人教版平行四邊形單元測試綜合卷檢測試卷

人教版平行四邊形單元測試綜合卷檢測試卷

一、選擇題

1.如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點，且AB=CD.結(jié)論：①EG_LFH；

②四邊形EFGH是矩形；③HF平分NEHG；④EG=-BC；⑤四邊形EFGH的周長等于

2

2AB.其中正確的個數(shù)是（

B

A.

2.如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD±,Z\AEF是等邊三角形連接AC交EF

于G,下列結(jié)論：①BE=DF,②/DAF=15°,③AC_LEF,?BE+DF=EF,⑤EC=FG；其中

正確結(jié)論有（）個

3.如圖，菱形ABC。中，AC交8。于點。，DELBC于點、E,連接0E,若

NBCD=50°,則NOEO的度數(shù)是（）

A.35°B.30°C.25°D.20°

4.如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點。，AB=4,BD=4百，E為AB的中點,

點P為線段AC上的動點，則EP+BP的最小值為（）

B.275C.2不

5.如圖，在平行四邊形ABC。中，ZC=120°,AD=4,AB=2,點E是折線

8C—CO上的一個動點（不與A、8重合）.則aABE的面積的最大值是（）

D

B，----------------EC

A.BB.1C.372D.273

2

6.已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E,連接AE、BE、DE.過點A作AE的垂線交DE

于點P.若AE=AP=1,PD=2,下列結(jié)論：①EB_LED；②/AEB=135°；③S正方形ABCD=

5+2、歷；④PB=2；其中正確結(jié)論的序號是（）

A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③

7.如圖，直線/上有三個正方形。，b,。，若。，C的面積分別為6和14,則6的面積

A.8B.18C.20D.26

8.如圖，在菱形ABCD中，AB=5cm,NAOC=120。，點E、F同時由A、C兩點出

發(fā)，分別沿AB、CB方向向點B勻速移動（到點8為止），點E的速度為lcm/s,點

產(chǎn)的速度為2cm/s,經(jīng)過f秒△。瓦'為等邊三角形，則/的值為（）

9.如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點,且8E=1,F為AB邊上的一個動點,

連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為（）

D

BEC

A.0.5B.2.5C.72D.1

10.已知菱形ABCD的面積為8豆，對角線AC的長為46,/BCD=60。，M為BC的中

點，若P為對角線AC上一動點，則PB+PM的最小值為（）

A.6B.2C.273D.4

二、填空題

11.如圖，正方形ABC。的邊長為4,點E為CD邊上的一個動點，以CE為邊向外作正

方形ECFG,連結(jié)3G,點〃為中點，連結(jié)E”，則E”的最小值為

12.如圖，在矩形45C。中，AB=4,AD=2,E為邊CO的中點，點P在線段AB

上運動，F(xiàn)是CP的中點，則ACEF的周長的最小值是.

13.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，若重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD中,

A8=3,AC=2,則8。的長為.

14.如圖，A48c是邊長為1的等邊三角形，取8C邊中點E,作ED//AB,

EF//AC,得到四邊形EOA尸，它的周長記作G；取BE中點與，作EQJ/FB,

E\FJ/EF,得到四邊形它的周長記作G?照此規(guī)律作下去，則

QO2O=------------

FF\

15.菱形。88在平面直角坐標系中的位置如圖所示頂點8（273，0）,ZDOB=

60。，點P是對角線。C上一個動點，E（0,-1）,則EP十BP的最小值為__________.

好D__________C

0BX

E，

16.如圖,在矩形ABCD中,NACB=30°,BC=273>點E是邊BC上一動點（點E不與B,

C重合），連接AE,AE的中垂線FG分別交AE于點F,交AC于點G,連接DG,GE.設(shè)

AG=a,則點G到BC邊的距離為_____（用含w的代數(shù)式表示），ADG的面積的最小值為

BEC

17.如圖，菱形ABCD的邊長是4,NA8C二=60°,點E,F分別是AB,8C邊上的

動點（不與點A,B,C重合），且F,若EGHBC,FGHAB,EG與FG相

交于點G,當AOG為等腰三角形時，8E的長為—

A________________D

BFC

18.如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,48=8,AC=6,以8C為一邊作正方形8DEC設(shè)

正方形的對稱中心為。，連接AO,則4。=

19.如圖，在正方形ABCD中，點F為CD上一點，BF與AC交于點E,若NCBF=20。，則

/AED等于一度.

