2024屆四川大學附中數(shù)學高二下期末達標測試試題含解析

2024屆四川大學附中數(shù)學高二下期末達標測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知f(x-1x)=A．f(x+1)=(x+1)2C．f(x+1)=(x+1)22．過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點,點是原點,若;則的面積為（）A． B． C． D．3．在等差數(shù)列中，若，，則（）A． B．1 C． D．4．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是上的增函數(shù)的是（）A． B． C． D．5．已知定義域為的函數(shù)滿足，，當時，則（）A． B．3 C． D．46．函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．7．隨著現(xiàn)代科技的不斷發(fā)展，通過手機交易應用越來越廣泛，其中某群體的每位成員使用微信支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設為該群體的10位成員中使用微信支付的人數(shù)，已知方差，，則期望（）A．4 B．5 C．6 D．78．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2)，則實數(shù)a的值為A．5 B．3 C．53 D．9．某西方國家流傳這樣的一個政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝”結(jié)論顯然是錯誤的，是因為（）A．大前提錯誤 B．推理形式錯誤 C．小前提錯誤 D．非以上錯誤10．設是兩個平面向量，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．中國古代數(shù)學名著《九章算術?商功》中記載了一種名為“塹堵”的幾何體：“邪解立方得二塹堵邪解塹堵”鏨堵是一個長方體沿不在同一表面上的相對兩棱斜截所得的立體圖形其正視圖和俯視圖（直角三角形）如圖所示，則該“塹堵”的外接球的大圓面積為（）A． B． C． D．12．已知命題，則命題的否定為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人，組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有__________種不同的選法．（用數(shù)字作答）14．已知實數(shù)x，y滿足條件，則z=x+3y的最小值是_______________.15．某外商計劃在個候選城市中投資個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過個，則該外商不同的投資方案有____種．16．用數(shù)學歸納法證明，在第二步證明從到成立時，左邊增加的項數(shù)是_____項．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點，點為線段上的一點.（1）若，求證：；（2）若，異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直．EF//AC，AB=,CE=EF=1（Ⅰ）求證：AF//平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE;19．（12分）在直角坐標系中，將單位圓上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，縱坐標不變，得到曲線，以為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系．(1)求曲線的參數(shù)方程；(2)設為曲線上一點，點的極坐標為，求的最大值及此時點的坐標．20．（12分）已知集合，函數(shù)的定義域為，值域為.（1）若，求不同的函數(shù)的個數(shù)；（2）若，（?。┣蟛煌暮瘮?shù)的個數(shù)；（ⅱ）若滿足，求不同的函數(shù)的個數(shù).21．（12分）已知命題p：函數(shù)的定義域為R；命題q：雙曲線的離心率，若“”是真命題，“”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．22．（10分）設函數(shù)，.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）若關于的方程有3個不同實根，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

將等式變形為fx-1xfx+1【題目詳解】∵x-1x∵fx-1x因此，fx+1=【題目點撥】本題考查函數(shù)的解析式，屬于中等題，求函數(shù)解析式常見題型由以下幾種：（1）根據(jù)實際應用求函數(shù)解析式；（2）換元法求函數(shù)解析式，利用換元法一定要注意換元后參數(shù)的范圍；（3）待定系數(shù)法求解析式，這種方法既適合已知函數(shù)名稱的函數(shù)解析式；（4）消元法求函數(shù)解析式，這種方法適合求自變量互為倒數(shù)或相反數(shù)的函數(shù)解析式．2、C【解題分析】

試題分析：拋物線焦點為，準線方程為，由得或所以，故答案為C．考點：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關系．3、C【解題分析】

運用等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差d，再運用通項公式解得首項即可．【題目詳解】由題意知，所以.故選C.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式的運用，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，屬于基礎題．4、B【解題分析】

