數(shù)字信號(hào)處理簡(jiǎn)明教程 課件 第5-7章 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法、FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法、數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)表示

第5章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法5.1數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本概念5.2模擬低通原型濾波器設(shè)計(jì)方法5.3沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR濾波器5.4雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器5.5用MATLAB設(shè)計(jì)IIR濾波器習(xí)題

設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器大致可分為三步：

(1)按照實(shí)際需要確定濾波器的性能要求,選擇濾波器類型和參數(shù),即確定濾波器是低通、高通、帶通還是帶阻,通帶、阻帶截止頻率是多少,通帶的波動(dòng)范圍不能超過多少,阻帶的衰減需要多大,等等。

(2)用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個(gè)性能要求。此系統(tǒng)函數(shù)可分為兩類,即IIR系統(tǒng)函數(shù)與FIR系統(tǒng)函數(shù)。

(3)用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。這里包括選擇算法結(jié)構(gòu),如級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型、直接型、頻率采樣型等,還包括選擇合適的字長(zhǎng)以及有效的數(shù)字處理方法等。

5.1數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本概念

5.1.1濾波的概念

濾波狹義的理解就是選頻,通過預(yù)先設(shè)計(jì)的系統(tǒng),對(duì)某一個(gè)或幾個(gè)頻率范圍(頻帶)內(nèi)的電信號(hào)給予很小的衰減或不衰減,而對(duì)其他頻帶內(nèi)的電信號(hào)則給予很大的衰減,這樣的系統(tǒng)稱為選頻濾波器。圖5-1是一個(gè)由RC組成的模擬濾波器。

圖5-1RC低通濾波器

分析該電路可得電壓傳輸函數(shù)的幅頻特性為

可見,輸出電壓中的低頻分量ω1衰減非常小,而高頻分量ω2衰減較大。

再看第二個(gè)例子,信號(hào)s(t)=cos(2π×10t)＋0.4cos(2π×200t)由兩個(gè)不同頻率的信號(hào)相疊加,疊加后的時(shí)域和頻域波形如圖5-2所示。

圖5-2信號(hào)s(t)的時(shí)域和頻域波形

若只想保留低頻分量cos(2π×10t),則將此信號(hào)通過一個(gè)預(yù)先設(shè)計(jì)的低通濾波器(幅頻特性如圖5-3所示),即可以選出此頻率成分。濾波器的輸出信號(hào)如圖5-4所示。

圖5-3低通濾波器的幅頻特性

圖5-4信號(hào)通過低通濾波器后的輸出

以上例子也可以用以下的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)。

設(shè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)(濾波器)的單位脈沖響應(yīng)為h(n),輸入信號(hào)為x(n),則對(duì)x(n)的濾波計(jì)算為

y(n)為濾波器的輸出,通過上式的卷積運(yùn)算可以改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或?yàn)V除某些頻率成分。寫成頻域和復(fù)頻域表達(dá)式分別為

5.1.2數(shù)字濾波器的分類

數(shù)字濾波器有以下幾種分類方法：

(1)由單位脈沖響應(yīng)的長(zhǎng)度可分為兩類：有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器和無限

長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器。

(2)從功能上分可分為五類：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器和全通濾波器,它們的理想幅頻特性如圖5-5所示。

圖5-5中理想濾波器的時(shí)域響應(yīng)是非因果的,因此是不可實(shí)現(xiàn)的,但理想濾波器給我們的濾波器設(shè)計(jì)指明了方向,提供了逼近的標(biāo)準(zhǔn),從而按照某些準(zhǔn)則、在誤差容限內(nèi)設(shè)計(jì)濾波器,使之盡可能逼近它。

圖5-5理想低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器的幅頻特性

需要特別注意的是,數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)是以2π為周期的,低通濾波器的通帶中心位于2π的整數(shù)倍處,高通濾波器的通帶中心位于π的奇數(shù)倍處。一般在數(shù)字濾

波器的主值區(qū)[－π,π)描述數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)特性。

5.1.3數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)

一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的數(shù)字低通濾波器的歸一化幅頻特性可用如圖5-6所示的曲線表示(圖中僅畫出了區(qū)間[0,π)內(nèi)的曲線,其他部分可根據(jù)對(duì)稱性和周期性獲得)。與理想低通濾波器比較,物理可實(shí)現(xiàn)的低通濾波器其通帶和阻帶允許一定的誤差,通帶和阻帶之間存在過渡帶。

圖5-6物理可實(shí)現(xiàn)數(shù)字低通濾波器幅頻特性示意圖

工程上,數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)還常以衰減的形式給出,衰減響應(yīng)的定義為

式中,|H(ejω)|2稱為數(shù)字濾波器的幅度平方函數(shù)。根據(jù)衰減響應(yīng)的定義,圖5-6所示的低通濾波器通帶內(nèi)允許的最大衰減ap

和阻帶內(nèi)允許的最小衰減as

分別定義為

由此,圖5-6所示的幅頻特性曲線對(duì)應(yīng)的衰減響應(yīng)曲線如圖5-7所示(圖中僅畫出了區(qū)間[0,π]內(nèi)的曲線,其他部分由對(duì)稱性和周期性可得)。圖5-7物理可實(shí)現(xiàn)的數(shù)字低通濾波器衰減響應(yīng)示意圖

5.1.4

IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法

IIR濾波器的設(shè)計(jì)就是在給定的濾波器的技術(shù)指標(biāo)下,

確定濾波器系統(tǒng)函數(shù)的階數(shù)N和兩組系數(shù)

{br}和{ak}。一般地,在滿足技術(shù)指標(biāo)的前提下,應(yīng)選擇

階數(shù)N的最小值。

IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法按其難易程度主要分為三種。

(1)零、極點(diǎn)累試法。根據(jù)濾波器的頻率特性,在z平面單位圓內(nèi)選擇不同的零、極點(diǎn)直到滿足要求為止,該方法適用于簡(jiǎn)單的低階IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。

(2)利用模擬濾波器理論(模擬原型)來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。這是一種最常用的方法,又稱為間接法。設(shè)計(jì)步驟是,首先將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo),然后設(shè)計(jì)滿足要求的模擬低通濾波器,最后用數(shù)學(xué)映射將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為所需的數(shù)字濾波器。

(3)采用優(yōu)化算法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。這種方法需要計(jì)算機(jī)軟件編程來完成,難度相對(duì)較大,但設(shè)計(jì)的精確度較好。

5.2模擬低通原型濾波器設(shè)計(jì)方法

常用的IIR濾波器設(shè)計(jì)方法是以模擬濾波器為原型,采用適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換方法將s平面的模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)H(s)轉(zhuǎn)換為z平面的傳輸函數(shù)H(z),以實(shí)現(xiàn)不同要求的數(shù)字濾波器。采用這種設(shè)計(jì)方法的主要原因是：模擬濾波器的設(shè)計(jì)技術(shù)已非常成熟,設(shè)計(jì)中可選擇典型的模擬濾波器,如巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器、橢圓濾波器等作為原型濾波器；可以得到

H(s)解析解,并有大量的成型圖和表格可以利用；此外,許多應(yīng)用場(chǎng)合需要模擬濾波器進(jìn)行數(shù)字模擬。

5.2.1模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)

