2024屆天津市四合莊中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆天津市四合莊中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量和，其中，且，若的分布列如下表，則的值為（）ξ1234PmnA． B． C． D．2．在“石頭、剪刀、布”游戲中，規(guī)定“石頭贏剪刀、剪刀贏布、布贏石頭”，現(xiàn)有小明、小澤兩位同學(xué)玩這個游戲，共玩局，每一局中每人等可能地獨(dú)立選擇一種手勢.設(shè)小明贏小澤的局?jǐn)?shù)為，且，則（）A．1 B． C． D．23．在三棱錐中，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，若與所成角為定值，，則動點(diǎn)的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線4．(2x-3y)9A．-1 B．512 C．-512 D．15．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問數(shù)學(xué)考試的成績老師說：你們四人中有兩位優(yōu)秀、兩位良好，我現(xiàn)在給乙看甲、丙的成績，給甲看丙的成績，給丁看乙的成績，看后乙對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則（）A．甲可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績C．甲、丁可以知道對方的成績 D．甲、丁可以知道自己的成績6．設(shè)M為曲線C:y=2x2+3x+3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)M處切線傾斜角的取值范圍為3πA．[-1,+∞) B．-∞,-34 C．-1,-7．已知隨機(jī)變量滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C． D．8．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A． B． C． D．9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的實(shí)數(shù)x都有（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，若關(guān)于x的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知集合，，在集合內(nèi)隨機(jī)取一個元素，則這個元素屬于集合的概率為（）A． B． C． D．11．在曲線的圖象上取一點(diǎn)及附近一點(diǎn)，則為（）A． B．C． D．12．已知，且，則等于()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若對恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是______.14．拋物線的準(zhǔn)線方程是________.15．的平方根是________.16．已知函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）﹣m有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知中，三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足.（1）求；（2）若，的面積為，求，的值.18．（12分）設(shè)，（為自然對數(shù)的底數(shù))．（1）記①討論函數(shù)單調(diào)性；②證明當(dāng)時，恒成立.（2）令設(shè)函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知虛數(shù)滿足.（1）求的取值范圍；（2）求證：是純虛數(shù).20．（12分）如圖，在中，D是邊BC上一點(diǎn)，，，．（1）求DC的長；（2）若，求的面積．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，其傾斜角為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸為非負(fù)半軸為極軸，與坐標(biāo)系取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若直線與曲線有公共點(diǎn)，求傾斜角的取值范圍；(2)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.22．（10分）已知復(fù)數(shù)（a，），（c，）.（1）當(dāng)，，，時，求，，；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果猜想與的關(guān)系，并證明該關(guān)系的一般性

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)隨機(jī)變量和的關(guān)系得到，概率和為1，聯(lián)立方程組解得答案.【題目詳解】且，則即解得故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和概率，根據(jù)隨機(jī)變量和的關(guān)系得到是解題的關(guān)鍵.2、C【解題分析】

由題意可得，每一局中，小明贏小澤的概率為，且，先由求出，然后即可算出【題目詳解】由題意可得，每一局中，小明贏小澤的概率為，且因?yàn)?，所以所以故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查的是二項(xiàng)分布的知識，若，則，.3、B【解題分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，求出軌跡方程，可得其軌跡.【題目詳解】由題，三棱錐為正三棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得，設(shè)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則，由題與所成角為定值，，則則，化簡得，故動點(diǎn)的軌跡是橢圓.選B【題目點(diǎn)撥】本題考查利用空間向量研究兩條直線所成的角，軌跡方程等，屬中檔題.4、B【解題分析】

(a+b)n展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)和為【題目詳解】(a+b)n展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)和為2(2x-3y)9的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題型.5、D【解題分析】

先由乙不知道自己成績出發(fā)得知甲、丙和乙、丁都是一優(yōu)秀、一良好，那么甲、丁也就結(jié)合自己看的結(jié)果知道自己成績了.【題目詳解】解：乙看后不知道自己成績，說明甲、丙必然是一優(yōu)秀、一良好，則乙、丁也必然是一優(yōu)秀、一良好；甲看了丙的成績，則甲可以知道自己和丙的成績；丁看了乙的成績，所以丁可以知道自己和乙的成績，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了推理與證明，關(guān)鍵是找到推理的切入點(diǎn).6、D【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)y'，傾斜角的范圍可轉(zhuǎn)化為斜率的范圍，斜率就是導(dǎo)數(shù)值，由可得y'的不等式，解之可得．【題目詳解】由題意y'=4x+3，切線傾斜角的范圍是[3π4,π)，則切線的斜率k∴-1≤4x+3<0，解得-1≤x<-3故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是其圖象在該點(diǎn)處的切線的斜率．解題時要注意直線傾斜角與直線斜率之間的關(guān)系，特別是正切函數(shù)的性質(zhì)．7、B【解題分析】

利用期望與方差性質(zhì)求解即可．【題目詳解】；．故，．故選．【題目點(diǎn)撥】考查期望與方差的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．8、C【解題分析】

本題首先可以根據(jù)直角三角形的三邊長求出三角形的內(nèi)切圓半徑，然后分別計(jì)算出內(nèi)切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計(jì)算公式即可得出答案.【題目詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得.所以內(nèi)切圓的面積為，所以豆子落在內(nèi)切圓外部的概率，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯誤；（2）基本事件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯誤．9、B【解題分析】

