陜西省西安市育才中學2024屆數學高二第二學期期末預測試題含解析

陜西省西安市育才中學2024屆數學高二第二學期期末預測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S值為()A． B．C． D．2．在滿分為15分的中招信息技術考試中，初三學生的分數，若某班共有54名學生，則這個班的學生該科考試中13分以上的人數大約為（）（附：）A．6 B．7 C．9 D．103．復數A． B． C． D．4．從名男生和名女生中選出名學生參加一項活動，要求至少一名女生參加，不同的選法種數是（）A． B． C． D．5．已知，是雙曲線的上、下兩個焦點，的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點，，若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．雙曲線的漸近線方程是A． B．C． D．7．已知10個產品中有3個次品，現從其中抽出若干個產品，要使這3個次品全部被抽出的概率不小于0.6，則至少應抽出的產品個數為（）A．7 B．8 C．9 D．108．已知復數z=2+i，則A． B． C．3 D．59．某人有3個電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有（）A．8種 B．15種 C．種 D．種10．已知樣本數據點集合為，樣本中心點為，且其回歸直線方程為，則當時，的估計值為（）A． B． C． D．11．已知兩個不同的平面α，β和兩條不同的直線a，b滿足a?α,b?β，則“a∥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一只螞蟻位于數軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動一個單位，設它向右移動的概率為，向左移動的概率為，則3秒后，這只螞蟻在x=1處的概率為________.14．一只袋內裝有大小相同的3個白球，4個黑球，從中依次取出2個小球，已知第一次取出的是黑球，則第二次取出白球的概率是____．15．己知復數和均是純虛數，則的模為________.16．命題“，使”是假命題，則實數的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4—4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.點的直角坐標為，直線與曲線交于兩點.（Ⅰ）寫出點的極坐標和曲線的普通方程；（Ⅱ）當時，求點到兩點的距離之積.18．（12分）已知函數().(Ⅰ)當時，求曲線在處的切線方程；(Ⅱ)若對任意，恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E為PB的中點.(1)求證：AE//平面PDC；(2)若BC＝CD＝PD，求直線AC與平面PBC所成角的余弦值.20．（12分）設數列的前項的和為,且滿足,對,都有(其中常數),數列滿足.(1)求證:數列是等比數列；(2)若,求的值；(3)若,使得,記,求數列的前項的和.21．（12分）已知函數，．(Ⅰ)當時，證明：；(Ⅱ)的圖象與的圖象是否存在公切線（公切線：同時與兩條曲線相切的直線）？如果存在，有幾條公切線，請證明你的結論．22．（10分）設函數，曲線在點處的切線方程為．（1）求，的值；（2）若，求函數的單調區(qū)間；（3）設函數，且在區(qū)間內存在單調遞減區(qū)間，求實數的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

執(zhí)行循環(huán)，根據判斷條件確定結束循環(huán)，輸出結果.【題目詳解】第1步：a＝7-2n＝5，a＞0成立，S＝S＋a＝5，n＝2；第2步：a＝7-2n＝3，a＞0成立，S＝S＋a＝8，n＝3；第3步：a＝7-2n＝1，a＞0成立，S＝S＋a＝1，n＝4；第4步：a＝7-2n＝－1，a＞0不成立，退出循環(huán)，輸出S＝1．選D.【題目點撥】本題考查循環(huán)結構流程圖，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.2、C【解題分析】

分析：現利用正態(tài)分布的意義和原則結合正態(tài)分布曲線的對稱性，計算大于的概率，即可求解得到其人數．詳解：因為其中數學考試成績服從正態(tài)分布，因為，即根據正態(tài)分布圖象的對稱性，可得，所以這個班級中數學考試成績在分以上的人數大約為人，故選C．點睛：本題主要考查了隨機變量的概率分布中正態(tài)分布的意義和應用，其中熟記正態(tài)分布圖象的對稱性是解答的關鍵，著重考查了轉化與化歸思想方法的應用，屬于基礎題．3、C【解題分析】，故選D.4、B【解題分析】

