2024屆湖南省十四校高二數(shù)學第二學期期末考試模擬試題含解析

2024屆湖南省十四校高二數(shù)學第二學期期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．學生會為了調(diào)查學生對年俄羅斯世界杯的關(guān)注是否與性別有關(guān)，抽樣調(diào)查人，得到如下數(shù)據(jù)：不關(guān)注關(guān)注總計男生301545女生451055總計7525100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，通過計算統(tǒng)計量，并參考以下臨界數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.828若由此認為“學生對2018年俄羅斯世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)”，則此結(jié)論出錯的概率不超過（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則等于（）A．-1 B．0 C．1 D．3．是單調(diào)函數(shù),對任意都有，則的值為（）A． B． C． D．4．某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率是，刮風的概率為，既刮風又下雨的概率為，則在下雨天里，刮風的概率為（）A． B． C． D．5．若，則的展開式中常數(shù)項為A．8 B．16 C．24 D．606．“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也必要條件7．已知函數(shù)對于任意的滿足（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下列不等式成立的是A． B．C． D．8．已知，且，則等于()A． B． C． D．9．的展開式中的常數(shù)項是（）A．192 B． C．160 D．10．定義運算，，例如，則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．11．設(shè)奇函數(shù)的最小正周期為，則（）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增12．獨立性檢驗顯示：在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為性別與是否喜愛喝酒有關(guān)，那么下列說法中正確的是（）A．在100個男性中約有90人喜愛喝酒B．若某人喜愛喝酒，那么此人為女性的可能性為10%C．認為性別與是否喜愛喝酒有關(guān)判斷出錯的可能性至少為10%D．認為性別與是否喜愛喝酒有關(guān)判斷正確的可能性至少為90%二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，則______.14．已知等比數(shù)列中，，則公比______；______．15．有一個容器，下部分是高為的圓柱體，上部分是與圓柱共底面且母線長為的圓錐，現(xiàn)不考慮該容器內(nèi)壁的厚度，則該容器的最大容積為___________．16．已知集合，，則_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知1．（1）求tan（）的值；（1）求3sin1θ+4cos1θ的值．18．（12分）如圖，多面體，平面平面，，，，是的中點，是上的點.（Ⅰ）若平面，證明：是的中點；（Ⅱ）若，，求二面角的平面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在x=﹣3處有極大值，求c的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞增，求c的取值范圍．20．（12分）寧德市某汽車銷售中心為了了解市民購買中檔轎車的意向，在市內(nèi)隨機抽取了100名市民為樣本進行調(diào)查，他們月收入(單位：千元)的頻數(shù)分布及有意向購買中檔轎車人數(shù)如下表：月收入[3，4)[4，5)[5，6)[6，7)[7，8)[8，9)頻數(shù)6243020155有意向購買中檔轎車人數(shù)212261172將月收入不低于6千元的人群稱為“中等收入族”，月收入低于6千元的人群稱為“非中等收入族”．（Ⅰ）在樣本中從月收入在[3，4)的市民中隨機抽取3名，求至少有1名市民“有意向購買中檔轎車”的概率.（Ⅱ）根據(jù)已知條件完善下面的2×2列聯(lián)表，并判斷有多大的把握認為有意向購買中檔轎車與收入高低有關(guān)？非中等收入族中等收入族總計有意向購買中檔轎車人數(shù)40無意向購買中檔轎車人數(shù)20總計1000.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：21．（12分）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，.（Ⅰ）求及邊的值；（Ⅱ）求的值.22．（10分）已知函數(shù)在處取得極大值為9.（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】因為,所以若由此認為“學生對2018年俄羅斯世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)”，則此結(jié)論出錯的概率不超過，故選A.【方法點睛】本題主要考查獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.獨立性檢驗的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計判斷.（注意：在實際問題中，獨立性檢驗的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學關(guān)系，得到的結(jié)論也可能犯錯誤.）2、B【解題分析】

先求，再求.【題目詳解】由已知，得：所以故選：B【題目點撥】本題考查了分段函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