20.如圖，在△ABC中，AB=AC,E,F分別是BC,AC的中點，以AC為斜邊作RtZViDC,

若NCAO=/BAC=45°,則下列結(jié)論：①CD〃EF；②EF=DF；③DE平分ZCDF；@ZDEC=

30°；⑤)AB=?CD；其中正確的是(填序號)

三、解答題

21.如圖，在放ABC中，ZACB=90°,過點。的直線MN〃AB,。為AB邊上一

點，過點。作交直線MN于E,垂足為尸，連接C。、BE

(1)當。在AB中點時，四邊形BEC。是什么特殊四邊形?說明你的理由；

(2)當。為AB中點時，NA等于度時，四邊形5ECD是正方形.

22.在四邊形ABCD中，ADIIBC,AB=8cm,AD=16cm,BC=22cm,ZABC=90°.點P從點A

出發(fā)，以lcm/s的速度向點D運動，點Q從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點B運動，

其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒.

（1）當t=_時，四邊形ABQP成為矩形？

（2）當1=—時，以點P、Q與點A、B、C、D中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊

形？

（3）四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由，并探究如

何改變Q點的速度（勻速運動），使四邊形PBQD在某一時刻為菱形，求點Q的速度.

23.綜合與實踐.

問題情境：

如圖①，在紙片ZZ7ABCD中，AD=5,SABCD=15,過點A作垂足為點

E,沿AE剪下△ABE,將它平移至DCE'的位置,拼成四邊形AEE'D.

獨立思考：（1）試探究四邊形的形狀.

深入探究：（2）如圖②，在（1）中的四邊形紙片AEE'O中，在上取一點F,使

EF=4,剪下AEF,將它平移至VQE'F的位置，拼成四邊形AfP。，試探究四邊形

AFFD的形狀；

拓展延伸：（3）在（2）的條件下，求出四邊形AFF'D的兩條對角線長；

（4）若四邊形ABC。為正方形，請仿照上述操作，進行一次平移，在圖③中畫出圖形，

標明字母，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論，直接寫出你的結(jié)論.

24.如圖，平行四邊形ABC。中，AB=3cm,BC=5cm,ZB=60.G是CO的中

點，E是邊A。上的動點，EG的延長線與的延長線交于點尸，連接CE,DF.

（1）求證：四邊形CEDE是平行四邊形；

（2）①當AE的長為多少時，四邊形CEO尸是矩形；

②當AE=aw時，四邊形CEO尸是菱形，（直接寫出答案，不需要說明理由）.

25.如圖，點P是正方形A8CO內(nèi)的一點，連接CP,將線段CP繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°,

得到線段CQ,連接5P,OQ.

(1)如圖甲，求證：NCBP=/CDQ；

(2)如圖乙，延長8P交直線OQ于點E.求證：BE1DQ-

(3)如圖丙，若8c尸為等邊三角形，探索線段尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

26.如圖，M為正方形A6C。的對角線8。上一點.過M作8。的垂線交于E,連

BE,取BE中點。.

(1)如圖1,連A。、M0,試證明NAOM=90°;

圖1圖2圖3

（2）如圖2,連接AM、AO,并延長AO交對角線8。于點N,試探究線段

DM、MN、NB之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

（3）如圖3,延長對角線8。至。延長QB至P,連CP,CQ若PB=2,PQ=9,且

ZPCQ=135°,則PC=（直接寫出結(jié)果）

27.如圖1,在正方形ABCD（正方形四邊相等，四個角均為直角）中，AB=8,P為線段

BC上一點，連接AP,過點B作BQJ_4P,交CD于點Q,將△BQC沿BQ所在的直線對折得

到△8QC\延長QU交AD于點M

(1)求證：BP=CQ-,

（2）若BP=LpC,求AN的長；

3

（3）如圖2,延長QN交班的延長線于點M,若BP=x（0<x<8）,△BMC的面積為

S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

28.已知：如下圖，ABC和中，ZfiAC=ZBDC=90°.E為BC的中點，連

接。E、AE.若。CAE,在0c上取一點尸，使得DF=DE,連接EF交AO于。.

（1）求證：EF1DA.

（2）若3c=4,AZ）=2G，求EF的長.

