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則AB與AD重合，設(shè)F對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，即可證明，得到，再結(jié)合，可得，可得；（2）結(jié)論依然成立，證明方法與（1）一樣；（3）又等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得GQ垂直平分EA，可得△ANE是等腰直角三角形，可得A、D、E、N四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角【詳解】（1）把△ABF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則AB與AD重合，設(shè)F對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，∴∴∴M、D、C三點(diǎn)共線∵∴∴∴∵AB∥CD∴∴∴（2）結(jié)論依然成立，把△ABF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則AB與AD重合，設(shè)F對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，∴∴∴M、D、C三點(diǎn)共線∵∴∴∴∵AB∥CD∴∴∴（3）連接EN由（2）得∵∴GQ垂直平分AE∴EN=AN∵∴∴A、D、E、N四點(diǎn)在以AE為直徑的同一個(gè)圓上，∴．【點(diǎn)睛】本題考查半角旋轉(zhuǎn)模型，熟練根據(jù)模型做出輔助線是解題的關(guān)鍵．第（3）問根據(jù)四點(diǎn)共圓證明是本題的難點(diǎn)．21．如圖，已知Rt和Rt，，，，，點(diǎn)在邊上，射線交射線于點(diǎn)．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，聯(lián)結(jié)．①求證：；②若，求的長(zhǎng)；（2）設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，若為等腰三角形，求的長(zhǎng)．【答案】（1）①見解析；②；（2）的長(zhǎng)為或【分析】（1）①先證明，再證明，，推導(dǎo)出，得；②由，得，依次求出、、、的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)；（2）分三種情況討論，一是，可證明，求出AP的長(zhǎng)，在中根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BF的長(zhǎng)；二是，可證明，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出BF的長(zhǎng)；三是，可證明CE∥AB，此時(shí)射線CE與射線沒有交點(diǎn)．【詳解】（1）①證明：如圖1，，，（AA），，，，（AA），，，，，（SAS），，，．②如圖1，，，∵∴∠BAE=∠CBA又∵∠AFE=∠BFC（AA），，，，，，，∵∴，，，，∵∠EAC=∠CDE=90°∴C、A、E、D四點(diǎn)共圓，∴∠CEA=∠CDA∴△AEF∽△DCF（AA）∴，∴，即，解得，．（2）如圖2，，，，，，，，，，∵∴C、E、A、D四點(diǎn)共圓又∵∠CDE=90°∴∠CAE=90°∴，，，，∴△AFE∽△BFC，如圖3，，，，，設(shè)交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，；如圖4，，則，，，，，，射線與射線沒有交點(diǎn)，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，分類討論等腰三角形PCE邊的關(guān)系式解決本題的關(guān)鍵．22．定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，直接寫出∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線上，連CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．【答案】（1）①20°；②，理由見解析；（2）證明見解析【分析】（1）①根據(jù)題目定義推出∠E＝∠A，從而得出結(jié)論；②直接根據(jù)求解①過程證明即可；（2）首先根據(jù)題意推出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，然后作四邊形ABCD的外接圓交CE于點(diǎn)F，連接AF，DF，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等推出∠AFD＝∠DFE，然后根據(jù)“遙望角”的定義推出∠E＝∠DAF，即可證△DAF≌△DEF，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝40°，∴∠E＝20°．故答案為：20°；②，理由如下：∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；（2）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，作四邊形ABCD的外接圓交CE于點(diǎn)F，連接AF，DF，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DFC+∠DBC＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DFE，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，由（1）得∠E＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵∠E+∠DCE＝∠BAC，∴∠E＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DAF，∴∠E＝∠DAF，∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，∴△DAF≌△DEF（AAS），∴DA＝DE．【點(diǎn)睛】本題考查新定義問題，涉及三角形角平分線的拓展運(yùn)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，理解題目定義，靈活運(yùn)用“四點(diǎn)共圓”的證明方法是解題關(guān)鍵．23．在正方形中，是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，求證：，，，四點(diǎn)共圓；（3）若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，且，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）證明即可得出答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角和為即可得出結(jié)論；（3）證明為等腰直角三角形，得出，然后得出，根據(jù)圓周角定理可得點(diǎn)在圓上，結(jié)論可得．