河北雞澤縣第一中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

河北雞澤縣第一中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等比數(shù)列中，“是方程的兩根”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知頂點在軸上的雙曲線實軸長為4，其兩條漸近線方程為，該雙曲線的焦點為（）A． B． C． D．3．已知，則的大小關系為()A． B． C． D．4．如圖所示，圓為正三角形的內切圓，為切點，將一顆豆子隨機地扔到該正三角形內，在已知豆子落在圓內的條件下，豆子落在（陰影部分）內的概率為（）A． B． C． D．5．周末，某高校一學生宿舍有甲乙丙丁四位同學分別在做不同的四件事情，看書、寫信、聽音樂、玩游戲，下面是關于他們各自所做事情的一些判斷：①甲不在看書，也不在寫信；②乙不在寫信，也不在聽音樂；③如果甲不在聽音樂，那么丁也不在寫信；④丙不在看書，也不在寫信.已知這些判斷都是正確的，依據以上判斷，乙同學正在做的事情是（）A．玩游戲 B．寫信 C．聽音樂 D．看書6．某同學從家到學校要經過兩個十字路口.設各路口信號燈工作相互獨立，且在第一個路口遇到紅燈的概率為，兩個路口都遇到紅燈的概率為，則他在第二個路口遇到紅燈的概率為（）A． B． C． D．7．如圖，長方形的四個頂點坐標為O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲線經過點B,現(xiàn)將質點隨機投入長方形OABC中，則質點落在圖中陰影部分的概率為()A． B． C． D．8．在直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.若與有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．或9．若實數(shù)x,y滿足約束條件x-3y+4≥03x-y-4≤0x+y≥0，則A．-1 B．1C．10 D．1210．曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為A． B． C． D．11．若函數(shù)在處取得極小值，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．612．閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序,則輸出S的值為()A．-10 B．6C．14 D．18二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線方程為___________．14．某校高二成立3個社團，有4名同學，每人只選一個社團，恰有1個社團沒有同學選，共有種不同參加方案（用數(shù)字作答）.15．計算的結果為______.16．的不同正約數(shù)共有______個．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復數(shù)，是的共軛復數(shù)，且為純虛數(shù)，在復平面內所對應的點在第二象限，求.18．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平形四邊形，PA⊥平面ABCD，點M，N分別為BC,PA的中點，且AB=AC=1，AD=2（1）證明：MN∥平面PCD；（2）設直線AC與平面PBC所成角為α，當α在(0,π6)內變化時，求二面角P-BC-A的平面角β19．（12分）如圖四棱錐中，底面是正方形，，，且，為中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．20．（12分）已知函數(shù)的定義域是，關于的不等式的解集為．（1）求集合；（2）已知，，若是的必要不充分條件，試求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）對一批產品的內徑進行抽查，已知被抽查的產品的數(shù)量為200，所得內徑大小統(tǒng)計如表所示：（Ⅰ）以頻率估計概率，若從所有的這批產品中隨機抽取3個，記內徑在的產品個數(shù)為X，X的分布列及數(shù)學期望；（Ⅱ）已知被抽查的產品是由甲、乙兩類機器生產，根據如下表所示的相關統(tǒng)計數(shù)據，是否有的把握認為生產產品的機器種類與產品的內徑大小具有相關性．參考公式：，（其中為樣本容量）．0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822．（10分）如圖，圓的半徑為2，點是圓的一條半徑的中點，是圓過點的動弦.(1)當是的中點時，求的值;(2)若，,,且.①,的值;②求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由韋達定理可得a4+a12＝﹣3，a4?a12＝1，得a4和a12均為負值，由等比數(shù)列的性質可得．【題目詳解】∵a4，a12是方程x2+3x+1＝0的兩根，∴a4+a12＝﹣3，a4?a12＝1，∴a4和a12均為負值，由等比數(shù)列的性質可知a8為負值，且a82＝a4?a12＝1，∴a8＝﹣1，故“a4，a12是方程x2+3x+1＝0的兩根”是“a8＝±1”的充分不必要條件.故選A．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的性質和韋達定理，注意等比數(shù)列隔項同號，屬于基礎題．2、C【解題分析】

由雙曲線實軸長為4可知由漸近線方程，可得到然后利用即可得到焦點坐標．【題目詳解】由雙曲線實軸長為4可知由漸近線方程，可得到即所以又雙曲線頂點在軸上，所以焦點坐標為．【題目點撥】本題考查了雙曲線的幾何性質，漸近線方程，屬于基礎題．3、A【解題分析】分析：由，，，可得，，則，利用做差法結合基本不等式可得結果.詳解：，，則，即，綜上，故選A.點睛：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質、指數(shù)函數(shù)的單調性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應用.4、A【解題分析】

