2024屆天津市南開區(qū)數(shù)學高二下期末檢測模擬試題含解析

2024屆天津市南開區(qū)數(shù)學高二下期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)，則的虛部是（）A． B． C． D．2．設函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時．則當，的最小值是（）A． B． C． D．3．復數(shù)（）A． B． C．0 D．24．已知復數(shù)為純虛數(shù)，則A． B． C．或 D．5．已知函數(shù)，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）A．和 B．和C．和 D．6．焦點為的拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線上，則當取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．C．或 D．7．如圖，分別為棱長為的正方體的棱的中點，點分別為面對角線和棱上的動點，則下列關于四面體的體積正確的是（）A．該四面體體積有最大值，也有最小值 B．該四面體體積為定值C．該四面體體積只有最小值 D．該四面體體積只有最大值8．在平面直角坐標系中，由坐標軸和曲線所圍成的圖形的面積為（）A． B． C． D．9．在正方體中，過對角線的一個平面交于，交于得四邊形，則下列結論正確的是（）A．四邊形一定為菱形B．四邊形在底面內的投影不一定是正方形C．四邊形所在平面不可能垂直于平面D．四邊形不可能為梯形10．我國古代數(shù)學名著九章算術中有這樣一些數(shù)學用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，，，當塹堵的外接球的體積為時，則陽馬體積的最大值為A．2 B．4 C． D．11．設非零向量滿足，，則向量間的夾角為()A．150° B．60°C．120° D．30°12．一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側視圖和俯視圖都是由一個邊長為的正方形及正方形內一段圓弧組成，則這個幾何體的表面積是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是與的等比中項，則圓錐曲線的離心率是__________．14．已知復數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則復數(shù)的模____.15．已知函數(shù)，則=______．16．若復數(shù)z=(a+i)2是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位)，a為實數(shù)，則復數(shù)z的模為三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）集合A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}（1）求A∩B,A∪B（2）（?RA）∩B．18．（12分）已知平面內點到點的距離和到直線的距離之比為，若動點P的軌跡為曲線C．（I）求曲線C的方程；（II）過F的直線與C交于A，B兩點，點M的坐標為設O為坐標原點.證明：．19．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調性；（2）若有兩個極值點，，且，證明：.20．（12分）在中，已知,,.(1)求內角的大小;(2)求邊的長.21．（12分）已知，求的值．22．（10分）已知在△ABC中，|AB|＝1，|AC|＝1．（Ⅰ）若∠BAC的平分線與邊BC交于點D，求；（Ⅱ）若點E為BC的中點，當取最小值時，求△ABC的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

將利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡即可得到答案.【題目詳解】由題意，，所以的虛部是.故選：B【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的基本概念和復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，屬于基礎題.2、D【解題分析】

先求出函數(shù)在區(qū)間上的解析式，利用二次函數(shù)的性質可求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【題目詳解】由題意可知，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，設，則，則，即當時，，可知函數(shù)在處取得最小值，且最小值為，故選D.【題目點撥】本題考查函數(shù)的周期性以及函數(shù)的最值，解決本題的關鍵就是根據(jù)周期性求出函數(shù)的解析式，并結合二次函數(shù)的基本性質求解，考查計算能力，屬于中等題．3、A【解題分析】

利用復數(shù)的除法法則求解即可.【題目詳解】由題,,故選:A【題目點撥】本題考查復數(shù)的除法運算,屬于基礎題.4、B【解題分析】因為復數(shù)為純虛數(shù)，，且，所以，故選B.5、C【解題分析】

先求出函數(shù)的定義域，再求導，根據(jù)導數(shù)大于0解得x的范圍，繼而得到函數(shù)的單調遞增區(qū)間．【題目詳解】函數(shù)f(x)＝x2－5x＋2lnx的定義域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是，(2，＋∞)．故選C【題目點撥】本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調性的關系，易錯點是注意定義域，屬于基礎題．6、A【解題分析】過作與準線垂直，垂足為，則，則當取得最大值時，必須取得最大值，此時直線與拋物線相切，可設切線方程為與聯(lián)立，消去得，所以，得．則直線方程為或．故本題答案選．點睛：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離，拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉化，如果問題中涉及拋物線上的點到焦點或到準線的距離，那么用拋物線定義就能解決問題．本題就是將到焦點的距離轉化成到準線的距離，將比值問題轉化成切線問題求解．7、D【解題分析】

易證，從而可推出面積為定值，則只需研究點到平面的距離的取值范圍即可得到四面體體積的取值范圍【題目詳解】分別為棱長為的正方體的棱的中點，所以，又，故點到的距離為定值，則面積為定值，當點與點重合時，為平面構不成四面體，故只能無限接近點，當點與點重合時，有最大值，體積有最值，所以四面體體積有最大值，無最小值故選D【題目點撥】本題主要考查了四面體體積的判斷，運動中的定量與變量的分析，空間想象與轉化能力，屬于中檔題8、C【解題分析】

根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對稱性可得，求出積分值即可得結果.【題目詳解】根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對稱性可得，故選C.【題目點撥】本題主要考查定積分的求法，考查數(shù)學轉化思想方法，屬于基礎題．9、D【解題分析】對于A，當與兩條棱上的交點都是中點時，四邊形為菱形，故A錯誤；對于B,四邊形在底面內的投影一定是正方形,故B錯誤；對于C,當兩條棱上的交點是中點時，四邊形垂直于平面,故C錯誤；對于D，四邊形一定為平行四邊形，故D正確.故選：D10、D【解題分析】

