忻州市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

忻州市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，且最大值為1，則的最大值為（）A． B． C． D．2．若則有（）A． B．C． D．3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A．128 B．256 C．512 D．10244．在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（）附：若X～N(μ,σ2)，則PA．1193 B．1359 C．2718 D．34135．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為，則曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A． B． C． D．6．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．7．已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若對(duì)任意的，總存在唯一的，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．設(shè)集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，則集合中的元素共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)9．在極坐標(biāo)系中，直線被圓截得的弦長為（）A． B．2 C． D．10．已知集合,集合,則A． B． C． D．11．下列求導(dǎo)計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．12．已知橢圓的右焦點(diǎn)為．短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)．若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價(jià)（元）456789銷量（件）908483807568由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，則實(shí)數(shù)______.14．計(jì)算：_________15．若＝，則x的值為_______．16．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn),為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),連結(jié)并延長,分別交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線的斜率分別為,是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出實(shí)數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的值．19．（12分）如圖，在空間幾何體中，四邊形是邊長為2的正方形，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．20．（12分）已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，且與拋物線的焦點(diǎn)重合.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，求的最小值.21．（12分）目前，學(xué)案導(dǎo)學(xué)模式已經(jīng)成為教學(xué)中不可或缺的一部分，為了了解學(xué)案的合理使用是否對(duì)學(xué)生的期末復(fù)習(xí)有著重要的影響某校隨機(jī)抽取200名學(xué)生，對(duì)學(xué)習(xí)成績和學(xué)案使用程度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：善于使用學(xué)案不善于使用學(xué)案合計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀40學(xué)習(xí)成績一般30合計(jì)200已知隨機(jī)抽查這200名學(xué)生中的一名學(xué)生，抽到善于使用學(xué)案的學(xué)生概率是0.6.參考公式：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（I）完成列聯(lián)表（不用寫計(jì)算過程）；（Ⅱ）試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析有多大的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與對(duì)待學(xué)案的使用態(tài)度有關(guān)？22．（10分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是一個(gè)菱形，三角形PAD是一個(gè)等腰三角形，∠BAD＝∠PAD＝，點(diǎn)E在線段PC上，且PE＝3EC．（1）求證：AD⊥PB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角E﹣AB﹣P的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

首先畫出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義得到，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得到的最大值.【題目詳解】由題知不等式組表示的可行域如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，由圖易得，直線在時(shí)，軸截距最大.所以.因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取“”.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式求最值問題，同時(shí)考查了線性規(guī)劃，屬于中檔題.2、D【解題分析】①，∵，∴，故．②，，∴，故．綜上．選D．3、B【解題分析】

Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），n≥2時(shí)，Sn＝2Sn﹣1﹣1，相減可得an+1＝2an．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【題目詳解】∵Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），n≥2時(shí)，Sn＝2Sn﹣1﹣1，∴an+1＝2an．n＝1時(shí)，a1+a2＝2a1﹣1，a1＝2，a2＝1．∴數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列，公比為2．則a101×28＝3．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，圖中陰影部分的面積S=0.9545-0.6827則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.5、B【解題分析】

設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合輔助角公式可得出曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.【題目詳解】設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，曲線上的一點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，取最小值，且，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，考查橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最值問題，解題時(shí)可將橢圓上的點(diǎn)用參數(shù)方程表示，利用三角恒等變換思想求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.6、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【題目詳解】由題意iz＝1+2i，∴iz（﹣i）＝（1+2i）?（﹣i），∴z＝2﹣i．則在復(fù)平面內(nèi)，z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，﹣1）．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】,,故函數(shù)在區(qū)間上遞增,,,故函數(shù)在上遞減.所以,解得,故選B.8、A【解題分析】試題分析：,,所以，即集合中共有3個(gè)元素，故選A．考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．9、C【解題分析】試題分析：將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)可得和，圓心到直線的距離，故，所以應(yīng)選C.考點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)之間的互化．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】極坐標(biāo)和參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)選修內(nèi)容中的核心內(nèi)容，也是高考必考的重要考點(diǎn).解答這類問題時(shí)，一定要扎實(shí)掌握極坐標(biāo)與之交坐標(biāo)之間的關(guān)系，并學(xué)會(huì)運(yùn)用這一關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換.本題在解答時(shí)充分利用題設(shè)條件，運(yùn)用將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，最后通過直角坐標(biāo)中的運(yùn)算公式求出弦長，從而使問題巧妙獲解.10、D【解題分析】，，則，選D.11、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)法則得到相應(yīng)的結(jié)果.【題目詳解】A選項(xiàng)應(yīng)為，C選項(xiàng)應(yīng)為，D選項(xiàng)應(yīng)為.故選B．【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算，牢記公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】試題分析：設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，由于直線過原點(diǎn)，因此兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而是平行四邊形，所以，即，，設(shè)，則，所以，，即，又，所以，．故選A．考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)．【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的范圍，因此要求得關(guān)系或范圍，解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱性得出就是，從而得，于是只有由點(diǎn)到直線的距離得出的范圍，就得出的取值范圍，從而得出結(jié)論．在涉及到橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，需要聯(lián)想到橢圓的定義．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、106【解題分析】