先利用導(dǎo)數(shù)等式結(jié)合條件求出函數(shù)的解析式，由，得，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在直線下方的圖象中只有兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出該函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由等式，可得，即，即（為常數(shù)），，則，，因此，，，令，得或，列表如下：極小值極大值函數(shù)的極小值為，極大值為，且，作出圖象如下圖所示，由圖象可知，當(dāng)時，.另一方面，，則，由于函數(shù)在直線下方的圖象中只有兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，由圖象可知，這兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，則有，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)不等式的整數(shù)解問題，本題的難點(diǎn)在于利用導(dǎo)數(shù)方程求解函數(shù)解析式，另外在處理函數(shù)不等式的整數(shù)解的問題，應(yīng)充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，找到一些關(guān)鍵點(diǎn)來列不等式求解，屬于難題．10、D【解題分析】

利用線性規(guī)劃可得所在區(qū)域三角形的面積，求得圓與三角形的公共面積，利用幾何概型概率公式可得結(jié)果.【題目詳解】表示如圖所示的三角形，求得，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，既在三角形內(nèi)又在圓內(nèi)的點(diǎn)的軌跡是如圖所示陰影部分的面積，其面積等于四分之三圓面積與等腰直角三角形的面積和，即為，所以在集合內(nèi)隨機(jī)取一個元素，則這個元素屬于集合的概率為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯誤；（2）基本事件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯誤.11、C【解題分析】

求得的值，再除以，由此求得表達(dá)式的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以．故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，考查平均變化率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

令，即可求出，由即可求出【題目詳解】令，得，所以，故選A?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查賦值法的應(yīng)用。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題設(shè)條件得出是函數(shù)的最大值或最小值，從而得到，結(jié)合，最后得到，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得到所求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【題目詳解】解:若對恒成立,則等于函數(shù)的最大值或最小值,即,則,又,即令,此時,滿足條件令,解得.則的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查的重點(diǎn)是三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及形式變換,需要重點(diǎn)掌握.14、【解題分析】分析：利用拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得拋物線的準(zhǔn)線方程.詳解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查拋物線的準(zhǔn)線方程和簡單性質(zhì)，意在考查對基本性質(zhì)的掌握情況，屬于簡單題.15、【解題分析】

根據(jù)得解.【題目詳解】由得解.【題目點(diǎn)撥】本題考查虛數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.16、m=2或m≥3【解題分析】分析：畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，求出m的范圍即可.詳解：畫出函數(shù)的圖象，如圖：若函數(shù)y=f（x）﹣m有2個零點(diǎn)，結(jié)合圖象：或.故答案為：或.點(diǎn)睛：對于“a＝f(x)有解”型問題，可以通過求函數(shù)y＝f(x)的值域來解決，解的個數(shù)也可化為函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝a交點(diǎn)的個數(shù)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2).【解題分析】分析：（1）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦定理求出A的值；（2）利用余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.詳解：（1）由題意可得：，，，，（2），，，.點(diǎn)睛：本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用.18、（1）①在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)②見證明；（2）【解題分析】

（1）①對函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性即可。②轉(zhuǎn)化成證明的問題，從而證明在時的最小值大于0。（2）首先對求導(dǎo)數(shù)，討論其單調(diào)性，結(jié)合圖像即可得到有兩個零點(diǎn)時的取值范圍?！绢}目詳解】（1）①由題意得所以因?yàn)樗援?dāng)時為增函數(shù)，當(dāng)時為減函數(shù)②證明:當(dāng)時,恒成立,等價于證明當(dāng)時,恒成立。因?yàn)?，因?yàn)椋瑒t。因?yàn)椋?，所以在上為增函?shù)。因?yàn)?，所以在上為增函?shù)。又因?yàn)?，所以?）當(dāng)時，為增函數(shù)。，為減函數(shù)。有兩個零點(diǎn)當(dāng)時，令當(dāng)時在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。此時有三個零點(diǎn)（舍棄）當(dāng)同理可得有三個零點(diǎn)（舍棄）當(dāng)時，，此時有兩個零點(diǎn)。綜上所述【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問題，在解決第二問函數(shù)零點(diǎn)問題時，轉(zhuǎn)化成判斷函數(shù)單調(diào)性以及極值的問題。屬于難題。19、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

先設(shè)，（且），由得；可將看作以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的點(diǎn)；（1）由表示點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離，根據(jù)定點(diǎn)到圓上的動點(diǎn)的距離，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)，（且），因?yàn)?，所以，因此可看作以坐?biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的點(diǎn)；（1）表示點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離；又點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，所以（為單位圓半徑），因此；（2），因此是純虛數(shù).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求復(fù)數(shù)的模，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，熟記復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可，屬于常考題型.20、（1）3（2）【解題分析】

（1）在中，中分別使用正弦定理，結(jié)合，，即，即得解；（2）在中，中分別使用余弦定理，結(jié)合，可解得，分別計(jì)算，又可得解.【題目詳解】（1）在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．因?yàn)?，所以，所以．從而有，即．又，所以．?）在中，由余弦定理，得．在中，由余弦定理，得．由，得．因?yàn)椋裕视校獾茫?，所以，．；．故的面積．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.21、(1).(