圓?？碱}訓(xùn)練一2023年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)微

考向4.11圓?？碱}專題訓(xùn)練（1）

一、單選題

1.如圖，。。的半徑為2,點(diǎn)力為。。上一點(diǎn)，。。_1_弦BC于。，如果NBAC=60。，那么

。。的長是（）

A.73B.BC.1D.2

2

2.如圖，線段A8是。。的直徑，弦CDL4B,ZC4B=20°,則ZAC?等于（）.

A.160°B.150°C.140°D.120°

3.如圖，AB為圓。的直徑，C、。兩點(diǎn)均在圓上，其中OCAC交AC于E點(diǎn).若DE=1,

BC=6,則AC=（）

C.5D.2近

4.如圖，在。O中，OA_LBC,NAOB=50。，則NADC的大小為（)

B

C.50°D.100°

5.如圖，已知AABC內(nèi)接于O,8C是。的直徑，AO平分Z&4C,交。于。，若3c=4,

則CO的長為（）

D.3五

6.如圖，AB是。。的直徑，C、。是。。上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)C為弧54。的中點(diǎn)，連接C￡＞、

CB、OD,CD與AB交于點(diǎn)F.若NAOO=100。，則/ABC的度數(shù)為（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

7.如圖，AB是00的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)D是OO上位于直徑AB兩側(cè)的點(diǎn)，連接AC,AD,

BD,CD,若。0的半徑是13,BD=24,則sinZACD的值是（）

D

12c125

A.B.—cD.

135-u13

8.如圖,點(diǎn)C(4,0),0(0,3),0(0,0),在A上，BD是A的一條弦,則sinNO3O

43

D.

55

若ND=65。，則NBAC=()

D.35°

10.如圖，。。是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切A8,BC,AC于點(diǎn)E,F,D,P是。尸上一

點(diǎn)，則NEP尸的度數(shù)是（）

A

A.65°B.60°C.58°D.50°

二、填空題

11.如圖，以點(diǎn)。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點(diǎn)P是切點(diǎn),

AB=12>/l0P=6則劣弧AB的長為（結(jié)果保留萬）

⑵如圖，。。的直徑為10,弦A8=8,P是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，那么OP長的取值范圍是

13.如圖，4、。是。。上的兩點(diǎn)，8c是直徑，若/。=32。，貝IJ/O4C=度.

_A

14.如圖，為圓。的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，OB交圓。于點(diǎn)C,點(diǎn)。在圓。上，連接A。、

CD,OA,若44OC=25。，則的度數(shù)為.

o

B

15.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C、。是圓上兩點(diǎn)，且NAOC=126。，則NCOB.

AB=2,C、。是圓周上的點(diǎn)，且sin/C￡>8=],則8c

D

17.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)。是。。上位于直徑AB兩側(cè)的點(diǎn)，連接AC,AD,

BD,CD,若。。的半徑是5,BD=8,則cos/AC。的值是,

18.如圖，點(diǎn)0為優(yōu)弧AC8所在圓的圓心，ZAOC=108°,點(diǎn)。在AB延長線上，BD=BC,

則/。=

BD

19.如圖，AB為:。的直徑，CD為O的弦，ZACD=40°,則的度數(shù)為

20.如圖，△A8C中，乙4=50。，以AB為直徑的。O分別與BC,AC交于點(diǎn)￡>,E,BD=CD,

連接BE,DE,則/BE。的大小為.

三、解答題

21.如圖，在中，ZBAC=90°,以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點(diǎn)

交AB于點(diǎn)E,連接。E.

(1)若NABC=20。，求NOE4的度數(shù)；

(2)若AC=3,AB=4,求CO的長.

22.如圖，AB為。的直徑，CQ是弦，且A8_LC。于點(diǎn)E,連接AC、OC、BC.

(1)求證：ZACO=NBCD.

(2)若EB=6,CD=20,求<。的直徑.

A

23.如圖，AB是半圓。的直徑，C,。是半圓。上不同于A8的兩點(diǎn)A￡>=BC,AC與3。相

交于點(diǎn)F,BE是半圓。所在圓的切線，與AC的延長線相交于點(diǎn)E,

(1)求證：\CBA^^DAB；

(2)若BE=BF,求AC平分ZDAB.

24.如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，80為。。的直徑，過點(diǎn)C作CEL8。，垂足為￡

(1)求證：NBAC=NBCE；

(2)若NBAC=60。，CE=3,求BO的長.

25.如圖，AB為。。的直徑，AC為弦，ZBCD^ZA,0。交。。于點(diǎn)E.

(1)求證：CD是。。的切線;

9

(2)若CD=4,AC=2.7,cosZBCD=—,求OE的長度.