在△ABC中，AB=AC,點P為BC所在直線上的任一點，過點P作PD_LAB,PE_LAC,垂足

分別為D、E,過點C作CF_LAB,垂足為F.當P在BC邊上時（如圖1）,求證：

PD+PE=CF.

AAA

圖①圖②圖③

證明思路是：如圖2,連接AP,由AABP與4ACP面積之和等于AABC的面積可以證得：

PD+PE=CF.（不要證明）

（變式探究）

當點P在CB延長線上時，其余條件不變（如圖3）.試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并

說明理由.

請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題：

（結(jié)論運用）

如圖4,將長方形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C處，點P為折痕EF

上的任一點，過點P作PG_LBE、PH_1.BC,垂足分別為G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH

的值；

（遷移拓展）

4

在直角坐標系中.直線/1：y=-§x+4與直線A：y=2x+4相交于點A,直線iA與x軸分別

交于點B、點C.點P是直線12上一個動點，若點P到直線/1的距離為1.求點P的坐標.

30.如圖，ABCO的對角線AC,8。相交于點O,A3,AC,4B=6cm,8c=10的，

點P從點A出發(fā)，沿方向以每秒1cm的速度向終點。運動，連接尸。，并延長交BC

于點。.設(shè)點P的運動時間為/秒.

（1）求8Q的長（用含，的代數(shù)式表示）；

（2）當四邊形A5QP是平行四邊形時，求f的值；

32

（3）當/=行時，點。是否在線段AP的垂直平分線上？請說明理由.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.C

解析：C

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半與AB=CD可得四邊形EFGH是菱

形，然后根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，并且平分每一組對角的性質(zhì)對各小題進行判斷

即可得答案.

【詳解】

VE,F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點，

1111

；.EF=-CD,FG=-AB,GH=-CD,HE=-AB,

2222

：AB=CD,

；.EF=FG=GH=HE,

...四邊形EFGH是菱形，故②錯誤，

AEG1FH,HF平分NEHG；故①③正確，

四邊形EFGH的周長=EF=FG=GH=HE=2AB,故⑤正確，

沒有條件可證明EG=[BC,故④錯誤，

.?.正確的結(jié)論有：①③⑤，共3個，

故選C.

【點睛】

本題考查了三角形中位線定理與菱形的判定與菱形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的中位線定理與

AB=CD判定四邊形EFGH是菱形并熟練掌握菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

2.B

解析：B

【分析】

根據(jù)已知條件易證4ABE絲AADF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判定①②；由正方形的性質(zhì)

就可以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,即可判定③；設(shè)EC=FC=x,由勾股定理和

三角函數(shù)計算后即可判定④⑤.

【詳解】

???四邊形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=AD,ZB=NBCD=ND=NBAD=90°.

???△AEF等邊三角形，

AE=EF=AF,ZEAF=60°.

ZBAE+ZDAF=30".

在RtAABE和RtAADF中，

AE=AF

AB=AD'

RtAABE叁RtAADF（HL）,

BE=DF（故①正確）.

ZBAE=ZDAF,

ZDAF+ZDAF=30",

即NDAF=15°（故②正確），

,,,BC=CD,

BC-BE=CD-DF,即CE=CF,

AE=AF,

.〔AC垂直平分EF.（故③正確）.

設(shè)EC=FC=X,由勾股定理，得：

EF=41X,CG=FG=—x,

2

r.ECWFG（⑤錯誤）

在RtAAEG中，

AG=AEsin60=EFsin60=2xCGsin60=巫~x,

2

.振4+^x

"-

：.AB=^X+X,

2

"y/3x+Xy/3x-X

：.BE=------------x=----------,

22

:.BE+DF=瓜-x手叵c，（故④錯誤），

綜上所述，正確的結(jié)論為①②③，共3個，

故選B.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等

邊三角形的性質(zhì)的運用，解答本題時運用勾股定理的性質(zhì)解題的關(guān)鍵.

3.C

解析：c

【解析】

【分析】

根據(jù)直角三角形的斜邊中線性質(zhì)可得。E=8E=。。，根據(jù)菱形性質(zhì)可得

==65°,從而得到N0E5度數(shù)，再依據(jù)NOE￡>=90°—NQEB即可.

2

【詳解】

解：：四邊形ABC。是菱形，NBCD=50°，

為BD中點，ZDBE=-ZABC=65°.

2

DE工BC,

.?.在RtABDE中，OE=BE=OD,

;.NOEB=NOBE=6$.