【詳解】解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，∵點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，∴，∴，∴，，，四點(diǎn)共圓；（3）∵，，∴為等腰直角三角形，∴，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，∵，，∴，∴點(diǎn)在圓上，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．24．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，AE和BF相交于點(diǎn)P．（1）探究AE、BF的關(guān)系，并說明理由；（2）求證：A、D、F、P在同一個(gè)圓上；（3）如圖2，若正方形ABCD的邊AB在y軸上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的兩個(gè)點(diǎn)，且，AE和BF相交于點(diǎn)P，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)P落在以M為圓心1為半徑的圓上．求a的取值范圍．【答案】（1）AE=BF，且AEBF，見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）證明，得AE=BF，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等量代換即可得；（2）由得到，再利用同角的余角相等，解得，最后90°角所對(duì)的弦是直徑解答即可；（3）如圖，先計(jì)算AB=2a，由可得在以為圓心，半徑為的圓上，再確定點(diǎn)落在上的兩個(gè)臨界點(diǎn)，即兩圓外切與兩圓內(nèi)切時(shí)，從而可得答案．【詳解】解：（1）在正方形ABCD中，AB=BC,，在和中，AE=BF，∵，，∴，AEBFAE=BF，且AEBF；（2）由（1）知，A、D、F、P在以AF為直徑的同一個(gè)圓上；（3）的中點(diǎn)的坐標(biāo)為：如圖，結(jié)合（1）可得：在以為圓心，半徑為的圓上，要在以為圓心，半徑為的圓上，當(dāng)外切時(shí)，過作于則而如圖，當(dāng)內(nèi)切時(shí)，過作于則同理可得：所以：當(dāng)點(diǎn)P落在以M為圓心1為半徑的圓上．a(chǎn)的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，90°所對(duì)的弦是直徑、兩圓的外切與內(nèi)切的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是判斷兩圓外切與內(nèi)切是解題的臨界位置．25．如圖，在等腰中，，，垂足為，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，使，以為底邊作等腰．（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，連接，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，過作，垂足為，連接交于點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)為平面內(nèi)不與點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，直線與直線交于點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接并在的右側(cè)作且，連接，為邊上一點(diǎn)，，，當(dāng)取到最小值時(shí)，直線與直線交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的面積．【答案】(1)；(2)見解析；(3)【分析】(1)過E點(diǎn)作EH⊥AD于H點(diǎn)，在等腰Rt△ABC中求出，再結(jié)合已知條件∠ADE=30°求出，最后即可求出進(jìn)而求出；(2)連接FC，DM，AG，得到MD=，證明NH為△ACG的中位線，得到NG=，再證明△CDF≌△ADG，進(jìn)而得到AG=CF即可得到NG=MD；(3)過A點(diǎn)作AN∥BC，過C點(diǎn)作CN平∥AB，連接AN，證明△NAC’∽△CAD’，得到點(diǎn)D’在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，C’在NC’上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)QC’⊥CC’時(shí)，QC’最?。蛔C明∠BPK=90°，得到P點(diǎn)在以AB的中點(diǎn)G為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而G、P、C’三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值；最后由△BGS∽△CC’S，其相似比為3：1即可求解．【詳解】解：(1)過E點(diǎn)作EH⊥AD于H點(diǎn)，如下圖所示：∵△ABC為等腰直角三角形，且AD⊥BC，∴∠DAC=45°，△AHE為等腰直角三角形，∴，又已知∠ADE=30°，且△DHE為30°，60°，90°直角三角形，∴，∴，∵△ADC為等腰直角三角形，∴；(2)如下圖(1)所示：連接GC，DG，∵△DEG、△DAC均為等腰直角三角形，∴∠ACD=∠EGD=45°，∴D、E、C、G四點(diǎn)共圓，∴∠DCG=∠DEG=45°，∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=45°+45°=90°，如下圖(2)所示：連接FC，DM，AG，∵DH⊥AC，∴∠DHC=90°=∠ACG，∴CG∥DH，∵△ADC為等腰直角三角形，且DH⊥AC，∴H為AC的中點(diǎn)，∴NH為△ACG的中位線，∴NG=，∵點(diǎn)M和點(diǎn)D分別是BF和BC的中點(diǎn)，∴MD是△BCF的中位線，∴MD=，∵∠CDF=∠CDG+∠GDF=∠CDG+90°，∠ADG=∠CDG+∠CDA=∠CDG+90°，∴∠CDF=∠ADG，在△CDF和△ADG中：，∴△CDF≌△ADG(SAS)，∴AG=CF，∴NG=MD；(3)如下圖(3)所示：過A點(diǎn)作AN∥BC，過C點(diǎn)作CN平∥AB，連接AN，∴∠CAN=∠BAC=90°，∠NAC=∠BCA=45°，∴△CAN為等腰直角三角形，此時(shí)，且∠NAC’=∠NAC+∠CAC’=45°+∠CAC’，∠CAD’=∠D’AC’+∠CAC’=45°+∠CAC’，∴∠NAC’=∠CAD’，∴△NAC’∽△CAD’，∴當(dāng)點(diǎn)D’在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，C’在NC’上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)QC’⊥CC’時(shí)，QC’最小，∵∠BDK=∠BDA+∠ADK=90°+∠ADK，∠ADK’=∠KDK’+∠ADK=90°+∠ADK，∴∠ADK’=∠BDK，在△ADK’和△BDK中，，∴△ADK’≌△BDK(SAS)，∴∠DAK’=∠DBK，∴∠BPK=∠DAK’+∠AIP=∠DBK+∠BID=180°-∠BDA=180°-90°=90°，又為定值，∴P點(diǎn)在以AB的中點(diǎn)G為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)G、P、C’三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)依然滿足QC’⊥CC’，故此時(shí)有最小值，由已知條件及可知，，∴，∵△QCC’為等腰直角三角形，∴，∵AB∥CC’，∴△BGS∽△CC’S，且∴，且，∴，過C’作C’H⊥BC于H點(diǎn)，則，∴，∵△BGS∽△CC’S，其相似比為3：1，由相似三角形面積比等于相似比的平方可知：∴，且，又，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，四點(diǎn)共圓的判定方法，等腰直角三角形的性質(zhì)等，本題難度比較大，第(3)問中正確判斷出P點(diǎn)和C’點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是求解的關(guān)鍵．