令，根據(jù)對任意都有，對其求導，結(jié)合是單調(diào)函數(shù)，即可求得的解析式，從而可得答案.【題目詳解】令，則，.∴∵是單調(diào)函數(shù)∴∴，即.∴故選A.【題目點撥】本題考查的知識點是函數(shù)的值，函數(shù)解析式的求法，其中解答的關(guān)鍵是求出抽象函數(shù)解析式，要注意對已知條件及未知條件的湊配思想的應用．4、D【解題分析】分析：根據(jù)條件概率求結(jié)果.詳解：因為在下雨天里，刮風的概率為既刮風又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮風的概率為，選D.點睛：本題考查條件概率，考查基本求解能力.5、C【解題分析】因為所以的通項公式為令，即∴二項式展開式中常數(shù)項是，故選C.6、A【解題分析】

利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得a的取值范圍，再利用簡易邏輯的判定方法即可得出．【題目詳解】函數(shù)f（x）=x2﹣2ax﹣2=（x﹣a）2﹣a2﹣2在區(qū)間（﹣∞，2]內(nèi)單調(diào)遞減，∴2≤a．∴“a＞3”是“函數(shù)f（x）=x2﹣2ax﹣2在區(qū)間（﹣∞，2]內(nèi)單調(diào)遞減”的充分非必要條件．故選：A．【題目點撥】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．7、D【解題分析】

根據(jù)題目條件，構(gòu)造函數(shù)，求出的導數(shù)，利用“任意的滿足”得出的單調(diào)性，即可得出答案?！绢}目詳解】由題意知，構(gòu)造函數(shù)，則。當時，當時，恒成立在單調(diào)遞增，則，化簡得，無法判斷A選項是否成立；，化簡得，故B選項不成立；，化簡得，故C選項不成立；，化簡得，故D選項成立；綜上所述，故選D?！绢}目點撥】本題主要考查了構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，常利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性證明不等式，是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點。8、A【解題分析】

令，即可求出，由即可求出【題目詳解】令，得，所以，故選A。【題目點撥】本題主要考查賦值法的應用。9、D【解題分析】分析：利用二項展開式的通項公式令的冪指數(shù)為0，求得的值，從而可得的展開式中的常數(shù)項．詳解：設(shè)二項展開式的通項為，

則令得：，

∴展開式中的常數(shù)項為故選D．點睛：本題考查二項展開式的通項公式，考查運算能力，屬于中檔題．10、D【解題分析】分析：欲求函數(shù)y=1*2x的值域，先將其化成分段函數(shù)的形式，再畫出其圖象，最后結(jié)合圖象即得函數(shù)值的取值范圍即可．詳解：當1≤2x時，即x≥0時，函數(shù)y=1*2x=1當1＞2x時，即x＜0時，函數(shù)y=1*2x=2x∴f（x）=由圖知，函數(shù)y=1*2x的值域為：（0，1]．故選D．點睛：遇到函數(shù)創(chuàng)新應用題型時，處理的步驟一般為：①根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，先確定函數(shù)的定義域；②再化簡解析式，求函數(shù)解析式的最簡形式，并分析解析式與哪個基本函數(shù)比較相似；③根據(jù)定義域和解析式畫出函數(shù)的圖象④根據(jù)圖象分析函數(shù)的性質(zhì)．11、B【解題分析】分析：利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡，根號函數(shù)的周期和奇偶性即可得到結(jié)論．詳解：，

∵函數(shù)的周期是，，

∵）是奇函數(shù)，

即∴當時，即則在單調(diào)遞減，

故選：B．點睛：本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．12、D【解題分析】

根據(jù)獨立性檢驗的含義只能得到出錯的可能率或正確的可靠率【題目詳解】獨立性檢驗是對兩個分類變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是因果關(guān)系，故A，B錯誤.由已知得，認為性別與是否喜愛喝酒有關(guān)判斷出錯概率的可能性至多為10%，故C錯誤，D正確.選D.【題目點撥】本題考查獨立性檢驗的含義，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1.【解題分析】分析：首先求得復數(shù)z，然后求解其模即可.詳解：由復數(shù)的運算法則有：，則：.點睛：本題主要考查復數(shù)的運算法則，復數(shù)模的計算等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14、24【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列通項公式構(gòu)造方程求解即可.【題目詳解】本題正確結(jié)果：；【題目點撥】本題考查等比數(shù)列基本量的求解，關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列通項公式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

設(shè)圓柱底面圓的半徑為，分別表示出圓柱和圓錐的體積，利用導數(shù)求得極值點，并判斷在極值點左右兩側(cè)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值，即為容器的最大容積.【題目詳解】設(shè)圓柱底面圓的半徑為，圓柱體的高為，則圓柱的體積為；圓錐的高為，則圓錐的體積，所以該容器的容積為則，令，即，化簡可得，解得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值；代入可得，故答案為：.【題目點撥】本題考查了導數(shù)在體積最值問題中的綜合應用，圓柱與圓錐的體積公式應用，屬于中檔題.16、【解題分析】

