2024屆山西省忻州市忻府區(qū)忻州一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆山西省忻州市忻府區(qū)忻州一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)平面內(nèi)的圓：，若為純虛數(shù)，則與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（）A．必在圓外 B．必在上 C．必在圓內(nèi) D．不能確定2．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則（）A．3 B．4 C．5 D．63．將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件{兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同}，{出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)}，則()A． B． C． D．4．已知，橢圓的方程，雙曲線(xiàn)的方程為，和的離心率之積為，則的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．5．若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（）A． B．C． D．7．設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，則A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)8．已知，則的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)等于（）A．180 B．-180 C．-90 D．159．已知命題p：?x∈R，x2-x+1≥1．命題q：若a2＜b2，則a＜b，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．10．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．11．己知，是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若P是橢圓上一點(diǎn)且，則在中（）A． B． C． D．112．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第二步證明由到時(shí)，左邊應(yīng)加（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意的，均有，則稱(chēng)是集合的“可行數(shù)對(duì)”．以下集合中，不存在“可行數(shù)對(duì)”的是_________．①；②；③；④．14．《左傳.僖公十四年》有記載:“皮之不存,毛將焉附?"”這句話(huà)的意思是說(shuō)皮都沒(méi)有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基礎(chǔ),就不能存在.皮之不存,毛將焉附?則“有毛”是“有皮”的__________條件(將正確的序號(hào)填入空格處).①充分條件②必要條件③充要條件④既不充分也不必要條件15．若命題“，使得成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．16．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．18．（12分）證明下列不等式：（1）用分析法證明：；（2）已知是正實(shí)數(shù)，且.求證：.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在處的切線(xiàn)與在處的切線(xiàn)平行，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，討論的單調(diào)性；（3）在（2）的條件下，若，求證：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且．20．（12分）已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).(1)求的值并求函數(shù)的值域；(2)若關(guān)于的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)，則是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最大值為?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線(xiàn)的普通方程及圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓C與直線(xiàn)交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值．22．（10分））已知.（I）試猜想與的大小關(guān)系；（II）證明（I）中你的結(jié)論.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設(shè)復(fù)數(shù),再利用為純虛數(shù)求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程,再與圓：比較即可.【題目詳解】由題,復(fù)平面內(nèi)圓：對(duì)應(yīng)的圓是以為圓心,1為半徑的圓.若為純虛數(shù),則設(shè),則因?yàn)闉榧兲摂?shù),可設(shè),.故故,因?yàn)?故.當(dāng)有.當(dāng)時(shí),兩式相除有,化簡(jiǎn)得.故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是.則所有的點(diǎn)都在為圓心,1為半徑的圓外.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的軌跡問(wèn)題,根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的關(guān)系求解軌跡方程即可.屬于中等題型.2、C【解題分析】分析：根據(jù)方差的定義計(jì)算即可.詳解：隨機(jī)變量的分布列為，則則、故選D點(diǎn)睛：本題考查隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意方差計(jì)算公式的合理運(yùn)用．3、A【解題分析】由題意事件A={兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同}，包含的基本事件數(shù)是36?6=30，事件B:出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)，有10種，∴，本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：條件概率的計(jì)算方法：(1)利用定義，求P(A)和P(AB)，然后利用公式進(jìn)行計(jì)算；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，然后求概率值.4、A【解題分析】

根據(jù)橢圓與雙曲線(xiàn)離心率的表示形式，結(jié)合和的離心率之積為，即可得的關(guān)系，進(jìn)而得雙曲線(xiàn)的離心率方程.【題目詳解】橢圓的方程，雙曲線(xiàn)的方程為，則橢圓離心率，雙曲線(xiàn)的離心率，由和的離心率之積為，即，解得，所以漸近線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)可得，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓與雙曲線(xiàn)簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)應(yīng)用，橢圓與雙曲線(xiàn)離心率表示形式，雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程求法，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】分析：首先研究函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)圖象考查臨界情況即可求得最終結(jié)果.詳解：令，，原問(wèn)題等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，繪制函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)表示過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)，考查臨界情況，即函數(shù)與函數(shù)相切的情況，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，數(shù)形結(jié)合可知：的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線(xiàn)方程，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6、D【解題分析】

