江蘇省丹陽(yáng)中學(xué)等三校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

江蘇省丹陽(yáng)中學(xué)等三校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知頂點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)為4，其兩條漸近線(xiàn)方程為，該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù),，若對(duì),，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．3．若身高和體重的回歸模型為，則下列敘述正確的是（）A．身高與體重是負(fù)相關(guān) B．回歸直線(xiàn)必定經(jīng)過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)C．身高的人體重一定時(shí) D．身高與體重是正相關(guān)4．定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若對(duì)任意的正實(shí)數(shù),都有恒成立,則使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．5．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象有可能是（）A． B．C． D．6．名同學(xué)參加班長(zhǎng)和文娛委員的競(jìng)選，每個(gè)職務(wù)只需人，其中甲不能當(dāng)文娛委員，則共有（）種不同結(jié)果（用數(shù)字作答）A． B． C． D．7．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A． B．2 C． D．8．具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量，，滿(mǎn)足一組數(shù)據(jù)如表所示，與的回歸直線(xiàn)方程為，則的值為（）A． B． C． D．9．《數(shù)學(xué)統(tǒng)綜》有如下記載：“有凹錢(qián)，取三數(shù)，小小大，存三角”.意思是說(shuō)“在凹（或凸）函數(shù)（函數(shù)值為正）圖象上取三個(gè)點(diǎn)，如果在這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)中兩個(gè)較小數(shù)之和最大的數(shù)，則存在將這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)值作為三邊長(zhǎng)的三角形”.現(xiàn)已知凹函數(shù)，在上取三個(gè)不同的點(diǎn)，均存在為三邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．11．若均為第二象限角，滿(mǎn)足，，則（）A． B． C． D．12．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上任意一點(diǎn)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．小明玩填數(shù)游戲：將1，2，3，4四個(gè)數(shù)填到的表格中，要求每一行每一列都無(wú)重復(fù)數(shù)字。小明剛填了一格就走開(kāi)了（如右圖所示），剩下的表格由爸爸完成，則爸爸共有_______種不同的填法.（結(jié)果用數(shù)字作答）114．若點(diǎn)是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為_(kāi)___________15．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)α的值是_______.16．已知為數(shù)字0，1，2，…，9的一個(gè)排列，滿(mǎn)足，且，則這樣排列的個(gè)數(shù)為_(kāi)__（用數(shù)字作答）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某技術(shù)人員在某基地培育了一種植物,一年后,該技術(shù)人員從中隨機(jī)抽取了部分這種植物的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了如下頻率分布直方圖,已知抽取的樣本植物高度在內(nèi)的植物有8株,在內(nèi)的植物有2株.(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的,的值;(Ⅱ)在選取的樣本中,從高度在內(nèi)的植物中隨機(jī)抽取3株,設(shè)隨機(jī)變量表示所抽取的3株高度在內(nèi)的株數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)據(jù)市場(chǎng)調(diào)研,高度在內(nèi)的該植物最受市場(chǎng)追捧.老王準(zhǔn)備前往該基地隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)該植物50株.現(xiàn)有兩種購(gòu)買(mǎi)方案,方案一:按照該植物的不同高度來(lái)付費(fèi),其中高度在內(nèi)的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照該植物的株數(shù)來(lái)付費(fèi),每株6元.請(qǐng)你根據(jù)該基地該植物樣本的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果為決策依據(jù),預(yù)測(cè)老王采取哪種付費(fèi)方式更便宜?18．（12分）命題：函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間和上；命題：函數(shù)有極值.若命題，為真命題的實(shí)數(shù)的取值集合分別記為，.（1）求集合，；（2）若命題“且”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若與交于點(diǎn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量,.(1)當(dāng)時(shí),求的值；(2)若，且.求的值.21．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為且，求的值．22．（10分）已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線(xiàn)AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，直線(xiàn)EF的斜率為，直線(xiàn)l與橢圓C相切于點(diǎn)A，斜率為．求橢圓C的方程；求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)為4可知由漸近線(xiàn)方程，可得到然后利用即可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)．【題目詳解】由雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)為4可知由漸近線(xiàn)方程，可得到即所以又雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)在軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，漸近線(xiàn)方程，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】由題意得“對(duì),，使成立”等價(jià)于“”．∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∴．在中，由，解得．令，則，（其中）．∴．由，解得，又，故，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．選A．點(diǎn)睛：（1）對(duì)于求或型的最值問(wèn)題利用絕對(duì)值三角不等式更方便．形如的函數(shù)只有最小值，形如的函數(shù)既有最大值又有最小值．（2）求函數(shù)的最值時(shí)要根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)選擇相應(yīng)的方法，對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)求最值時(shí)，一般采用換元的方法進(jìn)行，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的問(wèn)題求解．3、D【解題分析】