設正三角形的邊長為，內切圓半徑為，求得內切圓半徑，即可得陰影部分的面積；再求得三角形的面積，結合幾何概型的求法即可得解.【題目詳解】設正三角形的邊長為，內切圓半徑為，則由三角形面積公式可得，解得，則，所以由幾何概型概率可得落在陰影部分的概率為,故選：A.【題目點撥】本題考查了等邊三角形內切圓的性質應用，幾何概型概率求法，屬于基礎題.5、D【解題分析】

根據事情判斷其對應關系進行合情推理進而得以正確分析【題目詳解】由于判斷都是正確的，那么由①知甲在聽音樂或玩游戲；由②知乙在看書或玩游戲；由③知甲聽音樂時丁在寫信；由④知丙在聽音樂或玩游戲，那么甲在聽音樂，丙在玩游戲，丁在寫信，由此可知乙肯定在看書故選：D．【題目點撥】本題考查了合情推理，考查分類討論思想，屬于基礎題．6、C【解題分析】

記在兩個路口遇到紅燈分別為事件A，B，由于兩個事件相互獨立，所以，代入數(shù)據可得解.【題目詳解】記事件A為：“在第一個路口遇到紅燈”，事件B為：“在第二個路口遇到紅燈”，由于兩個事件相互獨立，所以，所以.【題目點撥】本題考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率問題，考查運用概率的基本運算.7、A【解題分析】由定積分可得，陰影部分的面積為：，由幾何概型公式可得：.本題選擇A選項.點睛：數(shù)形結合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關鍵：用圖形準確表示出試驗的全部結果所構成的區(qū)域，由題意將已知條件轉化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，通用公式：P(A)=.8、D【解題分析】

先把曲線，的極坐標方程和參數(shù)方程轉化為直角坐標方程和一般方程，若與有且只有一個公共點可轉化為直線和半圓有一個公共點，數(shù)形結合討論a的范圍即得解.【題目詳解】因為曲線的極坐標方程為即故曲線的直角坐標方程為：.消去參數(shù)可得曲線的一般方程為：，由于，故如圖所示，若與有且只有一個公共點，直線與半圓相切，或者截距當直線與半圓相切時由于為上半圓，故綜上：實數(shù)的取值范圍是或故選：D【題目點撥】本題考查了極坐標、參數(shù)方程與直角坐標方程、一般方程的互化，以及直線和圓的位置關系，考查了學生數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.9、C【解題分析】

本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大題，注重了基礎知識、基本技能的考查.【題目詳解】在平面直角坐標系內畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域為以(-1,1),(1,-1),(2,2)為頂點的三角形區(qū)域（包含邊界），由圖易得當目標函數(shù)z=3x+2y經過平面區(qū)域的點(2,2)時，【題目點撥】解答此類問題，要求作圖要準確，觀察要仔細.往往由于由于作圖欠準確而影響答案的準確程度，也有可能在解方程組的過程中出錯.10、D【解題分析】因為曲線，所以切線過點（4，e2）

∴f′（x）|x=4=e2，

∴切線方程為：y-e2=e2（x-4），

令y=0，得x=2，與x軸的交點為：（2，0），

令x=0，y=-e2，與y軸的交點為：（0，-e2），

∴曲線在點（4，e2）處的切線與坐標軸所圍三角形的面積s=×2×|-e2|=e2.

故選D．11、B【解題分析】

先對函數(shù)求導，根據題意，得到，再用導數(shù)的方法研究函數(shù)單調性，進而可求出結果.【題目詳解】因為，所以，又函數(shù)在處取得極小值，所以，所以，因此，由得；由得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；所以；故選B【題目點撥】本題主要考查導數(shù)的應用，根據導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調性，最值等，屬于?？碱}型.12、B【解題分析】模擬法：輸入；不成立；不成立成立輸出,故選B.考點：本題主要考查程序框圖與模擬計算的過程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求得的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得所求切線方程．【題目詳解】解：的導數(shù)為，所以，即曲線在處的切線的斜率為1，即切點為，則切線方程為，即故答案為：．【題目點撥】本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，考查直線方程的運用，以及方程思想和運算能力，屬于基礎題．14、42【解題分析】試題分析：若恰有1個社團沒人選，則問題轉化為4人選2個社團，且每人只選擇一個社團，可轉化為分組與分配問題，即。考點：排列組合的綜合應用。15、【解題分析】

