2024屆北京市西城區(qū)第三十九中高二數(shù)學第二學期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)第三十九中高二數(shù)學第二學期期末監(jiān)測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個大于，反證假設正確的是()A．假設三內(nèi)角都大于 B．假設三內(nèi)角都不大于C．假設三內(nèi)角至多有一個大于 D．假設三內(nèi)角至多有兩個大于2．一物體做直線運動，其位移s(單位:m)與時間t(單位:s)的關系是s=5t-t2，則該物體在A．-1m/s B．1m3．知，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．4．下列判斷錯誤的是A．若隨機變量服從正態(tài)分布，則B．“R，”的否定是“R，”C．若隨機變量服從二項分布：，則D．“<”是“a<b”的必要不充分條件5．x>2是x2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知定義在上的連續(xù)奇函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．7．小明同學喜歡籃球，假設他每一次投籃投中的概率為，則小明投籃四次，恰好兩次投中的概率是（）A． B． C． D．8．在方程（為參數(shù)）所表示的曲線上的點是（）A．(2,7) B． C．(1,0) D．9．函數(shù)圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．10．在△ABC中內(nèi)角A，B，C所對各邊分別為，，，且，則角=A．60° B．120° C．30° D．150°11．已知，則方程的實根個數(shù)為，且，則（）A． B． C． D．12．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為_______.14．已知函數(shù)，若正實數(shù)滿足，則的最小值是__________．15．已知橢圓的參數(shù)方程為，則該橢圓的普通方程是_________.16．的展開式中的系數(shù)為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關注，受到了觀眾的普遍好評.假設男性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為，女性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為.某機構就《流浪地球》是否好看的問題隨機采訪了4名觀眾（其中2男2女）.（1）求這4名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多的概率；（2）設表示這4名觀眾中認為《流浪地球》好看的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.18．（12分）如果，求實數(shù)的值.19．（12分）在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(Ⅱ)若點在曲線上,點在曲線上,求的最小值及此時點的直角坐標.20．（12分）觀察下列等式:；；；；；(1)猜想第n(n∈N*)個等式;(2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想.21．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），且直線與曲線交于兩點，以直角坐標系的原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）已知點的極坐標為，求的值22．（10分）已知橢圓C:的左,右焦點分別為且橢圓上的點到兩點的距離之和為4(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓交于兩點,為坐標原點直線的斜率之積等于，試探求△OMN的面積是否為定值，并說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

反證法的第一步是假設命題的結論不成立，根據(jù)這個原則，選出正確的答案.【題目詳解】假設命題的結論不成立，即假設三角形的內(nèi)角中至少有一個大于不成立，即假設三內(nèi)角都不大于，故本題選B.【題目點撥】本題考查了反證法的第一步的假設過程，理解至少有一個大于的否定是都不大于是解題的關鍵.2、A【解題分析】

先對s求導，然后將t=3代入導數(shù)式，可得出該物體在t=3s時的瞬時速度。【題目詳解】對s=5t-t2求導，得s'因此，該物體在t=3s時的瞬時速度為-1m/s，故選：A?！绢}目點撥】本題考查瞬時速度的概念，考查導數(shù)與瞬時變化率之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題。3、A【解題分析】由題易知：，∴故選A點睛：利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個實數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當都不相同時，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來進行比較大小，另一方面注意特殊值的應用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大小．4、D【解題分析】

根據(jù)題目可知，利用正態(tài)分布的對稱性、含有一個量詞的命題的否定、二項分布的變量的期望值公式以及不等式的基本性質(zhì)逐項分析，得出答案．【題目詳解】（1）隨機變量服從正態(tài)分布，故選項正確．（2）已知原命題是全稱命題，故其否定為特稱命題，將換為，條件不變，結論否定即可，故B選項正確．（3）若隨機變量服從二項分布：，則，故C選項正確．（4）當時，“a<b”不能推出“<”，故D選項錯誤．綜上所述，故答案選D．【題目點撥】本題是一個跨章節(jié)綜合題，考查了正態(tài)分布的對稱性、含有一個量詞的命題的否定、二項分布的變量的期望值公式以及不等式的基本性質(zhì)四個知識點．5、A【解題分析】

解不等式x2【題目詳解】由x2-2x>0解得：x<0或x>2，因此，x>2是x2-2x>0的充分不必要條件，故選：【題目點撥】本題考查充分必要條件的判斷，一般利用集合的包含關系來判斷兩條件的充分必要性：（1）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；（2）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件；（3）A=B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件。6、C【解題分析】

根據(jù)時可得：；令可得函數(shù)在上單調(diào)遞增；利用奇偶性的定義可證得為偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞減；將已知不等式變?yōu)椋鶕?jù)單調(diào)性可得自變量的大小關系，解不等式求得結果.【題目詳解】當時，令，則在上單調(diào)遞增為奇函數(shù)為偶函數(shù)則在上單調(diào)遞減等價于可得：，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應用問題，關鍵是能夠構造函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的符號確定所構造函數(shù)的單調(diào)性，并且根據(jù)奇偶性的定義得到所構造函數(shù)的奇偶性，從而將函數(shù)值的大小關系轉變?yōu)樽宰兞恐g的比較.7、D【解題分析】分析：利用二項分布的概率計算公式：概率即可得出．詳解：：∵每次投籃命中的概率是，