由線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程可得回歸系數(shù)大于0，所以正相關(guān)，且經(jīng)過(guò)樣本中心，且為估計(jì)值，即可得到結(jié)論．【題目詳解】可得，可得身高與體重是正相關(guān)，錯(cuò)誤，正確；回歸直可以不經(jīng)過(guò)每一個(gè)樣本點(diǎn)，一定過(guò)樣本中心點(diǎn)，，故錯(cuò)誤；若，可得，即體重可能是，故錯(cuò)誤．故選．【題目點(diǎn)撥】本題考查線(xiàn)性回歸中心方程和運(yùn)用，考查方程思想和估計(jì)思想，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】

分析：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定它的單調(diào)性，從而可得題中不等式的解．詳解：設(shè)，則，由已知當(dāng)時(shí)，，∴在上是減函數(shù)，又∵是偶函數(shù)，∴也是偶函數(shù)，，不等式即為，即，∴，∴，即．故選A．點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后解函數(shù)不等式．解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)．新函數(shù)的結(jié)構(gòu)可結(jié)合已知導(dǎo)數(shù)的不等式和待解的不等式的形式構(gòu)造．如，，，等等．5、C【解題分析】分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定導(dǎo)函數(shù)大于0的范圍和小于0的x的范圍，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減確定原函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間．詳解：由的圖象易得當(dāng)時(shí)

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．6、B【解題分析】

先安排甲以外的一人擔(dān)任文娛委員，再?gòu)氖Ｏ碌?人選一人擔(dān)任班長(zhǎng)即可．【題目詳解】先從甲以外的三人中選一人當(dāng)文娛委員，有3種選法，再?gòu)氖Ｏ碌?人選一人擔(dān)任班長(zhǎng)，有3種選法，故共有種不同結(jié)果．故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出復(fù)數(shù)的虛部.【題目詳解】，因此，該復(fù)數(shù)的虛部為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)虛部的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

將數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)計(jì)算出來(lái)，代入回歸方程，計(jì)算得到答案.【題目詳解】中心點(diǎn)為：代入回歸方程故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了回歸方程過(guò)中心點(diǎn)的知識(shí)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、A【解題分析】

由題意，三點(diǎn)的縱坐標(biāo)中兩個(gè)較小數(shù)之和小于等于2，可得m2﹣m+2≤2，即可得出結(jié)論．【題目詳解】易知，所以，在上的最小值為.由題意可知，當(dāng)，∴或，，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查新定義，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．10、B【解題分析】分析：首先求得A,B，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可.詳解：求解函數(shù)的定義域可得：，由函數(shù)的定義域可得：，結(jié)合交集的定義可知：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)定義域的求解，交集的運(yùn)算法則及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11、B【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα和sinβ的值，兩角和的三角公式求得cos（α+β）的值．【題目詳解】解：∵sinα，cosβ，α、β均為第二象限角，∴cosα，sinβ，∴cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ?（），故答案為B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】

分析：設(shè)，則，由利用韋達(dá)定理求解即可.詳解：設(shè)，的焦點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)為，，，，，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查平面向量數(shù)量積公式、平面向量的運(yùn)算、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、144【解題分析】分析：依據(jù)題意已經(jīng)放好一個(gè)數(shù)字，為了滿(mǎn)足要求進(jìn)行列舉出結(jié)果詳解：第一行將數(shù)字填入表格有種可能，然后將數(shù)字填入表格有種可能；那么第二行每個(gè)數(shù)字分別有、、、種可能；根據(jù)題意每一行每一列都無(wú)重復(fù)數(shù)字，所以第三行只有種可能，第四行每個(gè)數(shù)字都只有一種情況，所以一共有點(diǎn)睛：本題考查了排列組合，在解答題目時(shí)按照題意采取了列舉法，分別考慮每一行的情況，然后再進(jìn)行排列，在解題時(shí)注意是否存在重復(fù)的情況。14、【解題分析】