一、單選題

1.如圖，公園內(nèi)有一個(gè)半徑為18米的圓形［坪，從A地走到B地有觀賞路（劣弧AB）和

便民路（線段A8）.已知A、8是圓上的點(diǎn),。為圓心，4405=120°,小強(qiáng)從A走到8,走

便民路比走觀賞路少走（）米.

C.12萬一96D.12萬-186

、y軸的正半軸上，點(diǎn)。在OA的延長線上.若

A（2,0）,。（4,0）,以。為圓心、0。長;勺弧經(jīng)過點(diǎn)B,交y軸正半軸于點(diǎn)E,連接OE,

BE、則N8E。的度數(shù)是（）

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

3.如圖，正方形4BCD內(nèi)接于。，點(diǎn)P在AB上，則/P的度數(shù)為（)

A/

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.如圖L，四邊形ABC。為。。的內(nèi)接四邊形,若四邊形038為菱形，4為（）.

A

c

A.45°B.60°C.72°D.36°

5.如圖，四邊形A5CD是。的內(nèi)接四邊形:，BE是1。的直徑，連接AE.若

/BCD=2/BAD,則NZME的度數(shù)是（）

a

A.30°￡B.35°C.45°D.60°

6.如圖，PA、尸8分別與，。相切于A、B,ZP=70°,C為，。上一點(diǎn)，則Z4C8的度數(shù)

為（）

A.110°B.120°C.125°D.130°

7.如圖，BC為。。的直徑，弦49,8c于點(diǎn)E,直線/切。。于點(diǎn)C,延長0。交/于點(diǎn)F,

若AE=2,ZABC=22.5°,則C尸的長度為（)

A.2B.2A/2C.2GD.4

8.如圖，。是AABC的外接圓，NBAC=60。，若。的半徑OC為2,則弦5C的長為

(

A.C.3D.y/3

9.一根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm,若NACB=60。，則

劣弧A8的長是（)

A.C.327rcmD.1927rcm

10.如圖，A3是。的直徑，點(diǎn)E,C在：。上，點(diǎn)A是EC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A畫。的切線,

交8c的延長線于點(diǎn)。，連接EC.若NAZ）8=58.5。，則ZACE的度數(shù)為（）

E

A.29.5°B.31.5°C,58.5°D.63°

二、填空題

11.如圖，四邊形ABCD是。0的內(nèi)接四邊形，若NBOD=80。，則NBCD的度數(shù)是____.

宓

A

12.如圖，。是二ABC的外接圓，連接A。并延長交；0于點(diǎn)D,若NC=50。，貝的

度數(shù)為______.

與

R

13.如圖,將_ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到二已知AC=3,8C=2,則線段A8

掃過的圖形（陰影部分）的面積為__________________.

uC

14.如圖，一ABC內(nèi)接于O,ZA=50°,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn),連接OO,OB,OC,則

NBOD=.

A

15.小明很喜歡鉆研問題，一次數(shù)學(xué)楊老師拿來一個(gè)殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求

瓦片所在園的半徑，小明連接瓦片弧線兩端48,量的弧AB的中心C到AB的距離CD=

1.6cm,6.4cm,很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為cm.

16.如圖，在R/ABC中，NC=90。，ZA=30°,BC=2.以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑畫

弧，分別交AC,AB于點(diǎn)。，E,則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留萬）.

17.如圖，AB是。。的直徑，C。是。0的弦，ZCAB=55°,則/。的度數(shù)是.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以加（2,3）為圓心，A3為直徑的圓與x軸相切，與y軸交

于4,C兩點(diǎn)，則點(diǎn)8的坐標(biāo)是.

19.如圖，AB是：0的直徑，點(diǎn)C、。在1。上，若NADC=58。，則NB4C='

20.如圖，PAP8是，。的切線，A,8是切點(diǎn).若NP=50°,則408=

21.如圖，在二ABC。中，E為BC的中點(diǎn)，以E為圓心，BE長為半徑畫弧交對角線AC于

點(diǎn)尸，若NBAC=60。，ZABC=100°,8c=4,則扇形8EF的面積為.

三、解答題

22.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)，/CAB的平分線A。交8c于點(diǎn)。，過點(diǎn)

D作DE//BC交AC的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)過點(diǎn)。作AB于點(diǎn)凡連接8。.若0尸=1,BF=2,求BD的長度.

E

23.已知：如圖，AB是。的直徑，C,。是。上兩點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線交D4的延長線

于點(diǎn)E,DELCE,連接CO,BC.

(1)求證：ZDAB^2ZABC；

(2)若tanNADC=g,3c=4,求。的半徑.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，直線/：y=；x+4分別與x軸，y軸相交于A、8兩點(diǎn),

點(diǎn)P(x,y)為直線/在第二象限的點(diǎn)

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)一PAO的面積為5,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式：并寫出x的取值范圍；

(3)作一PAO的外接圓)C,延長PC交C于點(diǎn)Q,當(dāng)△POQ的面積最小時(shí)，求C的半

徑.

