2024屆山西省懷仁縣第八中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆山西省懷仁縣第八中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（）A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，則有（）A． B．C． D．3．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于同一個(gè)常數(shù)．若第一個(gè)單音的頻率為f，第三個(gè)單音的頻率為，則第十個(gè)單音的頻率為（）A． B． C． D．4．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的極大值為（）A．2 B．3 C． D．5．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或或6．若集合，，若，則的值為（）A． B． C．或 D．或7．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的共軛復(fù)數(shù)為()A． B． C． D．8．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A． B．2 C． D．9．轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為（）A． B． C． D．10．已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為16，左焦點(diǎn)分別為，是雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)上的點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為()A． B． C． D．11．我市擬向新疆哈密地區(qū)的三所中學(xué)派出5名教師支教，要求每所中學(xué)至少派遣一名教師，則不同的派出方法有（）A．300種 B．150種 C．120種 D．90種12．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．試寫(xiě)出的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)_____．14．已知雙曲線(xiàn)的左右頂點(diǎn)分別是，右焦點(diǎn)，過(guò)垂直于軸的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，為直線(xiàn)上的點(diǎn)，當(dāng)?shù)耐饨訄A面積達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)恰好落在（或）處，則雙曲線(xiàn)的離心率是__________．15．4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率是________16．已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）（1）已知，都是正數(shù)，并且，求證：；（2）若，都是正實(shí)數(shù)，且，求證：與中至少有一個(gè)成立.18．（12分）現(xiàn)將甲、乙兩個(gè)學(xué)生在高二的6次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)（百分制）制成如圖所示的莖葉圖，進(jìn)人高三后，由于改進(jìn)了學(xué)習(xí)方法，甲、乙這兩個(gè)學(xué)生的考試數(shù)學(xué)成績(jī)預(yù)計(jì)同時(shí)有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考試成績(jī)?yōu)?，則甲（乙）的高三對(duì)應(yīng)的考試成績(jī)預(yù)計(jì)為（若>100.則取為100）.若已知甲、乙兩個(gè)學(xué)生的高二6次考試成績(jī)分別都是由低到高進(jìn)步的，定義為高三的任意一次考試后甲、乙兩個(gè)學(xué)生的當(dāng)次成績(jī)之差的絕對(duì)值.（I）試預(yù)測(cè)：在將要進(jìn)行的高三6次測(cè)試中，甲、乙兩個(gè)學(xué)生的平均成績(jī)分別為多少？（計(jì)算結(jié)果四舍五入，取整數(shù)值）（Ⅱ）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，側(cè)面為正三角形，且平面平面E為PD中點(diǎn)，AD=2.(1)證明平面AEC丄平面PCD;(2)若二面角的平面角滿(mǎn)足，求四棱錐的體積.20．（12分）某服裝超市舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng),消費(fèi)每超過(guò)600元(含600元),均可抽獎(jiǎng)一次,抽獎(jiǎng)方案有兩種,顧客只能選擇其中的一種.方案一:從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè),黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中,一次性摸出3個(gè)球,其中獎(jiǎng)規(guī)則為:若摸到3個(gè)紅球,享受免單優(yōu)惠；若摸到2個(gè)紅球,則打6折；若摸到1個(gè)紅球,則打7折；若沒(méi)摸到紅球,則不打折.方案二:從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè),黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中,有放回每次摸取1球,連摸3次,每摸到1次紅球,立減200元.(1)若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了600元,且均選擇抽獎(jiǎng)方案一,試求兩位顧客均享受6折優(yōu)惠的概率；(2)若某顧客消費(fèi)恰好滿(mǎn)1000元,試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算.21．（12分）數(shù)列滿(mǎn)足，等比數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集不是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】試題分析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，則，又由于為遞減數(shù)列，所以，故選C.考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的概念；2.遞減數(shù)列.2、A【解題分析】