NOE。=90°-65°=25°.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解決這類問題的方法是四邊形

轉(zhuǎn)化為三角形.

4.C

解析：C

【解析】

【分析】

連結(jié)DE交AC于點P,連結(jié)BP,根據(jù)菱形的性質(zhì)推出AO是BD的垂直平分線，推出

PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根據(jù)勾股定理求出DE的長即可.

【詳解】

如圖，設(shè)AC,BD相交于O,

?.?四邊形ABCD是菱形,

1B0=；BD=2G,

.".AC1BD,AO=-AC,

2

VAB=4,

.".A0=2,

連結(jié)DE交AC于點P,連結(jié)BP,作EMLBD于點M,

???四邊形ABCD是菱形，

AACIBD,且DO=BO,即AO是BD的垂直平分線,

；.PD=PB,

，PE+PB=PE+PD=DE且值最小,

是AB的中點，EM1BD,

1

.?.EM=-AO=1

2

.".DM=DO+OM=|-BO=3A/3>

???DE=VEM2+DM2=#+(3后=2幣，

故選C.

【點睛】

此題考查了軸對稱-最短路線問題，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的判定和三角函數(shù)解答.

5.D

解析：D

【分析】

分三種情況討論：①當點E在BC上時，高一定，底邊BE最大時面積最大；②當E在CD

上時，4ABE的面積不變；③當E在AD上時，E與D重合時，^ABE的面積最大，根據(jù)三

角形的面積公式可得結(jié)論.

【詳解】

解：分三種情況：

①當點E在BC上時，E與C重合時，4ABE的面積最大，如圖1,

7C

過A作AF±BC于F,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

，AB〃CD,

.".ZC+ZB=180°,

VZC=120°,

AZB=60",

RtZXABF中，ZBAF=3O0,

，BF=-AB=1,AF=J3,

27

，此時AABE的最大面積為：；X4XJ5=2G；

②當E在CD上時，如圖2,此時，4ABE的面積=；SSBCD=；X4XJJ=2JL

③當E在AD上時，E與D重合時，4ABE的面積最大，此時，4ABE的面積=2出，

綜上，4ABE的面積的最大值是26；

故選：D.

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等

知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，并運用分類討論的思想解決問題.

6.D

解析：D

【分析】

先證明AAPD絲ZkAEB得出BE=PD,NAPD=/AEB,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出NAPE

=/AEP=45。，得出NAPD=/AEB=135。，②正確；得出/PEB=NAEB-ZAEP=90。，

EB1ED,①正確；作BFJ_AE交AE延長線于點F,證出EF=BF=J5，得出AF=AE+EF=

1+V2，由勾股定理得出AB=VAF2+BF2=45+2衣，得出S正方形ABCD=AB2=

5+20,③正確；EP=J5AE=J5，由勾股定理得出BP={BE?+E產(chǎn)=瓜,④錯

誤；即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：VZEAB+ZBAP=90°,ZPAD+ZBAP=90°,

；./EAB=NPAD,

AP=AE

在AAPD和4AEB中，，ZPAD=ZEAB,

AD=AB

.".△APD^AAEB(SAS),

；.BE=PD,/APD=/AEB,

VAE=AP,ZEAP=90°,

AZAPE=ZAEP=45°,

.".ZAPD=135°,

AZAEB=135°,②正確；

.\ZPEB=ZAEB-ZAEP=135°-45°=90°,

；.EBJ_ED,①正確；

作BFJ_AE交AE延長線于點F,如圖所示：

VZAEB=135°,

；./EFB=45。，

，EF=BF,

VBE=PD=2,

.?.EF=BF=Z

，AF=AE+EF=1+JI,

AB=y/AF2+BF2=7（1+V2）2+（V2）2=J5+2&，

S正方形ABCD=AB2=（J5+2后）2=5+20，③正確；

EP=0AE=0,

BP=<BE。+E產(chǎn)=百+（揚2=瓜,④錯誤；

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角

形的判定、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解題的關(guān)

健.

7.C

解析：C

【分析】

由題意根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合勾股定理和正方形的面積公式進行分析計算.

【詳解】

解：;a、b、c都為正方形，a,。的面積分別為6和14,

...AC=CE,AB2=6,DE2=14,NACF=90°,

???ABAC+/BCA=90°,ZBCA+ZDCE=90°,

ZBAC=ZDCE,

在A3c和△COE中，

ZABC^ZCDE

<ZBAC=ZDCE,

AC=CE

ABC=CDE(AAS),

：.BC=DE,BC2=DE2=14,

由勾股定理可知AC?=482+802,

.??力的面積為402=6+14=20.

