山東省梁山一中、嘉祥一中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

山東省梁山一中、嘉祥一中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．22．高三畢業(yè)時(shí)，甲，乙，丙等五位同學(xué)站成一排合影留念，在甲和乙相鄰的條件下，丙和乙也相鄰的概率為（）A． B． C． D．3．已知定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．4．五個(gè)人站成一排，其中甲乙相鄰的站法有（）A．18種 B．24種 C．48種 D．36種5．如果（，表示虛數(shù)單位），那么()A．1 B． C．2 D．06．已知函數(shù)fxA．fx的最小正周期為π，最大值為B．fx的最小正周期為π，最大值為C．fx的最小正周期為2πD．fx的最小正周期為2π7．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A．12 B．10C．9 D．8．“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件9．記函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)，若不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．如圖，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．11．已知全集U＝Z，，B＝{－1,0,1,2}，則圖中的陰影部分所表示的集合等于（）A．{－1,2} B．{－1,0} C．{0,1} D．{1,2}12．點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-3,3)，則點(diǎn)A．(23,C．(-23,二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．請(qǐng)列舉用0，1，2，3這4個(gè)數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字且比230大的所有三位偶數(shù)______.14．把3名輔導(dǎo)老師與6名學(xué)生分成3個(gè)小組(每組1名教師，2名學(xué)生)開展實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，但學(xué)生甲必須與教師A在一起，這樣的分組方法有________種．(用數(shù)字作答)15．若正數(shù)，滿足，則的取值范圍是________．16．下列說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變；②設(shè)有一個(gè)回歸方程，若變量增加一個(gè)單位時(shí)，則平均增加5個(gè)單位；③線性回歸方程所在直線必過；④曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間具有相關(guān)關(guān)系；⑤在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得，則其兩個(gè)變量之間有關(guān)系的可能性是.其中錯(cuò)誤的是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，有一塊半徑為的半圓形空地，開發(fā)商計(jì)劃征地建一個(gè)矩形游泳池和其附屬設(shè)施，附屬設(shè)施占地形狀是等腰，其中為圓心，在圓的直徑上，在圓周上．（1）設(shè)，征地面積記為，求的表達(dá)式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，征地面積最大？18．（12分）已知函數(shù)().(Ⅰ)若在處的切線過點(diǎn)，求的值；(Ⅱ)若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，().(ⅰ)求的取值范圍；(ⅱ)求證：.19．（12分）已知虛數(shù)滿足.（1）求的取值范圍；（2）求證：是純虛數(shù).20．（12分）已知在的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．求n的值；求展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和；求展開式中所有的有理項(xiàng)．21．（12分）在二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列.（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和.22．（10分）某小組有7個(gè)同學(xué)，其中4個(gè)同學(xué)從來沒有參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，3個(gè)同學(xué)曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)．（1）現(xiàn)從該小組中隨機(jī)選2個(gè)同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，求恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)的概率；（2）若從該小組隨機(jī)選2個(gè)同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，則活動(dòng)結(jié)束后，該小組有參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)個(gè)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用二項(xiàng)式定理的展開式可得a，再利用微積分基本定理即可得出．【題目詳解】二項(xiàng)式（ax+）6的展開式中通項(xiàng)公式：Tr+2=（ax）r，令r=2，則T6=××a2x2．∵x2的系數(shù)為，∴×a2=，解得a=2．則x2dx=x2dx==．故選：A．【題目點(diǎn)撥】用微積分基本定理求定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)．此外，如果被積函數(shù)是絕對(duì)值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性，將積分區(qū)間分解，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值相加2、B【解題分析】

記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計(jì)算出和，再利用條件概率公式可計(jì)算出所求事件的概率．【題目詳解】記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，則事件乙和甲丙都相鄰，所求事件為，甲乙相鄰，則將甲乙兩人捆綁，與其他三位同學(xué)形成四個(gè)元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得.乙和甲丙都相鄰，則將甲乙丙三人捆綁，且乙位置正中間，與其他兩位同學(xué)形成三個(gè)元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得，由條件概率公式可得，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，解這類問題時(shí)，要弄清各事件事件的關(guān)系，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計(jì)算相應(yīng)事件的概率，并靈活利用條件概率公式計(jì)算出所求事件的概率，考查計(jì)算能力，屬于中等題．3、A【解題分析】分析：通過求出，再利用等差數(shù)列的求和公式即可求得答案.詳解：當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；…...，.故答案為：A.點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列求和以及通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力與分析能力，屬于中檔題.4、C【解題分析】

