2024屆江西省贛州尋烏縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末檢測模擬試題含解析

2024屆江西省贛州尋烏縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對于橢圓，若點滿足，則稱該點在橢圓內(nèi)，在平面直角坐標(biāo)系中，若點A在過點的任意橢圓內(nèi)或橢圓上，則滿足條件的點A構(gòu)成的圖形為（）A．三角形及其內(nèi)部 B．矩形及其內(nèi)部 C．圓及其內(nèi)部 D．橢圓及其內(nèi)部2．用反證法證明命題“已知，且，則中至少有一個大于”時，假設(shè)應(yīng)為（）A．且 B．或C．中至多有一個大于 D．中有一個小于或等于3．甲、乙等人在南沙聚會后在天后宮沙灘排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰的排法有（）．A．種 B．種 C．種 D．種4．設(shè)函數(shù)，則（）A．9 B．11 C．13 D．155．下列三個數(shù)：，，，大小順序正確的是（）A． B． C． D．6．將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，則所得圖象對應(yīng)的函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值，則等于（）A．-3 B．2 C．3 D．88．如圖，正方體，則下列四個命題：①點在直線上運(yùn)動時，直線與直線所成角的大小不變②點在直線上運(yùn)動時，直線與平面所成角的大小不變③點在直線上運(yùn)動時，二面角的大小不變④點在直線上運(yùn)動時，三棱錐的體積不變其中的真命題是（）A．①③ B．③④ C．①②④ D．①③④9．設(shè)，，，則()A． B． C． D．10．設(shè)，，i為虛數(shù)單位，則M與N的關(guān)系是（）.A． B． C． D．11．函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上的最大值是()A． B． C． D．12．已知隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若向長方形中隨機(jī)投擲1點，則該點恰好落在陰影部分的概率為（）附：若隨機(jī)變量，則，.A．0.1359 B．0.7282 C．0.6587 D．0.8641二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式中，二項式系數(shù)最大的項是_________．14．投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為0.6，那么針尖向下的概率為0.1．若連續(xù)擲一枚圖釘3次，則至少出現(xiàn)2次針尖向上的概率為_____________．15．若，則_______.16．函數(shù)的定義域為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)是拋物線的焦點，是拋物線上三個不同的動點，直線過點，，直線與交于點.記點的縱坐標(biāo)分別為．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明：點的橫坐標(biāo)為定值．18．（12分）為了更好地服務(wù)民眾，某共享單車公司通過向共享單車用戶隨機(jī)派送每張面額為0元，1元，2元的三種騎行券.用戶每次使用掃碼用車后，都可獲得一張騎行券.用戶騎行一次獲得1元獎券、獲得2元獎券的概率分別是0.5、0.2，且各次獲取騎行券的結(jié)果相互獨立.（I）求用戶騎行一次獲得0元獎券的概率；（II）若某用戶一天使用了兩次該公司的共享單車，記該用戶當(dāng)天獲得的騎行券面額之和為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓經(jīng)過極點，且其圓心的極坐標(biāo)為.（1）求圓的極坐標(biāo)方程；（2）若射線分別與圓和直線交于點，（點異于坐標(biāo)原點），求線段的長.20．（12分）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有個粽子，其中豆沙粽個，肉粽個，白粽個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取個．（）求三種粽子各取到個的概率．（）設(shè)表示取到的豆沙粽個數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知橢圓：的左焦點，離心率為，點為橢圓上任一點，且的最小值為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過橢圓的左焦點，與橢圓交于兩點，且的面積為，求直線的方程.22．（10分）已知矩陣A＝，向量．（1）求A的特征值、和特征向量、；（2）求A5的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由在橢圓上，根據(jù)橢圓的對稱性，則關(guān)于坐標(biāo)軸和原點的對稱點都在橢圓上，即可得結(jié)論．【題目詳解】設(shè)在過的任意橢圓內(nèi)或橢圓上，則，，即，由橢圓對稱性知，都在任意橢圓上，∴滿足條件的點在矩形上及其內(nèi)部，故選：B．【題目點撥】本題考查點到橢圓的位置關(guān)系．考查橢圓的對稱性．由點在橢圓上，則也在橢圓上，這樣過點的所有橢圓的公共部分就是矩形及其內(nèi)部．2、A【解題分析】