故選：C.

【點睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)

合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具，在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰

當?shù)呐卸l件.

8.D

解析：D

【分析】

連接BD,證出4ADE嶺Z\BDF,得到AE=BF,再利用AE=t,CF=2t,則BF=BLCF=5-2t求

出時間t的值.

【詳解】

：.AB=AD,ZADB=-ZADC=60",

2

：./\ABD是等邊三角形，

：.AD=BD,

又「△DEF是等邊三角形，

:.NEDF=NDEF=60°,

又,..NAD8=60°,

ZADE=ZBDF,

'AD=BD

在△ADE和△BDF中，＜ZA=NDBC

NADE=NBDF

：./\ADE^/\BDF(ASA),

：.AE=BF,

'：AE=t,CF=2t,

：.BF=BC-CF=S-2t,

：.t=5-2t

5

：.t=—，

3

故選：D.

【點睛】

本題考查全等三角形，等邊三角形，菱形等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，等

邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)為解題關(guān)鍵.

9.B

解析：B

【分析】

由題意分析可知，點F為主動點，G為從動點，所以以點E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得

到點G的運動軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值.

【詳解】

由題意可知，點F是主動點，點G是從動點，點F在線段上運動，點G也一定在直線軌跡

上運動，

使EF與EG重合，得到AEFBmAEHG,

從而可知AEBH為等邊三角形，點G在垂直于HE的直線HN上,

如圖，作CM±HN,則CM即為CG的最小值，

作EP_LCM,可知四邊形HEPM為矩形，

135

則CM=MP+CP=HE+上EC=l+±=±=2.5.

222

故選B.

【點睛】

本題考查了線段極值問題，構(gòu)造圖形計算，是極值問題中比較典型的類型.分清主動點和

從動點，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點G的運動軌跡，是解本題的關(guān)鍵.

10.C

解析：C

【分析】

作點B關(guān)于對角線AC的對稱點，該對稱點與D重合，連接DM,則PB與PM之和的最小

值為DM的長；由菱形的面積可求出BD=4,由題意可證4BCD是等邊三角形，由等邊三角

形的性質(zhì)可得DM1.BC,CM=BM=2,由勾股定理可求DM=26.

【詳解】

解：作點B關(guān)于對角線AC的對稱點，該對稱點與D重合，連接DM,則PB與PM之和的

最小值為DM的長；

?.,菱形ABCD的面積為86，對角線AC長為4后，

，BD=4,

VBC=CD,ZBCD=60°,

.,.△BCD是等邊三角形，

，BD=BC=4,

VM是BC的中點，

.".DM1BC,CM=BM=2,

在RtZiCDM中,CM=2,CD=4,

???DM=y]cD2-CM2=A/16-4=273，

故選：c.

【點睛】

本題考查了軸對稱-最短路線問題，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形勾股定

理；掌握利用軸對稱求最短距離，將PB與PM之和的最小值轉(zhuǎn)化為線段DM的長是解題的

關(guān)鍵.

二、填空題

11.&

【分析】

過B點作HE的平行線交AC于。點，延長EG交AB于I點，得到B0=2HE,其中0點在線

段AC上運動，再由點到直線的距離垂線段最短求出B0的長即可求解.

【詳解】

解：過B點作HE的平行線交AC于。點，延長EG交AB于I點，如下圖所示：

VH是BG的中點，且BO與HE平行，

AHE為△BOG的中位線,且BO=2HE,

故要使得HE最短，只需要BO最短即可，

當E點位于C點時,則。點與C點重合，

當E點位于D點時，則。點與A點重合，

故E點在CD上運動時，。點在AC上運動，

由點到直線的距離垂線段最短可知，當BO_LAC時，此時B0最短，

?.?四邊形ABCD是正方形，

??.△BOC為等腰直角三角形，且BC=4,、

80=年=4==2立

V2V2

HE=-B0=y/2,

2

故答案為：、回.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，點到直線的距離垂線段最短等知識

點，本題的關(guān)鍵是要學會將要求的HE線段長轉(zhuǎn)移到線段B0上.

