2024屆河北省石家莊數學高二第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆河北省石家莊數學高二第二學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數fx在R上可導，且fx=A．-2 B．2 C．4 D．-42．5人站成一列，甲、乙兩人相鄰的不同站法的種數為（）A．18 B．24 C．36 D．483．將4名志愿者分別安排到火車站、輪渡碼頭、機場工作，要求每一個地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙兩名志愿者不安排在同一個地方工作，則不同的安排方法共有A．24種 B．30種 C．32種 D．36種4．一元二次不等式的解集為（）A． B．C． D．5．已知函數，則函數滿足（）A．最小正周期為 B．圖像關于點對稱C．在區(qū)間上為減函數 D．圖像關于直線對稱6．設函數，若不等式恰有兩個整數解，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為A． B． C． D．8．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a5+a7+a9＝21，則S13＝（）A．36 B．72 C．91 D．1829．在5張撲克牌中有3張“紅心”和2張“方塊”，如果不放回地依次抽取2張牌，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為A．625 B．310 C．310．已知分別為四面體的棱上的點,且,,,,則下列說法錯誤的是（）A．平面 B．C．直線相交于同一點 D．平面11．雙曲線的左右焦點分別為F1，F2，過F1的直線交曲線左支于A，B兩點，△F2AB是以A為直角頂點的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若該雙曲線的離心率為e，則e2＝（）A． B． C． D．12．函數在上單調遞減，且是偶函數，若，則的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面幾何中，若正方形的內切圓面積為外接圓面積為則，推廣到立體幾何中，若正方體的內切球體積為外接球體積為，則_______．14．某地球儀上北緯緯線長度為，則該地球儀的體積為_______.15．某超市國慶大酬賓，購物滿100元可參加一次游戲抽獎活動，游戲抽獎規(guī)則如下：顧客將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器正上方的入口處，小球自由落下過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋得獎金4元，落入B袋得獎金8元，已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左向右下落的概率都為.已知李女士當天在該超市購物消費128元，按照活動要求，李女士的活動獎金期望值為_____元.16．已知函數，其中為實數，若對恒成立，且，則的單調遞增區(qū)間是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某高校共有學生15000人，其中男生10500人，女生4500人．為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數據（單位：小時）．（1）應收集多少位女生的樣本數據？（2）根據這300個樣本數據，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據的分組區(qū)間為：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率．（3）在樣本數據中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．附：18．（12分）把四個半徑為R的小球放在桌面上，使下層三個，上層一個，兩兩相切，求上層小球最高處離桌面的距離．19．（12分）已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范圍.20．（12分）隨著智能手機的普及，各類手機娛樂軟件也如雨后春筍般涌現.如表中統(tǒng)計的是某手機娛樂軟件自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注冊用戶數，記月份代碼為（如對應于2018年8月份，對應于2018年9月份，…，對應于2019年4月份），月新注冊用戶數為（單位：百萬人）（1）請依據上表的統(tǒng)計數據，判斷月新注冊用戶與月份線性相關性的強弱；（2）求出月新注冊用戶關于月份的線性回歸方程，并預測2019年5月份的新注冊用戶總數.參考數據：，，.回歸直線的斜率和截距公式：，.相關系數（當時，認為兩相關變量相關性很強.）注意：兩問的計算結果均保留兩位小數21．（12分）如圖，在平行四邊形中，，將沿對角線折起，折后的點變?yōu)?，且?Ⅰ)求證：平面平面；(Ⅱ)求異面直線與所成角的余弦值；（Ⅲ）E為線段上的一個動點，當線段的長為多少時，與平面所成的角正弦值為？22．（10分）已知函數，當時，函數有極大值8.（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）若不等式在區(qū)間上恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

求導后代入x=1可得關于f'1【題目詳解】由fx=令x=1，則f'1本題正確選項：A【題目點撥】本題考查導數值的求解，關鍵是能夠根據導數運算法則得到導函數的解析式，屬于基礎題.2、D【解題分析】

將甲、乙兩人捆綁在一起，再利用排列公式得到答案.【題目詳解】將甲、乙兩人捆綁在一起，不同站法的種數為：故答案選D【題目點撥】本題考查了排列組合中的捆綁法，屬于簡單題.3、B【解題分析】