物理可實(shí)現(xiàn)模擬低通濾波器的歸一化幅頻特性曲線和衰減響應(yīng)曲線如圖5-8所示。圖5-8物理可實(shí)現(xiàn)模擬低通濾波器

圖5-8中,Ωp、Ωc、Ωs分別為通帶截止頻率、3dB通帶截止頻率和阻帶截止頻率；δp是通帶波紋峰值,表示通帶誤差容限；δs是阻帶波紋峰值,表示阻帶誤差容限。圖5-8(b)的衰減響應(yīng)定義為

式中,稱為模擬濾波器的幅度平方函數(shù)。圖5-8所示的低通濾波器通帶內(nèi)允許的最大衰減Ap和阻帶內(nèi)允許的最小衰減As分別定義為

顯然當(dāng)模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)確定后,需要用這些指標(biāo)設(shè)計(jì)一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng),其系統(tǒng)函數(shù)為H(s),對(duì)應(yīng)的頻率函數(shù)H(jΩ)=H(s)

|s=jΩ,在Ωp和Ωs處應(yīng)該滿足式(5-2)和式(5-3)。那么如何由幅度頻率響應(yīng)求系統(tǒng)函數(shù)呢？這里需要用幅度平方函數(shù)來過渡。

因此,根據(jù)幅度平方函數(shù)|

H(jΩ)|2確定系統(tǒng)函數(shù)H(s)的方法如下：

(1)由幅度平方函數(shù)|

H(jΩ)|2得對(duì)稱的s平面函數(shù)W(s),即

(2)對(duì)W(s)進(jìn)行因式分解,求出零、極點(diǎn),

(3)為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定,選用位于s左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成H(s)；假設(shè)H(s)為最小相位系統(tǒng),選用左半平面的零點(diǎn)；將位于s右半平面的極點(diǎn)和零點(diǎn)構(gòu)成H(-s)。

(4)對(duì)比H(s)與H(jΩ),確定增益常數(shù)G。

5.2.2巴特沃斯模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)

巴特沃斯模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)定義為

式中,N為濾波器階數(shù),Ωc為濾波器的3dB通帶截止頻率,單位為rad/s。故有

當(dāng)Ωc=1時(shí),巴特沃斯模擬低通濾波器稱為歸一化巴特沃斯模擬低通濾波器。圖5-9畫出了N=2,4,8時(shí),巴特沃斯模擬低通濾波器的幅頻特性曲線。

圖5-9巴特沃斯模擬低通濾波器的幅頻特性曲線

由圖5-9可見,巴特沃斯模擬低通濾波器的幅頻特性曲線單調(diào)下降,下降速度與階數(shù)有關(guān),N取較大值,曲線下降速度快,且通帶阻帶平坦,過渡帶窄,在Ω=0處具有最大平坦性。

巴特沃斯模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)給定的技術(shù)指標(biāo),確定式(5-4)中的階數(shù)N和3dB通帶截止頻率Ωc,從而得到待設(shè)計(jì)濾波器的幅度平方函數(shù)|

H(jΩ)|2,再由|

H(jΩ)|2確定系統(tǒng)函數(shù)H(s)。

極點(diǎn)分布圖如圖5-10所示。圖5-10三階巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)分布圖

系統(tǒng)函數(shù)為

綜上所述,巴特沃斯模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟為：

(1)用給定的技術(shù)指標(biāo)Ωp(rad/s)、Ap(dB)、Ωs(rad/s)和As(dB),由式(5-7)確定階數(shù)N；

(2)根據(jù)式(5-8)確定3dB通帶截止頻率Ωc；

(3)根據(jù)式(5-10)計(jì)算S左半平面的N個(gè)極點(diǎn)；

(4)根據(jù)式(5-11)確定巴特沃斯模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)。

圖5-11畫出了所設(shè)計(jì)的濾波器的衰減曲線,從曲線可以看到阻帶指標(biāo)剛好滿足,通帶有裕量。圖5-11

4階巴特沃斯模擬低通濾波器的衰減響應(yīng)曲線

然后去歸一化,可得系統(tǒng)函數(shù)H(s)的表達(dá)式為

在得到了模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)后,按照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將H(s)轉(zhuǎn)換成為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z),即就是將s平面的H(s)轉(zhuǎn)換成為z平面的H(z)。為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標(biāo),這種轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)該滿足兩個(gè)原則：

(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器仍是因果穩(wěn)定的。轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)該是將s左半平面的H(s)的極點(diǎn),轉(zhuǎn)換成為z平面的單位圓內(nèi)的H(z)的極點(diǎn)。

(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)應(yīng)該模仿模擬濾波器的頻率響應(yīng)。轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)該是將s平面虛軸映射為z平面的單位圓,相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。

5.3沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR濾波器

沖激響應(yīng)不變法也稱脈沖響應(yīng)不變法,又稱標(biāo)準(zhǔn)Z變換法。它的理論基礎(chǔ)是使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)等于模擬濾波器沖激響應(yīng)h(t)的等間隔采樣值,即

5.3.1沖激響應(yīng)不變法的映射關(guān)系

假設(shè)某模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)只有單階極點(diǎn)且分母多項(xiàng)式的階次高于分母多項(xiàng)式的階次,將H(s)用部分分式表示為

對(duì)式(5-14)進(jìn)行拉普拉斯逆變換可以得到該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為

上式表明,s平面的左半平面(σ<0)映射到Z平面的單位圓內(nèi)(r<1),s平面的虛軸(σ=0)映射到z平面的單位圓周上(r=1)。這樣模擬濾波器位于s左半平面的極點(diǎn)將被映射到z平面的單位圓內(nèi)部。因此,脈沖響應(yīng)不變法可以將因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成一個(gè)因果穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。

圖5-12脈沖響應(yīng)不變法s平面到z平面的映射關(guān)系

5.3.2原型模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻響關(guān)系

根據(jù)時(shí)域采樣理論,由脈沖響應(yīng)不變法獲得的數(shù)字濾波器的頻率函數(shù)H(ejω)

=H(z)|

z

=ejω與模擬濾波器的頻率函數(shù)H(jΩ)=

H(s)|s

=jΩ應(yīng)滿足下列關(guān)系

圖5-13脈沖響應(yīng)不變法頻域混疊示意圖

通過以上分析可知,利用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器時(shí),數(shù)字域頻率ω與模擬域頻率Ω呈線性關(guān)系,即ω=ΩT,這是脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn),但同時(shí)帶來的缺點(diǎn)也是明顯的,即頻譜的周期延拓效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致混疊失真,因此脈沖響應(yīng)不變法只適合用來設(shè)計(jì)限帶的數(shù)字濾波器(信號(hào)的最高頻率不超過折疊頻率),如低通或帶通濾波器,并且高頻的衰減越大越好,這樣產(chǎn)生的混疊效應(yīng)會(huì)越小。

(3)利用部分分式展開,把H(s)展開成如下形式

圖5-14用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的濾波器的衰減響應(yīng)