將甲乙看作一個(gè)大的元素與其他元素進(jìn)行排列，再乘即可得出結(jié)論．【題目詳解】五個(gè)人站成一排，其中甲乙相鄰，將甲乙看作一個(gè)大的元素與其他3人進(jìn)行排列，再考慮甲乙順序?yàn)?，故共種站法.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的應(yīng)用，求排列組合常用的方法有：元素優(yōu)先法、插空法、捆綁法、隔板法、間接法等，解決排列組合問題對(duì)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力要求較高，本題屬于簡單題.5、B【解題分析】分析：復(fù)數(shù)方程左邊分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡為的形式，利用復(fù)數(shù)相等求出即可詳解：解得故選點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)相等的充要條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，令其實(shí)部與虛部分別相等即可求出答案．6、B【解題分析】

首先利用余弦的倍角公式，對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，將解析式化簡為fx=【題目詳解】根據(jù)題意有fx所以函數(shù)fx的最小正周期為T=且最大值為fxmax=【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)化簡三角函數(shù)解析式，并且通過余弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得到函數(shù)的性質(zhì)，在解題的過程中，要注意應(yīng)用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡結(jié)果.7、C【解題分析】

先利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算出的值，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)得出結(jié)果．【題目詳解】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，則，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比中項(xiàng)和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)充分利用這些運(yùn)算性質(zhì)，可簡化計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題．8、A【解題分析】

畫出曲線和的圖像，根據(jù)圖像觀察即可得結(jié)果.【題目詳解】在平面直角坐標(biāo)系中畫出曲線和的圖像，如圖：表示的點(diǎn)是圖中圓上及圓內(nèi)部的點(diǎn)，表示的點(diǎn)是圖中正方形上及正方形內(nèi)部的點(diǎn)，所以“”是“”的充分非必要條件，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查充分性和必要性的判斷，找出集合包含關(guān)系是快速判斷的重點(diǎn)，可以數(shù)形結(jié)合畫出曲線圖像，通過圖像觀察包含關(guān)系，本題是中檔題.9、C【解題分析】

列不等式求出集合，設(shè)，可得既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故原題等價(jià)于，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性以及分離參數(shù)思想可得在上恒成立，根據(jù)的范圍即可得結(jié)果.【題目詳解】由得，即設(shè)，，即函數(shù)在上為奇函數(shù)，又∵和為增函數(shù)，∴既是奇函數(shù)又是增函數(shù)由得，則，∴即在上恒成立，∵，∴，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的應(yīng)用，恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.10、B【解題分析】

由已知求得，代入，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【題目詳解】解：由圖可知，，，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】

試題分析：圖中的陰影部分所表示的集合為,故選A．考點(diǎn)：集合的運(yùn)算12、D【解題分析】

先判斷點(diǎn)P的位置，然后根據(jù)公式：ρ2ρ，根據(jù)點(diǎn)P的位置，求出θ.【題目詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-3,3)，所以點(diǎn)Pρ=(-3)2+所以θ=2kπ+56【題目點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，關(guān)鍵是要知道點(diǎn)的具體位置.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、310，302，320，312【解題分析】

根據(jù)題意，分別討論個(gè)位數(shù)字是0和個(gè)數(shù)數(shù)字是2兩種情況，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由0，1，2，3這4個(gè)數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字且比230大的所有三位偶數(shù)有：（1）當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，數(shù)字可以是：310，320；（2）當(dāng)個(gè)數(shù)數(shù)字是2時(shí)，數(shù)字可以是：302，312.故答案為：310，302，320，312.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查簡單的排列問題，只需按要求列舉即可，屬于基礎(chǔ)題型.14、30【解題分析】