25.如圖1,四邊形488內(nèi)接于O,AO為直徑，過點(diǎn)C作CELAB于點(diǎn)E,連接AC.

(1)求證：NCAD=NECB；

(2)若C￡是。的切線，ZCAD=30°,連接OC,如圖2.

①請判斷四邊形ABC。的形狀，并說明理由；

②當(dāng)A8=2時(shí)，求AO,AC與CD圍成陰影部分的面積.

1.C

【解析】

【分析】由于N8AC=60。，根據(jù)圓周角定理可求/BOC=120。，又OOLBC,根據(jù)垂徑定

理可知N8O/)=6()。，在R28O。中，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出O。.

【詳解】

解：?.?。。，弦8(7,

：.ZBDO=90°,

?.?/8OO=NBAC=60。，

OD=^OB=\,

故答案選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、特殊角的三角函數(shù)計(jì)算.

2.C

【解析】

【分析】先根據(jù)垂徑定理得到BC=BD，再根據(jù)圓周角定理得NBOD=2NCABEO。，然后利

用鄰補(bǔ)角的定義計(jì)算/AOD的度數(shù).

【詳解】

VCD1AB,

BC=BD，

/.ZBOD=2ZCAB=2x20°=40°,

ZAOD=1800-ZBOD=180°-40°=140°.

故答案為C.

【點(diǎn)撥】本題考查圓中的角度計(jì)算，熟練掌握垂徑定理和圓周角定理是關(guān)鍵.

3.D

【解析】

【分析】根據(jù)垂徑定理得到E是AC的中點(diǎn)，進(jìn)而分析出0E是AABC的中位線，得到0E

的長，然后在RtAOAE中應(yīng)用勾股定理求解AE的長后即可求得AC.

【詳解】

■：OD±AC,為圓。的半徑，

是AC的中點(diǎn)，

是A8的中點(diǎn)，

是AABC的中位線，

0E=-BC=3,

2

：.OA=OD=OE+DE=3+1=4,

在Rt^OAE中，AE=yJo^-OE2=代4=不，

/.AC=2AE=2近；

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，三角形中位線的性質(zhì)，以及勾股定理，關(guān)鍵是判斷出0E和

8c的數(shù)量關(guān)系.

4.B

【解析】

【分析】由OO中，OA±BC,利用垂徑定理，即可證得，又由在同圓或等圓中，同弧或等

弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得圓周角NADC的度數(shù).

【詳解】

解：如圖，連接OC,

VOA±BC,

AC=BC'

.../AOC=/AOB=50。，

ZADC=/AOC=25。，

故選：B.

【點(diǎn)撥】此題考查了垂徑定理與圓周角定理.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

5.B

【解析】

【分析】連接BO,由A￡>平分㈤C,可得NBAQ=NC4￡>,根據(jù)圓周角定理推論得

為等腰直角三角形，CD=&C,計(jì)算即可.

2

【詳解】

解：如圖：

連接3D,

8。是。的直徑，

???Zfi4C=ZfiDC=90°,

A￡＞平分44C,

:ABAD=ACAD,

BD=CD，

BD=CD,

.?.ADBC是等腰直角三角形,

:.CD=—BC=2y/2,

2

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的定義，圓周角定理推論，等腰三角形的判定等相關(guān)知識點(diǎn)，牢

記定理內(nèi)容是解題關(guān)鍵.

6.B

【解析】

【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出N2OO,再根據(jù)點(diǎn)C為弧8Ao的中點(diǎn)，求出NB0C的度

數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出/ABC的度數(shù).

【詳解】

,/乙400=100。，

ZBOD=180°-ZAOD^80°,

?.,點(diǎn)C為弧BAO的中點(diǎn)

；.NBOC=NDOC=g(360°-80°)=140°

OC=OB

：.ZABC=ZBCO^^(180°-140°)=20°

故選B.

【點(diǎn)撥】此題主要考查圓內(nèi)角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知圓心角、弧的關(guān)系.

7.D

【解析】

【分析】首先利用直徑所對的圓周角為90。得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求

得AD邊的長，然后求得ZB的正弦即可求得答案.

【詳解】

VAB是直徑，

，NADB=90。，

；。0的半徑是13,

；.AB=2xl3=26,

由勾股定理得：AD=10,

.2=絲」二

AB2613

VZACD=ZB,

.".sinZACD=sinZB=—,

13

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理及解直角三角形的知識，解題的關(guān)鍵是能夠得到直角三角形

并利用銳角三角函數(shù)求得一個(gè)銳角的正弦值，難度不大.

8.D

【解析】

【分析】連接CD,可得出NOBD=/OCD,根據(jù)點(diǎn)D(0,3),C(4,0),得OD=3,OC=4,

由勾股定理得出CD=5,再在直角三角形OCD中利用三角函數(shù)即可求出答案.