利用間接法，即首先安排4人到三個地方工作的安排方法數N，再求出當甲、乙兩名志愿者安排在同一個地方時的安排方法數n，于是得出答案N-n。【題目詳解】先考慮安排4人到三個地方工作，先將4人分為三組，分組有C42種，再將這三組安排到三個地方工作，則安排4人到三個地方工作的安排方法數為當甲、乙兩名志愿者安排在同一個地方時，則只有一個分組情況，此時，甲、乙兩名志愿者安排在同一個地方工作的安排方法數為n=A因此，所求的不同安排方法數為N-n=36-6=30種，故選：B?！绢}目點撥】本題考查排列組合綜合問題的求解，當問題分類情況較多或問題中帶有“至少”時，宜用間接法來考查，即在總體中減去不符合條件的方法數，考查分析問題的能力和計算能力，屬于中等題。4、C【解題分析】

根據一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集，得到答案．【題目詳解】由題意，不等式，即或，解得，即不等式的解集為，故選C．【題目點撥】本題主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．5、D【解題分析】∵函數f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）?sinx=sin2x﹣?=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期為，故A不正確；令x=，求得f（x）=+=，為函數f（x）的最大值，故函數f（x）的圖象關于直線x=對稱，且f（x）的圖象不關于點（，）對稱，故B不正確、D正確；在區(qū)間（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+為增函數，故C不正確，故選D．6、D【解題分析】

求出函數的定義域、化簡不等式，構造新函數，結合函數的圖象，從而可得的范圍，得到答案．【題目詳解】由題意，函數的定義域為，不等式，即，即，兩邊除以，可得，又由直線恒過定點，若不等式恰有兩個整數解，即函數圖象有2個橫坐標為整數的點落在直線的上方，由圖象可知，這2個點為，可得，即，解得，即實數的取值范圍是，故選D．【題目點撥】本題主要考查了函數的零點的綜合應用，其中解答中把不等式的解，轉化為函數的圖象的關系，合理得出不等式組是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．7、D【解題分析】試題分析：設的中點為，連接，易知即為異面直線與所成的角，設三棱柱的側棱與底面邊長為，則，由余弦定理，得，故選D.考點：異面直線所成的角.8、C【解題分析】

根據等差數列的性質求出,根據等差數列的前項和公式可得.【題目詳解】因為{an}為等差數列,所以,所以,所以.故選C.【題目點撥】本題考查了等差數列的性質、等差數列的前項和.屬于基礎題.9、D【解題分析】

因為是不放回抽樣，故在第一次抽到“紅心”時，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，根據隨機事件的概率計算公式，即可計算第二次抽到“紅心”的概率．【題目詳解】因為是不放回抽樣，故在第一次抽到“紅心”的條件下，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，第二次抽取時，所有的基本事件有4個，符合“抽到紅心”的基本事件有2個，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為12故答案選D【題目點撥】本題給出無放回抽樣模型，著重考查抽樣方法的理解和隨機事件的概率等知識，屬于基礎題．10、D【解題分析】

根據線面平行以及空間直線和平面的位置關系分別進行判斷即可．【題目詳解】，，是的中位線，，且，平面，平面，平面，故正確，，，，且，則，故B正確，是梯形，則直線，相交，設交點為，則，平面，，平面，則是平面和平面的公共點，則，即直線，，相交于同一點，故正確，因為，，所以直線與必相交，所以錯誤.故選D【題目點撥】本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間直線和平面位置關系的判斷，根據空間直線和平面平行的性質是解決本題的關鍵．11、D【解題分析】

設，根據是以為直角頂點的直角三角形，且，以及雙曲線的性質可得，再根據勾股定理求得的關系式，即可求解.【題目詳解】由題意，設，如圖所示，因為是以為直角頂點的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，，在直角中，，即，整理得，所以，故選D.【題目點撥】本題主要考查了雙曲線的定義，以及雙曲線的幾何性質——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，轉化為的齊次式，然后轉化為關于的方程，即可得的值(范圍)．.12、B【解題分析】