由題意可得，，再利用函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)可得答案.【題目詳解】解：為奇函數(shù)，，又，，又，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性比較函數(shù)值的大小，考查利用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.3、B【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)單音的頻率組成等比數(shù)列{an}，設(shè)其公比為q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得q的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)單音的頻率組成等比數(shù)列{an}，設(shè)其公比為q，（q＞0）則有a1＝f，a3，則q2，解可得q，第十個(gè)單音的頻率a10＝a1q9＝（）9ff，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是求出該等比數(shù)列的公比，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】由題意得，，，，則，解得，則，，令，解得，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；，為減函數(shù)；，為增函數(shù)，所以函數(shù)的極大值為，故選C.點(diǎn)睛：此題主要考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和、函數(shù)極值的求解等有關(guān)方面的知識(shí)，及冪運(yùn)算等運(yùn)算能力，屬于中檔題型，也是常考考點(diǎn).在首先根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出參數(shù)的值，再利用導(dǎo)數(shù)方法，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，通過(guò)判斷極值點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性求出極大值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的極大值.5、D【解題分析】

就和分類(lèi)討論即可.【題目詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，，若，所以或.綜上，的值為0或1或2.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意利用集合中元素的性質(zhì)（如互異性、確定性、無(wú)序性）合理分類(lèi)討論.6、A【解題分析】

先解出集合，由，得出，于此可得知實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】解方程，即，得，由于，，則，，，，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合間的包含關(guān)系，利用包含關(guān)系求參數(shù)的值，解本題的關(guān)鍵就是將集合表示出來(lái)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。7、A【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得，即可求得其共軛復(fù)數(shù).【題目詳解】由題：，所以，所以的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A【題目點(diǎn)撥】此題考查求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出復(fù)數(shù)Z，需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確求解.8、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出復(fù)數(shù)的虛部.【題目詳解】，因此，該復(fù)數(shù)的虛部為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)虛部的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】已知180°對(duì)應(yīng)弧度，則轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為.本題選擇D選項(xiàng).10、A【解題分析】由于焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為,故,依題意有,所以離心率為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系,考查雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的幾何性質(zhì),考查三角形的面積公式和雙曲線(xiàn)離心率的求法.設(shè)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為,故雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為,故焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為.11、B【解題分析】分析：根據(jù)題意，先選后排.①先選，將5名教師分成三組，有兩種方式，即1，1，3與1，2，2，注意去除重復(fù)部分；②后排，將分好的三組全排列，即可得到答案.詳解：根據(jù)題意：分兩步計(jì)算（1）將5名教師分成三組，有兩種方式即1，1，3與1，2，2；①分成1，1，3三組的方法有②分成1，2，2三組的方法有一共有種的分組方法；（2）將分好的三組全排列有種方法.則不同的派出方法有種.故選B.點(diǎn)睛：對(duì)于排列組合混合問(wèn)題，可先選出元素，再排列。12、C【解題分析】因，故由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可知，應(yīng)選答案C。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

Tr+1＝（﹣1）rx7﹣2r，r必須為偶數(shù)，分別令r＝0，2，4，6，經(jīng)過(guò)比較即可得出【題目詳解】，r必須為偶數(shù)，分別令r＝0，2，4，6，其系數(shù)分別為：1，,,經(jīng)過(guò)比較可得：r＝4時(shí)滿(mǎn)足條件，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由的外接圓面積取最小值時(shí)，取到最大值，則，利用基本不等式求出的最小值，利用等號(hào)成立求出的表達(dá)式，令求出雙曲線(xiàn)的離心率的值．【題目詳解】如下圖所示，將代入雙曲線(xiàn)的方程得，得，所以點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由的外接圓面積取最小值時(shí)，則取到最大值，則取到最大值，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)的外接圓面積取最小值，由題意可得，則，此時(shí)，雙曲線(xiàn)的離心率為，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的求解，考查利用基本不等式求最值，本題中將三角形的外接圓面積最小轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的角取最大值，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值的最值求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，運(yùn)算量較大，屬于難題．15、7【解題分析】

求得4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)、周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的情況，利用古典概型概率公式求解即可．【題目詳解】4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，共有24=16種情況，周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)，共有24﹣2=16﹣2=14種情況，∴所求概率為1416=7故答案為：78【題目點(diǎn)撥】有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)：1．基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹(shù)狀圖”列舉；2．注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用．16、【解題分析】