集合，是數(shù)集，集合的交集運算求出公共部分.【題目詳解】，，故答案為：【題目點撥】本題考查集合交集運算.交集運算口訣：“越交越少，公共部分”.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（1）．【解題分析】

（1）利用齊次式求得tanθ，再利用二倍角求得tan1θ，進而利用兩角差的正切求解即可；（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合齊次式求解即可【題目詳解】（1）∵1，∴tanθ，∴tan1θ．∴tan（）．（1）由（1）知，tanθ，∴3sin1θ+4cos1θ＝6sinθcosθ+4（cos1θ–sin1θ）．【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查兩角差的正切，二倍角公式，熟記公式是關(guān)鍵，是中檔題18、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）利用線面平行的性質(zhì)定理，可以證明出，，利用平行公理可以證明出，由中位線的性質(zhì)可以證明出N是DP的中點；（Ⅱ）方法1：在平面ABCD中作于垂足G，過G作于H，連接AH,利用面面垂直和線面垂直，可以證明出為二面角的平面角,在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)，可以求出二面角的平面角的余弦值；方法2：由平面平面PBC，可以得到平面PBC，，而即，于是可建立如圖空間直角坐標系（C為原點），利用空間向量的數(shù)量積，可以求出二面角的平面角的余弦值.【題目詳解】（I）設(shè)平面平面，因為平面PBC，平面ADP，所以，又因為，所以平面PBC，所以，所以，又因為M是AP的中點，所以N是DP的中點.（II）方法1：在平面ABCD中作于垂足G，過G作于H，連接AH（如圖），因為平面平面PBC，，所以平面PBC，，，，所以平面PBC，,所以平面，所以為二面角的平面角,易知，，又,所以在中，易知，，，所以.（II）方法2：因為平面平面PBC，所以平面PBC，，而即，于是可建立如圖空間直角坐標系（C為原點），得，，，所有，，設(shè)平面APB的法向量為，則，，不妨取，得，可取平面PBC的法向量為，所求二面角的平面角為，則.【題目點撥】本題考查了線線平行的證明，考查了線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，考查了面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理，考查了利用空間向量數(shù)量積求二面角的余弦值問題問題.19、(1)c=3或c=﹣1(2)【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的極值點，求出c的值，檢驗即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于c的不等式組，解出即可．【題目詳解】（1），∵在處有極大值，∴，解得：c=3或﹣1，①當c=3時，，或時，，遞增，時，，遞減，∴在處有極大值，符合題意；②當時，，或時，，遞增，時，，遞減，∴在處有極大值，符合題意，綜上，c=3或c=﹣1；（2）∵在（1，3）遞增，∴c=0或或或或，解得：，∴c的范圍是．【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．20、(Ⅰ)；(Ⅱ)90%的把握認為有意向購買中高檔轎車與收入高低有關(guān)【解題分析】

（Ⅰ）解法1：利用古典概型概率公式計算出“至少有名市民有意向購買者中檔轎車”的對立事件“沒有市民愿意購買中檔轎車”的概率，然后利用對立事件的概率公式計算出所求事件的概率；解法2：將事件“至少有名市民購買中檔轎車”分為兩個基本事件，分別利用古典概型概率公式計算出這兩個基本事件的概率，再將兩個概率相加可得出答案；（Ⅱ）列出列聯(lián)表，并計算出的觀測值，利用臨界值表找出犯錯誤的概率，即可下結(jié)論．【題目詳解】（Ⅰ）記“至少有1名市民有意向購買中檔轎車”為事件A.解法1：；解法2：，所以至少有1名市民“有意向購買中檔轎車”的概率；（Ⅱ）完善下面的2×2列聯(lián)表如下：非中等收入族中等收入族總計有意向購買中檔轎車402060無愿向購買中檔轎車202040總計6040100，故有90%的把握認為有意向購買中高檔轎車與收入高低有關(guān)．如果學生答案如下也可得分：沒有充分的證據(jù)表明有意向購買中高檔轎車與收入高低有關(guān)．【題目點撥】本題考查古典概型概率的計算，考查獨立性檢驗，在求解