26．在中，，，．將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，直線，交于點(diǎn)P．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，連接．①求的面積；②求的值；（2）如圖2，連接，若F為中點(diǎn)，求證；C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【答案】（1）①10．②．（2）證明見解析部分．【分析】（1）①過點(diǎn)作于．證明四邊形是矩形，推出，利用勾股定理求出，可得結(jié)論．②利用面積法求出，再利用勾股定理求出，推出，可得結(jié)論．（3）如圖2中，連接，取的中點(diǎn)，連接，．想辦法證明，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①過點(diǎn)作于．，，，四邊形是矩形，，在中，，由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)可知，，．②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，．（2）如圖2中，連接，取的中點(diǎn)，連接，．，，，，是由旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，，，，，，，四點(diǎn)共圓，，，，，、、三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合題，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明．27．如圖，在中，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過B，D，E三點(diǎn)的圓分別交邊，，于點(diǎn)F，M，N，連結(jié)，，連結(jié)交于點(diǎn)P．（1）求證：．（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．（3）連結(jié)，，當(dāng)平分時(shí)，求與面積的比值．【答案】（1）證明見解析；（2）或9或；（3）．【分析】（1）由四邊形BEDN內(nèi)接于圓可得，再由平行四邊形性質(zhì)可知，從而可得，根據(jù)圓周角與弧的關(guān)系即得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)BN、DA交于點(diǎn)G，過E點(diǎn)作EH⊥BP；可求出EB、EG、EH、BH，再證，得，再利用，設(shè)，，，分三種情況討論是等腰三角形，求出BP，PH，用x表示出PN、NC，再根據(jù)比例式列方程求解即可；（3）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得得BE=BN，再證明是菱形，利用圖形的面積關(guān)系求出與面積與菱形面積關(guān)系后即可得出答案．【詳解】解：（1）∵四邊形BEDN內(nèi)接于圓，；∴，∴，∵在中，，∴，∴；（2）延長(zhǎng)BN、DA交于點(diǎn)G，過E點(diǎn)作EH⊥BP；如解圖（2-1）∵四邊形BEDN內(nèi)接于圓，∴，又∵在中，，∴，∵，，∴，，，∴，，，，∵在中，，∴，∴，∴，故設(shè)，，；∵EH⊥BN，CD⊥BN，∴CD//EH，∴，∴，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，有三種情況：I.當(dāng)PB=PE時(shí)，如解圖（2-1）則：，，，,∴，解得：，∴；II.PB=BE=4，如解圖（2-1）則，，,∴，解得：，∴；II.PE=BE=4，如解圖（2-3），∵EP⊥BN，∴，，，,∴，解得：，∴；綜上所述：的長(zhǎng)為或9或；（3）當(dāng)平分時(shí)，∵BE⊥AD，BN⊥CD，∴BE=BN，又∵，∴（AAS），∴，，∴是菱形；∴，又∵四邊形BDNM內(nèi)接于圓，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題綜合強(qiáng)、難度大，是幾何壓軸題，綜合考查了圓的有關(guān)知識(shí)，平行四邊形及菱形性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，熟練運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)、對(duì)等腰三角形進(jìn)行分類討論，通過添加恰當(dāng)輔助線解三角形都是本題的關(guān)鍵．28．如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為，于點(diǎn)，直線與直線于點(diǎn)．（1）若點(diǎn)在內(nèi)，如圖1，求證：和關(guān)于直線對(duì)稱；（2）連接，若，且與相切，如圖2，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)垂直及同弧所對(duì)圓周角相等性質(zhì)，可得，可證與全等，得到，進(jìn)一步即可證點(diǎn)和關(guān)于直線成軸對(duì)稱；（2）作出相應(yīng)輔助線如解析圖，可得與全等，利用全等三角形的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】解：（1）證明：∵，，∴，∵，∴，又∵同弧所對(duì)圓周角相等，∴，∴，在與中，∴，∴，又，∴點(diǎn)和關(guān)于直線成軸對(duì)稱；（2）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，，∵，，∴、、、四點(diǎn)共圓，、、、四點(diǎn)共圓，∴，，在與中，，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，又，∴，∵與相切，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)、三角形全等、成軸對(duì)稱、平行線性質(zhì)等，作出相應(yīng)輔助線及對(duì)各知識(shí)點(diǎn)的熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．29．如圖，邊長(zhǎng)為的正方形中，是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，與交于點(diǎn)，其延長(zhǎng)線與（或延長(zhǎng)線）交于點(diǎn)．