12.272+2

【分析】

由題意根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到EF=JPD,得至IJQCEF=CE+CF+EF=CE+；(CP+PD)

=；(CD+PC+PD)=；CACDP,當ACDP的周長最小時，Z\CEF的周長最?。患碢C+PD的值

最小時，ACEF的周長最小；并作D關(guān)于AB的對稱點D',連接CD，交AB于P,進而分

析即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：.入為CD中點，F(xiàn)為CP中點，

1

，EF=—PD,

2

.,.CACEF=CE+CF+EF=CE+—(CP+PD)=—(CD+PC+PD)=—CACDP

222

...當4CDP的周長最小時，4CEF的周長最?。?/p>

即PC+PD的值最小時,ACEF的周長最?。?/p>

如圖，作D關(guān)于AB的對稱點T,連接CT,則PD=PT,

VAD=AT=BC=2,CD=4,ZCDT=90°,

CT=4CEr+DT2=>/42+42=472，

VACDP的周長=CD+DP+PC=CD+PT+PC,

VPT+POCT,

PT+PC24及，

r.pT+pc的最小值為4J5,

/.△PDC的最小值為4+472，

CACEF=-CACDP=2>/2+2-

故答案為：2及+2.

【點睛】

本題考查軸對稱-最短距離問題以及三角形的周長的計算等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用軸

對稱解決最值問題.

13.472

【分析】

首先由對邊分別平行可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC和BD,過A點分別作DC

和BC的垂線，垂足分別為F和E,通過證明4AD理△ABC來證明四邊形ABCD為菱形，

從而得到AC與BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD長度.

【詳解】

解：連接AC和BD,其交點為0,過A點分別作DC和BC的垂線，垂足分別為F和E,

,/ABIICD,ADIIBC,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

ZADF=ZABE,

???兩紙條寬度相同，

AF=AE,

'NADF=NABE

?.一NAFD=NAEB=90°

AF=AE

：.△ADF2△ABE,

AD=AB,

四邊形ABCD為菱形，

AC與BD相互垂直平分，

BD=2ylAB2-AO1=472

故本題答案為：4垃

【點睛】

本題考察了菱形的相關(guān)性質(zhì)，綜合運用了三角形全等和勾股定理，注意輔助線的構(gòu)造一定

要從相關(guān)條件以及可運用的證明工具入手，不要盲目作輔助線.

14,2018

【分析】

根據(jù)兒何圖形特征，先求出G、G、G，根據(jù)求出的結(jié)果，找出規(guī)律，從而得出Geno-

【詳解】

:點E是BC的中點，ED〃AB,EF〃AC

.'DE、EF是AABC的中位線

?.?等邊4ABC的邊長為1

1

.\AD=DE=EF=AF=-

2

則G=5x4=2

同理可求得：C2=l,C3=y

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：規(guī)律為依次縮小為原來的不

2

。2020=萍F

故答案為：上

【點睛】

本題考查找規(guī)律和中位線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是求解出幾組數(shù)據(jù)，根據(jù)求解的數(shù)據(jù)尋找規(guī)

律.

15.V19

【分析】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得0C垂直平分BD,從而可得再根據(jù)兩點之間線段最短

可得EP+BP的最小值為DE,然后利用等邊三角形的判定與性質(zhì)求出點D的坐標，最后

利用兩點之間的距離公式即可得.

【詳解】

如圖，連接BP、DP、EP、DE、BD,過點D作。A_L08于點A,

BQ瓜0),

OB=2y/3>

四邊形ABCD是菱形，

垂直平分BD,OB=OD=2y/3<

點P是對角線oc上的點，

:.DP=BP，

:.EP+BP=EP+DP,

由兩點之間線段最短可知，EP+OP的最小值為DE,即EP+BP的最小值為DE,

OB=OD,NDOB=60°,

：.BOD是等邊三角形,

DA108,

.?Q=go8=G,AD=\IOD2-OA2=7(2V3)2-(V3)2=3-

￡>(63),

又E(0,-l),

DE=0)2+(3+1)2=M，

即EP+BP的最小值為J歷，

故答案為：V19.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間的距離公式等知識點，根據(jù)

兩點之間線段最短得出EP+B尸的最小值為DE是解題關(guān)鍵.

1fi4-a2百

23

【分析】

先根據(jù)直角三角形含30度角的性質(zhì)和勾股定理得AB=2,AC=4,從而得CG的長，作輔助

線，構(gòu)建矩形ABHM和高線GM,如圖2,通過畫圖發(fā)現(xiàn)：當GE_LBC時，AG最小，即。

最小，可計算4的值，從而得結(jié)論.