根據(jù)已知命題的結(jié)論的否定可確定結(jié)果.【題目詳解】假設(shè)應(yīng)為“中至少有一個大于”的否定，即“都不大于”，即“且”.故選：.【題目點撥】本題考查反證法的相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】由題意利用捆綁法求解，甲、乙兩人必須相鄰的方法數(shù)為種．選．4、B【解題分析】

根據(jù)自變量所在的范圍代入相應(yīng)的解析式計算即可得到答案.【題目詳解】∵函數(shù)，∴=2+9=1．故選B．【題目點撥】本題考查函數(shù)值的求法，考查指對函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】

將與化成相同的真數(shù)，然后利用換底公式與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，然后再利用中間量比較的大小，從而得出三者的大?。绢}目詳解】解：因為，且，所以，因為，所以．故選A．【題目點撥】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】分析：依據(jù)題的條件，根據(jù)函數(shù)的圖像變換規(guī)律，得到相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用誘導(dǎo)公式化簡，可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意，將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的函數(shù)圖像對應(yīng)的解析式為，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到的函數(shù)圖像對應(yīng)的解析式為，故選D.點睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)圖像的變換問題，在求解的過程中，需要明確伸縮變換和左右平移對應(yīng)的規(guī)律，影響函數(shù)解析式中哪一個參數(shù)，最后結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡即可得結(jié)果.7、C【解題分析】

配湊成可用基本不等式的形式。計算出最值與取最值時的x值?！绢}目詳解】當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，即【題目點撥】在使用均值不等式時需注意“一正二定三相等”缺一不可。8、D【解題分析】

①由與平面的位置關(guān)系判斷直線與直線所成角的大小變化情況；②考慮與平面所成角的大小，然后判斷直線與平面所成角的大小是否不變；③根據(jù)以及二面角的定義判斷二面角的大小是否不變；④根據(jù)線面平行的性質(zhì)以及三棱錐的體積計算公式判斷三棱錐的體積是否不變.【題目詳解】①如下圖，連接，因為，所以平面，所以，所以直線與直線所成角的大小不變；②如下圖，連接，記到平面的距離為，設(shè)正方體棱長為，所以，所以，又因為，所以，所以與平面所成角的正弦值為：，又因為，所以，所以所以與平面所成角的正弦值為：，顯然，所以直線與平面所成角的大小在變化；③因為，所以四點共面，又在直線上，所以二面角的大小不變；④因為，平面，平面，所以平面，所以當(dāng)在上運(yùn)動時，點到平面的距離不變，所以三棱錐的體積不變.所以真命題有：①③④.故選：D.【題目點撥】本題考查空間中點、線、面的位置關(guān)系的判斷，難度一般.(1)已知直線平行平面，則該直線上任意一點到平面的距離都相等；(2)線面角的計算方法：<1>作出線段的射影，計算出射影長度，利用比值關(guān)系即可求解線面角的大?。?lt;2>計算線段在平面外的一個端點到平面的距離，該距離比上線段長度即為線面角的正弦.9、C【解題分析】

分別求出，，的范圍，從而得到答案．【題目詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像可得，，；由于，則，則；所以；故答案選C【題目點撥】本題考查指數(shù)、對數(shù)值的大小比較，解題的關(guān)鍵利用指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算法則求出值的范圍，屬于中檔題．10、D【解題分析】

先根據(jù)性質(zhì)化簡，再判斷選項.【題目詳解】,所以故選：D【題目點撥】本題考查性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】分析：先求導(dǎo)，再求函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最大值.詳解：由題得令因為.所以函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為e-1.故答案為D.點睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2)設(shè)是定義在閉區(qū)間上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，可以這樣求最值：①求出函數(shù)在內(nèi)的可能極值點（即方程在內(nèi)的根）；②比較函數(shù)值，與，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.12、D【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性和性質(zhì)，再利用面積比的幾何概型求解概率，即得解.【題目詳解】由題意，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性，可得：故所求的概率為，故選：D【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布的圖像及其應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化與劃歸的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意，由二項式系數(shù)的性質(zhì)，得到第4項的二項式系數(shù)最大，求出第4項即可.【題目詳解】在的展開式中，由二次項系數(shù)的性質(zhì)可得：展開式中第4項的二項式系數(shù)最大，因此，該項為：.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查求二項式系數(shù)的最大項，熟記二項式定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解題分析】