因?yàn)辄c(diǎn)P是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離的最小值是過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行的時(shí)候，則，即點(diǎn)（1，1）那么可知兩平行線(xiàn)間的距離即點(diǎn)（1，1）到直線(xiàn)的距離為15、【解題分析】

由冪函數(shù)的定義，把代入可求解.【題目詳解】點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，，，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)的定義.冪函數(shù)的性質(zhì):(1)冪函數(shù)在上都有定義；(2)冪函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)；(3)當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)和，且在上單調(diào)遞增；(4)當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減；(5)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．16、3456【解題分析】

先計(jì)算總和為45，將相加為15的3數(shù)組羅列出來(lái)，計(jì)算每個(gè)選法后另外一組的選法個(gè)數(shù)，再利排列得到答案.【題目詳解】0，1，2，…，9所有數(shù)據(jù)之和為45相加為15的3數(shù)組有：當(dāng)選擇后，可以選擇，，3種選擇同理可得：分別有3，3，3，2，3，1，2，3，3，1共24種選擇選定后只有一種排列有種排列有種排列共有中選擇.故答案為3456【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合的計(jì)算，將和為15的數(shù)組羅列出來(lái)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ),，；(Ⅱ)分布列見(jiàn)解析，；(Ⅲ)方案一付費(fèi)更便宜.【解題分析】

(Ⅰ)由題目條件及頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y．(Ⅱ)由題意可知，高度在[80，90）內(nèi)的株數(shù)為5，高度在[90，100]內(nèi)的株數(shù)為2，共7株．抽取的3株中高度在[80，90）內(nèi)的株數(shù)X的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)所得結(jié)論，分別計(jì)算按照方案一購(gòu)買(mǎi)應(yīng)付費(fèi)和按照方案二購(gòu)買(mǎi)應(yīng)付費(fèi)，比較結(jié)果即可得按照方案一付費(fèi)更便宜.【題目詳解】(Ⅰ)由題意可知，樣本容量,，.(Ⅱ)由題意可知,高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)為5,高度在[90,100]內(nèi)的株數(shù)為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)X的可能取值為1,2,3,則，，,∴X的分布列為：X123P故.(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)所得結(jié)論，高度在內(nèi)的概率為，按照方案一購(gòu)買(mǎi)應(yīng)付費(fèi)元，按照方案二購(gòu)買(mǎi)應(yīng)付費(fèi)元，故按照方案一付費(fèi)更便宜.【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率分布直方圖、分布列和數(shù)學(xué)期望，考查能否根據(jù)頻率分布直方圖得出每一組的概率以及一組的數(shù)據(jù)計(jì)算總體，求隨機(jī)變量的分布列的主要步驟：①明確隨機(jī)變量的取值，并確定隨機(jī)變量服從何種概率分布；②求每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率；③列成表格，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力，屬于中等題.18、（1），或；（2）或【解題分析】

（1）通過(guò)函數(shù)的零點(diǎn)，求解的范圍；利用函數(shù)的極值求出的范圍，即可．（2）利用復(fù)合函數(shù)的真假推出兩個(gè)命題的真假關(guān)系，然后求解即可．【題目詳解】（1）命題：函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間和上；可得：，解得命題：函數(shù)有極值，由2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，可得或．命題，為真命題的實(shí)數(shù)的取值集合分別記為，．所以集合，或；（2）命題“且”為假命題，可知兩個(gè)命題至少1個(gè)是假命題，當(dāng)“且”為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為集合，“且”為假命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為或．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．19、（1），；（2）【解題分析】分析：（1）消去參數(shù)，即可得到曲線(xiàn)的普通方程；根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求解曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）由（1）得圓的圓心為，半徑為，利用圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解．詳解：（1），．（2）圓的圓心為，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為．所以．點(diǎn)睛：本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中熟記參數(shù)方程與普通方程，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．20、（1）；（2）．【解題分析】分析：(1)直接帶入即可(2)利用向量數(shù)量積打開(kāi)后再利用二倍角公式變形化同名詳解：(1)當(dāng)時(shí)，，，所以.(2)，若.則，即.因?yàn)?，所以，所以，所?點(diǎn)睛：三角函數(shù)跟向量的綜合是高考當(dāng)中的熱點(diǎn)問(wèn)題，常常需要利用二倍角公式的逆用對(duì)得到的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終化簡(jiǎn)為的形式.21、（1）（2）【解