設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的通帶最大衰減和阻帶最小衰減分別為Ap=1.10dB和As=12.36dB,顯然數(shù)字濾波器的阻帶指標(biāo)沒有滿足,其原因就是脈沖響應(yīng)不變法存在頻域混疊現(xiàn)象,而巴特沃斯模擬低通濾波器不是帶限的,所以,阻帶(高頻端)性能不好。另外,從階數(shù)的計(jì)算公式可以看到,本例題中采樣間隔Ｔ的大小對(duì)階數(shù)Ｎ沒有影響,從而對(duì)3dB帶寬也沒有影響,當(dāng)然對(duì)濾波器的性能也就沒有影響。若想改善頻域混疊現(xiàn)象,只有增大阻帶衰減。

由圖5-14可以看到,模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻率特性非常一致,這是因?yàn)槊}沖響應(yīng)不變法的數(shù)字域頻率與模擬域頻率呈線性關(guān)系,這是脈沖響應(yīng)法的優(yōu)點(diǎn)。

5.4雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器

圖5-15數(shù)字域頻率ω與模擬頻率Ω的關(guān)系曲線

圖5-16雙線性變換s平面到z平面的映射關(guān)系示意圖

將s=σ＋jΩ,z=rejω代入式(5-29),可得

由式(5-30)可以看出σ=0,r=1時(shí),s平面的虛軸映射為z

平面的單位圓周；σ<0,r<1時(shí),s平面的左半平面映射到z

平面的單位圓內(nèi)。因此,一個(gè)因果穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)經(jīng)雙線性變換后是一個(gè)因果穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng)。

5.4.2頻率的預(yù)畸變校正

數(shù)字頻率ω與模擬頻率Ω一一對(duì)應(yīng),消除了頻域混疊,但數(shù)字頻率ω與模擬頻率Ω之間的非線性關(guān)系,使轉(zhuǎn)換后的數(shù)字濾波器不能完全模仿模擬濾波器的頻率響應(yīng),且在分段邊界點(diǎn)產(chǎn)生畸變,這是雙線性變換法的缺點(diǎn)。

圖5-17畫出了一個(gè)模擬濾波器和經(jīng)雙線性變換法變換后的數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)。圖中模擬濾波器的邊界頻率Ωp和Ωs經(jīng)頻率變換式(5-26)變換后的數(shù)字系統(tǒng)邊界頻率分別為而不是要求的

所以,在將數(shù)字濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的邊界頻率以便設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí),要用式(5-27)計(jì)算Ωp和Ωs

,這個(gè)過程稱為預(yù)畸變校正。

另外,從圖5-17中可以看出,由于雙線性變換法的頻率映射關(guān)系是非線性的,必然造成幅頻響應(yīng)的非線性,所以雙線性變換法只適合設(shè)計(jì)幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)的濾波器,不適合設(shè)計(jì)幅頻響應(yīng)為非常數(shù)的系統(tǒng)。

5.4.3雙線性變換法的設(shè)計(jì)方法

利用雙線性變換法設(shè)計(jì)通帶截止頻率為ωp,通帶衰減為Ap,阻帶截止頻率為ωs,阻帶衰減為As的數(shù)字濾波器的步驟如下：

(1)將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬指標(biāo)。

利用進(jìn)行頻率的預(yù)畸變校正,得到

和衰減指標(biāo)不變。

(2)設(shè)計(jì)通帶截止頻率為Ωp,通帶衰減為Ap,阻帶截止頻率為Ωs,阻帶衰減為As的模擬濾波器H(s)。

根據(jù)實(shí)際需要選擇用巴特沃斯型、ChebyshevⅠ型、ChebyshevⅡ型或橢圓型等模擬原型濾波器來實(shí)現(xiàn)。

(3)用雙線性法將H(s)轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H(z)。

圖5-18用雙線性變換法設(shè)計(jì)的濾波器的衰減響應(yīng)

由圖5-18可見,雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器時(shí)不存在頻域混疊現(xiàn)象,邊界頻率亦滿足設(shè)計(jì)要求,但數(shù)字濾波器的頻響曲線與模擬濾波器的頻響曲線不完全相同。這就是由于頻率映射關(guān)系的非線性造成的頻率響應(yīng)失真,或者說是由于Ω與ω的非線性關(guān)系導(dǎo)致z=rejω中的相位特性的失真。雙線性變換方法是以相頻特性的失真換取幅頻特性不產(chǎn)生混疊失真,這是雙線性變換法的缺點(diǎn)。

采樣間隔T是由模擬系統(tǒng)到數(shù)字系統(tǒng)的一個(gè)非常重要的物理量。圖5-19畫出了例題5-5中將采樣間隔由T=0.1s改變?yōu)門

=0.05s所設(shè)計(jì)的濾波器。比較圖5-18和圖5-19可以發(fā)現(xiàn),采樣間隔變小,改變的僅僅是模擬濾波器的帶寬,即將數(shù)字邊界頻率轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的邊界頻率時(shí),采樣間隔影響了模擬系統(tǒng)的邊界頻率。但是,在例題5-4中,曾提到了采樣間隔不影響設(shè)計(jì)結(jié)果,這是因?yàn)樵谠O(shè)計(jì)濾波器時(shí),如果給定的是數(shù)字濾波器的邊界頻率,則采樣間隔可以任選,不會(huì)影響設(shè)計(jì)結(jié)果。

圖5-19例題5-5中改變采樣間隔所設(shè)計(jì)的另一系統(tǒng)

5.5用MATLAB設(shè)計(jì)IIR濾波器

5.5.1巴特沃斯模擬低通濾波器的MATLAB設(shè)計(jì)方法

MATLAB信號(hào)處理工具箱提供了常用的設(shè)計(jì)濾波器的函數(shù),調(diào)用這些函數(shù)可以很方便地設(shè)計(jì)各類濾波器。

(1)[N,wc]=buttoed(wp,ws,Rp,As,′s′)。

該函數(shù)用于計(jì)算巴特沃斯模擬低通濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc。wp和ws分別是通帶截止角頻率Ωp和阻帶截止角頻率

Ωs,單位是弧度／秒(rad/s)；Rp、As分別為通帶允許最大衰減Ap和阻帶允許最小衰減As,單位為分貝(dB)；′ｓ′選項(xiàng)表示設(shè)計(jì)的是模擬濾波器。

(2)[B,A]=butter(N,wc,′s′)。

該函數(shù)用于計(jì)算階數(shù)為N、3dB截止頻率為wc的巴特沃斯模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的分子分母系數(shù),即

(3)[Z,P,G]=buttap(N)。

該函數(shù)用于計(jì)算歸一化巴特沃斯模擬低通濾波器(Ωc=1)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益,即

(4)[B,A]=zp2tf(Z,P,G)。

該函數(shù)于計(jì)算零、極點(diǎn)和增益分別為Z、P和G的歸一化巴特沃斯模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的分子分母系數(shù)(將級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為直接結(jié)構(gòu))。

5.5.2其他類型低通濾波器的MATLAB設(shè)計(jì)方法?

