概率論數(shù)理統(tǒng)計期望

匯報人：AA2024-01-20概率論數(shù)理統(tǒng)計期望延時符Contents目錄概率論基本概念數(shù)理統(tǒng)計基礎期望性質(zhì)及應用方差、協(xié)方差和相關系數(shù)大數(shù)定律與中心極限定理參數(shù)假設檢驗非參數(shù)假設檢驗延時符01概率論基本概念事件01在一定條件下，并不總是發(fā)生（或說不可能一定發(fā)生）的現(xiàn)象稱為隨機事件，簡稱事件。概率02是用來量化隨機事件發(fā)生可能性的數(shù)學工具。對于任意事件A，其發(fā)生的概率P(A)是一個介于0和1之間的實數(shù)。等可能概型03若一個試驗有n個等可能的結果，而事件A包含其中的m個結果，則事件A發(fā)生的概率為P(A)=m/n。事件與概率獨立性若兩個事件A和B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A和B是相互獨立的。乘法公式對于任意兩個事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B|A)。條件概率在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱為條件概率，記作P(A|B)。條件概率與獨立性若事件B1,B2,...,Bn構成一個完備事件組，且都有正概率，則對任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式的應用在全概率公式的假定下，有P(Bi|A)=[P(Bi)P(A|Bi)]/∑[P(Bj)P(A|Bj)]，其中i,j=1,2,...,n。用于在已知某些條件下，更新某一假設的概率。全概率公式與貝葉斯公式延時符02數(shù)理統(tǒng)計基礎總體研究對象的全體個體所構成的集合，通常用一個概率分布來描述。樣本從總體中隨機抽取的一部分個體所構成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本容量樣本中所包含的個體數(shù)目，通常記為$n$?？傮w與樣本030201樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計量抽樣分布常見抽樣分布統(tǒng)計量的概率分布，描述了在不同樣本下統(tǒng)計量的取值情況。正態(tài)分布、$t$分布、$chi^2$分布、$F$分布等。030201統(tǒng)計量與抽樣分布點估計區(qū)間估計評價標準常見估計方法參數(shù)估計方法用一個具體的數(shù)值來估計總體參數(shù)，如樣本均值估計總體均值。無偏性、有效性、一致性等。根據(jù)樣本信息構造一個置信區(qū)間，用于估計總體參數(shù)的可能取值范圍。矩估計法、最大似然估計法等。延時符03期望性質(zhì)及應用期望定義及計算期望定義在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中，期望是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，是最基本的數(shù)學特征之一。它反映隨機變量平均取值的大小。期望計算對于離散型隨機變量，期望是所有可能取值與其對應概率的乘積之和；對于連續(xù)型隨機變量，期望則是通過定積分進行計算。期望具有線性性質(zhì)，即對于任意兩個隨機變量X和Y，以及任意實數(shù)a和b，有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。線性性質(zhì)期望與常數(shù)相乘不改變其期望值，即對于任意實數(shù)c，有E(cX)=cE(X)。常數(shù)性質(zhì)如果兩個隨機變量相互獨立，則它們的期望等于各自期望的乘積，即E(XY)=E(X)E(Y)。獨立性010203期望性質(zhì)風險決策在風險決策中，期望被用來衡量各種可能結果的平均值或預期值。通過計算不同方案的期望值，決策者可以評估每個方案的風險和潛在收益，從而做出更明智的決策。投資組合優(yōu)化在投資組合優(yōu)化中，期望被用來計算投資組合的預期收益率。通過調(diào)整不同資產(chǎn)的投資比例，投資者可以最大化投資組合的預期收益率，同時降低風險。保險精算在保險精算中，期望被用來計算保險產(chǎn)品的預期賠付額和預期收益。通過合理設定保費和賠付條件，保險公司可以實現(xiàn)盈利并為客戶提供風險保障。期望在決策分析中應用延時符04方差、協(xié)方差和相關系數(shù)方差的定義方差是衡量隨機變量取值分散程度的一個數(shù)字特征，用隨機變量各取值與其均值之差的平方的均值來定義。方差的計算對于離散型隨機變量，方差計算公式為D(X)=E{[X-E(X)]^2}；對于連續(xù)型隨機變量，方差計算公式為D(X)=∫[x-E(X)]^2f(x)dx，其中f(x)是隨機變量的概率密度函數(shù)。