求導(dǎo)得到，函數(shù)單調(diào)遞減，故，解得答案.【題目詳解】，則恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞減，，故，解得或.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.7、A【解題分析】

先求出集合A，再求出交集．【題目詳解】由題意得，，則．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考點(diǎn)為集合的運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目．8、B【解題分析】分析：利用定積分的運(yùn)算求得m的值，再根據(jù)乘方的幾何意義，分類(lèi)討論，求得xm﹣2yz項(xiàng)的系數(shù)．詳解：3sinxdx=﹣3cosx=﹣3（cosπ﹣cos0）=6，則（x﹣2y+3z）m=（x﹣2y+3z）6，xm﹣2yz=x4yz．而（x﹣2y+3z）6表示6個(gè)因式（x﹣2y+3z）的乘積，故其中一個(gè)因式取﹣2y，另一個(gè)因式取3z，剩余的4個(gè)因式都取x，即可得到含xm﹣2yz=x4yz的項(xiàng)，∴xm﹣2yz=x4yz項(xiàng)的系數(shù)等于故選：B．點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是二項(xiàng)式中的特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題，在做二項(xiàng)式的問(wèn)題時(shí)，看清楚題目是求二項(xiàng)式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時(shí)，是不是缺少首項(xiàng)；解決這類(lèi)問(wèn)題常用的方法有賦值法，求導(dǎo)后賦值，積分后賦值等。9、B【解題分析】

先判定命題的真假，再結(jié)合復(fù)合命題的判定方法進(jìn)行判定.【題目詳解】命題p：?x=1∈R，使x2-x+1≥1成立．故命題p為真命題；當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，a2＜b2成立，但a＜b不成立，故命題q為假命題，故命題p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均為假命題；命題p∧￢q為真命題，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，特稱(chēng)命題，不等式與不等關(guān)系，難度中檔．10、A【解題分析】

由，得，則，故選A.11、A【解題分析】

根據(jù)橢圓方程求出、，即可求出、，再根據(jù)余弦定理計(jì)算可得；【題目詳解】解：因?yàn)椋?，，又因?yàn)?，，所以，在中，由余弦定理，即，，故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】

當(dāng)成立，當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，觀察計(jì)算即可得答案.【題目詳解】在第二步證明時(shí)，假設(shè)時(shí)成立，即左側(cè)，則成立時(shí)，左側(cè)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查到成立時(shí)左邊項(xiàng)數(shù)的變化情況，考查理解與應(yīng)用的能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③【解題分析】

由題意，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與選項(xiàng)有交點(diǎn)，代入驗(yàn)證，可得結(jié)論．【題目詳解】由題意對(duì)任意的，均有，則，即與選項(xiàng)有交點(diǎn)，對(duì)①，與有交點(diǎn)，滿(mǎn)足；對(duì)②，的圖形在的內(nèi)部，無(wú)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足；對(duì)③，的圖形在的外部，無(wú)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足；對(duì)④，與有交點(diǎn)，滿(mǎn)足；故答案為②③.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線(xiàn)與方程的定義的應(yīng)用，考查了理解與轉(zhuǎn)化能力，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與選項(xiàng)有交點(diǎn)是關(guān)鍵．14、①【解題分析】分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．詳解：由題意知“無(wú)皮”?“無(wú)毛”，所以“有毛”?“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分條件．故答案為：①．點(diǎn)睛：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．15、【解題分析】

根據(jù)原命題為假，可得，都有；當(dāng)時(shí)可知；當(dāng)時(shí)，通過(guò)分離變量可得，通過(guò)求解最值得到結(jié)果.【題目詳解】由原命題為假可知：，都有當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)綜上所述：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)命題的真假性求解參數(shù)范圍，涉及到恒成立問(wèn)題的求解.16、【解題分析】