先由函數(shù)定義域的求法得函數(shù)的定義域?yàn)?，再將解析式兩邊平方，再結(jié)合二次函數(shù)值域的求法即可得解.【題目詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，，所以，又且，解得：，即，，則，又，則，即，又，即，即函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為?【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)定義域的求法及根式函數(shù)值域的求法，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）利用綜合法，將兩式做差，化簡(jiǎn)整理，即可證明（2）利用反證法，先假設(shè)原命題不成立，再推理證明，得出矛盾，即得原命題成立?！绢}目詳解】（1）因?yàn)?，都是正?shù)，所以，又，所以，所以，所以，即.（2）假設(shè)和都不成立，即和同時(shí)成立.且，，.兩式相加得，即.此與已知條件相矛盾，和中至少有一個(gè)成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查綜合法和反證法證明，其中用反證法證明時(shí)，要從否定結(jié)論開(kāi)始，經(jīng)過(guò)正確的推理，得出矛盾，即假設(shè)不成立，原命題成立，進(jìn)而得證。18、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（I）先依題意預(yù)測(cè)出高三的6次考試成績(jī)，由平均數(shù)的公式，分別計(jì)算即可;（Ⅱ）由題意先寫(xiě)出隨機(jī)變量的取值，以及對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望.【題目詳解】（I）由已知，預(yù)測(cè)高三的6次考試成績(jī)?nèi)缦拢旱?次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試甲7886899698100乙8185929496100甲高三的6次考試平均成績(jī)?yōu)椋腋呷?次考試平均成績(jī)?yōu)樗灶A(yù)測(cè)：在將要進(jìn)行的高三6次測(cè)試中，甲、乙兩個(gè)學(xué)生的平均成績(jī)分別約為91，91.（Ⅱ）因?yàn)闉楦呷娜我庖淮慰荚嚭蠹?、乙兩個(gè)學(xué)生的當(dāng)次成績(jī)之差的絕對(duì)值，所以=0，1，2，3所以，，，.所以的分布列為0123所以【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平均數(shù)的計(jì)算以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于基礎(chǔ)題型.19、（1）見(jiàn)解析；（2）2【解題分析】

(1)要證平面平面，可證平面即可;(2)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面的法向量，平面的法向量，從而利用向量數(shù)量積公式求得長(zhǎng)度，于是可求得體積.【題目詳解】（1）取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為F，由側(cè)面為正三角形，且平面平面知平面，故，又，則平面，所以，又，則，又是中點(diǎn)，則，由線(xiàn)面垂直的判定定理知平面，又平面，故平面平面.（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，令，則.由（1）知為平面的法向量，令為平面的法向量，由于均與垂直，故即解得故，由，解得.故四棱錐的體積.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查面面垂直的判定定理，二面角的向量求法，幾何體的體積計(jì)算，建立合適的空間直角坐標(biāo)系是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的空間想象能力，轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計(jì)算能力.20、（1）（2）該顧客選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算，詳見(jiàn)解析【解題分析】

（1）選擇方案一，利用積事件的概率公式計(jì)算出兩位顧客均享受到免單的概率值；（2）選擇方案一，計(jì)算出付款金額的分布列和數(shù)學(xué)期望值，選擇方案二，計(jì)算出付款金額數(shù)學(xué)期望值，比較大小可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）選擇方案一：若享受到6折優(yōu)惠，則需要摸出2個(gè)紅球，設(shè)顧客享受到6折優(yōu)惠為事件A，則，所以?xún)晌活櫩途硎艿?折優(yōu)惠的概率為；（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為元，則可能的取值為0,600,700,1000，，，故的分布列為06007001000所以（元）；若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，付款金額為元，則，由已知可得，故，，所以（元），因?yàn)?，所以該顧客選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件的概率乘法公式，考查隨機(jī)變量分布列與數(shù)學(xué)期望，在列隨機(jī)變量的分布列時(shí)，要弄清變量所滿(mǎn)足的分布列類(lèi)型，結(jié)合相關(guān)概率公式進(jìn)行計(jì)算，考查