巴特沃斯模擬濾波器的幅頻響應(yīng),無論是在通帶還是在阻帶都隨頻率單調(diào)變化,因而設(shè)計(jì)出的濾波器在通帶或阻帶存在裕量；若能將逼近精度均勻地分布在通帶或阻帶,或同時(shí)均勻地分布在通帶和阻帶,就可以降低濾波器的階數(shù),從而簡(jiǎn)化系統(tǒng)。這種精度均勻分布的濾波器可以采用具有等波紋特性的逼近函數(shù)來實(shí)現(xiàn),比如Chebyshev濾波器、橢圓濾波器。

ChebyshevⅠ型模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶是等波紋的,在阻帶單調(diào)下降；ChebyshevⅡ型模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶單調(diào)下降,在阻帶是等波紋的；橢圓模擬低通濾波器在通帶和阻帶都是等波紋的,因而要實(shí)現(xiàn)相同技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器,橢圓濾波器所需的階數(shù)通常最低。下面先簡(jiǎn)單介紹這三類濾波器的技術(shù)參數(shù),然后介紹用MATLAB函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器。

1.ChebyshevⅠ型模擬低通濾波器

ChebyshevⅠ型模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)為

式中,N是濾波器的階數(shù)；ε表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度,ε愈大,波動(dòng)幅度愈大,與通帶衰減Ap的關(guān)系為

Ωp是通帶截止頻率；CN(x)為N階Chebyshev多項(xiàng)式。

ChebyshevⅠ型模擬低通濾波器的幅頻特性曲線如圖5-20所示。

圖5-20

ChebyshevⅠ型模擬低通濾波器的幅頻特性曲線

2.ChebyshevⅡ型模擬低通濾波器

ChebyshevⅡ型模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)為

式中,

N

是濾波器的階數(shù)；ε表示阻帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度,ε愈大,波動(dòng)幅度愈大,與阻帶衰減As的關(guān)系為

Ωs是阻帶截止頻率；CN(x)為N階Chebyshev多項(xiàng)式。

ChebyshevⅡ型模擬低通濾波器的幅頻特性曲線如圖5-21所示。

圖5-21ChebyshevⅡ型模擬低通濾波器的幅頻特性曲線

3.橢圓(Elliptic)型模擬低通濾波器(又稱Cauer型濾波器)

橢圓型模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)為

圖5-22橢圓型模擬低通濾波器的幅頻特性曲線

MATLAB信號(hào)處理工具箱提供的有關(guān)設(shè)計(jì)Chebyshev濾波器和橢圓型濾波器的函數(shù)如下。

1.ChebyshevⅠ型

(1)[Z,P,G]=cheb1lap(N,Rp)。

該函數(shù)用于計(jì)算歸一化(以通帶截止頻率ΩP歸一化,即ΩP=1)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益,N為濾波器階數(shù),Rp為通帶允許的最大衰減,以分貝為單位。

(2)[N,wpo]=cheb1lord(wp,ws,Rp,AS,′s′)。

該函數(shù)用于計(jì)算ChebyshevⅠ型模擬低通濾波器的階數(shù)N和通帶截止頻率wpo。wp和ws分別是通帶截止角頻率ΩP和阻帶截止角頻率Ωs,單位是弧度/秒(rad/s)；Rp、AS分別為通帶允許最大衰減Ap和阻帶允許最小衰減AS,單位為分貝(dB)；′s′選項(xiàng)表示設(shè)計(jì)的是模擬濾波器。

(3)[B,A]=cheby1(N,Rp,wpo,′s′)。

該函數(shù)用于計(jì)算階數(shù)為N、通帶截止頻率為wpo的ChebyshevⅠ型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的分子分母系數(shù)。

2.ChebyshevⅡ型

(1)[Z,P,G]=cheb2ord(N,As)。

該函數(shù)用于計(jì)算歸一化(以通帶截止頻率Ωs歸一化,即Ωs=1)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益,N為濾波器階數(shù),As為阻帶允許的最小衰減,以分貝為單位。

(2)[N,wso]=cheb2ord(wp,ws,Rp,As,′s′)。

該函數(shù)用于計(jì)算ChebyshevⅡ型模擬低通濾波器的階數(shù)N和阻帶截止頻率wso。wp,ws,Rp,As意思同上。′s′選項(xiàng)表示設(shè)計(jì)的是模擬濾波器。

(3)[B,A]=cheby2(N,As,wso,′s′)

該函數(shù)用于計(jì)算階數(shù)為N、阻帶截止頻率為wso的ChebyshevⅡ型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的分子分母系數(shù)。

3.橢圓型

(1)[Z,P,G]=ellipap(N,Rp,As)。

該函數(shù)用于計(jì)算歸一化(以通帶截止頻率Ωp歸一化,即Ωp=1)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益,N為濾波器階數(shù),Rp和As分別為通帶允許的最大衰減和阻帶允許的最小衰減,以分貝為單位。

(2)[N,wpo]=ellipap(wp,ws,Rp,As,′s′)。

該函數(shù)用于計(jì)算橢圓型模擬低通濾波器的階數(shù)Ｎ和通帶截止頻率wpo。wp、ws、Rp、As意思同上。′s′選項(xiàng)表示設(shè)計(jì)的是模擬濾波器。

(3)[B,A]=ellipap((N,Rp,wpo,′s′)。

該函數(shù)用于計(jì)算階數(shù)為N、通帶截止頻率為wpo的橢圓形模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的分子分母系數(shù)。

圖5-23

圖5-24四類濾波器的衰減響應(yīng)曲線

為了更好地比較巴特沃斯、ChebyshevⅠ型、ChebyshevⅡ型和橢圓型模擬濾波器，圖5-25畫了相同階數(shù)（N=5），相同通帶、阻帶衰減（Ap=2dB，As＝40dB）的巴特沃斯、

ChebyshevⅠ型、ChebyshevⅡ型和橢圓型模擬濾波器的衰減曲線。圖中的歸一化角頻率是指：巴特沃斯濾波器對(duì)3dB截止頻率Ωc歸一化，ChebyshevⅠ型和橢圓型模擬濾波器對(duì)通帶截止頻率Ωp歸一化，ChebyshevⅡ型對(duì)阻帶截止頻率Ωs歸一化。由圖可見，在階數(shù)、通帶阻帶衰減相同的情況下，巴特沃斯模擬濾波器的過渡帶最寬，橢圓型過渡帶最窄，Cheby-shev型的過渡帶寬介于兩者之間。（注意：hebyshevⅠ型濾波器設(shè)計(jì)時(shí)只需要通帶指標(biāo)，不能兼顧阻帶指標(biāo)，ChebyshevⅡ型剛好相反。）

圖5-25四類模擬低通濾波器比較

5.5.3高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)?