（1）連接，證明：；（2）設(shè)，，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試問當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，的值最小，并求出此時(shí)的長(zhǎng)．（畫出圖形，直接寫出答案即可）【答案】（1）見解析；（2）；（3）P位置如圖所示，此時(shí)的值最小，，理由見解析．【分析】（1）結(jié)合已知條件，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明即可得；（2）結(jié)合（1）中所得解結(jié)論，證明，建立等式化簡(jiǎn)即可得；（3）將轉(zhuǎn)化成，三點(diǎn)共線時(shí)最小可確定P點(diǎn)位置，再結(jié)合（1）所得結(jié)論，證明四點(diǎn)共圓，繼而根據(jù)正方形的對(duì)稱性證明，即可得解．【詳解】解：（1）由題可知，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：，∴（2）是對(duì)角線，是等腰直角三角形，,，是等腰直角三角形，解得：，顯然所以有；（3）當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)，理由如下：連接DP，由正方形的對(duì)稱性可知，所以當(dāng)且僅當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線時(shí)上時(shí)取得最小值DE，如圖所示位置，此時(shí)由正方形的對(duì)稱性得，結(jié)合（1）所以四點(diǎn)共圓有，，結(jié)合，所以，代入，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和應(yīng)用、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和應(yīng)用、線段和的最值問題、動(dòng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)；熟練掌握相關(guān)知識(shí)，能靈活運(yùn)用，順著題意證明推導(dǎo)、合理的轉(zhuǎn)化條件是解題的關(guān)鍵．30．問題背景：在學(xué)習(xí)課本例題“矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)圓上”后，小明進(jìn)行了如下研究：（1）如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°．AC、BD是對(duì)角線，取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC，得點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，進(jìn)而可得∠BAC=∠BDC，請(qǐng)幫小明按照思路補(bǔ)全圖形，并寫出證明過程；遷移應(yīng)用：（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=2∠CAD，證明：AB=2CE；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，在Rt中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC=6，若點(diǎn)D滿足AD=AC，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，若CD=4，直接寫出BE的值．【答案】（1）圖見解析，證明見解析；（2）見解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)題意正確畫出圖形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OA=OB=OC=OD，則點(diǎn)、、、共圓，再根據(jù)同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等可得出結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，由（1）可知，點(diǎn)、、、在上，過點(diǎn)O作OF⊥于，根據(jù)條件證出（AAS），，便可得出；（3）根據(jù)題意畫出兩種不同的圖形，由等腰三角形三線合一得∠AEC=90°，CE=2,由（1）得點(diǎn)、、、共圓，過點(diǎn)C作CF⊥BE（或BE的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)F，根據(jù)圓周角定理和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)可依次求出BC、CF、EF、BF，則或．【詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)在中，．同理．點(diǎn)、、、在上（2）取的中點(diǎn)，由（1）可知，點(diǎn)、、、在上，過點(diǎn)O作OF⊥于，連接，則．∵OF⊥，OA=OB，∴，AB=2BF，∠BFO=90°，，，，，；，（AAS），，即，．（3）在Rt△ABC中，∵AC=6，∠BAC=60°，∴BC=，∵AD=AC，E是CD的中點(diǎn)，CD=4，∴CE=ED=2，AE⊥CD，即∠AEC=90°，又∠ABC=90°，則由（1）知A、B、C、E四點(diǎn)共圓，如下圖，過點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F，∵，∠BAC=60°，∴∠BEC=∠BAC=60°，在Rt△EFC中，EF，F(xiàn)C在Rt△BFC中，，∴．如下圖，過點(diǎn)C作CF⊥BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵，∠BAC=60°，∴∠BEC=180°-∠BAC=120°，∠FEC=180°-∠BEC=60°，在Rt△EFC中，EF，F(xiàn)C在Rt△BFC中，，∴．故BE的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題是幾何綜合問題，考查了四點(diǎn)共圓、圓的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形等內(nèi)容，較難，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．31．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD．（1）如圖1，作BE⊥AD延長(zhǎng)線于E，連接CE，求證：∠AEC＝45°；（2）如圖2，P為AD上一點(diǎn)，且∠BPD＝45°，連接CP．①若AP＝2，求△APC的面積；②若AP＝2BP，直接寫出sin∠ACP的值為______．【答案】（1）證明見解析；（2）①△APC的面積＝1；②．