至少出現(xiàn)2次針尖向上包括：出現(xiàn)2次針尖向上和出現(xiàn)3次針尖向上，分別求出它們的概率，根據(jù)互斥事件概率加法公式，可得答案．【題目詳解】∵投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為0.6，針尖向下的概率為0.1．∴連續(xù)擲一枚圖釘3次，出現(xiàn)2次針尖向上的概率為：0.132，出現(xiàn)3次針尖向上的概率為：0.216，故至少出現(xiàn)2次針尖向上的概率，故答案為：．【題目點撥】本題考查的知識點是互斥事件概率加法公式，先求出出現(xiàn)2次針尖向上和出現(xiàn)3次針尖向上的概率，是解答的關(guān)鍵．15、【解題分析】分析：由，得展開式的每一項的系數(shù)為，代入，即可求解.詳解：由題意，得展開式的每一項的系數(shù)為，所以又由，且，所以.點睛：本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，其中對二項展開式的靈活變形和恰當(dāng)?shù)馁x值，以及熟練掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力.16、【解題分析】分析：令即可求出定義域詳解：令，，解得綜上所述，函數(shù)的定義域為點睛：在求定義域時找出題目中的限制條件，有分母的令分母不等于零，有根號的令根號里面大于或者等于零，對數(shù)有自身的限制條件，然后列出不等式求出定義域。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析.(2)證明見解析.【解題分析】分析：(Ⅰ)因為，所以，所以，所以(Ⅱ)因為直線過點，所以，由(Ⅰ)得，所以,因為即設(shè)點坐標(biāo)為，又因為直線交于點，所以消去得，整理，即可證明點的橫坐標(biāo)為定值．詳解：(Ⅰ)因為，所以，所以，所以(Ⅱ)因為直線過點，所以，由(Ⅰ)得，所以,因為即設(shè)點坐標(biāo)為，又因為直線交于點，所以所以消去得，所以，所以，因為，所以，即，所以點的橫坐標(biāo)為定值點睛：本題考查拋物線的性質(zhì)，拋物線與直線的位置關(guān)系，屬中檔題.18、（I）；（II）（元）.【解題分析】分析：（1）利用對立事件概率公式可得用戶騎行一次獲得0元獎券的概率；（2）由（1）知，一次騎行用戶獲得0元的概率為．X的所有可能取值分別為0，1，2，3，1．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望詳解：（I）由題可知騎行一次用戶獲得0元獎券的概率為：（II）由（I）知一次騎行用戶獲得0元的概率為.的所有可能取值分別為0，1，2，3，1.∵，，，，，∴的分布列為：的數(shù)學(xué)期望為（元）.點睛：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.求解該類問題，首先要正確理解題意，其次要準(zhǔn)確無誤的找出隨機(jī)變量的所以可能值，計算出相應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差的公式進(jìn)行計算，也就是要過三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)；（2）概率計算關(guān)；（3）公式應(yīng)用關(guān).19、（1）；（2）【解題分析】

(1)將圓心極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，可得圓是以為圓心，半徑為2的圓，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，，再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程即可（2）將代入可求得，再根據(jù)直線的參數(shù)方程進(jìn)行消參，得到普通方程，再將普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，算出，可求得答案【題目詳解】解：（1）圓是以為圓心，半徑為2的圓.其方程是，即，可得其極坐標(biāo)方程為，即；（2）將代入得，直線的普通方程為，其極坐標(biāo)方程是，將代入得，故.【題目點撥】對于圓的普通方程和參數(shù)方程及極坐標(biāo)方程，應(yīng)熟練掌握，平時應(yīng)熟記四種極坐標(biāo)方程及對應(yīng)的普通方程：，做題時才能游刃有余，本題第二問巧妙地運(yùn)用了極徑來求解長度問題，體現(xiàn)了極坐標(biāo)處理解析幾何問題的優(yōu)越性20、(1);(2)見解析.【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計算即可；（Ⅱ）隨機(jī)變量X的取值為：0，1，2，別求出對應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望試題解析：（1）令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個”，由古典概型的概率計算公式有P（A）＝＝.（2）X的可能取值為0,1,2，且P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝綜上知，X的分布列為：X

0

1

2

P

故E（X）＝0×＋1×＋2×＝（個）考點：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；古典