黑龍江省綏化市望奎縣第二中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

黑龍江省綏化市望奎縣第二中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若向長方形中隨機投擲1點，則該點恰好落在陰影部分的概率為（）附：若隨機變量，則，.A．0.1359 B．0.7282 C．0.6587 D．0.86412．已知，則()A．11 B．12 C．13 D．143．已知函數(shù)有三個不同的零點（其中），則的值為()A． B． C． D．14．已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足,則=A．-2i B．2i C．-2 D．25．小明同學(xué)喜歡籃球，假設(shè)他每一次投籃投中的概率為，則小明投籃四次，恰好兩次投中的概率是（）A． B． C． D．6．若，則的值為（）A．-2 B．-1 C．0 D．17．在正方體中，與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．若函數(shù)至少有1個零點，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．9．若全集，集合，則（）A． B． C． D．10．若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．2π＋2 B．4π＋2C．2π＋ D．4π＋11．在ΔABC中，cosA=sinB=12A．3 B．23 C．3 D．12．函數(shù)在上取得最小值時，的值為（）．A．0 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．冪函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則________.14．某天有10名工人生產(chǎn)同一零部件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則a、b、c從小到大的關(guān)系依次是________15．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－x2－2x＋5，若對任意x∈[1,2]都有f(x)<m成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．16．現(xiàn)有個大人，個小孩站一排進(jìn)行合影.若每個小孩旁邊不能沒有大人，則不同的合影方法有__________種．（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二次函數(shù)的圖象過原點，滿足，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點.求函數(shù)的解析式；設(shè)函數(shù)，若存在，使得對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知是正實數(shù))的展開式的二項式系數(shù)之和為128,展開式中含項的系數(shù)為84.(1)求的值；(2)求的展開式中有理項的系數(shù)和.19．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，曲線，，C與l有且僅有一個公共點．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O為極點，A，B為C上的兩點，且，求的最大值．20．（12分）已知函數(shù)，且的解集為．（1）求的值；（2）若，且，求證：．21．（12分）某校倡導(dǎo)為特困學(xué)生募捐，要求在自動購水機處每購買一箱礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢.現(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出礦泉水箱數(shù)和收入情況，列表如下：售出水量（單位：箱）76656收入（單位：元）165142148125150學(xué)校計劃將捐款以獎學(xué)金的形式獎勵給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎學(xué)金500元；綜合考核21～50名，獲二等獎學(xué)金300元；綜合考核50名以后的不獲得獎學(xué)金.（1）若售出水量箱數(shù)與成線性相關(guān)，則某天售出9箱水時，預(yù)計收入為多少元？（2）甲乙兩名學(xué)生獲一等獎學(xué)金的概率均為，獲二等獎學(xué)金的概率均為，不獲得獎學(xué)金的概率均為，已知甲乙兩名學(xué)生獲得哪個等級的獎學(xué)金相互獨立，求甲乙兩名學(xué)生所獲得獎學(xué)金之和的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：回歸直線方程，其中，.22．（10分）設(shè)不等式|2x-1|<1的解集為M，且a∈M,b∈M.（1）試比較ab+1與a+b的大??；（2）設(shè)maxA表示數(shù)集A中的最大數(shù)，且h=max{2

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性和性質(zhì)，再利用面積比的幾何概型求解概率，即得解.【題目詳解】由題意，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性，可得：故所求的概率為，故選：D【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布的圖像及其應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化與劃歸的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】∵，∴，整理，得，；解得,或(不合題意,舍去)；∴n的值為12.故選：B.3、D【解題分析】

令y=，從而求導(dǎo)y′=以確定函數(shù)的單調(diào)性及取值范圍，再令=t，從而化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，從而可得a＜﹣3或a＞1，討論求解即可．【題目詳解】令y=，則y′=，故當(dāng)x∈（0，e）時，y′＞0，y=是增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時，y′＞0，y=是減函數(shù)；且=﹣∞，=，=0；令=t，則可化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故結(jié)合題意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨設(shè)方程的兩個根分別為t1，t2，①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，與t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；②若a＞1，則方程的兩個根t1，t2一正一負(fù)；不妨設(shè)t1＜0＜t2，結(jié)合y=的性質(zhì)可得，=t1，=t2，=t2，故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；故選：D．【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查了函數(shù)的零點個數(shù)問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用．4、A【解題分析】由得,即,所以,故選A.【名師點睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運算的理論依據(jù),加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則,除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數(shù)化.注意下面結(jié)論的靈活運用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i.5、D【解題分析】分析：利用二項分布的概率計算公式：概率即可得出．詳解：：∵每次投籃命中的概率是，