【分析】（1）由題意可證點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，可得∠AEC＝∠ABC＝45°；（2）①通過證明△APB∽△CEB，可求CE＝＝，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CF＝1，即可求解；②過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，過點(diǎn)P作PH⊥AC于H，設(shè)AP＝2a，則BP＝a，可得CE＝＝a，CF＝EF＝a，BE＝PE＝a，由勾股定理可求AC2，CP2，利用面積法可求PH2，即可求解．【詳解】證明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝BC，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°＝∠ACB，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠AEC＝∠ABC＝45°；（2）①如圖2，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，∵∠BPD＝45°，BE⊥AD，∴∠PBE＝45°＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBE，∵∠AEB＝90°＝∠ACB，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°，∴△APB∽△CEB，∴CE＝＝，∵CF⊥AD，∠AEC＝45°，∴∠FCE＝∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE＝1，∴△APC的面積＝×AP×CF＝1；②如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，過點(diǎn)P作PH⊥AC于H，設(shè)AP＝2a，則BP＝a，由①可知，CE＝＝a，CF＝EF＝a，∵BP＝a，∠BPE＝45°，∠BEP＝90°，∴BE＝PE＝a，∴AF＝AE﹣EF＝2a+a﹣a＝a+a，PF＝a﹣a，∴CP2＝CF2+PF2＝a2+（a﹣a）2＝a2﹣a2，AC2＝AF2+CF2＝a2+（a+a）2＝a2+a2，∵S△ACP＝×AC×PH＝×AP×CF，∴（AC?PH）2＝（AP?CF）2，∴PH2＝a2，∵（sin∠ACP）2＝＝＝，∴sin∠ACP＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了四點(diǎn)共圓，圓的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．32．如圖，已知，的內(nèi)切圓分別切邊于點(diǎn)直線分別與直線相交于點(diǎn).求證：．【答案】見解析【分析】連結(jié)、、、、，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和內(nèi)心的性質(zhì)得，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，則，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，而，所以，根據(jù)四點(diǎn)共圓的判定方法得到、、、四點(diǎn)共圓，于是根據(jù)圓周角定理得，；易得，再由得到，又可判斷、、、四點(diǎn)共圓，所以，，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，則，，而，于是得到點(diǎn)和在以為直徑的圓上，根據(jù)正弦定理得，所以．【詳解】解：證明：連結(jié)、、、、，如圖，點(diǎn)為的內(nèi)心，，的內(nèi)切圓分別切邊、于點(diǎn)、，，，，，，、、、四點(diǎn)共圓，，與相切，，，，，、、、四點(diǎn)共圓，，，的內(nèi)切圓分別切邊、于點(diǎn)、，，垂直平分，，，，而，、、、四點(diǎn)共圓，即點(diǎn)和在以為直徑的圓上，，．,【點(diǎn)睛】本題考查了四點(diǎn)共圓：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那么這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓；若四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或其中一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角，則這四點(diǎn)共圓．也考查了圓周角定理、三角形內(nèi)心的性質(zhì)、切線的性質(zhì)和正弦定理．三、對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固1．（2022秋?包頭期末）如圖，在中，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，，垂足分別為，．連接交線段于點(diǎn)，若，，則的值為A． B．4 C． D．6【分析】根據(jù)題意可得、、、四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可得，，以此可證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：，，，、、、四點(diǎn)共圓，，，，，即，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理，熟練掌握四點(diǎn)共圓的條件是解題關(guān)鍵．2．（2022?思明區(qū)二模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），連接，若，則的度數(shù)可以是A． B． C． D．【分析】四邊形是的內(nèi)接四邊形，則和互補(bǔ)，已知，則的度數(shù)為，而大于的度數(shù)，從而得出答案．【解答】解：四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，，可能為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求出的度數(shù)，再根據(jù)外角的性質(zhì)對(duì)的度數(shù)做出正確的推斷．3．（2023?新?lián)釁^(qū)模擬）如圖，在中，，，，，連接，以為斜邊在的右側(cè)作等腰直角，是邊上的一點(diǎn)，連接和，當(dāng)，則長(zhǎng)為2．【分析】由得動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槭堑妊苯侨切吻?，所以想到瓜豆原理，可兩次?gòu)造三角形相似去解答．【解答】解：以為斜邊在的右側(cè)作等腰直角，連接，．，，，，，，在四邊形中，，、、、四點(diǎn)共圓，，，，又，，，，，在四邊形中，由對(duì)角互補(bǔ)模型得，，，，故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由瓜豆原理來構(gòu)造三角形相似，涉及四點(diǎn)共圓、對(duì)角互補(bǔ)模型、手拉手模型，難度很大．4．（2022秋?蕭山區(qū)月考）如圖，以為公共頂點(diǎn)的和中，，，且點(diǎn)在線段上，則，若，，則．【分析】根據(jù)題意可證明、、、四點(diǎn)共圓，可得，設(shè)，則，由勾股定理得，設(shè)，則，由勾股定理得，再根據(jù)，再由勾股定理即可求得的值．