【詳解】

連接CD,

VD(0,3),C(4,0),

.,.OD=3,OC=4,

ZCOD=90°,

CD=^OEr+OC-=V32+42=5，

ZOBD=ZOCD,

.'.sinZOBD=sinZOCD=-^^=-,

DC5

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查r圓周角定理，勾股定理、以及銳角三角函數(shù)的定義；熟練掌握圓周角定

理是解決問題的關(guān)鍵.

9.B

【解析】

【分析】連接8C,如圖，利用圓周角定理得到NAC8=90。，N8=ND=65。，然后利用直

角三角形的性質(zhì)計(jì)算出N8AC的度數(shù).

【詳解】

解：連接8C,如圖,

為。。的宜徑，

NACB=90。，

VZB=ZD=65°,

二ZBAC=90°-ZB=90°-65。=25。.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦

是宜徑.

10.B

【解析】

【分析】連接OE,OF.求出NEOF的度數(shù)即可解決問題.

【詳解】

解：如圖，連接OE,OF.

；。0是△ABC的內(nèi)切圓，E,F是切點(diǎn)，

AOEIAB,OF1BC,

.?.ZOEB=ZOFB=90°,

「△ABC是等邊三角形，

.\ZB=60°,

.".ZEOF=120°,

.\ZEPF=yZEOF=60°,

故選：B.

BC

【點(diǎn)撥】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

11.87t.

【解析】

【詳解】

試題分析：因?yàn)锳B為切線，P為切點(diǎn)，

:.OPLAB,:.AP=BP=&j3

OP=6,.\OB=\IOP2+PB2=12

OPLAB,OB=2OP

NPOB=60\ZPOA=60

劣弧AB所對圓心角色避密，泣心

,1202c

u1803

考點(diǎn)：勾股定理;垂徑定理;弧長公式.

12.3<OP<5.

【解析】

【分析】根據(jù)垂線段最短，由垂徑定理求出OP最小值，最大值為半徑長.

【詳解】

如圖：連接OA,作OMLAB與M,

的直徑為10,

半徑為5,

???OP的最大值為5,

VOM1AB與M,

；.AM=BM,

：AB=8,

；.AM=4,

在RtAAOM中，OM=,52-42=3,

OM的長印為OP的最小值，

【點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理，垂線段最短，勾股定理，垂徑定理是解決圓問題的重要知識點(diǎn).

13.58

【解析】

【分析】根據(jù)ND的度數(shù)，可以得到NABC的度數(shù)，然后根據(jù)BC是直徑，從而可以得到

/BAC的度數(shù)，然后可以得到NOCA的度數(shù)，再根據(jù)OA=OC,從而可以得到NOAC的度

數(shù).

【詳解】

解：：ND=32°,ZD=ZABC

，ZABC=32°

,/BC是直徑

ZBAC=90°

,ZBCA=90o-ZABC=90°-32o=58°

ZOCA=58°

VOA=OC

AZOAC=ZOCA

ZOAC=58°

故答案為58.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系.解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)

形結(jié)合的思想解答.

14.40°

【解析】

【分析】根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系，可以得到NAOC的度數(shù)，然后根據(jù)A8為。。的切線

和宜角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可求得N8的度數(shù).

【詳解】

解：VZADC=25°,

：.ZAOC=50°,

為。O的切線，點(diǎn)4為切點(diǎn)，

"48=90°,

ZB=90°-ZAOC=90°-50°=40°,

故答案為：40°.

【點(diǎn)撥】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答

問題是解答本題的關(guān)鍵.

15.27°

【解析】

【分析】連結(jié)AD根據(jù)圓周角與同弧所對圓心角關(guān)系/AQC=￡/AOC=63。，由AB為直

徑，可得/4。8=90。，再利用角的差計(jì)算即可.

【詳解】

解：連結(jié)AD,

,/ZAOC=126°,

：./ADC=gNAOC=-xl26°=63°,

22

為直徑，

ZADB=90°,

：.ZCDB^ZADB-ZADC=90°-63°-27°.

故答案為：27°.

【點(diǎn)撥】本題考查直徑所對圓周角性質(zhì)，圓周角定理，角的和差計(jì)算，掌握直徑所對圓周角

性質(zhì)，圓周角定理是解題關(guān)鍵.

16.2

3

【解析】

【分析】利用圓周角定理，推出NA=/D,解直角三角形求出BC即可.

【詳解】

解：「AB是直徑，

ZACB=90°,

VZA=ZD,AB=2,

...1BC

..sinZ/A=sinZD=—=----,

3AB

BC=-,

3

2

故答案為：—.

【點(diǎn)撥】本題考查圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬

于中考?？碱}型.

【解析】

【分析】利用圓周角定理解決問題即可.

【詳解】

是直徑，

ZADB=90°,

ZACD=ZB,

cosZACD=cosZ.B==—=—,

AB105

4

故答案為：y.

