2024屆河南省新鄉(xiāng)市數(shù)學(xué)高二下期末檢測模擬試題含解析

2024屆河南省新鄉(xiāng)市數(shù)學(xué)高二下期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的極大值為（）A．2 B．3 C． D．2．設(shè),，，則（）A． B． C． D．3．2019年4月，北京世界園藝博覽會開幕，為了保障園藝博覽會安全順利地進(jìn)行，某部門將5個安保小組全部安排到指定的三個不同區(qū)域內(nèi)值勤，則每個區(qū)域至少有一個安保小組的排法有（）A．150種 B．240種 C．300種 D．360種4．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC邊上的一個動點(diǎn)，且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．5．已知正三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且該正三棱柱的底面邊長為，體積為，則球的表面積為（）A． B． C． D．6．某研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究學(xué)生使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)的影響．部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：使用智能手機(jī)不使用智能手機(jī)合計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀4812學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀16218合計(jì)201030附表：經(jīng)計(jì)算，則下列選項(xiàng)正確的是A．有的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響B(tài)．有的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)無影響C．有的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響D．有的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)無影響7．在平行四邊形中，為線段的中點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．8．在個排球中有個正品，個次品.從中抽取個，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為（）A． B． C． D．9．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．是（）A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)11．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是()A．是周期函數(shù)，周期為 B．關(guān)于直線對稱C．在上是單調(diào)遞減的 D．在上最大值為12．設(shè)，，則A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓柱的軸截面面積為2，則其側(cè)面積為___；14．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是__________．15．在二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)是_______.16．設(shè)向量=（1,0），=（?1,m）,若，則m=_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且滿足：.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，求的最大值.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，，若是的中點(diǎn)，求直線的斜率.19．（12分）已知四棱錐的底面為等腰梯形,,垂足為是四棱錐的高,為中點(diǎn),設(shè)（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．20．（12分）已知函數(shù).（1）若不等式在上有解，求的取值范圍；（2）若對任意的均成立，求的最小值.21．（12分）己知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，滿足與在點(diǎn)處的切線垂直，求面積的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。22．（10分）一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個函數(shù)：，，，（I）從中任意拿取張卡片，若其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)，在此條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)相加得到的新函數(shù)為奇函數(shù)的概率；（II）現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】由題意得，，，，則，解得，則，，令，解得，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；，為減函數(shù)；，為增函數(shù)，所以函數(shù)的極大值為，故選C.點(diǎn)睛：此題主要考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和、函數(shù)極值的求解等有關(guān)方面的知識，及冪運(yùn)算等運(yùn)算能力，屬于中檔題型，也是?？伎键c(diǎn).在首先根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出參數(shù)的值，再利用導(dǎo)數(shù)方法，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，通過判斷極值點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性求出極大值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的極大值.2、A【解題分析】

先研究函數(shù)單調(diào)性，再比較大小.【題目詳解】,令，則因此當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.3、A【解題分析】

根據(jù)題意，需要將5個安保小組分成三組，分析可得有2種分組方法：按照1、1、3分組或按照1、2、2分組，求出每一種情況的分組方法數(shù)目，由加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，三個區(qū)域至少有一個安保小組，所以可以把5個安保小組分成三組，有兩種分法：按照1、1、3分組或按照1、2、2分組；若按照1、1、3分組,共有種分組方法；若按照1、2、2分組,共有種分組方法，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有60+90=150種分組方法.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，本題屬于分組再分配問題，根據(jù)題意分析可分組方法進(jìn)行分組再分配，按照分類計(jì)數(shù)原理相加即可，屬于簡單題.4、C【解題分析】

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出△ABC的外接圓圓心與三棱錐P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半徑，再計(jì)算它的表面積．【題目詳解】三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直線PQ與平面ABC所成角為θ，如圖所示；則sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距離為，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圓圓心為O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H為PA的中點(diǎn)，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積是S=4πR2=4×=57π．故答案為C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理和線面位置關(guān)系，考查了幾何體外接球的應(yīng)用問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.解題的關(guān)鍵求外接球的半徑．5、C【解題分析】

正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的表面積．【題目詳解】由題意可知，正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，底面中心到頂點(diǎn)的距離為，設(shè)正三棱柱的高為，由，得，∴外接球的半徑為，∴外接球的表面積為：．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正三棱柱的外接球的表面積的求法，找出球的球心是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力與計(jì)算能力，是中檔題．6、A【解題分析】

根據(jù)附表可得,所以有的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響，選A7、B【解題分析】分析：利用向量的平行四邊形法則，向量共線定理即可得出.詳解：，，故選：B.點(diǎn)睛：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．8、A【解題分析】分析：根據(jù)超幾何分布，可知共有種選擇方法，符合正品數(shù)比次品數(shù)少的情況有兩種，分別為0個正品4個次品，1個正品3個次品，分別求其概率即可。詳解：正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：0個正品4個次品，1個正品3個次品，由超幾何分布的概率可知，當(dāng)0個正品4個次品時(shí)當(dāng)1個正品3個次品時(shí)所以正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為所以選A點(diǎn)睛：本題考查了超幾何分布在分布列中的應(yīng)用，主要區(qū)分二項(xiàng)分布和超幾何分布的不同。根據(jù)不同的情況求出各自的概率，屬于簡單題。9、D【解題分析】取，則，但，故；取，則，但是，故，故“”是“”的既不充分也不必要條件，選D.10、D【解題分析】

