四川省射洪縣2024屆數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試模擬試題含解析

四川省射洪縣2024屆數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一個(gè)袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個(gè)、黑球2個(gè)，現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球，當(dāng)有放回依次取出兩個(gè)小球時(shí)，記取出的紅球數(shù)為；當(dāng)無放回依次取出兩個(gè)小球時(shí)，記取出的紅球數(shù)為，則（）A．， B．，C．， D．，2．已知隨機(jī)變量，若，則，分別為（）A．和 B．和 C．和 D．和3．已知下表所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為y，則實(shí)數(shù)a的值為x23456y3711a21A．16 B．18C．20 D．224．函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．5．若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，△ABC的面，則a=（）A．1 B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知向量滿足，點(diǎn)在線段上，且的最小值為，則的最小值為（）A． B． C． D．28．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．0.39．某電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對(duì)該批電子管進(jìn)行測試，那么在五次測試中恰有三次測到正品的概率是（）A． B． C． D．10．已知A＝B＝｛1，2，3，4，5｝，從集合A到B的映射滿足：①；②的象有且只有2個(gè)，求適合條件的映射的個(gè)數(shù)為()A．10 B．20 C．30 D．4011．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的解集為（）A． B． C． D．12．已知離散型隨機(jī)變量的概率分布列如下：01230.20.30.4則實(shí)數(shù)等于()A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.76二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．觀察下列等式：按此規(guī)律，第個(gè)等式可為__________．14．已知正六棱柱的底面邊長為，側(cè)棱為，則該正六棱柱的體積為_________15．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16．關(guān)于x的方程的解為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校高二（1）班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，如圖所示：試根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：（1）求全班的學(xué)生人數(shù)及分?jǐn)?shù)在[70,80)之間的頻數(shù)；（2）為快速了解學(xué)生的答題情況，老師按分層抽樣的方法從位于[70,80)，[80,90)和[90,100]分?jǐn)?shù)段的試卷中抽取8份進(jìn)行分析，再從中任選3人進(jìn)行交流，求交流的學(xué)生中，成績位于[70,80)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像在區(qū)間上沒有交點(diǎn).19．（12分）在中,角所對(duì)的邊分別為且.（1）求角的值；（2）若為銳角三角形,且,求的取值范圍.20．（12分）某醬油廠對(duì)新品種醬油進(jìn)行了定價(jià)，在各超市得到售價(jià)與銷售量的數(shù)據(jù)如下表：單價(jià)（元）55.25.45.65.86銷量（瓶）9.08.48.38.07.56.8（1）求售價(jià)與銷售量的回歸直線方程；（，）（2）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/瓶，為使工廠獲得最大利潤（利潤=銷售收入成本），該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？相關(guān)公式：，．21．（12分）以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”，設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足，.（1）求橢圓及其“準(zhǔn)圓"的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，試求直線交“準(zhǔn)圓”所得的弦長；（3）射線與橢圓的“準(zhǔn)圓”交于點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線，與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與橢圓的“準(zhǔn)圓”分別交于，兩點(diǎn)，試問弦是否為”準(zhǔn)圓”的直徑?若是，請(qǐng)給出證明：若不是，請(qǐng)說明理由.22．（10分）某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款（年底余額），如下表1：年份x20112012201320142015儲(chǔ)蓄存款y（千億元）567810為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，得到下表2：時(shí)間代號(hào)t12345z01235（Ⅰ）求z關(guān)于t的線性回歸方程；（Ⅱ）通過（Ⅰ）中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；（Ⅲ）用所求回歸方程預(yù)測到2020年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少？（附：對(duì)于線性回歸方程，其中）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

分別求出兩個(gè)隨機(jī)變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關(guān)系.【題目詳解】可能的取值為；可能的取值為，，，，故，.，，故，,故，.故選B.【題目點(diǎn)撥】離散型隨機(jī)變量的分布列的計(jì)算，應(yīng)先確定隨機(jī)變量所有可能的取值，再利用排列組合知識(shí)求出隨機(jī)變量每一種取值情況的概率，然后利用公式計(jì)算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.2、C【解題分析】

利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性質(zhì)可求出和的值.【題目詳解】，，.，，由期望和方差的性質(zhì)可得，.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查均值和方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．3、B【解題分析】

，代入回歸直線方程得，所以，則，故選擇B.4、D【解題分析】

根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式可求出函數(shù)的最小正周期.【題目詳解】由題意可知，函數(shù)的最小正周期，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查正切型函數(shù)周期的求解，解題的關(guān)鍵在于利用周期公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

根據(jù)三角形面積公式可得,利用正余弦平方關(guān)系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得.【題目詳解】因?yàn)椋娣e，所以.所以.所以，.所以.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查正余弦定理,面積公式,基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

把已知變形等式，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【題目詳解】由，得，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第一象限．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

依據(jù)題目條件，首先可以判斷出點(diǎn)的位置，然后，根據(jù)向量模的計(jì)算公式，求出的代數(shù)式，由函數(shù)知識(shí)即可求出最值．【題目詳解】由于，說明點(diǎn)在的垂直平分線上，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為，此時(shí)與的夾角為，與的夾角為，∴與的夾角為，的最小值是4，即的最小值是2.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量有關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)是利用數(shù)量積求向量的模．8、C【解題分析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，得到正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)，得到對(duì)稱區(qū)間上的概率，從而可求．詳解：由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布可知正態(tài)密度曲線關(guān)于軸對(duì)稱，

