湖南省邵陽市2024屆數(shù)學高二下期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

湖南省邵陽市2024屆數(shù)學高二下期末質量跟蹤監(jiān)視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某中學從4名男生和3名女生中推薦4人參加某高校自主招生考試，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有（）A．34種 B．35種 C．120種 D．140種2．某車間加工零件的數(shù)量x與加工時間y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖：現(xiàn)已求得上表數(shù)據(jù)的回歸方程中的值為0.9，則據(jù)此回歸模型可以預測，加工100個零件所需要的加工時間約為()零件個數(shù)x(個)102030加工時間y(分鐘)213039A．112分鐘 B．102分鐘 C．94分鐘 D．84分鐘3．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，其，把函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移2個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的解析式為()A． B．C． D．4．假設如圖所示的三角形數(shù)表的第行的第二個數(shù)為，則（）A．2046 B．2416 C．2347 D．24865．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的對稱中心坐標為（）A． B．C． D．6．在“一帶一路”的知識測試后甲、乙、丙三人對成績進行預測.甲:我的成績最高.乙:我的成績比丙的成績高丙:我的成績不會最差成績公布后,三人的成績互不相同且只有一個人預測正確,那么三人按成績由高到低的次序可能為（）A．甲、丙、乙 B．乙、丙、甲C．甲、乙、丙 D．丙、甲、乙7．在復平面內，復數(shù)的對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．如圖，分別為棱長為的正方體的棱的中點，點分別為面對角線和棱上的動點，則下列關于四面體的體積正確的是（）A．該四面體體積有最大值，也有最小值 B．該四面體體積為定值C．該四面體體積只有最小值 D．該四面體體積只有最大值9．把編號分別為1，2，3，4，5的五張電影票全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，若分得的電影票超過一張，則必須是連號，那么不同分法的種數(shù)為（）A．36 B．40 C．42 D．4810．已知雙曲線，兩條漸近線與圓相切，若雙曲線的離心率為，則的值為（）A． B． C． D．11．現(xiàn)有小麥、大豆、玉米、高粱種不同農作物供選擇，在如圖所示的四塊土地上行種植，要求有公共邊界的兩塊地不能種同一種農作物，則不同的種植方法共有（）A．36種 B．48種 C．24種 D．30種12．六位同學排成一排，其中甲和乙兩位同學相鄰的排法有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．________.14．已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，則的值為___.15．已知是與的等比中項，則圓錐曲線的離心率是__________．16．若直角坐標平面內兩點滿足點都在函數(shù)的圖像上，且點關于原點對稱，則稱是函數(shù)一個“姊妹點對”（與可看作同一“姊妹點對”）.已知則的“姊妹點對”有_______個.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式，在日常消費中手機支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式.某學生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進行了調查研究.采用調查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進行了研究，發(fā)現(xiàn)共有60人以手機支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.（1）從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；（2）某商家為了鼓勵人們使用手機支付，做出以下促銷活動：凡是用手機支付的消費者，商品一律打八折.已知某商品原價50元，以上述調查的支付方式的頻率作為消費者購買該商品的支付方式的概率，設銷售每件商品的消費者的支付方式都是相互獨立的，求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學期望.18．（12分）已知直線是拋物線的準線，直線，且與拋物線沒有公共點，動點在拋物線上，點到直線和的距離之和的最小值等于2.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）點在直線上運動，過點做拋物線的兩條切線，切點分別為，在平面內是否存在定點，使得恒成立？若存在，請求出定點的坐標，若不存在，請說明理由．19．（12分）已知橢圓經過點，離心率為，過點的直線與橢圓交于不同的兩點．（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正方形，平面平面，直線與平面所成的角為，.（1）若，分別為，的中點，求證：直線平面；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（Ⅱ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù).22．（10分）（1）集合，或，對于任意，定義，對任意，定義，記為集合的元素個數(shù)，求的值；（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；（3）已知當時，有，根據(jù)此信息，若對任意，都有，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：根據(jù)題意，選用排除法，分3步，①計算從7人中，任取4人參加志愿者活動選法，②計算選出的全部為男生或女生的情況數(shù)目，③由事件間的關系，計算可得答案．詳解：分3步來計算，

①從7人中，任取4人參加志愿者活動，分析可得，這是組合問題，共C74=35種情況；

②選出的4人都為男生時，有1種情況，因女生只有3人，故不會都是女生，

③根據(jù)排除法，可得符合題意的選法共35-1=34種；

故選A．點睛：本題考查計數(shù)原理的運用，注意對于本類題型，可以使用排除法，即當從正面來解所包含的情況比較多時，則采取從反面來解，用所有的結果減去不合題意的結果．2、B【解題分析】

由已知求得樣本點的中心的坐標，代入線性回歸方程求得，取求得值即可。【題目詳解】解：所以樣本的中心坐標為（20，30），代入，得，取，可得，故選：B。【題目點撥】本題考查線性回歸方程，明確線性回歸方程恒過樣本點的中心是關鍵，是基礎題．3、A【解題分析】