1.巴特沃斯型

5.5.4脈沖響應(yīng)不變法的MATLAB實(shí)現(xiàn)

MATLAB

提供的impinvar函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)利用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，調(diào)用格式為

[b，a]=impinvar(B，A，fs)

其中，B和A分別為模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)的分子分母系數(shù)；fs為采樣頻率；b和a分別為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子分母系數(shù)。

5.5.5雙線性變換法的MATLAB實(shí)現(xiàn)

MATLAB提供的bilineat函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)利用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾

波器，調(diào)用格式為

[b，a]＝bilineat（B，A，fs）

其中，B和A分別為模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)

H(s)的分子分母系數(shù)；fs為采樣頻率；b和z分別為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子分母系數(shù)。

5.5.6直接用MATLAB命令設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器

MATLAB提供一組命令可以直接將設(shè)計(jì)好的模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，轉(zhuǎn)換方法默認(rèn)為雙線性變換法，命令如下。

習(xí)題

第6章FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法6.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器6.3用MATLAB設(shè)計(jì)IIR濾波器習(xí)題

IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是利用模擬濾波器成熟的理論進(jìn)行設(shè)計(jì),先設(shè)計(jì)模擬濾波器,然后通過數(shù)學(xué)映射轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器,可以用較低的階數(shù)獲得較好的幅度特性；但由于IIR濾波器是遞歸結(jié)構(gòu),在實(shí)現(xiàn)時(shí)可能會(huì)因?yàn)橛邢拮珠L(zhǎng)效應(yīng)造成系統(tǒng)不穩(wěn)定,此外,IIR濾波器的相位特性是非線性的,而在數(shù)據(jù)通信、圖像處理、語音信號(hào)處理等領(lǐng)域,通常要求系統(tǒng)具有線性相位,因此需要進(jìn)行相位補(bǔ)償,這樣將使整個(gè)系統(tǒng)復(fù)雜化,成本提高,但卻難以達(dá)到嚴(yán)格的線性相位。本章將介紹的FIR濾波器,其在保證系統(tǒng)幅度特性的同時(shí),很容易實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位特性,并且由于其脈沖響應(yīng)h(n)為有限長(zhǎng),所以具有永遠(yuǎn)穩(wěn)定的特性。

FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)只在n的有限范圍取非零值,N-1階FIR濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)分別為

H(z)是z-1的N-1階多項(xiàng)式,在z平面上有N-1個(gè)零點(diǎn),它的N-1個(gè)極點(diǎn)位于

z平面的原點(diǎn)

z=0處,因此FIR濾波器穩(wěn)定；任何非因果的FIR系統(tǒng)經(jīng)一定的延時(shí),都可以成為因果系統(tǒng)。另外,只要將單位脈沖響應(yīng)h(n)設(shè)計(jì)成具有某種對(duì)稱性,則H(ejω)=H(z)|

z=ejω的相位特性就具有線性特性,這一點(diǎn)是FIR濾波器最重要的特性。

FIR濾波器與IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法完全不同,FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)任務(wù)是選擇具有對(duì)稱性的有限長(zhǎng)序列h(n),比較式(6-1)和式(6-2)可以看出,h(n)就是濾波器的系數(shù)bj,換句話說就是確定式(6-1)中的系數(shù)序列,力求用最少的系數(shù)使其頻率函數(shù) 的幅度特性滿足設(shè)計(jì)要求。

6.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn)

設(shè)FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)的長(zhǎng)度為N,系統(tǒng)的頻率函數(shù)可以表示為

式(6-3)中的|H(ejω)|和φ(ω)稱為幅頻特性和相頻特性；式(6-4)中的Hg(ω)和θ(ω)分別稱為幅度特性和相位特性。這里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)為ω的實(shí)函數(shù),可能取負(fù)值,而|H(ejω)|總是正值。另外,幅度特性Hg(ω)與幅頻特性|H(ejω)|不完全相同,在一些頻段兩者相同,而在另一些頻段兩者有180°的相差；|

H(ejω)|以2π為周期,Hg(ω)的周期可能是π、2π、2π。

這里所討論的線性相位特性就是指相位特性θ(ω)滿足

θ(ω)=-Tω

或

θ(ω)=θ0-Tω

式中,τ為常數(shù),θ0為初始相位。

嚴(yán)格說式(6-6)并不具有線性特性,但與式(6-5)一樣,滿足

即系統(tǒng)的群延遲是一個(gè)與頻率ω?zé)o關(guān)的常數(shù),所以稱式(6-6)表示的相位為廣義線性相位。

6.1.1FIR數(shù)字濾波器的線性相位條件

考慮h(n)的長(zhǎng)度N可以取奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況,線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)有四種類型,如圖6-1所示。

需要特別注意,當(dāng)h(n)奇對(duì)稱且N為奇數(shù)時(shí),

圖6-1線性相位FIR濾波器的四種類型

6.1.2線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性

根據(jù)h(n)的對(duì)稱性和Ｎ的奇偶不同,線性相位FIR濾波器分為四類,這四類濾波器具有不同的幅度特性。

1.Ⅰ型線性相位FIR濾波器h(n)=

h(Ｎ-1-n)偶對(duì)稱,Ｎ為奇數(shù))

Ⅰ型線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

式(6-11)第三項(xiàng)中,先令n=N-1-M,再令m=n并整理得

將上式代回式(6-11),并與第一項(xiàng)合并,考慮h(n)=

h(N-1-n),得

利用H(ejω)=H(z)|

z=ejω,可得系統(tǒng)的頻率函數(shù)為

式(6-12)中,大括號(hào)內(nèi)只要h(n)為實(shí)序列,則此項(xiàng)為實(shí)數(shù),該項(xiàng)就是頻率函數(shù)的幅度特性,即

圖6-2四類線性相位FIR濾波器的幅度特性

2.Ⅱ型線性相位FIR濾波器h(n)=h(N-1-n)偶對(duì)稱,N為偶數(shù))

Ⅱ型線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

與Ⅰ型FIR濾波器的推導(dǎo)相似,可以得到

因此,Ⅱ型FIR濾波器的幅度特性以4π為周期,關(guān)于ω=0、2π偶對(duì)稱,關(guān)于ω=π奇對(duì)稱,即Hg(π)=0,如圖6-2(b)所示(系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)見圖6-1(b))。因此,合理選擇h(n)的取值,具有偶對(duì)稱、長(zhǎng)度為偶數(shù)的實(shí)序列h(n)可以設(shè)計(jì)為低通和帶通濾波器,不可以用于高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。

3.Ⅲ型線性相位FIR濾波器(h(n)=-h(N-1-n)奇對(duì)稱,N為奇數(shù))

Ⅲ型線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

頻率函數(shù)為

式(6-18)中,只要h(n)為實(shí)數(shù),則求和項(xiàng)為實(shí)數(shù),就是頻率函數(shù)的幅度特性,即

4.Ⅳ型線性相位FIR濾波器(h(n)=-h(N-1-n))奇對(duì)稱,N為偶數(shù))

Ⅳ型線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

因?yàn)镹為偶數(shù),所以有

因此,Ⅳ型FIR濾波器的幅度特性以4π為周期,關(guān)于ω=0、2π奇對(duì)稱,即Hg(0)=Hg(2π)=0,關(guān)于ω=π偶對(duì)稱,如圖6-2(d)所示(系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)見圖6-1(d))。因此,合理選擇h(n)的取值,具有奇對(duì)稱、長(zhǎng)度為偶數(shù)的實(shí)序列h(n)可以設(shè)計(jì)為高通和帶通濾波器,不可以用于低通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。