【點(diǎn)撥】本題考查圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬

于中考?？碱}型.

18.27°

【解析】

【分析】根據(jù)圓周角定理，可得出/ABC的度數(shù)，再根據(jù)即可得出答案.

【詳解】

解：VZAOC=108°,AZABC=54°,

VBD=BC,:.NMZBCggNABC=27。,

故答案為27°.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識比

較簡單.

19.50°

【解析】

【分析】由同弧所對的圓周角相等可知NAB￡)=NACE)=40。，再由直徑所對的圓周角為直

角即可得到答案.

【詳解】

解：連接BD,

ZAB￡>=40°,

:AB為。的宜徑，

ZA￡>B=90°,

/.NBAD+ZABD=90°,

：.NBA。=90°-40。=50°,

故答案為：50°.

【點(diǎn)撥】本題考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所時(shí)的圓周角為直角，掌握基礎(chǔ)知識是解

題的關(guān)鍵.

20.25°

【解析】

【分析】連接AD,結(jié)合直徑所對的圓周角是90。利用SAS定理判定4ABD^AACD,從而

得到/BAD的度數(shù)，然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等求解.

【詳解】

解：連接AD

VAB是。。的直徑，

ZADB=90°

AD=AD

...在△ABD和^ACD中,NAOB=NACC=90。

.,.△ABD^AACD

ZBAD=ZCAD=-ABAC=25°

2

N8￡?=NBAD=25°

故答案為:25°.

【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及圓周角定理，題目難度不大，掌握相關(guān)性質(zhì)

定理正確推理論證是解題關(guān)鍵.

IQ

21.(1)65°；(2)—.

【解析】

【分析】(1)連接AD,求出/ZME,再利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可;

（2）如圖，過點(diǎn)4作4￡1_。。，垂足為F.利用面積法求出AR再利用勾股定理求出CF,

可得結(jié)論.

【詳解】

解：（1）如圖，連接4Q.

ZACD=10°.

VAC=AD,

ZACD=ZADC=7O09

???ZCAD=\80o-70°-70o=40°,

???ZDAE=90°-40°=50°.

XVA￡>=AE,

：.ZDEA=ZADE=^(180°-50°)=65°；

（2）如圖，過點(diǎn)A作AF_LC￡）,垂足為F.

VZBAC=90°,AC=3,AB=4,

：.BC=5.

XV-?AF?BC=--AC-AB,

22

55

?■-CF=Fff)

VAC=AD,AF1CD,

IQ

：.CD=2CF=—,

5

【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

22.（1）證明見解析；（2）y

【解析】

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，同弧的圓周角相等，可求得NBCD=NBAC,又

因?yàn)椤鰽OC是等腰三角形，即可求證；

（2）設(shè)。。的半徑為r,則OC=r,OE=OB—=廠一6,利用垂徑定理得到CE=DE=\O,

在Rt.OCE中，利用勾股定理即可得到0。的半徑為，進(jìn)而即可得到直行.

【詳解】

（1）VABLCD,

BC=BD，

：.ZBCD=ZBAC,

'：OA=OC,

：.AOAC^ZACO,

ZACO=NBCD；

（2）設(shè)。的半徑為「，

AOC=r,OE=OB-EB=r-6.

,：ABA.CD,

：,CE=DE=-CD=-x20=\0,

22

在RfOCE中，OE?+CE°=OC2，

即,（r-6）2+102=r2,

34

解得，r=y,

所以直徑為

【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等、垂徑定

理、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)用以上知識

點(diǎn).

23.（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

【分析】⑴利用4Q=BC,證明=利用為直徑，證明NAr>B=N8CA=90。,

結(jié)合已知條件可得結(jié)論；

（2）利用等腰三角形的性質(zhì)證明：NEBC=NFBC，再證明NC8F=ND4F,利用切線的性質(zhì)

與直徑所對的圓周角是直角證明：NEBC=NCAB,從而可得答案.

【詳解】

⑴證明：,AD=BC,

AD=BC,

ZABD=ZBAC,

QAB為直徑，

:.ZADB=ZBCA=90°,

AB=BA,

..^CBA^DAB.

(2)證明：BE=BF,ZACB=90°,

NFBC=/EBC,

ZADB=ZACB=90°,NDFA=NCFB,

ZDAF=NFBC=NEBC,

BE為半圓。的切線，

ZABE=90°,ZABC+NEBC=90°,

ZACB=90°,

ZCAB+ZABC=90°,

ZCAB=ZEBC,

ZDAF=ZCAB,

，AC平分ND4B.

【點(diǎn)撥】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，弧，弦，圓心角，圓周角之間的關(guān)系，直徑所對的圓

周角是直角，三角形的全等的判定，切線的性質(zhì)定理，三角形的內(nèi)角和定理，掌握以上知識

是解題的關(guān)鍵.