從反面考慮，從名學生中任選名的所有選法中去掉名全是男生的情況，即為所求結果．【題目詳解】從名學生中任選名，有種選法，其中全為男生的有種選法，所以選出名學生，至少有名女生的選法有種.故選：B.【題目點撥】本題考查組合問題，也可以直接考慮，分類討論，在出現“至少”的問題時，利用正難則反的方法求解較為簡單，考查計算能力，屬于基礎題.5、D【解題分析】根據雙曲線的定義，可得是等邊三角形，即∴即

即又

0°即解得由此可得雙曲線的漸近線方程為.故選D．【題目點撥】本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質等知識，根據條件求出a，b的關系是解決本題的關鍵．6、B【解題分析】

由雙曲線方程求得，由漸近線方程為求得結果.【題目詳解】由雙曲線方程得：，漸近線方程為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查雙曲線漸近線的求解，屬于基礎題.7、C【解題分析】

根據題意，設至少應抽出個產品，由題設條件建立不等式，由此能求出結果.【題目詳解】解：要使這3個次品全部被抽出的概率不小于0.6，設至少抽出個產品，則基本事件總數為，要使這3個次品全部被抽出的基本事件個數為，由題設知：，所以，即，分別把A，B，C，D代入，得C，D均滿足不等式，因為求的最小值，所以.故選：C.【題目點撥】本題考查概率的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理的進行等價轉化.8、D【解題分析】

題先求得，然后根據復數的乘法運算法則即得.【題目詳解】∵故選D.【題目點撥】本題主要考查復數的運算法則，共軛復數的定義等知識，屬于基礎題..9、C【解題分析】由題意得，每一封不同的電子郵件都有三種不同的投放方式，所以把封電子郵件投入個不同的郵箱，共有種不同的方法，故選C.10、D【解題分析】

根據線性回歸直線過樣本中心點，可得，然后代值計算，可得結果.【題目詳解】由題可知：所以回歸直線方程為當當時，故選：D【題目點撥】本題考查線性回歸方程，掌握回歸系數的求法以及回歸直線必過樣本中心點，屬基礎題.11、D【解題分析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【題目詳解】如圖所示：既不充分也不必要條件.故答案選D【題目點撥】本題考查了充分必要條件，舉出反例可以簡化運算.12、C【解題分析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡，即可得到答案．【題目詳解】由，故選C．【題目點撥】本題主要考查了復數代數形式的乘除運算，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

3秒后，這只螞蟻在x=1處的概率即求螞蟻三次移動中，向右移動兩次，向左移動一次的概率，由次獨立重復試驗的概率計算即可?！绢}目詳解】3秒后，這只螞蟻在x=1處的概率即求螞蟻三次移動中，向右移動兩次，向左移動一次的概率，所以【題目點撥】本題主要考查獨立重復試驗概率的計算，屬于基礎題。14、【解題分析】

將問題轉化為個白球和個黑球，從中任取一個，取到白球的概率來求解.【題目詳解】由于第一次取出黑球，故原問題可轉化為個白球和個黑球，從中任取一個，則取到白球的概率為.【題目點撥】本小題主要考查條件概率的計算，考查古典概型的計算，屬于基礎題.15、1【解題分析】

通過純虛數的概念，即可求得，從而得到模長.【題目詳解】根據題意設，則，又為虛數，則，故，則，故答案為1.【題目點撥】本題主要考查純虛數及模的概念，難度不大.16、【解題分析】

，使是假命題，則，使是真命題，對是否等于進行討論，當時不符合題意，當時，由二次函數的圖像與性質解答即可．【題目詳解】，使是假命題，則，使是真命題，當，即，轉化為，不是對任意的恒成立；當，，使即恒成立，即，第二個式子化簡得，解得或所以【題目點撥】本題考查命題間的關系以及二次函數的圖像與性質，解題的關鍵是得出，使是真命題這一條件，屬于一般題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解題分析】分析：⑴由極坐標方程求出點的極坐標，運用求得曲線的普通方程⑵將代入，求出直線的參數方程，然后計算出結果詳解：（Ⅰ）由得，又得，∴點的極坐標為.由得，所以有，由得，所以曲線的普通方程為：.（Ⅱ）因為，點在上，∴直線的參數方程為：，將其代入并整理得，設所對應的參數分別為，且有，所以.點睛：本題考查了極坐標和普通方程之間的轉化，運用代入化簡即可，在求距離時可以運用參數方程來解答，計算量減少18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解題分析】