而，

則故，

故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布的概率求法，結(jié)合正態(tài)曲線，加深對(duì)正態(tài)密度函數(shù)的理解．9、D【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率求出所求事件的概率?！绢}目詳解】由題意可知，五次測試中恰有三次測到正品，則有兩次測到次品，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可知，所求事件的概率為，故選：D。【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的計(jì)算，主要考查學(xué)生對(duì)于事件基本屬性的判斷以及對(duì)公式的理解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。10、D【解題分析】分析：將元素按從小到大的順序排列，然后按照元素在中的象有且只有兩個(gè)進(jìn)行討論.詳解：將元素按從小到大的順序排列，因恰有兩個(gè)象，將元素分成兩組，從小到大排列，有一組；一組；一組；一組，中選兩個(gè)元素作象，共有種選法，中每組第一個(gè)對(duì)應(yīng)集合中的較小者，適合條件的映射共有個(gè)，故選D.點(diǎn)睛：本題考查映射問題并不常見，解決此類問題要注意：（）分清象與原象的概念；（）明確對(duì)應(yīng)關(guān)系.11、B【解題分析】是定義在上的偶函數(shù)，，即，則函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故兩邊同時(shí)平方解得，故選12、C【解題分析】

根據(jù)隨機(jī)變量概率的性質(zhì)可得，從而解出?！绢}目詳解】解：據(jù)題意得，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了概率性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用概率的性質(zhì)。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)【解題分析】

試題分析：題目中給出的前三個(gè)等式的特點(diǎn)是第一個(gè)等式的左邊僅含一項(xiàng)，第二個(gè)等式的左邊含有兩項(xiàng)相乘，第三個(gè)等式的左邊含有三項(xiàng)相乘，由此歸納第n個(gè)等式的左邊含有n項(xiàng)相乘，由括號(hào)內(nèi)數(shù)的特點(diǎn)歸納第n個(gè)等式的左邊應(yīng)為：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每個(gè)等式的右邊都是2的幾次冪乘以從1開始幾個(gè)相鄰奇數(shù)乘積的形式，且2的指數(shù)與奇數(shù)的個(gè)數(shù)等于左邊的括號(hào)數(shù)，由此可知第n個(gè)等式的右邊為?1?3?5…（2n-1）．所以第n個(gè)等式可為（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=?1?3?5…（2n-1）．故答案為14、【解題分析】

先計(jì)算出底面正六邊形的面積，然后根據(jù)棱柱的體積公式，即可求解出正六棱柱的體積.【題目詳解】因?yàn)榈酌媸莻€(gè)邊長為的正三角形，所以底面積為，所以正六棱柱的體積為：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查正棱柱的體積計(jì)算，難度較易.棱柱的體積計(jì)算公式：(是棱柱的底面積，是棱柱的高).15、【解題分析】

由題意可得有兩個(gè)不等實(shí)根，作出，，，的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得極值，考慮極小值與的關(guān)系，計(jì)算可得所求范圍．【題目詳解】函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，

可得有兩個(gè)不等實(shí)根，

由的導(dǎo)數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

可得處取得極大值，取得極小值，

且過，，作出，，，的圖象，

以及直線，如圖，此時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn),只需滿足，即，又，所以，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，取得極大值a，如圖，

只需滿足，解得，又，所以時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，顯然與有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，綜上可得a的范圍是，故答案為：.

【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和極值，考查圖象變換，屬于難題．16、0或2或4【解題分析】

因?yàn)椋裕夯?，解方程可得．【題目詳解】解：因?yàn)?，所以：或，解得：，，，（舍）故答案為?或2或4【題目點(diǎn)撥】本題考查了組合及組合數(shù)公式．屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）50，20；（2）158【解題分析】解：(1)由莖葉圖可知，分?jǐn)?shù)在[50,60)上的頻數(shù)為4，頻率為0.008×10＝0.08，故全班的學(xué)生人數(shù)為40.08分?jǐn)?shù)在[70,80)之間的頻數(shù)等于50－(4＋14＋8＋4)＝20.(2)按分層抽樣原理，三個(gè)分?jǐn)?shù)段抽樣數(shù)之比等于相應(yīng)人數(shù)之比．又[70,80)，[80,90)和[90,100]分?jǐn)?shù)段人數(shù)之比等于5∶2∶1，由此可得抽出的樣本中分?jǐn)?shù)在[70,80)之間的有5人，分?jǐn)?shù)在[80,90)之間的有2人，分?jǐn)?shù)在[90,100]之間的有1人．從中任取3人，共有C83＝56種不同的結(jié)果．被抽中的成績位于[70,80)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生人數(shù)X的所有取值為0,1,2,3.它們的概率分別是：P(X＝0)＝C3356P(X＝1)＝C51CP(X＝2)＝C52C31P(X＝3)＝C5356＝10∴X的分布列為X

0

1

2

3

P

15615561528528∴X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×156＋1×1556＋2×1528＋3×528＝18、（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【解題分析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（Ⅱ）由題意，求得，利用導(dǎo)數(shù)即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（Ⅲ）令，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可作出證明.【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處的切線方程是；（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（Ⅲ）令，可以證明函數(shù)的最小值是，所以恒成立，所以兩個(gè)圖像沒有交點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.19、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：(1)在三角形中處理邊角關(guān)系時(shí)，一般全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，或全部轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用余弦定理，應(yīng)用正弦、余弦定理時(shí)，注意公式變形的應(yīng)用，解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍;(2)在三角形中，注意隱含條件，（3）注意銳角三角形的各角都是銳角.（4）把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角，對(duì)于求邊的取值范圍很有幫助試題解析：（1）由，得，所以，則，由，。（2）由（1）得，即，又為銳角三角形，故從而．由，所以所以,所以因?yàn)樗约纯键c(diǎn)：余弦定理的變形及化歸思想20、（1）．（2）6.75元【解題分析】

（1）根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程.（2）求得利潤的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得為使工廠獲得最大利潤（利潤=銷售收入成本），該產(chǎn)品的單價(jià).【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，，所以，，從而回歸直線方程為．（