2024屆廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若雙曲線x2a2-yA．52 B．5 C．622．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”，由到時(shí)，等式左邊需要添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)的最大值為，其圖象關(guān)于對(duì)稱B．函數(shù)的最大值為2，其圖象關(guān)于對(duì)稱C．函數(shù)的最大值為，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)的最大值為2，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱4．將7個(gè)座位連成一排，安排4個(gè)人就坐，恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法有（）A．240 B．480 C．720 D．9605．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．8．雙曲線和有（）A．相同焦點(diǎn) B．相同漸近線 C．相同頂點(diǎn) D．相等的離心率9．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家的市場(chǎng)部在對(duì)4家商場(chǎng)進(jìn)行調(diào)研時(shí)，獲得該產(chǎn)品售價(jià)單位：元和銷售量單位：件之間的四組數(shù)據(jù)如表：售價(jià)x46銷售量y1211109為決策產(chǎn)品的市場(chǎng)指導(dǎo)價(jià)，用最小二乘法求得銷售量y與售價(jià)x之間的線性回歸方程，那么方程中的a值為A．17 B． C．18 D．10．（）A． B． C．0 D．11．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則（）A．3 B．4 C．5 D．612．設(shè)函數(shù)，則（）A．為的極大值點(diǎn) B．為的極小值點(diǎn)C．為的極大值點(diǎn) D．為的極小值點(diǎn)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)經(jīng)過伸縮變換后的點(diǎn)Q，則極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)與Q的直角坐標(biāo)相同的點(diǎn)到極軸所在直線的距離等于__．14．已知函數(shù)f(x)=12x-14sinx-3415．總體由編號(hào)為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法從隨機(jī)數(shù)表的第1行第4列數(shù)由左到右由上到下開始讀取，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為____．第1行78166571023060140102406090280198第2行3204923449358200362348696938748116．已知函數(shù)，則=________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)在線段上.（1）求異面直線與所成角的大??；（用反三角函數(shù)值表示）（2）若直線平面所成角大小為，求多面體的體積.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半粙為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)為，且，，.（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）①求點(diǎn)的直角坐標(biāo)；②若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求.19．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值;（2）當(dāng)時(shí)，證明：;（3）設(shè)函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的，得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的參數(shù)方程；(2)過原點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條直線與分別交曲線于和，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)四邊形周長(zhǎng)最大時(shí)，求直線的普通方程.21．（12分）在中，已知,,.(1)求內(nèi)角的大小;(2)求邊的長(zhǎng).22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的解集；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由垂直關(guān)系得出漸近線的斜率，再轉(zhuǎn)化為離心率e的方程即可．【題目詳解】∵雙曲線的一條漸近線與直線y=2x垂直，∴-bb2a2=c2故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的漸近線，掌握兩直線垂直的充要條件是解題基礎(chǔ)．2、D【解題分析】

寫出時(shí)，左邊最后一項(xiàng)，時(shí)，左邊最后一項(xiàng)，由此即可得到結(jié)論【題目詳解】解：∵時(shí)，左邊最后一項(xiàng)為，時(shí)，左邊最后一項(xiàng)為，∴從到，等式左邊需要添加的項(xiàng)為一項(xiàng)為故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的概念，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】分析：由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，即可逐一判斷各選項(xiàng).詳解：由誘導(dǎo)公式得，，排除A，C.將代入，得，為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，排除B.故選D.點(diǎn)睛：本題考查誘導(dǎo)公式與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查利用余弦函數(shù)的性質(zhì)綜合分析判斷的能力.4、B【解題分析】12或67為空時(shí)，第三個(gè)空位有4種選擇；23或34或45或56為空時(shí)，第三個(gè)空位有3種選擇；因此空位共有2×4+4×3=5、D【解題分析】分析：對(duì)求導(dǎo)，令，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?，得?故選D點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為來求解，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，，令，則.，其中，且函數(shù)單調(diào)遞增.①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的,，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，合乎題意；②當(dāng)時(shí)，令，得，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，則，不合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，解題時(shí)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來處理，然后利用參變量分離法或分類討論思想轉(zhuǎn)化函數(shù)的最值求解，屬于?？碱}，屬于中等題。7、A【解題分析】

兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的根，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，設(shè)出函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間，分類討論，求出符合題意的范圍即可．【題目詳解】解：函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以.所以的最小值，則m的取值范圍是.故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題，利用方程思想轉(zhuǎn)化與導(dǎo)數(shù)求解是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔偏難題．8、A【解題分析】

對(duì)于已知的兩條雙曲線，有，則半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，由此可得出結(jié)論.【題目詳解】解：對(duì)于已知的兩條雙曲線，有，半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，它們具有相同焦點(diǎn).故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的定義與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

求出樣本中心點(diǎn)，代入線性回歸方程，即可求出a的值．【題目詳解】由題意，，，線性回歸方程，，．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸分析，考查線性回歸直線過樣本中心點(diǎn)，在一組具有相關(guān)關(guān)系的變量的數(shù)據(jù)間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關(guān)系，這條直線過樣本中心點(diǎn)．10、D【解題分析】