由以上分析可以知道,線性相位FIR濾波器的幅度特性Hg(ω)與h(n)的對(duì)稱性及長(zhǎng)度密切相關(guān)。在進(jìn)行濾波器的設(shè)計(jì)時(shí),根據(jù)要求,首先確定h(n)的對(duì)稱形式和h(n))長(zhǎng)度的奇偶性,否則可能無法設(shè)計(jì)出所需的濾波器。比如要設(shè)計(jì)高通濾波器,只能選Ⅰ型和Ⅳ型,設(shè)計(jì)低通濾波器則只能選Ⅰ型和Ⅱ型。表6-1列出了四種類型的線性相位FIR濾波器的特性。注意：表6-1中的Ⅱ型和Ⅳ型FIR濾波器的幅度特性只畫了半個(gè)周期,Ⅱ型濾波器的幅度特性關(guān)于2π偶對(duì)稱,Ⅳ型濾波器的幅度特性關(guān)于2π奇對(duì)稱。

6.1.3線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點(diǎn)分布

系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)決定了濾波器的濾波特性。由于FIR濾波器的極點(diǎn)都位于z=0處,因而不影響濾波器的濾波特性；因此N-1階FIR濾波器在z平面上的N-1個(gè)零點(diǎn),就決定了FIR濾波器的濾波特性。由于線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)具有對(duì)稱性,所以其零點(diǎn)分布呈現(xiàn)一定的規(guī)律,研究零點(diǎn)的分布規(guī)律,有助于了解線性相位FIR濾波器的特性。

線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)滿足

h(n)=±h(N-1-n)

其系統(tǒng)函數(shù)為

圖6-3線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)分布

6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器

6.2.1矩形窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器

線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)根本是根據(jù)設(shè)計(jì)要求選擇具有對(duì)稱性的單位脈沖響應(yīng)

h(n)。窗函數(shù)法是在時(shí)域逼近理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)。理想濾波器的幅度特性是分段不連續(xù)的,因而其單位脈沖響應(yīng)hd(n)必定無限長(zhǎng),因此需要用窗函數(shù)將無限長(zhǎng)的hd(n)截?cái)酁橛邢揲L(zhǎng)的h(n),從而用物理可實(shí)現(xiàn)的逼近理想濾波器Hd(ejω)

1.設(shè)計(jì)思路

矩形窗函數(shù)的時(shí)域表達(dá)式為

設(shè)希望逼近的理想濾波器的頻率響應(yīng)為

式中,a為常數(shù),該理想濾波器為具有線性相位的低通濾波器,幅頻特性和相頻特性如圖6-4所示。

圖6-4理想低通濾波器的頻率特性

由序列傅里葉逆變換可以得到該理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)為

矩形窗函數(shù)法就是用式(6-24)所示的矩形窗與式(6-24)相乘,從而截取有限長(zhǎng)的單

位脈沖響應(yīng)h(n),即

考慮到函數(shù)的特性,為了保證有限長(zhǎng)h(n)的對(duì)稱性,矩形窗的長(zhǎng)度必須滿足

截?cái)噙^程如圖6-5所示。

圖6-5矩形窗函數(shù)法設(shè)計(jì)低通濾波器的時(shí)域波形(a=

15,

ωc=0.2π)

實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器的頻率函數(shù)為

式中,N=2α+1。實(shí)際低通濾波器的幅頻特性曲線如圖6-6所示。

圖6-6實(shí)際低通濾波器的幅頻特性曲線(N=31,

ωc=0.2π)

例6-1設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)度為N的線性相位FIR帶通濾波器,要求幅頻響應(yīng)逼近理想帶通。設(shè)理想帶通濾波器的幅度特性為

解設(shè)濾波器的相位特性滿足

由序列傅里葉逆變換可以得到理想帶通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為

為保證系統(tǒng)的因果性且具有對(duì)稱性,選擇長(zhǎng)度為N的矩形窗wR(n)將hd(n)截?cái)?即

由前面的分析我們知道,N取奇數(shù)或偶數(shù)都可以實(shí)現(xiàn)題目要求,則對(duì)應(yīng)的頻率函數(shù)為

圖6-7畫出了ωc1=0.3π、ωc2=0.5π,N分別取51和60時(shí)的單位脈沖響應(yīng)和幅頻特性。

圖6-7例6-1實(shí)際設(shè)計(jì)濾波器的h(n)和幅頻特性曲線(ωc1=0.3π、ωc2=0.5π)

我們知道,帶通濾波器中當(dāng)ωc1=0時(shí),就是低通濾波器,將ωc1=0代入式(3-30)并截?cái)?可以得到低通濾波器的單位脈沖響應(yīng),即

如圖6-8(a)所示,圖6-8(c)是對(duì)應(yīng)的幅頻特性。

圖6-8低通濾波器和高通濾波器

帶通濾波器中當(dāng)ωc2=π時(shí),就是高通濾波器,將ωc2=π代入式(6-30)并截?cái)?可以得到高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)(N只能取奇數(shù)),即

如圖6-8(b)所示,圖6-8(d)是對(duì)應(yīng)的幅頻特性。

2.吉布斯現(xiàn)象

與理想濾波器的幅頻特性曲線相比,用矩形窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的濾波器在截止頻率處出現(xiàn)了過渡帶,在濾波器的通帶和阻帶呈現(xiàn)波動(dòng),這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。吉布斯現(xiàn)象直接影響濾波的性能,導(dǎo)致通帶內(nèi)的平穩(wěn)性變差和阻帶衰減不能滿足技術(shù)指標(biāo)。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因很簡(jiǎn)單,由于加窗后無限長(zhǎng)的hd(n)變?yōu)橛邢揲L(zhǎng)的h(n),所以H(ejω)僅僅是H(ejω)的有限項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù),二者必然產(chǎn)生誤差,誤差的最大點(diǎn)一定發(fā)生在不連續(xù)的邊界頻率點(diǎn)上。顯然,傅里葉級(jí)數(shù)項(xiàng)越多,H(ejω)和H(ejω)的誤差就越小,如圖6-9所示,但是長(zhǎng)度越長(zhǎng),濾波器就越復(fù)雜,實(shí)現(xiàn)成本也就越大,所以應(yīng)盡可能地用最小的h

(n)長(zhǎng)度設(shè)計(jì)滿足技術(shù)指標(biāo)要求的FIR濾波器。

圖6-9截取不同長(zhǎng)度的h(n)逼近理想低通

從式(6-37)可以看出,截取后的濾波器幅度特性是理想濾波器幅度特性和矩形窗幅度特性的卷積。圖6-10給出了卷積過程(注意：wR(ω)是偶函數(shù),即wR(ω)=

wR(-ω))。圖6-10(f)畫出了式(6-37)的積分結(jié)果,也就是加窗后濾波器的幅度特性曲線,圖中虛線為理想低通的幅度特性。

圖6-10矩形窗對(duì)理想低通幅度特性的影響

圖6-10矩形窗對(duì)理想低通幅度特性的影響

當(dāng)ω=0時(shí),H(0)等于圖6-10(a)與(b)兩個(gè)波形的乘積積分,即對(duì)WR(θ)=在±ωc之間積分。

當(dāng)ω=ωc-2π/N時(shí),如圖6-10(c)所示,WR(ω-θ)的主瓣完全在±ωc區(qū)間內(nèi),而且最大的一個(gè)負(fù)峰已移出ωc區(qū)間外,所以積分值H(ω)取得最大峰值,如圖6-10(f)中的c點(diǎn)。