分別畫出各選項的函數(shù)圖象,由圖象即可判斷.【題目詳解】由題,畫出各選項函數(shù)的圖象,則選項A為選項B為選項C為選項D為由圖象可知,選項B滿足既是奇函數(shù)又是上的增函數(shù),故選:B【題目點撥】本題考查判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,考查基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì).5、D【解題分析】

根據(jù)奇偶性和可知關于軸和對稱，由對稱性和周期性關系可確定周期為，進而將所求函數(shù)值化為，代入可求得結(jié)果.【題目詳解】，為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱；，關于直線對稱；是周期為的周期函數(shù)，.故選：.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)值的問題，涉及到函數(shù)奇偶性、對稱性和周期性的應用；關鍵是能夠熟練掌握對稱性和周期性的關系，準確求得函數(shù)的周期性.6、B【解題分析】

先判斷函數(shù)奇偶性，再根據(jù)對應區(qū)間函數(shù)值的正負確定選項.【題目詳解】為偶函數(shù)，舍去A;當時,舍去C；當時,舍去D；故選：B【題目點撥】本題考查函數(shù)奇偶性以及識別函數(shù)圖象，考查基本分析求解判斷能力，屬基礎題.7、A【解題分析】

服從二項分布，由二項分布的方差公式計算出的可能值，再根據(jù)，確定的值，再利用均值計算公式計算的值.【題目詳解】因為，所以或，又因為，則，解得，所以，則.故選：A.【題目點撥】二項分布的均值與方差計算公式：，.8、D【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的特征，可得2a-3+a+2=6，求解即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N3,4，P根據(jù)正態(tài)分布的特征，可得2a-3+a+2=6，解得a=7故選D【題目點撥】本題主要考查正態(tài)分布的特征，熟記正態(tài)分布的特征即可，屬于基礎題型.9、B【解題分析】

根據(jù)三段論的推理形式依次去判斷大前提和小前提，以及大小前提的關系，根據(jù)小前提不是大前提下的特殊情況，可知推理形式錯誤.【題目詳解】大前提：“鵝吃白菜”，不是全稱命題，大前提本身正確，小前提：“參議員先生也吃白菜”本身也正確，但不是大前提下的特殊情況，鵝與人不能進行類比，所以不符合三段論的推理形式，可知推理形式錯誤.本題正確選項：【題目點撥】本題考查三段論推理形式的判斷，關鍵是明確大小前提的具體要求，屬于基礎題.10、A【解題分析】

由，則是成立的；反之，若，而不一定成立，即可得到答案.【題目詳解】由題意是兩個平面向量，若，則是成立的；反之，若，則向量可能是不同的，所以不一定成立，所以是是成立的充分而不必要條件，故選A.【題目點撥】本題主要考查了向量的概念以及向量模的概念的應用，以及充分條件與必要條件的判定，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.11、B【解題分析】

首先根據(jù)題意得到“塹堵”是半個長方體的直三棱柱，再求其外接球的大圓面積即可.【題目詳解】由題知：“塹堵”是半個長方體的直三棱柱，如圖所示：設外接球大圓的半徑為，.，所以外接球的大圓面積為.故選：B【題目點撥】本題主要考查三棱柱的外接球，同時考查三視圖的直觀圖，屬于中檔題.12、A【解題分析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，即可直接得出結(jié)果.【題目詳解】因為命題，所以命題的否定為：故選A【題目點撥】本題主要考查含有一個量詞的命題的否定，只需改寫量詞與結(jié)論即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、660【解題分析】

第一類，先選女男，有種，這人選人作為隊長和副隊有種，故有種；第二類，先選女男，有種，這人選人作為隊長和副隊有種，故有種，根據(jù)分類計數(shù)原理共有種，故答案為.14、-5【解題分析】作可行域,則直線z=x+3y過點A(1,-2)取最小值-5點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.15、60【解題分析】試題分析：每個城市投資1個項目有種，有一個城市投資2個有種，投資方案共種.考點：排列組合.16、【解題分析】