(Ⅰ)對函數進行求導，然后求出處的切線的斜率，再利用直線的點斜式方程求出切線方程，最后化為一般式方程；(Ⅱ)先證明當時，對任意，恒成立，然后再證明當時，對任意，恒成立時，實數的取值范圍.法一:對函數求導，然后判斷出單調性，求出函數的最大值，只要最大值小于零即可，這樣可以求出實數的取值范圍；法二：原不等式恒成立可以轉化為恒成立問題.，求導，判斷出函數的單調性，求出函數的最大值，只要大于最大值即可，解出不等式，最后求出實數的取值范圍.【題目詳解】解:(Ⅰ)當時，，，，曲線在點處的切線方程為，即(Ⅱ)當時，()，對任意，恒成立，符合題意法一:當時，，；在上單調遞增，在上單調遞減只需即可，解得故實數的取值范圍是法二:當時，恒成立恒成立，令，則，；，在上單調遞增，在上單調遞減只需即可，解得故實數的取值范圍是【題目點撥】本題考查了求曲線的切線方程，考查了不等式恒成立時，求參數問題，利用導數求出函數的最值是解題的關鍵.19、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）取的中點，連結、，推導出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面．（2）推導出，由，得，再推導出，，從而平面，，，，進而平面，連結，，則就是直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的余弦值．【題目詳解】解：（1）證明：取的中點，連結、，是的中點，，且，，，，且，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面．（2）解：，是等腰三角形，，又，，平面，平面，，又，平面，平面，，，又，平面，連結，，則就是直線與平面所成角，設，在中，解得，，，在中，解得，在中，，直線與平面所成角的余弦值為．【題目點撥】本題考查線面平行的證明，考查線面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．20、（1）見解析；（2）．【解題分析】分析：(1)因為兩式相減，時所以數列是等比數列(2)(3).所以顯然分類討論即可詳解：(1)證明:因為,都有，所以兩式相減得,即，當時，所以，又因為,所以，所以數列是常數列,，所以是以2為首項,為公比的等比數列.(2)由(1)得.所以.(3)由(1)得..因為，所以當時,，當時，.因此數列的前項的和.點睛：數列問題中出現一般都要用這個原理解題，但要注意驗證時是否滿足；等比數列常常跟對數運算結合在一起，很好的考查了數列的綜合分析問題能力，因此在計算時要熟練掌握對數相關運算公式.21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數是2條，證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）當x＞0時，設h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，設l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，分別求得導數和單調性、最值，即可得證；（Ⅱ）先確定曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數，設出切點坐標并求出兩個函數導數，根據導數的幾何意義列出方程組，先化簡方程得lnm﹣1．分別作出y＝lnx﹣1和y的函數圖象，通過圖象的交點個數來判斷方程的解的個數，即可得到所求結論．【題目詳解】（Ⅰ）當x＞0時，設h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，h′（x）1，當x＞1時，h′（x）＜0，h（x）遞減；0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）遞增；可得h（x）在x＝1處取得最大值﹣1，可得h（x）≤﹣1＜0；設l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，l′（x）＝ex﹣1，當x＞0時，l′（x）＞0，l（x）遞增；可得l（x）＞l（0）＝1＞0，綜上可得當x＞0時，g（x）＜x＜f（x）；（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數是2，證明如下：設公切線與g（x）＝lnx，f（x）＝ex的切點分別為（m，lnm），（n，en），m≠n，∵g′（x），f′（x）＝ex，可得，化簡得（m﹣1）lnm＝m+1，當