【解答】解：，，，、、、四點(diǎn)共圓，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，，解得：，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，，解得：，，，，，，在中，由勾股定理得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含的直角三角形、勾股定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，中，，，．以為弦的圓分別交、于、兩點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，且滿足．若，則的面積的最小值是．【分析】連接，利用四點(diǎn)共圓和同弧所對(duì)的圓周角相等證明，從而得到△，當(dāng)最小時(shí)，的面積就最小，作的外接圓，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接、，，當(dāng)最小時(shí)，就最小，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，在中，，求出，可得的最小值為，再求，即的面積的最小值為．【解答】解：連接，，，，，，，、、、四點(diǎn)共圓，，，，，，，，△，，，，，邊上的高，當(dāng)最小時(shí)，的面積就最小，作的外接圓，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接、，，，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，，當(dāng)最小時(shí)，就最小，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，，在中，，解得或，，，的最小值為，，的面積的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A心角與圓周角的關(guān)系，四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，三角形外接圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022?靖江市二模）如圖，，，點(diǎn)、分別是線段、射線上的動(dòng)點(diǎn)，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為．【分析】連接并延長(zhǎng)，利用四點(diǎn)共圓的判定定理得到，，，四點(diǎn)共圓，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到，得到點(diǎn)的軌跡，最后利用垂線段最短和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【解答】解：連接并延長(zhǎng)，如圖，，，，，，，，四點(diǎn)共圓，為等腰直角三角形，，，，點(diǎn)的軌跡為的平分線上，垂線段最短，當(dāng)時(shí)，取最小值，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定圓周角定理，點(diǎn)的軌跡，垂線段的性質(zhì)，利用已知條件求得點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．7．（2022春?越秀區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，點(diǎn)是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為20．【分析】取一點(diǎn)，連接，，，首先利用四點(diǎn)共圓證明，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明，進(jìn)而可得，由于，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，勾股定理可得長(zhǎng)，進(jìn)而可得的最小值．【解答】解：如圖，取一點(diǎn)，連接，，，，，，，，以為圓心，為半徑作，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接，，則，，、、、四點(diǎn)共圓，．，，，，又，，，，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，，的最小值是20．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題主要四點(diǎn)共圓，相似三角形，勾股定理等，解題關(guān)鍵是利用相似將進(jìn)行轉(zhuǎn)化．8．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，在的內(nèi)接四邊形中，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，若，．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角求解．【解答】解：四邊形內(nèi)接于，．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角．9．（2021秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形中，，連接，，過點(diǎn)作，垂足為，若，，，則．【分析】取中點(diǎn)為，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半得出，從而可得點(diǎn)、、、在以為直徑的圓上，利用圓周角的關(guān)系定理及可得；再證明，并由勾股定理求得的長(zhǎng)；然后再證明，設(shè)，利用相似三角形的性質(zhì)得比例式，解得的值，則可得答案．【解答】解：如圖，取中點(diǎn)為，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，，點(diǎn)、、、在以為直徑的圓上，，，，，，，又，，，，在中，由勾股定理得：，，，，，，，設(shè)，則，，，，解得或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的斜邊中線性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)及求解方程等知識(shí)點(diǎn)，證明出點(diǎn)、、、共圓是解題的關(guān)鍵．10．（2023春?永城市期末）如圖，點(diǎn)在正方形的邊上（不與點(diǎn)，重合），連接，將沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，作射線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)．①求的度數(shù)；②直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）在與中找對(duì)應(yīng)的邊和角相等；（2）①猜想，根據(jù)，只要說明，再尋求角角關(guān)系；②由猜想是等腰直角三角形，正方形中也可構(gòu)造等腰直角三角形，利用手拉手模型證明三角形相似．【解答】（1）證明：沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，，，垂直平分，在中，，四邊形是正方形，，，在中，，，．