根據(jù)等式時，考慮和時，等式左邊的項，再把時等式的左端減去時等式的左端，即可得到答案．【題目詳解】解：當時，等式左端，當時，等式左端，所以增加的項數(shù)為：即增加了項．故答案為：．【題目點撥】此題主要考查數(shù)學歸納法的問題，解答的關鍵是明白等式左邊項的特點，再把時等式的左端減去時等式的左端，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

(1)根據(jù)三棱柱是直三棱柱的特征，又，可作中點，連接DM,通過線面垂直證明平面，可推出，又，可證(2)通過作圖，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，先通過幾何法求出長度，分別表示出線面角各點對應的坐標，再用向量公式算出直線與平面所成角的正弦值【題目詳解】證明：（1）取中點，連接，，有，因為，所以，又因為三棱柱為直三棱柱，所以平面平面，又因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以又因為，，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，所以.（2）設，如圖以為坐標原點，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，由（1）可知，，所以，故，，，，，對平面，，，所以其法向量可表示為.又，所以直線與平面成角的正弦值.【題目點撥】證線線垂直一般是通過線面垂直進行證明，本題其實還可以采用射影逆定理進行證明，通過證明與斜線垂直即，推出與射影垂直，，不妨一試；對于像本題中第二問不太好確定線面關系而又發(fā)覺立體圖形比較規(guī)整的，比如說正方體、長方體、正三棱錐，直棱柱等，都可直接考慮建立空間直角坐標系來進行求解18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【解題分析】

(1)設AC與BD交于點G.因為EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AF∥EG.因為EG?平面BDE,AF?平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)連接FG.因為EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四邊形CEFG為菱形.所以CF⊥EG.因為四邊形ABCD為正方形,所以BD⊥AC.又因為平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.19、(1)(為參數(shù))；(2)最大值，此時．【解題分析】

(1)根據(jù)坐標變換可得曲線的方程，根據(jù)平方關系可求出其參數(shù)方程；(2)求出的直角坐標，再由兩點間的距離公式可求出，結(jié)合三角函數(shù)即可求出最值．【題目詳解】(1)依題意可得曲線C的直角坐標方程為，所以其參數(shù)方程為(為參數(shù))．(2)，設，則，所以當時，取得最大值，此時．【題目點撥】本題主要考查曲線的伸縮變換，參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標化為直角坐標，同時考查三角函數(shù)最值的求法，屬于中檔題．20、（1）36；（2）（ⅰ）81；（ⅱ）19【解題分析】

（1）當定義域有4個元素，值域有3個元素，把4個元素分成2，1，1的三組，再對應值域里的3個元素，有；（2）（?。┓种涤蛴?個元素，2個元素，3個元素，討論函數(shù)個數(shù)；（ⅱ）滿足條件的有0，0，2，2或0，1，1，2或1，1，1，1三類，分三類求滿足條件的函數(shù)個數(shù).【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域是，值域是定義域里有2個數(shù)對著值域里面一個數(shù)，另外兩個數(shù)是1對1，不同的函數(shù)的個數(shù)是個.（2）（?。┲涤虿荒転榭占?，當是單元素集合時，，，，定義域是，此時定義域里4個元素對應的都是值域里的一個數(shù)，此時有3個函數(shù)；當是雙元素集合時，此時定義域里兩個元素對應值域里一個元素，有個函數(shù)；當定義域里有3個元素對應值域里一個元素，定義域里第4個元素對應值域里一個元素時有個函數(shù)；當集合是三個元素時，如（1）有36個函數(shù)，一共有3+18+24+36=81個函數(shù)；（ⅱ）滿足，的有0，0，2，2，函數(shù)個數(shù)是個，0，1，1，2時，函數(shù)個數(shù)是個，1，1，1，1時，函數(shù)個數(shù)是1個，共有個.【題目點撥】本題考查排列組合的應用，意在考查轉(zhuǎn)化和推理，以及分類討論