【詳解】

?.?四邊形ABCD是矩形，

；./B=90°,

VZACB=30°,BC=273>

；.AB=2,AC=4,

?：AG=a,

CG—4—〃，

如圖1,過G作MH_LBC于H,交AD于M,

圖1

《△CGH中，ZACB=30°,

14-a

AGH=—CG=

22

則點G到K邊的距離為等

VHM1BC,AD/7BC,

.".HM1AD,

ZAMG=90",

VZB=ZBHM=90°,

???四邊形ABHM是矩形，

???HM=AB=2,

c4一。a

GM=2-GH=2-----------=一,

22

SAADG=—AD-MG=-x25/3x—=,

2222

當。最小時，4ADG的面積最小，

如圖2,當GEJ_BC時，AG最小，即a最小，

圖2

???FG是AE的垂直平分線，

AAG=EG,

4一。

/.------=a,

2

4

：.a--.

3

.?.△ADG的面積的最小值為且x±=2?,

233

2A/3

故答案為:

亍.

【點睛】

本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)以

及勾股定理，確定4ADG的面積最小時點G的位置是解答此題的關(guān)鍵.

17.一或4-1^3

33

【分析】

連接AC交BD于O,由菱形的性質(zhì)可得AB=BC=4,NABD=30°,AC1BD,BO=D。，

AO=CO,可證四邊形BEGF是菱形，可得/ABG=30。，可得點B,點G,點D三點共線，由

直角三角形性質(zhì)可求BD=4G，AC=4,分兩種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

如圖，連接AC交BD于。，

:菱形ABCD的邊長是4,NABC=60。，

；.AB=BC=4,ZABD=30°,AC1BD,BO=DO,AO=CO,

；EG〃BC,FG〃AB,

四邊形BEGF是平行四邊形，

又：BE=BF,

四邊形BEGF是菱形，

.,.ZABG=30°,

點B,點G,點D三點共線，

VAC1BD,NABD=30°,

AO=yAB=2,B0=JAB?—A。，=-2?=2G，

；.BD=46AC=4,

lBG

同理可求BG=>73BE,即BE=-T=-,

v3

若AD=DG'=4時，

.,.BG'=BD-DG'=4V3-4，

4G-4.473

??BE=-----=—=4-----------;

V33

若AG"=G"D時，過點G”作G"H±AD于H,

，AH=HD=2,

?.?/ADB=30°,G"H±AD,

.".DG"=2HG",

HD2+HG"2=DG"2,

解得：HG"=^g,DG"=2HG"=—

33

BG"=BD-DG"=4A/3，

33

8

3

綜上所述：BE為'或4-述.

33

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用分類討論

思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

18.70；

【分析】

連接A。、BO、CO,過。作FO_LA。，交AB的延長線于F,判定△AOC四△FOB(ASA),

即可得出AO=FO,FB=AC=6,進而得到AF=8+6=14,ZFAO=45°,根據(jù)AO=AFxcos45°進行計

算即可.

【詳解】

解：連接A。、B。、CO,過。作FO_LAO,交AB的延長線于F,

VO是正方形DBCE的對稱中心，

.\BO=CO,ZBOC=90",

VFO1AO,

.,.ZAOF=90°,

.,.ZBOC=ZAOF,

即ZAOC+ZBOA=ZFBO+ZBOA,

，NAOC=NFB。，

VZBAC=90°,

.?.在四邊形ABOC中，ZACO+ZABO=180°,

VZFBO+ZABO=180°,

AZACO=ZFBO,

在△AOC和△FOB中，

ZAOC=/FOB

■AO=FO,

4AC0=4FB0

.".△AOC^AFOB(ASA),

.".AO=FO,FB=FC=6,

.,.AF=8+6=14,ZFAO=ZOFA=45",

AO=AFxcos450=14x也=7&.

故答案為7夜.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì).本題的關(guān)鍵是通過作輔助線來構(gòu)建

全等三角形，然后將已知和所求線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中進行計算.