∴在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率．

故在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率是．故選D.點睛：本題考查了二項分布的概率計算公式，屬于基礎題．8、D【解題分析】分析：化參數(shù)方程（為參數(shù)）為普通方程，將四個點代入驗證即可.詳解：方程（為參數(shù)）消去參數(shù)得到將四個點代入驗證只有D滿足方程.故選D.點睛：本題考查參數(shù)分析與普通方程的互化，屬基礎題9、B【解題分析】

利用奇偶性可排除A、C；再由的正負可排除D.【題目詳解】，，故為奇函數(shù)，排除選項A、C；又，排除D，選B.故選：B.【題目點撥】本題考查根據(jù)解析式選擇圖象問題，在做這類題時，一般要結合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性以及特殊點函數(shù)值來判斷，是一道基礎題.10、A【解題分析】分析：利用余弦定理即可。詳解：由余弦定理可知，所以。點睛：已知三邊關系求角度，用余弦定理。11、A【解題分析】

由與的圖象交點個數(shù)可確定；利用二項式定理可分別求得和的展開式中項的系數(shù)，加和得到結果.【題目詳解】當時，與的圖象如下圖所示：可知與有且僅有個交點，即的根的個數(shù)為的展開式通項為：當，即時，展開式的項為：又本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用二項式定理求解指定項的系數(shù)的問題，涉及到函數(shù)交點個數(shù)的求解；解題關鍵是能夠將二項式配湊為展開項的形式，從而分別求解對應的系數(shù)，考查學生對于二項式定理的綜合應用能力.12、B【解題分析】設正方形邊長為，則圓的半徑為，正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是，選B.點睛:對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用定積分求得陰影部分的面積，然后利用幾何概型的概率計算公式，即可求解．【題目詳解】由題意，結合定積分可得陰影部分的面積為，由幾何概型的計算公式可得，黃豆在陰影部分的概率為．【題目點撥】本題主要考查了定積分的幾何意義求解陰影部分的面積，以及幾何概型及其概率的計算問題，其中解答中利用定積分的幾何意義求得陰影部分的面積是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．14、【解題分析】因為，所以函數(shù)為單調(diào)遞增奇函數(shù)，因此由，得因此，當且僅當時取等號.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.15、【解題分析】

利用公式即可得到結果【題目詳解】根據(jù)題意，解得故答案為【題目點撥】本題主要考查的是橢圓的參數(shù)方程，解題的關鍵是掌握，屬于基礎題16、70.【解題分析】試題分析：設的展開式中含的項為第項，則由通項知．令，解得，∴的展開式中的系數(shù)為．考點：二項式定理．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解題分析】

設表示2名女性觀眾中認為好看的人數(shù)，表示2名男性觀眾中認為好看的人數(shù)，則，.(1)設事件表示“這4名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多”，則,從而可得結果；(2)的可能取值為0，1，2，3，4，求出相應的概率值，即可得到分布列與期望.【題目詳解】設表示2名女性觀眾中認為好看的人數(shù)，表示2名男性觀眾中認為好看的人數(shù)，則，.（1）設事件表示“這4名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多”，則,.（2）的可能取值為0，1，2，3，4，，，=，,，,，，∴的分布列為01234∴.【題目點撥】求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是:“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等），求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布X～B(n，p))，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.18、【解題分析】分析：由復數(shù)相等的充分必要條件得到關于x,y的方程組，求解方程組可得.詳解：由題意得，解得.點睛：本題主要考查復數(shù)相等的充分必要條件及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.19、(Ⅰ)C1的普通方程,C2的直角坐標方程；(Ⅱ)|MN|取得最小值,此時M(,).【解題分析】

(Ⅰ)利用三種方程的轉化方法，即可寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(Ⅱ)設M(cosα,sinα)，則|MN|的最小值為M到距離最小值，利用三角函數(shù)知識即可求解．【題目詳解】(Ⅰ)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),普通方程為，曲線的極坐標方程為，即，直角坐標方程為，即；(Ⅱ)設M(cosα,sinα)，則|MN|的最小值為M到距離，即，當且僅當α=2kπ-(k∈Z)時,|MN|取得最小值,此時M(,).【題目點撥】本題考查參數(shù)方程化成普通方程，利用三角函數(shù)知識即可求解，屬于中等題.20、(1)；(2)(i)當時,等式顯然成立；(ii)見證明；【解題分析】

（1）猜想第個等式為.（2）先驗證時等式成立，再假設等式成立，并利用這個假設證明當時命題也成立.【題目詳解】（1）猜想第個等式為.（2）證明：①當時，左邊，右邊，故原等式成立；②設時，有，則當時，故當時，命題也成立，由數(shù)學歸納法可以原等式成立.【題目點撥】數(shù)學歸納法可用于證明與自然數(shù)有關的命題，一般有2個基本的步驟：（1）歸納起點的證明即驗證命題成立；（2）歸納證明：即設命題成立并證明時命題也成立，此處的證明必須利用假設，最后給出一般結論.21、(1).(2).【解題分析】分析：(1)曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，得曲線C的普通方