當(dāng)

ω=ωc時(shí),如圖6-10(d)所示,當(dāng)ω>ωc>2π/N時(shí),近似為WR(θ)一半波形的積分,積分結(jié)果就是圖6-10(f)中的d點(diǎn)。

當(dāng)

ω=ωc+2π/N時(shí),如圖6-10(e)所示,WR(θ)的主瓣完全移出ωc之外,而且最大的一個(gè)負(fù)峰還完全留在ωc區(qū)間內(nèi),所以H(ω)在該點(diǎn)形成最大負(fù)峰,如圖6-10(f)中的e點(diǎn)。

由圖可見,H(ω)的最大正峰與最大負(fù)峰之間的頻率間隔為4π/N。

通過對(duì)理想濾波器hd(n)加矩形窗處理后,頻率特性從hd(ω)變化為H(ω),具體表現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：

(1)在理想特性的不連續(xù)點(diǎn)ω＝±ωc

附近形成過渡帶,過渡帶的寬度近似等于WR(ω)的主瓣寬度4π/N。

從矩形窗對(duì)理想濾波器的影響可以看出,如果增大窗的長(zhǎng)度N,可以減小窗的主瓣寬度4π/N,從而減小H(ω)過渡帶的寬度。

圖6-11長(zhǎng)度不同的矩形窗的幅頻特性比較

由以上分析可得,N的增加并不能減小H(ω)的波動(dòng)情況。因此,要減小通帶和阻帶的波動(dòng),增加Ｎ是無法實(shí)現(xiàn)的,只有改變窗函數(shù)的形狀,使其幅度函數(shù)具有較低的旁瓣幅度,從而減小旁瓣對(duì)通帶和阻帶的影響,并加大阻帶衰減。但旁瓣幅度的減小一定會(huì)使主瓣寬度增加,故而將會(huì)增加過渡帶寬度,所以當(dāng)N一定時(shí),減小波動(dòng)和減小過渡帶是一對(duì)矛盾,因此必須根據(jù)實(shí)際要求,選擇合適的窗函數(shù)以滿足波動(dòng)要求,然后選擇N

滿足過渡帶指標(biāo)。

6.2.2常用窗函數(shù)及性能分析

常用的窗函數(shù)除矩形外,還有漢寧窗、哈明窗、布萊克曼窗、凱澤窗等。這些窗函數(shù)都是偶對(duì)稱的,正確選擇窗函數(shù)的長(zhǎng)度,可以保證加窗后得到的單位脈沖響應(yīng)h(n)的對(duì)稱性與理想濾波器的hd(n)一致。

FIR濾波器的技術(shù)指標(biāo)如圖6-12所示,圖中δp和δs分別稱為通帶波紋和阻帶波紋,ωp和ωs

分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。

圖6-12

FIR濾波器的技術(shù)指標(biāo)

定義

式中,αp、αs分別為通帶允許的最大衰減和阻帶允許的最小衰減。

定義

為過渡帶寬。

本節(jié)討論窗函數(shù)的性能就是分別討論用不同的窗函數(shù)截?cái)嗬硐氲屯╤d(n)得到的實(shí)際濾波器的技術(shù)指標(biāo)。

1.矩形窗

矩形窗的時(shí)域和頻域表達(dá)式分別為

矩形窗就是前面講過的矩形信號(hào)RN(n),其頻域信號(hào)的第一零點(diǎn)位于2π/N處,在[－π,π)有N-1個(gè)峰值。N=31時(shí)的時(shí)域波形和幅頻特性曲線如圖6-13所示,頻域波形的主瓣寬度為4π/N,第一旁瓣位于3π/N處,幅度比主瓣低13dB。

圖6-13矩形窗的時(shí)域和頻域波形

用矩形窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)中,通帶波紋峰值δp≈0.09,阻帶波紋峰值δs≈0.09,通帶截止頻率ωp=ωc-2π/N,阻帶截止頻率ωs=ωc+2π/N(見圖6-10(f)),由式(6-38)、式(6-39)及式(6-40)得

用矩形窗截?cái)嗬硐氲屯V波器hd(n)獲得的實(shí)際濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)、幅頻特性H(ejω)及衰減響應(yīng)如圖6-14所示。

圖6-14用矩形窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的30階低通濾波器

2.漢寧窗(又稱升余弦窗)

漢寧窗的時(shí)域和頻域表達(dá)式分別為

式中,RN(n))和WR(ω)分別為矩形窗的時(shí)域和頻域函數(shù)。由式(6-44)可以確定,當(dāng)N較大時(shí)頻域函數(shù)的第一零點(diǎn)近似位于4π/N處。N=31時(shí)的時(shí)域波形和幅頻特性曲線如圖6-15所示,頻域函數(shù)曲線的主瓣寬度約為8π/N,第一旁瓣近似位于5π/N處,幅度比主瓣低31dB。

圖6-15漢寧窗的時(shí)域和頻域波形

用漢寧窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)中,通帶波紋峰值δp≈0.0064,阻帶波紋峰值δs≈0.0064,由式(6-38)、式(6-39)和式(6-40)得αp≈0.11dB,αs≈44dB,B≈8π/N。用漢寧窗截?cái)嗬硐氲屯V波器hd(n)獲得的實(shí)際濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)、幅頻特性H(ejω)及衰減響應(yīng)如圖6-16所示。

圖6-16漢寧窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的30階低通濾波器

3.哈明窗

哈明窗的時(shí)域和頻域表達(dá)式分別為

式中,wR(n)和wR(ω)分別為矩形窗的時(shí)域和頻域函數(shù)。由式(6-46)可以確定,當(dāng)N較大時(shí)頻域函數(shù)的第一零點(diǎn)近似位于4π/N處。N=31時(shí)的時(shí)域波形和幅頻特性曲線如圖6-17所示,頻域函數(shù)曲線的主瓣寬度約為8π/N,第一旁瓣近似位于5π/N處,幅度比主瓣低41dB。

圖6-17哈明窗的時(shí)域和頻域波形

用哈明窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)中,通帶波紋峰值δp

≈0.0022,阻帶波紋峰值δs≈0.0022,由式(6-38)、式(6-39)和式(6-40)得αp≈0.038dB,αs≈53dB,B≈8π/N。用哈明窗截?cái)嗬硐氲屯V波器hd(n)獲得的實(shí)際濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)、幅頻特性H(ejω)及衰減響應(yīng)如圖6-18所示。

圖6-18哈明窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的30階低通濾波器

4.布萊克曼窗

布萊克曼窗的時(shí)域和頻域表達(dá)式分別為

式中,wR(n)和wR(ω)分別為矩形窗的時(shí)域和頻域函數(shù)。由式(6-48)可以確定,當(dāng)N較大時(shí)頻域函數(shù)的第一零點(diǎn)近似位于6π/N處。N=31時(shí)的時(shí)域波形和幅頻特性曲線如圖6-19所示,頻域函數(shù)曲線的主瓣寬度約為12π/N,第一旁瓣近似位于7π/N處,幅度比主瓣低57dB。