利用指數(shù)運算、對數(shù)運算的性質即可得出．【題目詳解】原式

．

故答案為：．【題目點撥】本題考查了指數(shù)運算性質，對數(shù)的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．16、【解題分析】

將進行質因數(shù)分解為，然后利用約數(shù)和定理可得出的不同正約數(shù)個數(shù).【題目詳解】將進行質因數(shù)分解為，因此，的不同正約數(shù)共有.故答案為：.【題目點撥】本題考查合數(shù)的正約數(shù)個數(shù)的計算，一般將合數(shù)質因數(shù)分解，并利用約數(shù)和定理進行計算，也可以采用列舉法，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

設，根據題意列出關于的方程組求解，再結合所對應的點在第二象限，即可求出【題目詳解】設，則，∴又，.∴，聯(lián)立，解得又在第二象限，∴，即∴故答案為【題目點撥】本題考查了復數(shù)的相關定義，設出復數(shù)的表示形式，根據題意列出方程組即可，本題較為基礎，注意計算。18、(1)見解析;(2)(0，【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據直線與平面平行的判定定理，需在平面PCD內找一條與MN平行的直線.結合題設可取取PD中點Q，連接NQ,CQ，易得四邊形CQNM為平行四邊形，從而得MN//CQ，問題得證.（Ⅱ）思路一、首先作出二面角的平面角，即過棱BC上一點分別在兩個平面內作棱BC的垂線.因為AB=AC=1，點M分別為BC的中點，則AM⊥BC.連接PM，因為PA⊥平面ABCD，所以AM是PM在面ABC內的射影，所以PM⊥BC，所以∠PMA即為二面角P-BC-A的平面角.再作出直線AC與平面PBC所成的角，即作出AC在平面PBC內的射影.由PM⊥BC，AM⊥BC且AM∩PM=M得BC⊥平面PAM，從而平面PBC⊥平面PAM.過點A在平面PAM內作AH⊥PM于H，根據面面垂直的性質知AH⊥平面PBC．連接CH，于是∠ACH就是直線AC與平面PBC所成的角．在Rt△AHM及Rt△AHC中，找出∠PMA與α的關系，即可根據α的范圍求出∠PMA的范圍.思路二、以所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量亦可求解.試題解析：（Ⅰ）證明：取PD中點Q，連接NQ,CQ，因為點M,N分別為BC,PA的中點，所以NQ//AD//CM,四邊形CQNM為平行四邊形，則MN//CQ又MN?平面PCD，CQ?所以MN//平面PCD.（Ⅱ）解法1：連接PM，因為AB=AC=1，點M分別為BC的中點，則AM⊥BC又PA⊥平面ABCD，則PM⊥BC所以∠PMA即為二面角P-BC-A的平面角又AM∩PM=M，所以BC⊥平面PAM，則平面PBC⊥平面PAM過點A在平面PAM內作AH⊥PM于H，則AH⊥平面PBC．連接CH，于是∠ACH就是直線AC與平面PBC所成的角，即∠ACH=α．在Rt△AHM中，AH=2在Rt△AHC中，CH=sinα，∵0<α<π∴0<sinθ<1又0<φ<π2，即二面角P-BC-A取值范圍為(0，解法2：連接PM，因為AB=AC=1，點M分別為BC的中點，則AM⊥BC又PA⊥平面ABCD，則PM⊥BC所以∠PMA即為二面角P-BC-A的平面角，設為θ以所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，0于是，PM=(12，1設平面PBC的一個法向量為n=(x，則由n·BC得-x+y=0可取n=(1，1，于是sinα=|∵0<α<π∴0<sinθ<1又0<φ<π2，即二面角P-BC-A取值范圍為(0，考點：1、空間直線與平面的位置關系；2、二面角.19、(1)證明見解析；(2).【解題分析】

（1）推導出，，從而平面，進而．求出，由此能證明平面．（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的正弦值．【題目詳解】（1）∵底面為正方形，∴，又，，∴平面，∴.同理，，∴平面.（2）建立如圖的空間直角坐標系，不妨設正方形的邊長為2.則，，，設為平面的一個法向量，又，，，令，，得同理是平面的一個法向量，則.∴二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．20、（1）當時，；當時，；當時，（2）【解題分析】

（1）由含參二次不等式的解法可得，只需，，即可得解；（2）由函數(shù)定義域的求法求得，再結合命題間的充要性求解即可.【題目詳解】解：（1）因為，所以，當時，；當時，方程無解；當時，，故當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.（2）解不等式，即，即，解得，即，由，，若是的必要不充分條件，可得是的真子集，則當時，則，即；當時，顯然滿足題意；當時，則，即，綜上可知：，故實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題考查了函數(shù)定