24.(1)見解析；(2)BD=4石.

【解析】

【分析】(1)連接CO,根據(jù)圓周角定理的推論得到/BCO=90。，根據(jù)同角的余角相等證

明結(jié)論；

(2)根據(jù)正弦的定義求出CD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】

(1)證明：連接CD,

為。。的直徑，

：.ZBCD=90°,

：.NDCE+NBCE=90°,

'JCEX.BD,

；.NDCE+ND=90°,

；.ND=NBCE,

由圓周角定理得，ZD^ZBAC,

：.ZBAC=ZBCE；

(2)解：；NBAC=60。,

.,.NO=60°,

AZDBC=30°,

CE

在對△COE中，sinD=—,

CD

：.CD=品寶2"

~T

在/?/△CBO中，/O8C=30°,

8。=2co=45

【點(diǎn)撥】本題考查直徑所對的圓周角是90。、圓周角定理、含30。角的直角三角形、正弦等

知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

25.(1)見解析；(2)2

【解析】

【分析】(1)連接0C,根據(jù)切線的判定定理，只需證明CC0C即可;

(2)DE=OD-OE,所以設(shè)法求出O。、0E的長即可.

【詳解】

(1)證明：如圖，連接OC.

〈AB為。。的直徑，AC為弦，

AZACB=90°,即NOC3+NACO=90。.

VOA=OC,

???ZACO=ZA.

???N5CQ=NA,

???ZACO=ZBCD.

.'.ZOCB+ZBCD=90°,即NOC￡>=900.

ACD10C.

???OC為。。的半徑，

???C。是。。的切線.

9

9

(2)解：：ZBCD=ZAfcosZBCD=—,

9

cosA=cosZBCD=—.

20

在放△ABC中，

AB

27

AC—2.7x20,

：.AB=-------=9----------=6.

cosA2G9

OC=OE——AB=3.

2

在MAODC中，

OD2=OC2+DC2,

OD=>JOC2+DC2=>/32+42=5.

：.DE=OD-OE=5-3=2.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識點(diǎn)，熟知圓的切線的

判定方法和銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

參考答案:

I.D

【解析】

【分析】作0CJ_A8于C,如圖，根據(jù)垂徑定理得到AC=8C,再利用等腰三角形的性質(zhì)和

三角形內(nèi)角和計(jì)算IHNA，從而得到0C和AC,可得A8,然后利用弧長公式計(jì)算出AB的

長，最后求它們的差即可.

【詳解】

解：作0CL48于C,如圖，

貝IIAC=BC,

：04=08,

；./A=NB=；(180°-ZAOB)=30°,

在MAOC中，OC=^OA=9,

AC=Ji82-92=95

；.AB=2AC=185

▽??AR120x^x18

乂?AD=----------------=12乃,

180

???走便民路比走觀賞路少走12萬-186米，

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理：垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算

弦長、半徑、弦心距等問題.

2.C

【解析】

【分析】連接08,由題意易得N8OD=60。，然后根據(jù)圓周角定理可進(jìn)行求解.

【詳解】

解：連接。&如圖所示：

VA（2,0）,D（4,0）,

??.OA=2QB=OE=OD=4,

：.OA=-OB

2f

??,四邊形。鉆。是矩形，

JZftAB=90°,

ZOBA=30°,

/.ZBOD=90°-AOBA=60°,

??.ZBED=-ZBOD=30°,

2

故選c.

【點(diǎn)撥】本題主要考查圓周角定理、矩形的性質(zhì)及含30。的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓

周角定理、矩形的性質(zhì)及含30。的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.B

【解析】

【分析】連接。5,OC,由正方形ABC。的性質(zhì)得NBOC=90°,再根據(jù)圓周角與圓心角的

關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：連接。8,OC,如圖，

,正方形ABC。內(nèi)接于O,

ABOC=90°

/.ZBPC=-ZBOC=1x90°=45°

22

故選：B.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的一半.

4.B

【解析】

【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)，得OB=OD=BC=CD；連接OC,根據(jù)圓的對稱性，得

OB=OC=OD；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得NBOD,再根據(jù)圓周角和圓心角的性質(zhì)計(jì)算，

即可得到答案.

【詳解】

???四邊形088為菱形

，OB=OD=BC=CD

連接oc

?..四邊形45CD為③。的內(nèi)接四邊形

OB=OC=OD

:.,OBC,一OCD為等邊三角形

:.NBOC=NCOD=GO。

：.ZBOD=ZBOC+ZCOD=120°

??.ZA=-ZBOD=60°

2

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓內(nèi)接多邊形、等邊三角形、菱形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的

對稱性、等邊三角形、菱形、圓周角、圓心角的知識；從而完成求解.

5.A

【解析】

【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得如)=60°,再根據(jù)圓周角定理可得NmE=90。，

然后根據(jù)角的和差即可得.