圖6-19布萊克曼窗的時(shí)域和頻域波形

用布萊克曼窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)中，通帶波紋峰值δp≈0.0002，阻帶波紋峰值δs≈0.0002，由式(6-38)、式(6-39)和式(6-40)得αp≈0.0003dB，αs≈74dB，B≈12π/N。用布萊克曼窗截?cái)嗬硐氲屯V波器hd(n)獲得的實(shí)際濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)、幅頻特性H(ejω)及衰減響應(yīng)如圖6-20所示。

圖6-20布萊克曼窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的30階低通濾波器

表6-2總結(jié)了用上述窗函數(shù)截?cái)嗬硐氲屯╤d(n)獲得的實(shí)際低通濾波器的性能。從表中可以看出，利用矩形窗函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器過渡帶最窄，但阻帶衰減也最??；用布萊克曼窗函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器過渡帶最寬，同時(shí)阻帶衰減也最大。顯然窗函數(shù)的旁瓣減小必然造成主瓣寬度的增加，即減小過渡帶寬和增大阻帶衰減是一對(duì)矛盾。在實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)要求選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)。

62.3窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟

用窗函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器的步驟如下：

(1)根據(jù)阻帶衰減的要求選擇窗函數(shù)。

(2)根據(jù)過渡帶寬的要求，求出窗函數(shù)的長(zhǎng)度，也即單位脈沖響應(yīng)的長(zhǎng)度N(或?yàn)V波器的階數(shù)

N-1

)。

(3)構(gòu)造希望逼近的頻率函數(shù)，即

所謂“標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法”，就是選擇Hd(ejω)為理想濾波器；理想濾波器的通帶截止頻率

式中，ωp和ωs分別為給定的通帶截止頻率和阻帶截止頻率。

圖6-21哈明窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的32階低通濾波器

利用MATLAB實(shí)現(xiàn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器，首先根據(jù)給定的技術(shù)指標(biāo)選擇窗函數(shù)的類型，確定窗函數(shù)的長(zhǎng)度，然后將從理論上得到的待逼近理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)截?cái)啵@得具有奇對(duì)稱或偶對(duì)稱的單位脈沖響應(yīng)，也就是待設(shè)計(jì)的具有線性相位的濾波器的單位脈沖響應(yīng)。MATLAB提供的常用窗函數(shù)如下：

1.h=fir1(M,wc,′ftype′，window)

該函數(shù)是采用標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR線性相位數(shù)字濾波器，所謂“標(biāo)準(zhǔn)”，是指以理想濾波器作為逼近目標(biāo)。命令中M為濾波器的階數(shù)，wc為通帶截止頻率，取值與選項(xiàng)ftype有關(guān)，window為選定的窗函數(shù)名稱，缺省時(shí)，選用‘hamming’。輸出參數(shù)h長(zhǎng)度為M+1，表示用選定窗函數(shù)截?cái)嗪蟮拇O(shè)計(jì)濾波器的單位脈沖響應(yīng)的M+1個(gè)值。

(1)ftype選項(xiàng)缺省，wc為標(biāo)量，設(shè)計(jì)低通濾波器；

(2)ftype=high，wc為標(biāo)量，設(shè)計(jì)高通濾波器；

(3)ftype選項(xiàng)缺省，wc=[wcl，wcu]，設(shè)計(jì)帶通濾波器；

(4)ftype=stop，wc=[wcl，wcu]，設(shè)計(jì)帶阻濾波器。

注意：設(shè)計(jì)高通和帶阻時(shí)，階數(shù)Ｍ只能取偶數(shù)，即h(n)的長(zhǎng)度為奇數(shù)。

2.h=fir2(M,f,a，window)

該函數(shù)對(duì)任意給定濾波器幅度特性的采樣值進(jìn)行IDFT，得到對(duì)應(yīng)的hd(n)，再用選定的窗函數(shù)對(duì)其截?cái)?，以獲得待設(shè)計(jì)濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)。函數(shù)中Ｍ為濾波器的階

數(shù)，f為希望逼近濾波器的幅度特性邊界頻率向量，a為與f對(duì)應(yīng)的幅度向量，window為選定的窗函數(shù)。

圖6-22用fir1函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器

例6-4若要設(shè)計(jì)如圖6-23所示的梳狀濾波器，幅頻特性為|

H(ejω)|=|sin(4ω圖)|，采用漢寧窗函數(shù)實(shí)現(xiàn)，N＝79。圖6-23例6-4圖

圖6-24例6-4設(shè)計(jì)結(jié)果

習(xí)題

6-3如題6-3圖所示的數(shù)字系統(tǒng)，求：

(1)濾波器的差分方程；

(2)單位脈沖響應(yīng)；

(3)系統(tǒng)的頻率函數(shù)，分析系統(tǒng)的幅度特性和相位特性有什么特點(diǎn)；

(4)判斷該系統(tǒng)是IIR還是FIR系統(tǒng)。

第7章數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)表示7.1FIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)7.2FIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)7.3濾波器結(jié)構(gòu)的MATLAB實(shí)現(xiàn)習(xí)題

數(shù)字濾波器在工程實(shí)現(xiàn)中主要考慮的問題有：

(1)實(shí)現(xiàn)的難易程度。在本章的學(xué)習(xí)中我們看到，對(duì)同一個(gè)數(shù)字濾波器可以有多種算法結(jié)構(gòu)或網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，采用不同的算法結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實(shí)際中所得的結(jié)果會(huì)有一定的差別，同時(shí)對(duì)存儲(chǔ)單元的要求、計(jì)算的復(fù)雜性以及實(shí)現(xiàn)濾波的速度也存在差別。這里的復(fù)雜性主要指乘法、加法以及存儲(chǔ)的次數(shù)等。

(2)計(jì)算誤差及其穩(wěn)定性。計(jì)算誤差主要來自有限字長(zhǎng)效應(yīng)，不同的算法結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的誤差和穩(wěn)定性是不同的，因此在算法結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的選擇上要盡可能用最小的字長(zhǎng)爭(zhēng)取最大的精度并保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

三種基本運(yùn)算單元的方框圖和信號(hào)流圖如圖7-1所示。圖7-1基本運(yùn)算單元的方框圖和信號(hào)流圖

7.1FIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

IIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)無限長(zhǎng)，系統(tǒng)函數(shù)H(z)在z平面上存在極點(diǎn)，因而是遞歸結(jié)構(gòu)。實(shí)現(xiàn)IIR濾波器的常用結(jié)構(gòu)為直接型、級(jí)聯(lián)型7.1.1直接型結(jié)構(gòu)

IIR數(shù)字濾波器的直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)可以根據(jù)差分方程(7-1)直接畫出(M≤N)，如圖7-2所示。

圖7-2Ｎ階IIR數(shù)字濾波器的直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)

圖7-3交換圖7-2中前后兩部分的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

顯然，圖7-3中的節(jié)點(diǎn)w1′=w2′，所以可以將這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)合并，不影響系統(tǒng)的運(yùn)算結(jié)果，如圖7-4所示，這類網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)稱為直接Ⅱ型。

比較直接Ⅰ型和直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)可以看出，直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)需要N+M個(gè)單位延時(shí)器，而直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)需要的