根據(jù)題意，由二項(xiàng)式定理可得的展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的系數(shù)為1，解可得的值，將的值導(dǎo)代入通項(xiàng)，計(jì)算可得答案．【題目詳解】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解可得，則有，即的系數(shù)為1，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)式定理的形式，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）詳見(jiàn)解析（2）或【解題分析】

（1）將函數(shù)求導(dǎo)并化簡(jiǎn)，對(duì)分成兩種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）原不等式即（），當(dāng)時(shí)，上述不等式顯然成立.當(dāng)時(shí)，將不等式變?yōu)?，?gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此求得的取值范圍.【題目詳解】解：（1）．①若，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．②若，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．∴當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）（），當(dāng)時(shí)，上不等式成立，滿(mǎn)足題設(shè)條件；當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，設(shè)，則，設(shè)（），則，∴在上單調(diào)遞減，得．①當(dāng)，即時(shí)，得，，∴在上單調(diào)遞減，得，滿(mǎn)足題設(shè)條件；②當(dāng)，即時(shí)，，而，∴，，又單調(diào)遞減，∴當(dāng)，，得，∴在上單調(diào)遞增，得，不滿(mǎn)足題設(shè)條件；綜上所述，或．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)求解含有參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由于導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，故需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)的制定，往往要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來(lái)作出選擇，目標(biāo)是分類(lèi)后可以畫(huà)出導(dǎo)函數(shù)圖像，進(jìn)而得出導(dǎo)數(shù)取得正、負(fù)的區(qū)間，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】分析：⑴兩邊同時(shí)平方即可證明不等式⑵構(gòu)造同理得到其他形式，然后運(yùn)用不等式證明詳解：（1）證明：要證成立，只需證，即證，只需證，即證顯然為真，故原式成立.（2）證明：∵，∴.點(diǎn)睛：本題主要考查的是不等式的證明，著重考查了基本不等式的變形與應(yīng)用，考查了綜合法和推理論證的能力，屬于中檔題。19、(1)(2)見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解題分析】分析：（1）先求一階導(dǎo)函數(shù)，，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程（2）先求一階導(dǎo)函數(shù)的根，求解或的解集，判斷單調(diào)性。（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求出極值畫(huà)出函數(shù)的示意圖，分析函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)的等價(jià)條件是極小值大于零，函數(shù)在是減函數(shù)，故必然有一個(gè)零點(diǎn)。詳解：（1）因?yàn)椋?；又。由題意得，解得（2），其定義域?yàn)?，又，令或。①?dāng)即時(shí)，函數(shù)與隨的變化情況如下：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減②當(dāng)即時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減③當(dāng)即時(shí)，函數(shù)與隨的變化情況如下：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。所以函數(shù)在單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減（3）證明：當(dāng)時(shí)，由①知，的極小值為，極大值為.因?yàn)榍矣钟珊瘮?shù)在是減函數(shù)，可得至多有一個(gè)零點(diǎn)又因?yàn)?，所以函?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求在某點(diǎn)切線(xiàn)方程利用，即可，方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)三種思想的轉(zhuǎn)化，為解題思路提供了靈活性，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的一個(gè)基本工具在使用。20、（1），值域?yàn)椋?）（3）【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)在圖象上，代入計(jì)算即可求解，因?yàn)?，所以，所以，可得函?shù)的值域?yàn)?；?）原方程等價(jià)于的圖象與直線(xiàn)有交點(diǎn)，先證明的單調(diào)性，可得到的值域，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）根據(jù)，，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最大值問(wèn)題，討論函數(shù)的最大值，求解實(shí)數(shù)即可.試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?（2）因?yàn)殛P(guān)于的方程有實(shí)根，即方程有實(shí)根，即函數(shù)與函數(shù)有交點(diǎn)，令，則函數(shù)的圖象與直線(xiàn)有交點(diǎn)，又任取，則，所以，所以，所以，所以在R上是減函數(shù)（或由復(fù)合函數(shù)判斷為單調(diào)遞減），因?yàn)?，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.（3）由題意知，，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以（舍去），綜上，存在使得函數(shù)的最大值為0.21、（1）：，C:；（2）【解