方差定義及計算協(xié)方差與相關系數(shù)概念相關系數(shù)定義相關系數(shù)是反映兩個隨機變量之間線性相關程度的一個數(shù)字特征，用協(xié)方差除以兩個隨機變量標準差的乘積來定義。協(xié)方差定義協(xié)方差是衡量兩個隨機變量變化趨勢相似程度的一個數(shù)字特征，用兩個隨機變量各自與其均值之差的乘積的均值來定義。相關系數(shù)的性質(zhì)相關系數(shù)的取值范圍為[-1,1]，當相關系數(shù)為1時，表示兩個隨機變量完全正相關；當相關系數(shù)為-1時，表示兩個隨機變量完全負相關；當相關系數(shù)為0時，表示兩個隨機變量不相關。多元正態(tài)分布及其性質(zhì)多元正態(tài)分布定義：多元正態(tài)分布是指多個隨機變量組成的向量服從正態(tài)分布的一種概率分布。多元正態(tài)分布的性質(zhì)多元正態(tài)分布的密度函數(shù)具有對稱性；若兩個多元正態(tài)分布的協(xié)方差矩陣相同，則它們的聯(lián)合分布也相同；多元正態(tài)分布的條件分布仍為多元正態(tài)分布。多元正態(tài)分布的邊緣分布仍為正態(tài)分布；延時符05大數(shù)定律與中心極限定理含義大數(shù)定律是描述隨機事件在大量重復試驗中呈現(xiàn)出的穩(wěn)定性規(guī)律，即當試驗次數(shù)足夠多時，隨機事件的頻率趨于一個穩(wěn)定值。種類包括伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律等。應用條件要求隨機事件獨立同分布，且試驗次數(shù)足夠多。大數(shù)定律含義中心極限定理是描述大量獨立隨機變量的和或平均值的分布規(guī)律，即當隨機變量的數(shù)量足夠多時，其和或平均值的分布趨于正態(tài)分布。種類包括獨立同分布的中心極限定理、德莫弗-拉普拉斯定理等。應用條件要求隨機變量獨立同分布，且數(shù)量足夠多。010203中心極限定理在統(tǒng)計分析中，大數(shù)定律可用于估計未知參數(shù)或檢驗假設。例如，在抽樣調(diào)查中，可以利用大數(shù)定律估計總體參數(shù)。大數(shù)定律的應用中心極限定理在統(tǒng)計分析中具有重要的應用價值。首先，它提供了正態(tài)分布作為許多統(tǒng)計推斷的基礎。其次，它允許我們使用標準正態(tài)分布的性質(zhì)來近似處理復雜分布的問題。最后，中心極限定理還為我們提供了一種評估樣本大小是否足夠的方法，以確保統(tǒng)計推斷的準確性。中心極限定理的應用兩者在統(tǒng)計分析中應用延時符06參數(shù)假設檢驗010203原假設與備擇假設在假設檢驗中，原假設（$H_0$）通常表示沒有差異或沒有效應，而備擇假設（$H_1$）則表示存在差異或有效應。檢驗統(tǒng)計量與拒絕域檢驗統(tǒng)計量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出的一個數(shù)值，用于決定是否拒絕原假設。拒絕域是檢驗統(tǒng)計量取值的范圍，當檢驗統(tǒng)計量落入拒絕域時，我們拒絕原假設。顯著性水平與P值顯著性水平（$alpha$）是事先設定的一個概率值，表示當原假設為真時，錯誤地拒絕原假設的概率。P值是觀察到的數(shù)據(jù)與原假設不一致的程度，當P值小于或等于顯著性水平時，我們拒絕原假設。假設檢驗基本原理單個正態(tài)總體均值檢驗當總體標準差已知時，可以使用Z檢驗對單個正態(tài)總體均值進行檢驗。Z檢驗統(tǒng)計量服從標準正態(tài)分布。Z檢驗當總體標準差未知時，可以使用t檢驗對單個正態(tài)總體均值進行檢驗。t檢驗統(tǒng)計量服從t分布，其自由度等于樣本量減1。t檢驗VS當兩個樣本相互獨立時，可以使用獨立樣本t檢驗對兩個正態(tài)總體均值進行比較。獨立樣本t檢驗要求兩個樣本分別來自方差相等的正態(tài)分布。配對樣本t檢驗當兩個樣本存在配對關系時（如同一受試對象在不同條件下的觀測值），可以使用配對樣本t檢驗對兩個正態(tài)總體均值進行比較。配對樣本t檢驗要求差值服從正態(tài)分布。獨立樣本t檢驗兩個正態(tài)總體均值比較檢驗延時符07非參數(shù)假設檢驗當總體分布形式未知或數(shù)據(jù)不滿足參數(shù)檢驗的前提條件時，可以采用非參數(shù)假設檢驗。非參數(shù)假設檢驗的適用場景不依賴于總體分布的具體形式，通過樣本數(shù)據(jù)本身的性質(zhì)進行推斷。非參數(shù)假設檢驗的特點包括單樣本非參數(shù)檢驗、兩獨立樣本非參數(shù)檢驗和多獨立樣本非參數(shù)檢驗等。非參數(shù)假設檢驗的常用方法非參數(shù)假設檢驗概述符號檢驗用于檢驗單個樣本中位數(shù)是否與某個已知值相等。單樣本游程檢驗用于檢驗單個樣本是否來自一個隨機過程，即觀測值之間是否相互獨立。符號秩次檢驗在符號檢驗的基礎上，進一步考慮觀測值之間的差異大小，提高了檢驗的效