（2）解：①由翻折知，．四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，．②連接，，，、、、四點(diǎn)共圓，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判斷，平行線的性質(zhì)，三角形相似等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵要善于聯(lián)想，大膽猜測(cè)，向熟知的題型上靠．11．（2023?江漢區(qū)校級(jí)模擬）如圖，和都是直角三角形，，．（1）如圖1，證明：；（2）如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，證明：；（3）如圖3，若，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)或．【分析】（1）由題意易得，利用相似三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)同角加等角相等可得，以此即可證明；（2）由可得，以此可證、、、四點(diǎn)共圓（若線段同側(cè)兩點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那么這兩點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)四點(diǎn)共圓），由圓周角定理得到是該圓的直徑，進(jìn)而得到為圓心，以此即可證明；（3）分兩種情況：當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，由含30度角的直角三角形性質(zhì)可得，，，再利用勾股定理求出，則，由，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出；當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，同理可得：，，，，此時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】（1）證明：，．，，，，即，，；（2）證明：，，即，、、、四點(diǎn)共圓，，是以、、、四點(diǎn)共圓的直徑，為的中點(diǎn)，是以、、、四點(diǎn)共圓的圓心，；解：（3）當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，連接，，，，，，，，在中，，在中，，，，，即，；當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，連接，同理可得：，，，，，，，即，．綜上，的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、含角的直角三角形、勾股定理，熟練掌握判定三角形相似的方法和相似三角形的性質(zhì)，并學(xué)會(huì)利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．12．（2023春?南崗區(qū)期末）已知：，都是銳角的高．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，延長(zhǎng)至，使，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，求線段的長(zhǎng)．【分析】（1）要證，左邊為兩角相加，考慮外角；（2）證明即可；（3）由（2）可得是等腰直角三角形，，在直角中，考慮勾股定理和方程思想，對(duì)于條件，轉(zhuǎn)化成某條線段的長(zhǎng)度．【解答】（1）證明：如圖1，設(shè)與相交于點(diǎn)，，，，，，（2）解：如圖2，，，，，，，．（3）解：如圖3，連接，．，，，，，是等腰直角三角形，，，，、、、四點(diǎn)共圓，，，是等腰直角三角形，，，設(shè)，則，，，在中，，，或（舍掉），．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的性質(zhì)、三角形全等、解直角三角形、四點(diǎn)共圓、圓的性質(zhì)、方程思想、轉(zhuǎn)化思想，綜合性強(qiáng)，難度性大，尤其第三問，這個(gè)條件轉(zhuǎn)化成是關(guān)鍵．13．（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）問題提出（1）如圖1，正方形，點(diǎn)、分別在邊、上，連接與交于點(diǎn)，有，則1；（2）如圖2，平行四邊形，，，點(diǎn)、分別在邊、上，連接與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，你能求出的比值嗎？請(qǐng)寫出求比值的過程；問題解決（3）如圖3，四邊形，，，，，點(diǎn)在邊上，連接與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．【分析】（1）證，得，即可得出結(jié)論；（2）證，得，再證，得，則，即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，則四邊形是平行四邊形，同（2）得，則，再證，得，則，在上取一點(diǎn)，使，連接，證是等邊三角形，得，，然后證，得，設(shè)，則，，進(jìn)而由得出方程，求出，即可解決問題．【解答】解：（1）四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，，，，故答案為：1；（2）能求出的比值為，過程如下：，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，；（3）如圖3，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，則四邊形是平行四邊形，，，，，同（2）得：，，，，，、、、四點(diǎn)共圓，，，，，即，，，，，在上取一點(diǎn)，使，連接，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，解得：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．14．（2023?梁園區(qū)校級(jí)三模）如圖，矩形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交直線于點(diǎn)．（1）當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，試判斷，，的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)，①中的結(jié)論是否變化，若不變，請(qǐng)證明．若變化，請(qǐng)說明理由；（2）如圖3，若其他條件不變，中，，，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)等腰三角形和矩形的性質(zhì)易得，，，由旋轉(zhuǎn)可知，，于是可得、、、四點(diǎn)在以為直徑的圓上，根據(jù)等弦所對(duì)的圓周角相等得，則，根據(jù)等角的余角相等可得，以此可通過證明，得到，易得，利用線段之間關(guān)系得到，以此即可得到結(jié)論；②仿照①的解法，此時(shí)，以此即可得到結(jié)論；（2）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)射線上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，易得，于是在中，，，則，在中，，由旋轉(zhuǎn)可知，得到、、、四點(diǎn)在以為直徑的圓上，由同弦所對(duì)圓周角相等可得，利用等角的余角相等可得，以此可證明，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出的值；當(dāng)點(diǎn)射線上時(shí)，仿照上述解題方法即可求解．