根據(jù)條件先求出和，結合函數(shù)圖象變換關系進行求解即可．【題目詳解】解：，即，，則，，，即，則，則，即，得，即，把函的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，得到，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，即，故選：．【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)圖象的應用，根據(jù)條件求出和的值以及利用三角函數(shù)圖象平移變換關系是解決本題的關鍵，屬于中檔題．4、B【解題分析】

由三角形數(shù)表特點可得，利用累加法可求得，進而得到結果.【題目詳解】由三角形數(shù)表可知：，，，…，，，整理得：，則.故選：.【題目點撥】本題考查數(shù)列中的項的求解問題，關鍵是能夠采用累加法準確求得數(shù)列的通項公式.5、D【解題分析】

試題分析：由圖象可知又，又，.，又，所以，由，得，則的對稱中心坐標為.考點：1.三角函數(shù)的性質；2.三角函數(shù)圖像的性質.【方法點睛】根據(jù)，的圖象求解析式的步驟：1．首先確定振幅和周期，從而得到與；2．求的值時最好選用最值點求，峰點：，；谷點：，，也可用零點求，但要區(qū)分該零點是升零點，還是降零點，升零點(圖象上升時與軸的交點)：，；降零點(圖象下降時與軸的交點)：，．6、D【解題分析】

假設一個人預測正確，然后去推導其他兩個人的真假，看是否符合題意．【題目詳解】若甲正確，則乙丙錯，乙比丙成績低，丙成績最差，矛盾；若乙正確，則甲丙錯，乙比丙高，甲不是最高，丙最差，則成績由高到低可為乙、甲、丙；若丙正確，則甲乙錯，甲不是最高，乙比丙低，丙不是最差，排序可為丙、甲、乙．A、B、C、D中只有D可能．故選D．【題目點撥】本題考查合情推理，抓住只有一個人預測正確是解題的關鍵，屬于基礎題．7、D【解題分析】

化簡復數(shù)，再判斷對應象限.【題目詳解】，對應點位于第四象限.故答案選D【題目點撥】本題考查了復數(shù)的計算，屬于簡單題.8、D【解題分析】

易證，從而可推出面積為定值，則只需研究點到平面的距離的取值范圍即可得到四面體體積的取值范圍【題目詳解】分別為棱長為的正方體的棱的中點，所以，又，故點到的距離為定值，則面積為定值，當點與點重合時，為平面構不成四面體，故只能無限接近點，當點與點重合時，有最大值，體積有最值，所以四面體體積有最大值，無最小值故選D【題目點撥】本題主要考查了四面體體積的判斷，運動中的定量與變量的分析，空間想象與轉化能力，屬于中檔題9、A【解題分析】

將情況分為113和122兩種情況，相加得到答案.【題目詳解】當分的票數(shù)為這種情況時：當分的票數(shù)為這種情況時：一張票數(shù)的人可以選擇：不同分法的種數(shù)為36故答案選A【題目點撥】本題考查了排列組合，將情況分為兩類可以簡化運算.10、A【解題分析】

先由離心率確定雙曲線的漸近線方程，再由漸近線與圓相切，列出方程，求解，即可得出結果.【題目詳解】漸近線方程為：，又因為雙曲線的離心率為，，所以，故漸近線方程為，因為兩條漸近線與圓相切，得：，解得；故選A?！绢}目點撥】本題主要考查由直線與圓的位置關系求出參數(shù)，以及由雙曲線的離心率求漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質，以及直線與圓的位置關系即可，屬于常考題型.11、B【解題分析】

需要先給右邊的一塊地種植，有種結果，再給中間上面的一塊地種植，有種結果，再給中間下面的一塊地種植，有種結果，最后給左邊的一塊地種植，有種結果，相乘即可得到結果【題目詳解】由題意可知，本題是一個分步計數(shù)的問題先給右邊的一塊地種植，有種結果再給中間上面的一塊地種植，有種結果再給中間下面的一塊地種植，有種結果最后給左邊的一塊地種植，有種結果根據(jù)分步計數(shù)原理可知共有種結果故選【題目點撥】本題主要考查的知識點是分步計數(shù)原理，這種問題解題的關鍵是看清題目中出現(xiàn)的結果，幾個環(huán)節(jié)所包含的事件數(shù)在計算時要做到不重不漏。12、C【解題分析】分析：直接利用捆綁法求解.詳解：把甲和乙捆綁在一起，有種方法，再把六個同學看成5個整體進行排列，有種方法，由乘法分步原理得甲和乙兩位同學相鄰的排法有種.故答案為：C.點睛：（1）本題主要考查排列組合的應用，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相鄰問題，常用捆綁法，先把相鄰元素捆綁在一起，再進行排列.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