求出樣本中心坐標(biāo)，代入回歸方程即可求出值.【題目詳解】解：，，將代入回歸方程得，解得.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸方程問題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

直接利用定積分公式計(jì)算即可?！绢}目詳解】【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了定積分計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。15、4或9.【解題分析】分析：先根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)得，解方程得結(jié)果詳解：因?yàn)椋剑砸虼它c(diǎn)睛：組合數(shù)性質(zhì)：16、【解題分析】

由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長為2.圓錐的底面周長為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在,使得.【解題分析】分析：(1)在橢圓上，所以滿足橢圓方程，又離心率為，聯(lián)立兩個(gè)等式即可解出橢圓方程；(2),則,所以的方程為，聯(lián)立AF的方程和橢圓方程即可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得D點(diǎn)坐標(biāo)，從而分析的比值.詳解：(1)設(shè)橢圓的方程為，，由題意知解得所以橢圓的方程為.(2)設(shè),則,,又,所以直線的方程為.由消去，得.因?yàn)槭窃摲匠痰囊粋€(gè)解,所以點(diǎn)的橫坐標(biāo).又點(diǎn)在直線上，所以，從而點(diǎn)的坐標(biāo)為(同理,點(diǎn)的坐標(biāo)為(，所以，即存在,使得.點(diǎn)睛：橢圓和拋物線的結(jié)合也是高考一直以來的一個(gè)熱點(diǎn)，設(shè)而不求思想是圓錐曲線題目的考查核心，韋達(dá)定理就是該思想的體現(xiàn)，所以在圓錐曲線中要把所求的問題轉(zhuǎn)化出來韋達(dá)定理，整體帶入是解題的關(guān)鍵.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用消參，可得橢圓的普通方程，以及利用可得直線的直角坐標(biāo)方程，然后利用直線過點(diǎn)，可得結(jié)果.（2）寫出直線的參數(shù)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，以及聯(lián)立橢圓的普通方程，得到關(guān)于的一元二次方程，使用韋達(dá)定理，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）將曲線的參數(shù)方程(為參數(shù))，可得曲線的普通方程為，∴橢圓的右焦點(diǎn)直線的極坐標(biāo)方程為，由，得∵直線過點(diǎn)，∴；（2）設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，將直線的參數(shù)方程(為參數(shù))代入，化簡得，則【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程，直角坐標(biāo)方程以及參數(shù)方程的互化，重點(diǎn)在于對(duì)直線參數(shù)方程的幾何意義的理解，難點(diǎn)在于計(jì)算，屬中檔題.19、(1)證明見解析.(2).【解題分析】試題分析：（1）先根據(jù)平幾知識(shí)計(jì)算得，再根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解得平面法向量，利用向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求結(jié)果.試題解析：（1）證明：等腰梯形中，故在中，，所以平面（2）作于，以為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則求得平面的法向量為又，所以即與平面所成角的正弦值等于20、（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）的最小值為.【解題分析】試題分析：（1）由題可知）拋物線的焦點(diǎn)為，所以，然后根據(jù)離心率可得a值，從而得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（2）根據(jù)題意則需求出AC和BD的長度表達(dá)式，顯然可以根據(jù)直線與橢圓的弦長公式求得，所以設(shè)，，直線的方程為，代入橢圓方程，，同理求出AC的長度，然后化簡即得.解析：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）當(dāng)直線的斜率存在且時(shí)，直線的方程為，代入橢圓方程，并化簡得.設(shè)，，則，，.易知的斜率為，所以..當(dāng)，即時(shí)，上式取等號(hào)，故的最小值為.（ii）當(dāng)直線的斜率不存在或等于零時(shí)，易得.綜上，的最小值為.點(diǎn)睛：本題要熟悉橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系問題，在求解橢圓中的最值問題時(shí)務(wù)必先求出表達(dá)式結(jié)合不等式即可得出結(jié)論，同時(shí)直線與橢圓的弦長公式也要非常熟悉21、（1）見詳解（2）有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與對(duì)待學(xué)案的使用態(tài)度有關(guān).【解題分析】

（1）由已知數(shù)據(jù)列列聯(lián)表，

（2）由公式得：，結(jié)合參考數(shù)據(jù)下結(jié)論即可.【題目詳解】（1）列聯(lián)表：善于使用學(xué)案不善于使用學(xué)案合計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀405090學(xué)習(xí)成績一般8030110合計(jì)12080200（2）由公式得：，故有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與對(duì)待學(xué)案的使用態(tài)度有關(guān).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了列聯(lián)表及的運(yùn)算及用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析，屬于中檔題.22、（1）見解析；（2）【解題分析】

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