2023-2024學年湘教版必修第二冊 4-3-1空間中直線與直線的位置關(guān)系第1課時空間中直線與直線的位置關(guān)系 學案

第1課時空間中直線與直線的位置關(guān)系教材要點要點一空間兩直線的位置關(guān)系1．空間中兩條直線的位置關(guān)系2．異面直線：把不同在________平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線．狀元隨筆(1)異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．(2)不能把異面直線誤認為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線，如圖中，雖然有a?α，b?β，即a，b分別在兩個不同的平面內(nèi)，但是因為a∩b＝O，所以a與b不是異面直線．要點二基本事實4文字語言平行于同一條直線的兩條直線________圖形語言符號語言作用證明兩條直線平行說明基本事實4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的要點三等角定理文字語言如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)，那么這兩個角或符號語言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語言作用判定兩個角相等或互補狀元隨筆等角定理實質(zhì)上是由如下兩個結(jié)論合成的：①若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行且方向都相同（或方向都相反），則這兩個角相等；②若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，有一組對應(yīng)邊方向相同，另一組對應(yīng)邊方向相反，則這兩個角互補．基礎(chǔ)自測1.思考辨析（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）兩條直線無公共點，則這兩條直線平行．（）（2）分別平行于兩條異面直線的兩條直線一定是異面直線．（）（3）若a∥b，b∥c，c∥d，則a∥d.（）（4）如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等．（）2.三棱錐A-BCD中，E、F、M、N分別是AB、AD、BC、CD的中點，求EF與MN的位置關(guān)系（）A．平行B．相交C．異面D．都有可能3.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直線中，與直線BC1為異面直線的條數(shù)為（）A．1B．2C．3D．44.在空間中，若直線a與b無公共點，則直線a，b的位置關(guān)系是Ｗ．題型1兩直線的位置關(guān)系辨析例1（1）若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（）A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交（2）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是；②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是；③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是；④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是．方法歸納判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅（1）建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．（2）重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．跟蹤訓練1（多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，下列結(jié)論中正確的是（）A．直線AM與CC1是相交直線B．直線AM與BN是平行直線C．直線BN與MB1是異面直線D．直線AM與DD1是異面直線題型2基本事實4的應(yīng)用例2在棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為棱CD，AD的中點．求證：四邊形MNA′C′是梯形．方法歸納證明兩條直線平行的兩種方法（1）利用平行線的定義：證明兩條直線在同一平面內(nèi)且無公共點．（2）利用基本事實4：尋找第三條直線，然后證明這兩條直線都與所找的第三條直線平行，根據(jù)基本事實4，顯然這兩條直線平行．若題設(shè)條件中含有中點，則常利用三角形的中位線性質(zhì)證明直線平行．跟蹤訓練2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點．求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形．題型3等角定理及其應(yīng)用例3如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為棱AD，AB，B1C1，C1D1的中點．求證：∠EA1F＝∠E1CF1.方法歸納（1）空間等角定理實質(zhì)上是由以下兩個結(jié)論組成的：①若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行且方向都相同或相反，那么這兩個角相等；②若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，有一組對邊方向相同，另一組對邊方向相反，那么這兩個角互補．（2）證明角相等，一般采用三種途徑①利用等角定理及推論；②利用三角形相似；③利用三角形全等．跟蹤訓練3在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分別為A1C1，AC和AB的中點．求證：∠PNA1＝∠BCM.eq\a\vs4\al(易錯辨析)對兩直線的位置關(guān)系把握不準致誤例4分別和兩條異面直線相交的兩條不同直線的位置關(guān)系是Ｗ．解析：分兩類進行討論．（1）若兩條直線與兩異面直線的交點有4個，如圖（1），直線AB與異面直線a，b分別相交于點A，B，直線CD與異面直線a，b分別相交于點C，D，那么A，B，C，D四點不可能共面，否則與a，b異面矛盾，故直線AB與CD異面；（2）若兩條直線與兩異面直線的交點有3個，如圖（2），兩條直線相交．答案：異面或相交易錯警示易錯原因糾錯心得解題時易忽略兩條直線與兩異面直線的交點有3個的情況，認為交點只有4個，此時兩條直線是異面直線，導致錯填異面．在立體幾何中，空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系不確定時，要注意分類討論，避免片面地思考問題．在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，可通過畫出相關(guān)圖形幫助分析．課堂十分鐘1.若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（）A．異面或平行B．異面或相交C．異面D．相交、平行或異面2.如圖所示，在長方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（）A．3條B．4條C．5條D．6條3.正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為AA1，CC1的中點，則四邊形D1PBQ是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．空間四邊形4.空間中一個∠A的兩邊和另一個∠B的兩邊分別平行，∠A＝70°，則∠B＝Ｗ．5.如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中點．求證：四邊形EFF′E′為平行四邊形．第1課時空間中直線與直線的位置關(guān)系新知初探·課前預習要點一1．一個沒有沒有2．任何一個要點二平行a∥c傳遞性要點三平行相等互補[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：∵E，F(xiàn)是AB、AD中點，∴EF∥BD∵M，N是BC，CD中點∴MN∥BD∴EF∥MN.答案：A3．解析：與直線BC1成異面直線的有A1B1，AC，AA1，共3條．答案：C4．解析：a與b無公共點，a與b可能平行，可能異面．答案：平行或異面題型探究·課堂解透例1解析：(1)由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．(2)經(jīng)探究可知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行”；點A1，B，B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面．所以②④應(yīng)該填“異面”；直線D1D與直線D1C相交于D1點，所以③應(yīng)該填“相交”．答案：(1)D(2)①平行②異面③相交④異面跟蹤訓練1解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以AB錯誤．點B，B1，N在平面BB1C1C中，點M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線．同理AM，DD1也是異面直線．故選CD.答案：CD例2證明：如圖，連接AC.∵M，N分別為棱CD，AD的中點，∴MN綊12AC由正方體的性質(zhì)可知AC綊A′C′，∴MN綊12A′C′，∴A′N與MC即A′N不平行于MC′，MN平行于A′C′，∴四邊形MNA′C′是梯形．跟蹤訓練2證明：∵ABCD-A1B1C1D1為正方體．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．例3證明：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中點M，連接BM，F(xiàn)1M，則BF＝A1M.又∵BF∥A1M，∴四邊形A1FBM為平行四邊形，∴A1F∥BM.而F1，M分別為C1D1，A1B1的中點，則F1M綊C1B1.而C1B1綊BC，∴F1M綊BC，∴四邊形F1MBC為平行四邊形．∴BM∥CF1.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理，取A1D1的中點N，連接DN，E1N，則有A1E∥CE1.∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對應(yīng)平行，且方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.跟蹤訓練3證明：因為P，N分別為AB，AC的中點，所以PN∥BC.①又因為M，N分別為A1C1，AC的中點，所以A1M綊NC.所以四邊形A1NCM為平行四邊形，于是A1N∥MC.②由①②及∠PNA1與∠BCM對應(yīng)邊方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.[課堂十分鐘]1．解析：異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明，a，b異面，直線c的位置可如圖所示．故選D.答案：D2．解析：EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.答案：B3．解析：設(shè)正方體的棱長為2，直接計算可知四邊形D1PBQ各邊均為5，又四邊形D1PBQ是平行四邊形，所以四邊形D1PBQ是菱形．故選B.答案：B4.解析：①若∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，且方向相同，則∠A與∠