將定積分分為兩部分，前一部分根據(jù)奇函數(shù)積分為0，后一部分轉化為幾何面積得到答案.【題目詳解】為奇函數(shù)表示半徑為3的半圓面積：為故答案為：【題目點撥】本題考查了定積分的計算，根據(jù)奇函數(shù)的性質可以簡化運算.14、【解題分析】

求函數(shù)的導函數(shù)，令即可求出的值.【題目詳解】因為令則所以【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)，及導函數(shù)求值，屬于中檔題.15、或【解題分析】分析：根據(jù)等比中項，可求出m的值為；分類討論m的不同取值時圓錐曲線的不同，求得相應的離心率。詳解：由等比中項定義可知所以當時，圓錐曲線為橢圓，離心率當時，圓錐曲線為雙曲線，離心率所以離心率為或2點睛：本題考查了數(shù)列和圓錐曲線的綜合應用，基本概念和簡單的分類討論，屬于簡單題。16、2.【解題分析】

根據(jù)題意可知，只需作出函數(shù)y=x2+2x（x<0）的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數(shù)交點個數(shù)即可．【題目詳解】根據(jù)題意可知，“友好點對”滿足兩點：都在函數(shù)圖象上，且關于坐標原點對稱.可作出函數(shù)的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數(shù)交點個數(shù)即可.如圖所示：當時，觀察圖象可得：它們有2個交點.故答案為：2.【題目點撥】本題考查函數(shù)的新定義問題，根據(jù)已知條件將問題轉化為零點個數(shù)問題，利用數(shù)形結合畫出圖像即可求解，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）440【解題分析】

（1）先計算出選取的人中，全都是高于歲的概率，然后用減去這個概率，求得至少有人的年齡低于歲的概率.（2）首先確定“銷售的10件商品中以手機支付為首選支付的商品件數(shù)”滿足二項分布，求得銷售額的表達式，然后利用期望計算公式，計算出銷售額的期望.【題目詳解】（1）設事件表示至少有1人的年齡低于45歲，則.（2）由題意知，以手機支付作為首選支付方式的概率為.設表示銷售的10件商品中以手機支付為首選支付的商品件數(shù)，則，設表示銷售額，則，所以銷售額的數(shù)學期望（元）.【題目點撥】本小題主要考查利用對立事件來計算古典概型概率問題，考查二項分布的識別和期望的計算，考查隨機變量線性運算后的數(shù)學期望的計算.18、(1)(2)存在定點，使得恒成立【解題分析】試題分析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點為，根據(jù)拋物線的定義可得的最小值即為點到直線的距離，故，從而可得結果；（Ⅱ）設，，，，利用導數(shù)得到切線斜率，可設出切線方程，根據(jù)點在切線上可得到和是一元二次方程的根，利用韋達定理以及平面向量數(shù)量積公式，可得時，從而可得結論.試題解析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點為，由拋物線定義知，所以，顯見的最小值即為點到直線的距離，故，所以拋物線的方程為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線的方程為，當點在特殊位置時，顯見兩個切點關于軸對稱，故要使得，點必須在軸上．故設，，，，拋物線的方程為，求導得，所以切線的斜率，直線的方程為，又點在直線上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韋達定理得，，可見時，恒成立，所以存在定點，使得恒成立．19、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）將點代入橢圓方程,結合關系式和,組成方程組,可解得的值,從而可得橢圓的方程.（2）由題意分析可知直線的斜率存在，設直線的方程為.將直線方程和橢圓方程聯(lián)立,消去整理為關于的一元二次方程.由題意可知其判別式大于0,可得的范圍.設，的坐標分別為，.由韋達定理可得的值.根據(jù)數(shù)量積公式用表示.根據(jù)的范圍求得范圍.試題解析：解：（1）由題意得解得，．橢圓的方程為．（2）由題意顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，由得.直線與橢圓交于不同的兩點，，，解得.設，的坐標分別為，，則，，，．．，．的取值范圍為．考點：1橢圓的簡單基本性質;2直線與橢圓的位置關系;3值域問題.20、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）由平面平面得到平面，從而，根據(jù)，得到平面，得到，結合，得到平面；（2）為原點，建立空間坐標系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，得到法向量之間的夾角余弦，從而得到二面角的正弦值.【題目詳解】（1）證明：∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，則為直線與平面所成的角，為，∴，而平面，∴又，為的中點，∴，平面，則平面，而平面∴，又，分別為，的中點，則，正方形中，，∴，又平面，，∴直線平面；（2）解：以為坐標原點，分別以，所在直線為，軸，過作的平行線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量為，則，即，取，得；設平面的法向量為，則，即，取，得.∴.∴二面角的正弦值為.【題目點撥】本題考查面面垂直的性質，線面垂直的性質和判定，利用空間向量求二面角的正弦值，屬于中檔題.21、(1)當時，的最小值為；當時，的最小值為;(2)見解析.【解題分析】