由已知求出三棱柱外接球的半徑，得到，進一步求得AB，再由棱錐體積公式結合基本不等式求最值．【題目詳解】解：塹堵的外接球的體積為，其外接球的半徑，即，又，．則．．即陽馬體積的最大值為．故選：D．【題目點撥】本題考查多面體的體積、均值定理等基礎知識，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是中檔題．11、C【解題分析】

利用平方運算得到夾角和模長的關系，從而求得夾角的余弦值，進而得到夾角.【題目詳解】即本題正確選項：【題目點撥】本題考查向量夾角的求解，關鍵是利用平方運算和數(shù)量積運算將問題變?yōu)槟ｉL之間的關系，求得夾角的余弦值，從而得到所求角.12、C【解題分析】

畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【題目詳解】這個幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個正方體中挖掉個球而形成的，所以它的表面積為.故選：C【題目點撥】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算，考查空間想象能力和運算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】分析：根據(jù)等比中項，可求出m的值為；分類討論m的不同取值時圓錐曲線的不同，求得相應的離心率。詳解：由等比中項定義可知所以當時，圓錐曲線為橢圓，離心率當時，圓錐曲線為雙曲線，離心率所以離心率為或2點睛：本題考查了數(shù)列和圓錐曲線的綜合應用，基本概念和簡單的分類討論，屬于簡單題。14、.【解題分析】

由得，再利用復數(shù)的除法法則將復數(shù)表示為一般形式，然后利用復數(shù)的模長公式計算出.【題目詳解】，，因此，，故答案為.【題目點撥】本題考查復數(shù)的除法、復數(shù)模的計算，解題的關鍵就是利用復數(shù)的四則運算法則將復數(shù)表示為一般形式來求解，考查計算能力，屬于基礎題.15、【解題分析】

先求內層函數(shù)值，再求外層函數(shù)值.【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，則；故答案為．【題目點撥】本題主要考查分段函數(shù)求值問題，分段函數(shù)的求值問題主要是利用“對號入座”策略.16、2【解題分析】分析：先化z為代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)概念得a，最后根據(jù)復數(shù)模的定義求結果.詳解：因為z=(a+i)2所以|z|=點睛：首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.d∈R).其次要熟悉復數(shù)相關基本概念，如復數(shù)a+bi(a,b∈R)的實部為a、虛部為b、模為a2+b2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）A∪B={x|-3≤x＜7}；（2）（?RA）∩B={x|5≤x＜7}【解題分析】試題分析：利用數(shù)軸進行集合間的交并補運算.試題解析：（1）∵A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}，∴A∪B={x|-3≤x＜7}；（2）∵A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}，∴?RA={x|x＜-3或x≥5}則（?RA）∩B={x|5≤x＜7}點睛：求集合的交、并、補時，一般先化簡集合，再由交、并、補的定義求解．在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．18、（I）（II）見解析【解題分析】

（I）根據(jù)題目點到點的距離和到直線的距離之比為，列出相應的等式方程，化簡可得軌跡C的方程；（II）對直線分軸、l與x軸重合以及l(fā)存在斜率且斜率不為零三種情況進行分析，當l存在斜率且斜率不為零時，利用點斜式設直線方程，與曲線C的方程進行聯(lián)立，結合韋達定理，可推得，從而推出．【題目詳解】解：（I）∵到點的距離和到直線的距離之比為.∴，.化簡得：．故所求曲線C的方程為：.（II）分三種情況討論：1、當軸時，由橢圓對稱性易知：．2、當l與x軸重合時，由直線與橢圓位置關系知：3、設l為：，，且，，由化簡得：，∴，設MA,MB，所在直線斜率分別為：，，則此時，．綜上所述：.【題目點撥】本題主要考查了利用定義法求軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題．解決直線與圓錐曲線位置關系中常用的數(shù)學方法思想有方程思想，數(shù)形結合思想以及設而不求的整體代入的技巧與方法．19、(1)見解析.(2)證明見解析.【解題分析】分析：(1)先求導數(shù)，再根據(jù)二次方程=0根得情況分類討論：當時，.∴在上單調遞減.當時，根據(jù)兩根大小再分類討論對應單調區(qū)間，(2)先化簡不等式消m得，再利用導數(shù)研究，單調性，得其最小值大于-1，即證得結果.詳解：（1）由，得，.設，.當時，即時，，.∴在上單調遞減.當時，即時，令，得，，.當時，，在上，，在上，，∴在上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，在上單調遞減，當時，在，上單調遞減，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（2）∵有兩個極值點，，且，∴由（1）知有兩個不同的零點，，，，且，此時，，要證明，只要證明.∵，∴只要證明成立.∵，∴.設，，則，當時，，∴在上單調遞增，∴，即，∴有兩個極值點，，且時，.點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.20、（1）（2）【解題分析】分析：(1)根據(jù)配角公式得，解得A，（2）先根據(jù)平方關系得，根據(jù)兩角和正弦公式求，再根據(jù)正弦定理求邊的長.詳解：解：（1）因為所以，即因為，所以所以，所以(2)因為，所以所以在中，所以，得點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉化的工具，實施邊角之間的互化.第三步：求結果.21、【解題分析】

先由等式求出的值，利用誘導公式對所求分式進行化簡，代入的值可得出結果.【題目詳解】因為，所以，所以，因此，.【題目點撥】本題考查利用誘導公式化簡求值，對于化簡求值類問題，首先要利用誘導公式將代數(shù)式進