將三名教師命名為A，B，C，按照要求，教師A只需再選一名學(xué)生，有5種選法，教師B有種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得分組方法有種．【題目詳解】將三名教師命名為A，B，C，所以可按三步完成分組，第一步讓教師A選學(xué)生，第二步讓教師B選學(xué)生，第三步將剩下的學(xué)生分配給教師C即可．教師A只需再選一名學(xué)生，有5種選法，教師B有種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得分組方法有種．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．15、【解題分析】

利用基本不等式將變形為即可求得的取值范圍.【題目詳解】∵，，∴，即，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用基本不等式求代數(shù)式的取值范圍問題，屬常規(guī)考題.16、②④⑤【解題分析】分析：根據(jù)方程性質(zhì)、回歸方程性質(zhì)及其含義、卡方含義確定命題真假.詳解：由方差的性質(zhì)知①正確；由線性回歸方程的特點(diǎn)知③正確；回歸方程若變量增加一個(gè)單位時(shí)，則平均減少5個(gè)單位；曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間不一定具有相關(guān)關(guān)系；在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得，只能確定兩個(gè)變量之間有相關(guān)關(guān)系的可能性，所以②④⑤均錯(cuò)誤．點(diǎn)睛：本題考查方程性質(zhì)、回歸方程性質(zhì)及其含義、卡方含義，考查對(duì)基本概念理解與簡單應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）時(shí)，征地面積最大．【解題分析】試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用梯形面積公式建立函數(shù)關(guān)系求解；(2)依據(jù)題設(shè)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行探求.試題解析：（1）連接，可得，，，，所以，．（2），令，∴（舍）或者．因?yàn)?，所以時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大，故時(shí)，征地面積最大．考點(diǎn)：梯形面積公式、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用．18、(Ⅰ)(Ⅱ)(ⅰ)(ⅱ)見證明【解題分析】

(Ⅰ)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后求出在處的切線的斜率，求出切線方程，把點(diǎn)代入切線方程中，求出的值；(Ⅱ)(ⅰ)，，，分類討論函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，可以判斷函數(shù)沒有極值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，可以證明出函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，故可以求出的取值范圍；由(ⅰ)知在上單調(diào)遞減，，且，由得，，又，.法一：先證明（）成立，應(yīng)用這個(gè)不等式，利用放縮法可以證明出成立；法二：令()，求導(dǎo)，利用單調(diào)性也可以證明出成立.【題目詳解】解:(Ⅰ)，又在處的切線方程為，即切線過點(diǎn)，(Ⅱ)(ⅰ)，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意，舍去當(dāng)時(shí)，令，得，()，或;，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，恰有個(gè)極值點(diǎn)，，符合題意，故的取值范圍是(ⅱ)由(ⅰ)知在上單調(diào)遞減，，且，由得，，又，法一:下面證明（），令（），，在上單調(diào)遞增，，即（），，綜上法二:令()，則，在上單調(diào)遞增，，即，綜上【題目點(diǎn)撥】本題考查了曲線切線方程的求法，考查了函數(shù)有極值時(shí)求參數(shù)取值范圍問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).19、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

先設(shè)，（且），由得；可將看作以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的點(diǎn)；（1）由表示點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離，根據(jù)定點(diǎn)到圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)，（且），因?yàn)?，所以，因此可看作以坐?biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的點(diǎn)；（1）表示點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離；又點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，所以（為單位圓半徑），因此；（2），因此是純虛數(shù).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求復(fù)數(shù)的模，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，熟記復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可，屬于?？碱}型.20、（I）；（II）；（III）有理項(xiàng)分別為，；.【解題分析】

在二項(xiàng)展開式的第六項(xiàng)的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于0，求出的值；在二項(xiàng)展開式中，令，可得展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和；二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令為整數(shù)，可求出的值，即可求得展開式中所有的有理項(xiàng)．【題目詳解】在的展開式中，第6項(xiàng)為

為常數(shù)項(xiàng)，，．在的展開式中，令，可得展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為．二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令為整數(shù)，可得，5，8，故有理項(xiàng)分別為，；．【