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，為等腰直角三角形，，，四邊形為矩形，，，，，，由旋轉(zhuǎn)可知，，、、、四點(diǎn)在以為直徑的圓上，，為等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，，，，，即；故答案為：；②①中的結(jié)論會(huì)變化，理由如下：過點(diǎn)作的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，由①可得，，，，，，即；（2）當(dāng)點(diǎn)射線上時(shí)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，四邊形為矩形，，，，，，即，，，，在中，，，，在中，，由旋轉(zhuǎn)可知，，、、、四點(diǎn)在以為直徑的圓上，，，，，，，，即，；當(dāng)點(diǎn)射線上時(shí)，如圖，過點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，四邊形為矩形，，，，，在中，，，，在△中，，由旋轉(zhuǎn)可知，，、、、四點(diǎn)在以為直徑的圓上，，即，，，，即，；綜上，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，屬于四邊形的綜合題，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題．15．（2023?渦陽(yáng)縣二模）如圖1，的內(nèi)角和外角的平分線相交于點(diǎn)，平分并交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，且，求，（3）如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，，其中，連接、，求．【分析】（1）利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可求證；（2）構(gòu)造相似三角形得到即可求解；（3）取的中點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，，連接、，構(gòu)造四點(diǎn)共圓，利用相似三角形的判定、性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】（1）證明：的內(nèi)角和外角的平分線相交于點(diǎn)，，，又、分別是、的一個(gè)外角，，；（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則平分，又，，，又，，，，，，，答：的值為；（3）如圖，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)分別作于，于，連接、，，可設(shè)，則，，，又，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，是的平分線，，．由（1）（2）知平分，平分．，（小題1中已證），，點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓，，為中點(diǎn)，為圓的直徑，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義及性質(zhì)定理、三角形外角的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定與圓的基本性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，本題綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的圖形分析能力，且對(duì)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)理解到位并熟練運(yùn)用．16．（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）如圖內(nèi)接于，，是的直徑，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，．（1）求證：是的切線；（2）求的直徑；（3）當(dāng)點(diǎn)在下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出內(nèi)心的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)是．【分析】（1）分別求出，，即可得，從而證明是的切線；（2）由（1）可知，，則，即可求圓的直徑是6；（3）設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，連接，，，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)可得，因此可知點(diǎn)在以為弦，弦所對(duì)的圓周角為的圓上，作的外接圓，連接、，再由，可知點(diǎn)在圓上，連接，可得是等邊三角形，則，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，所以內(nèi)心的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接，，是圓的直徑，，，，，是等邊三角形，，，，，，，點(diǎn)在圓上，是的切線；（2）解：由（1）可知，，，，，，，，圓的直徑是6；（3）解：設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，連接，，，，，是的平分線，是的平分線，，，由（2）可知，，點(diǎn)在以為弦，弦所對(duì)的圓周角為的圓上，作的外接圓，連接、，，，，點(diǎn)在圓上，連接，，，是等邊三角形，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，內(nèi)心的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)，切線的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，圓的弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）【問題情境】如圖①，在四邊形中，，求證：、、、四點(diǎn)共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，請(qǐng)你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過程；【問題解決】如圖②，在正方形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，，作于點(diǎn)．（1）如圖②，