根據題意分析的圖像關于直線對稱，即可得到的單調區(qū)間，利用對稱性以及單調性即可得到的取值范圍?！绢}目詳解】根據題意，函數滿足是偶函數，則函數的圖像關于直線對稱，若函數在上單調遞減，則在上遞增，所以要使，則有，變形可得，解可得：或，即的取值范圍為；故選：B．【題目點撥】本題考查偶函數的性質，以及函數單調性的應用，有一定綜合性，屬于中檔題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由面積比為半徑比的平方，體積比為半徑的立方可得結果．【題目詳解】正方形的內切圓半徑為外接圓半徑為，半徑比，面積比為半徑比的平方，類比正方正方體內切球半徑為外接球半徑為，徑比，所以體積比是半徑比的立方=，填．【題目點撥】立體幾何中一個常見的猜想類比為面積比為半徑比的平方，體積比為半徑的立方可得結果．14、【解題分析】

地球儀上北緯緯線的周長為，可求緯線圈的半徑，然后求出地球儀的半徑，再求體積．【題目詳解】作地球儀的軸截面，如圖所示：因為地球儀上北緯緯線的周長為，所以，因為，所以，所以地球儀的半徑，所以地球儀的體積，故答案為：．【題目點撥】本題地球儀為背景本質考查線面位置關系和球的體積，考查空間想象能力和運算求解能力，是基礎題．15、5【解題分析】

先記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，分別求出其對應概率，再由題意得到抽取活動獎金的可能取值，進而可求出結果.【題目詳解】記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，由題意可得，所以.因為李女士當天在該超市購物消費128元，按照活動要求，李女士可參加一次抽獎，抽取活動獎金的可能取值為，所以期望為.故答案為5【題目點撥】本題主要考查離散型隨機變量的期望，熟記概念即可，屬于?？碱}型.16、【解題分析】

根據題設條件得出是函數的最大值或最小值，從而得到，結合，最后得到，再根據正弦函數的單調性得到所求函數的單調增區(qū)間.【題目詳解】解:若對恒成立,則等于函數的最大值或最小值,即,則,又,即令,此時,滿足條件令,解得.則的單調遞增區(qū)間是.故答案為:.【題目點撥】本題考查的重點是三角函數的單調區(qū)間以及形式變換,需要重點掌握.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）90；（2）；（3）有的把握認為“該校學生的每周平均課外閱讀時間與性別有關”【解題分析】

（1）根據頻率分布直方圖進行求解即可．（2）由頻率分布直方圖先求出對應的頻率，即可估計對應的概率．（3）利用獨立性檢驗進行求解即可【題目詳解】（1）30090，所以應收集90位女生的樣本數據．（2）由頻率分布直方圖得1﹣2×（0.100+0.025）＝0.1，所以該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.1．（3）由（2）知，300位學生中有300×0.1＝225人的每周平均體育運動時間超過4小時，1人的每周平均體育運動時間不超過4小時，又因為樣本數據中有210份是關于男生的，90份是關于女生的，所以每周平均體育運動時間與性別列聯表如下：每周平均體育運動時間與性別列聯表男生女生總計每周平均體育運動時間不超過4小時45301每周平均體育運動時間超過4小時16560225總計21090300結合列聯表可算得K24.762＞3.841所以，有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．【題目點撥】本題主要考查頻率分布直方圖以及獨立性檢驗的應用，比較基礎18、(2+)R【解題分析】

四個小球兩兩相切，其四個球心構成正四面體?！绢}目詳解】解：將四個球心兩兩連結，構成一個棱長為2R的正四面體設底面正三角形的中心為H,則故上層小球最高處離桌面的距離為【題目點撥】四個小球兩兩相切，其四個球心構成正四面體。19、（1）；（2）【解題分析】

（1）分別求出和,再取交集，即可。（2）因為且恒成立，所以，解出即可。【題目詳解】解：（1）若，則，所以或，又因為，所以。（2）由（1）得，，又因為，所以，解得?！绢}目點撥】本題考查了交、補集的混合運算，考查了利用集合間的關系求參數的取值問題，解答此題的關鍵是對集合端點值的取舍，是基礎題．20、（1）月新注冊用戶與月份的線性相關性很強；（2）10.06百萬【解題分析】

（1）根據題目所給數據和相關系數計算公式，計算出相關系數，由此判斷出“月新注冊用戶與月份的線性相關性很強”.（2）根據回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程，并利用回歸直線方程預測出2019年5月份的新注冊用戶總數.【題目詳解】（1）由題意得，，，，，故.因為，所以月新注冊用戶與月份的線性相關性很強.（2）由（1），，所以回歸方程為，令，得，即2019年5月份新注冊用戶預測值為10.06百萬人.【題目點撥】本小題主要考查相關系數