【詳解】

解：四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形，

ZBCD+ZBAD=180°,

ZBCD=2ZBAD,

??.ZBAD=-x180°=60%

3

是。。的直徑，

:.ZBAE=90°,

.?./DAE=/BAE—ABAD=90°-60°=30°,

故選:A.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.

6.C

【解析】

【分析】由切線的性質(zhì)得出/OAP=/O8P=90。，利用四邊形內(nèi)角和可求/AO8=110。，再利

用圓周角定理可求NAOB=55。，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可求NACB.

【詳解】

解：如圖所示，連接。4,OB,在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)Q,連接40,BD,

,：AP,8尸是切線，

，NO4P=NO8P=90°,

ZA(9B=360o-900-90o-70°=l10°,

ZADB^55°,

又???圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，

ZACB=1800-ZADB=18O°-55°=125°.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是連接

OA、0B,求出NAOB.

7.B

【解析】

【分析】根據(jù)垂徑定理求得AC=CQ，AE=DE=2,即可得到NCOD=2NABC=45。，則4OED

是等腰直角三角形，得出00=20,根據(jù)切線的性質(zhì)得到8CLCR得到AOC尸是等腰直

角三角形，進(jìn)而即可求得b=0C=0￡>=2夜.

【詳解】

解：為。。的直徑，弦AOLBC于點(diǎn)E,AE=2,ZAfiC=22.5°,

AC=CD,AE=DE=2,

：.NCOD=2NABC=45。,

△OED是等腰直角三角形，

：.OE=ED=2,

OD=4聯(lián)+展=20,

???直線/切。。于點(diǎn)C,

：.BC±CF,

...△OCF是等腰直角三角形，

CF=OC,

,/OC=OD=20,

；?CF=2叵，

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，等弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股定理

的應(yīng)用，求得CF=OC=OD是解題的關(guān)鍵.

8.B

【解析】

【分析】過點(diǎn)。作。W_L8C,交8c于點(diǎn)根據(jù)圓周角定理以及垂徑定理可得結(jié)果.

【詳解】

解：過點(diǎn)。作OML3C,交BC于點(diǎn)M,

。是AABC的外接圓，ZBAC=60°,

:.ZBOC=2ZBAC=120°,

又?OB=OC,OMVBC,

NCOM=-ZBOC=60°,MB=MC,

2

，在RtACOM中，ZOCM=3Q°,

：.OM=^OC=I,CM=SC【-OM2=5

BC=2CM=26，

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟知相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵.

9.B

【解析】

【分析】先利用v形架與圓的關(guān)系求出NC+/AO8=180。，由NC=60。，可求/AO8=120。，

由OB=24cm,利用弧長公式求即可.

【詳解】

解：VAC與BC是圓的切線，

：.OALAC,OBJLCB,

：.ZOAC=ZOBC=90°,

：.ZC+ZAOB=3600-ZOAC-ZOBC=360°-90°-90°=180°,

VZC=60°,

ZAOB=180o-60°=120°,

OB=24cm,

.j120x4x24

..*.?=---------------=116Z7rcm.

AB180

故選擇B.

【點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，四邊形內(nèi)角和，弧長公式，掌握直線與圓的位置關(guān)

系，四邊形內(nèi)角和，弧長公式是解題關(guān)鍵.

10.B

【解析】

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出根據(jù)圓周角定理

得到/ACB=90。，進(jìn)而求出NBAC,根據(jù)垂徑定理得到BALEC,進(jìn)而得出答案.

【詳解】

解：：人。是。。的切線，

：.BArAD,

,：ZADB=58.5°,

，/8=90°-NAO8=3l.5°,

,：AB是。。的直徑，

ZACB=90°,

?,.ZBAC=90°-ZB=58.5°,

???點(diǎn)4是弧EC的中點(diǎn)，

：.BA±EC,

：.ZACE=900-ZBAC=31.5°,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)

的半徑是解題的關(guān)鍵.

II.140°.

【解析】

【詳解】

試題分析：：NBOD=80。，工/人二皿。，:四邊形ABCD是（DO的內(nèi)接四邊形，

AZBCD=180°-40°=140°,故答案為140。.

考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理

12.40°

【解析】

【分析】連接80,則NC=/3,再根據(jù)A。為宜徑，求得ZS4Z）的度數(shù)

【詳解】

如圖，連接8力，則/。=NC=50。

AD為直徑

：.ZABD=90°

/BAD=90°-ZD=90°-50°=40°

o

故答案為40°

【點(diǎn)撥】此題主要考查了圓周角定理，圓周角定理是中考中考查重點(diǎn)，熟練掌握圓周角定理

是解決問題的關(guān)鍵.

13史

3

【解析】

【分析】由于將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)120。得到△4QC,可見，陰影部分面積為扇形ACA，減

扇形BCQ,分別計(jì)算兩扇形面積，再計(jì)算其差即可.