19.65

【分析】

先由正方形的性質(zhì)得到/ABF的角度，從而得到/AEB的大小，再證4AEB絲Z\AED,得到

ZAED的大小

【詳解】

?.?四邊形ABCD是正方形

AZACB=ZACD=ZBAC=ZCAD=45°,ZABC=90°,AB=AD

VZFBC=20°,.,.ABF=70°

.?.在△ABE中，ZAEB=65°

在aABE與aADE中

AB=AD

<NBAE=NEAD=45。

AE=AE

.".△ABE^AADE

.,.ZAED=ZAEB=65°

故答案為：65°

【點睛】

本題考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的證明，解題關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)，推導出

ZAEB的大小.

20.①②③⑤

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理得到EF=gAB,EF〃AB,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF=gAC,

22

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、勾股定理計算即可判斷.

【詳解】

VE,F分別是BC,AC的中點，

1

??.EF=-AB,EF/7AB,

2

VZADC=90°,ZCAD=45°,

???NACD=45。，

??.NBAC=NACD,

AAB//CD,

???EF〃CD,故①正確；

VZADC=90°,F是AC的中點，

1

ADF=CF=-AC,

2

1

，EF=DF,故②正確；

"?NCAD=NACD=45°,點F是AC中點，

.?.△ACD是等腰直角三角形，DF±AC,ZFDC=45°,

AZDFC=90°,

VEF//AB,

ZEFC=ZBAC=45°,ZFEC=ZB=67.5°,

ZEFD=ZEFC+ZDFC=135°,

.??ZFED=ZFDE=22.5°,

：/FDC=45°,

NCDE=NFDC-NFDE=22.5°,

ZFDE=ZCDE,

；.DE平分NFDC,故③正確；

VAB=AC,NCAB=45°,

/B=NACB=67.5°,

AZDEC=ZFEC-ZFED=45°,故④錯誤；

VAACD是等腰直角三角形，

.".AC2=2CD2,

，AC=0CD,

VAB=AC,

，AB=&CD,故⑤正確；

故答案為：①②③⑤.

【點睛】

本題考查的是三角形中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線

的性質(zhì)，勾股定理等知識.掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是

解題的關(guān)鍵.

三、解答題

21.(1)四邊形是菱形，理由見解析；(2)45°

【分析】

(1)先證明AC//OE,得出四邊形6ECQ是平行四邊形，再"根據(jù)直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半”證出CD=BD,得出四邊形BECD是菱形；

(2)先求出NABC=45°,再根據(jù)菱形的性質(zhì)求出ND8E=90°,即可證出結(jié)論.

【詳解】

解：當點。是的中點時，四邊形是菱形；理由如下：

,/DELBC,

NOFE=90°,

,/ZACB=9Q°,

：.ZACB=ZDFB,

ACUDE,

'：MNIIAB,即CE//A。，

四邊形ADEC是平行四邊形，

CE=AD；

QO為AB中點，

AD=BD,

BD=CE,

?：BD!ICE,

：.四邊形BECD是平行四邊形，

VZACB=90°,。為AB中點，

:.CD=-AB=BD,

2

二四邊形是菱形；

(2)當NA=45。時，四邊形8EC。是正方形；理由如下：

VZACB=9Q°,NA=45°,

ZABC=45°,

?..四邊形BECO是菱形，

:.ZABC=-ZDBE,

2

/.Z￡>B￡=90°,

..?四邊形BECD是正方形.

故答案為：45°.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性質(zhì)；根據(jù)題意證明線段

相等和直角是解決問題的關(guān)鍵.

22.(1)—；(2)I■或4；(3)四邊形PBQD不能成為菱形

22

【分析】

(1)由NB=90。，APIIBQ,由矩形的判定可知當AP=BQ時，四邊形ABQP成為矩形；

(2)由(1)可求得點P、Q與點A、B為頂點的四邊形為平行四邊形；然后由當PD=CQ

時;CDPQ是平行四邊形，求得t的值；

(3)由PDIIBQ,當PD=BQ=BP時;四邊形PBQD能成為菱形，先由PD=BQ求出運動時間

t的值，再代入求BP,發(fā)現(xiàn)BPHPD,判斷此時四邊形PBQD不能成為菱形；設(shè)Q點的速度

改變?yōu)関cm/s時，四邊形PBQD在時刻t為菱形，根據(jù)PD=BQ=BP列出關(guān)于v、t的方程

組，解方程組即可求出點Q的速度.

【詳解】

(1)如圖1,ZB=90°,APIIBQ,

.?.當AP=BQ時，四邊形ABQP成為矩形，

此時