定積分的幾何意義是圓的個(gè)圓的面積，計(jì)算可得結(jié)果.【題目詳解】定積分的幾何意義是圓的個(gè)圓的面積,∴，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查定積分，利用定積分的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題11、C【解題分析】分析：根據(jù)方差的定義計(jì)算即可.詳解：隨機(jī)變量的分布列為，則則、故選D點(diǎn)睛：本題考查隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意方差計(jì)算公式的合理運(yùn)用．12、D【解題分析】試題分析：因?yàn)?，所以．又，所以為的極小值點(diǎn)．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．點(diǎn)評(píng)：極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3.【解題分析】

由點(diǎn)P的直角坐標(biāo)求出伸縮變換后的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)看作極坐標(biāo)，根據(jù)極坐標(biāo)的性質(zhì)距離為，將極坐標(biāo)代入即可求出距離【題目詳解】點(diǎn)P經(jīng)伸縮變換后，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，將點(diǎn)Q看作極坐標(biāo)，則距離為.【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)的伸縮變換以及極坐標(biāo)的性質(zhì)，注意題目中給出的點(diǎn)P的坐標(biāo)為直角坐標(biāo)，不要看錯(cuò)題目，并且注意距離為正數(shù)，要有絕對(duì)值.14、-【解題分析】解：函數(shù)f(x)=12因此f'(x0)=12-15、02；【解題分析】

第1行第4列數(shù)是6，由左到右進(jìn)行讀取10，06，01，09，02.【題目詳解】第1行第4列數(shù)是6，由左到右進(jìn)行讀取10，06，01，09，02，所以第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為02.【題目點(diǎn)撥】隨機(jī)數(shù)表中如果個(gè)體編號(hào)是2位數(shù)，則從規(guī)定的地方數(shù)起，是每次數(shù)兩位數(shù)，如果碰到超出編號(hào)范圍，則不選；如果碰到選過的，也不選.16、8【解題分析】，所以點(diǎn)睛：分段函數(shù)的考查方向注重對(duì)應(yīng)性，即必須明確不同的自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是什么.函數(shù)周期性質(zhì)可以將未知區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上.解決此類問題時(shí)，要注意區(qū)間端點(diǎn)是否取到及其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，尤其是分段函數(shù)結(jié)合點(diǎn)處函數(shù)值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用異面直線所成角的定義再結(jié)合正四棱柱中的性質(zhì)可得直線與所成的角即為所求然后在三角形利用余弦定理即可得解．（2）由于多面體的不規(guī)則性故可利用因此需利用直線與平面所成角為來確定點(diǎn)的位置后問題就解決了．【題目詳解】（1）連接則由于在正四棱柱中故異面直線與所成角即為直線與所成的角正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，，，異面直線與所成角即為（2）正四棱柱中面，直線與平面所成角為，，，，即多面體的體積為．【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成的角和幾何體體積的求解．解題的關(guān)鍵是第一問要利用圖形的性質(zhì)將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；第二問對(duì)于不規(guī)則圖形體積的求解常采用規(guī)則圖形的體積差來求解（比如本題中的多面體的體積轉(zhuǎn)化為正三棱柱的體積減去三棱錐的體積）.18、（Ⅰ）直線,曲線（Ⅱ）①②【解題分析】

（Ⅰ）利用參數(shù)方程化普通方程，利用極坐標(biāo)化普通方程求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）①求出，即得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)；②利用直線參數(shù)方程t的幾何意義解答.【題目詳解】解（Ⅰ），曲線.（Ⅱ）①，，.②將代入，得，，，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線參數(shù)方程t的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）取得極大值，沒有極小值（2）見解析（3）見解析【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)極值的定義，即可求解函數(shù)的極值；（2）由，整理得整理得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．（3）不妨設(shè)，由（1）和由（2），得，利用單調(diào)性，即可作出證明．【題目詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，沒有極小值;（2）由得整理得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，從而有．（3）證明：不妨設(shè)，由（1）知，則，由（2）知，由在上單調(diào)遞減，所以，即，則，所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．20、（1）(為參數(shù))；（2）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）首先求得的普通方程，由此可求得的參數(shù)方程；（Ⅱ）設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為，點(diǎn)，然后得到與的關(guān)系式，從而利用輔助角公式求得點(diǎn)的直角坐標(biāo)點(diǎn)，從而求得的普通方程．試題解析：（Ⅰ），（為參數(shù)）．（Ⅱ）設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為，設(shè)點(diǎn)，，且，，所以，當(dāng)（）時(shí)，取最大值，此時(shí)，所以，，，此時(shí)，，的普通方程為．點(diǎn)睛：將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時(shí)要注意其中的(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性．21、（1）（2）【解題分析】分析：(1)根據(jù)配角公式得，解得A，（2）先根據(jù)平方關(guān)系得，根據(jù)兩角和正弦公式求，再根據(jù)正弦定理求邊的長(zhǎng).詳解：解：（1）因?yàn)樗?，即因?yàn)?，所以所以，所?2)因?yàn)?，所以所以在中，所以，得點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