【詳解】

解：如圖：由旋轉(zhuǎn)可得：

/ACA'=NBC8'=120°,又AC=3,BC=2,

120乃xAC?

S扇/=3元，

360

120^-xBC24萬

S扇形BCB，=

360-3~

則線段AB掃過的圖形的面積為3萬-與=與,

故答案為：*

【點(diǎn)撥】本題考查了扇形面積的計(jì)算和陰影部分的面積，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為兩扇形面積

的查是解題的關(guān)鍵.

14.50°

【解析】

【分析】圓上弧長對應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即

可得出答案.

【詳解】

解:根據(jù)圓上弦長對應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半，

ZA=-ZBOC,

2

.-.ZBOC=100°,

OB=OC,

：.BOC為等腰三角形，

又?.點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一，

為NBOC的角平分線，

:.ZBOD=5QP,

故答案是：50°.

【點(diǎn)撥】本題考查了弦長所對應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半和等腰三角形三線合一的性質(zhì),

解題的關(guān)鍵是：根據(jù)性質(zhì)求出N8OC,再利用角平分線或三角形全等都能求出解.

15.4

【解析】

【分析】圓的兩弦的中垂線的交點(diǎn)，就是圓心；連接AC,作AC的中垂線，與直線C。的

交點(diǎn)就是圓心，已知圓心即可作出圓；連接圓心與A,根據(jù)勾股定理即可求得半徑.

【詳解】

如圖，

D____

連接。4,

是弦A8的垂直平分線，

/.AD=-AB=3.2,

2

設(shè)圓的半徑是r.在直角AA。。中，AO=r,AD=3.2,DO=r-\.6.

根據(jù)勾股定理得，r2=3.22+(r-1.6)2,

?”=4

故答案為：4

【點(diǎn)撥】本題主要考查圓的確定和垂徑定理，熟練掌握垂徑定理得出關(guān)于半徑的方程是解題

的關(guān)鍵.

16.—TT-yfi

3

【解析】

【分析】連接CE,由扇形CBE面積-三角形CBE面積求解.

【詳解】

解：連接CE,

VZA=30°,

???ZB=90°-ZA=60%

CE=CB,

???ACBE為等邊三角形,

：.ZECB=60°tBE=BC=2,

.C_22X60TT_2

**3扇形ex=———=三九，

???陰影部分的面積為I萬一省.

故答案為：—^—5/3.

【點(diǎn)撥】本題考查扇形的面積與等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是判斷出三角形CBE

為等邊三角形與扇形面積的計(jì)算.

17.35°

【解析】

【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角推出/ACB=90。，再結(jié)合圖形由直角三角形的性質(zhì)

得至lJ/B=90°-ZCAB=35°,進(jìn)而根據(jù)同圓中同弧所對的圓周角相等推出NO=/B=35。.

【詳解】

解：「AB是。。的直徑，

ZACB=90°,

VZCAB=55O,

：.ZB=900-/CA8=35°,

：.ZD=ZB=35°.

故答案為:35。.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，解題的關(guān)鍵在

于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.

18.（4,3-遙）

【解析】

【分析】如圖，連接BC,設(shè)圓與x軸相切于點(diǎn)。，連接MD交BC與點(diǎn)E,結(jié)合己知條件,

則可得8CJ.M3,勾股定理求解EM,進(jìn)而即可求得8的坐標(biāo).

【詳解】

如圖，連接8C,設(shè)圓與x軸相切于點(diǎn)￡）,連接的。交BC與點(diǎn)E,

則軸，

QAB為直徑，則NACB=90。，

BCLMD,

.?.8C7/X軸，

M（2,3）,

:.MB=MD=3,CE=EB=2,

：.ME=\lMB2-EB2=V32-22=A/5-CB=4,

;.DE=MD-ME=3f,

8C7/x軸，

.-.8（4,3

故答案為：（4,3-6）.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理，切線的性質(zhì)，勾股定

理，坐標(biāo)與圖形，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

19.32

【解析】

【分析】由同弧所對的圓周角相等和直徑所對的圓周角為90。然后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求

出ZBAC的度數(shù).

【詳解】

ZADC=58。，

，ZABC=ZA￡>C=58°,

又是直徑，

?*.ZAC8=90。，

ZBAC=90°-58°=32°.

故答案為：32.

【點(diǎn)撥】此題考查了同弧所對圓周角的性質(zhì)和直徑所對圓周角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練學(xué)

握同弧所對圓周角的性質(zhì)和直徑所對圓周角的性質(zhì).

20.130°

【解析】

【分析】由題意易得NPAO=NP8O=90。，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和可求解.

【詳解】

解：4P8是。的切線，

，ZPAO=ZPBO=90°,

...由四邊形內(nèi)角和可得：