整理,即可判斷選項(xiàng).【題目詳解】由題,因?yàn)?所以該函數(shù)是奇函數(shù),周期為,故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的應(yīng)用.11、C【解題分析】分析：利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一判定，即可得到答案．詳解：令，對于A中，因?yàn)楹瘮?shù)不是周期函數(shù)，所以函數(shù)不是周期函數(shù)，所以是錯誤的；對于B中，因?yàn)椋渣c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，又，所以，所以的圖象不關(guān)于對稱，所以是錯誤的；對于C中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以是正確的；對于D中，時(shí)，，所以是錯誤的，綜上可知，正確的為選項(xiàng)C，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了正弦函數(shù)的對稱性、周期性、單調(diào)性及其函數(shù)的最值問題，其中熟記正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理運(yùn)算是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了綜合分析與應(yīng)用能力，以及推理與運(yùn)算能力，試題有一定難度，屬于中檔試題．12、B【解題分析】

分析：求出，得到的范圍，進(jìn)而可得結(jié)果．詳解：.,即又即故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算和不等式，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意得圓柱的軸截面為底邊為，高為的矩形，根據(jù)幾何性質(zhì)即可求解?！绢}目詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，由題意知，圓柱的軸截面為底邊為，高為的矩形，所以，即。所以側(cè)面積?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查圓柱的幾何性質(zhì)，表面積的求法，屬基礎(chǔ)題14、5【解題分析】分析：先求展開式的通項(xiàng)公式，即可求含項(xiàng)的系數(shù).詳解：展開式的通項(xiàng)公式，可得展開式中含項(xiàng)，即，解得，展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為5.點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)是解題關(guān)鍵.15、60【解題分析】

首先寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，并求指定項(xiàng)的值，代入求常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】展開式的通項(xiàng)公式是，當(dāng)時(shí)，.故答案為：60【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)，意在考查公式的熟練掌握，屬于基礎(chǔ)題型.16、-1.【解題分析】

根據(jù)坐標(biāo)表示出，再根據(jù)，得坐標(biāo)關(guān)系，解方程即可.【題目詳解】，，由得：，，即.【題目點(diǎn)撥】此題考查向量的運(yùn)算，在解決向量基礎(chǔ)題時(shí)，常常用到以下：設(shè)，則①；②.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）2.【解題分析】

（Ⅰ）運(yùn)用正弦定理實(shí)現(xiàn)角邊轉(zhuǎn)化，然后利用余弦定理，求出角的大??；（Ⅱ）方法1：由（II）及，利用余弦定理，可得，再利用基本不等式，可求出的最大值；方法2：利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，利用兩角和的正弦公式和輔助角公式，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性，可求出的最大值；【題目詳解】（I）由正弦定理得：，因?yàn)椋?，所以由余弦定理得：，又在中，，所?（II）方法1：由（I）及，得，即，因?yàn)?，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）所以.則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）故的最大值為2.方法2：由正弦定理得，，則，因?yàn)?，所以，故的最大值?（當(dāng)時(shí)）.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，考查了二角和的正弦公式及輔助角公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）直接利用極化直的公式化簡得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)求出直線的斜率.【題目詳解】解：（Ⅰ）由，，，得即所求曲線的直角坐標(biāo)方程為：（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得由是的中點(diǎn)知，即所以直線的斜率為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查極直互化，考查直線參數(shù)方程t的幾何意義解題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】分析：（1）以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明·＝0即得PE⊥BC.（2）利用線面角的向量公式求直線與平面所成角的正弦值．詳解：以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)．(1)證明：設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E(，，0)．可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．因?yàn)椤ぃ?＋0＝0，所以PE⊥BC.(2)由已知條件可得m＝－，n＝1，故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0，0,1)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量，則，即，因此可以取n＝(1，，0)．由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝，所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系的證明，考查直線平面所成角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和空間想象能力轉(zhuǎn)化能力.(2)直線和平面所成的角的求法方法一：（幾何法）找作（定義法）證（定義）指求（解三角形），其關(guān)鍵是找到直線在平面內(nèi)的射影作出直線和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直線的方向向量，是平面的法向量，是直線和平面所成的角.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）先求的最大值，然后通過不等式尋找的范圍．（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，,這樣可得，于是由且，得，可放大為，放縮的目的是為了和可求．因此的范圍可得．【題目詳解】（1），由定理可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.故，由題意可知，當(dāng)，解得，故；當(dāng)，由函數(shù)的單調(diào)性，可知在恒單調(diào)增，且恒大于零，故無解；綜上：；(2)當(dāng)時(shí)，,,，且，，，，的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究證明不等式，研究不等式恒成立問題．解題中一要求有較高的轉(zhuǎn)化與化歸能力，二要求有較高的運(yùn)算求解能力．第（1）小題中在解不等式時(shí)還要用到分類討論的思想，第（2）小題用到放縮法，而且這里的放縮的理論根據(jù)就是由第（1）小題中函數(shù)的性質(zhì)確定的，發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力在這里要求較高，本題難度較大．21、（Ⅰ）（Ⅱ）面積的最小值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程是，根據(jù)焦點(diǎn)為的坐標(biāo)求得，進(jìn)而可得拋物線的方程．（Ⅱ）設(shè)，進(jìn)而可得拋物線在點(diǎn)處的切線方程和直線的方程，代入拋物線方程根據(jù)韋達(dá)定理可求得，從而，又點(diǎn)到直線的距離，可得．利用導(dǎo)數(shù)求解．【題目詳解】