∴在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率．

故在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率是．故選D.點睛：本題考查了二項分布的概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】

令，即可求出的值.【題目詳解】解：在所給等式中，令，可得等式為，即.故選：B.【題目點撥】本題考查二項式定理的展開使用及靈活變求值，特別是解決二項式的系數(shù)問題，常采用賦值法，屬于中檔題.7、B【解題分析】

證明與平面所成角為，再利用邊的關(guān)系得到正弦值.【題目詳解】如圖所示：連接與交于點，連接，過點作與平面所成角等于與平面所成角正方體平面平面與平面所成角為設(shè)正方體邊長為1在中故答案選B【題目點撥】本題考查了線面夾角，判斷與平面所成角為是解得的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.8、C【解題分析】

令，則函數(shù)至少有1個零點等價于函數(shù)至少有1個零點，對函數(shù)求導(dǎo)，討論和時，函數(shù)的單調(diào)性，以及最值的情況，即可求出滿足題意的實數(shù)的取值范圍?！绢}目詳解】由題可得函數(shù)的定義域為；令，則，函數(shù)至少有1個零點等價于函數(shù)至少有1個零點；；（1）當(dāng)時，則在上恒成立，即函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由零點定理可得當(dāng)時，函數(shù)在有且只有一個零點，滿足題意；（2）當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以要使函數(shù)至少有1個零點，則，解得：綜上所述：實數(shù)的取值范圍是：故答案選C【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)的問題，由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題。9、C【解題分析】

分別化簡求解集合U,A，再求補集即可【題目詳解】因為，，所以.故選：C【題目點撥】本題考查集合的運算，考查運算求解能力.10、C【解題分析】

試題分析：由三視圖知幾何體是一個簡單的組合體，上面是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個正方形，對角線長是，側(cè)棱長，高是，下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是，高是，所以組合體的體積是，故選C.考點：幾何體的三視圖及體積的計算.【方法點晴】本題主要考查了幾何體的三視圖及其體積的計算，著重考查了推理和運算能力及空間想象能力，屬于中檔試題，解答此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖的規(guī)則“長對正、寬相等、高平齊”的原則，還原出原幾何體的形狀，本題的解答中根據(jù)三視圖得出上面一個四棱錐、下面是一個圓柱組成的組合體，得到幾何體的數(shù)量關(guān)系是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

通過cosA=sinB=1【題目詳解】由于cosA=12，A∈(0,π)，可知A=π3，而sinB=12，B=π【題目點撥】本題主要考查解三角形的綜合應(yīng)用，難度不大.12、D【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性分析求解即可.【題目詳解】當(dāng)時,.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng),即時,取得最小值.故選：D【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的最值問題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義求出m的值，判斷即可．【題目詳解】若冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，則由m1﹣3m+3＝1解得：m＝1或m＝1，m＝1時，f（x）＝x，是增函數(shù)，m＝1時，f（x）＝1，是常函數(shù)（不合題意，舍去），故答案為1．【題目點撥】本題考查了冪函數(shù)的定義，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題．14、.【解題分析】

分析：將數(shù)據(jù)由小到大排列好，根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的概念得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)即可.詳解：根據(jù)提干得到中位數(shù)為b=15，眾數(shù)為c=17，平均數(shù)為=a.故.故答案為.點睛：這個題目考查了中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的概念和計算，較為基礎(chǔ),眾數(shù)即出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，中位數(shù)即最中間的數(shù)據(jù)，平均數(shù)即將所有數(shù)據(jù)加到一起，除以數(shù)據(jù)個數(shù).15、【解題分析】

,x∈[1,2]時，，在[1,2]上遞增，由題意知m大于f(x)在x∈[－1,2]上的最大值，求得f(x)max＝f(2)＝7，所以m>7.16、【解題分析】分析：根據(jù)題意可得可以小孩為對象進(jìn)行分類討論：第一類：2個小孩在一起，第二類小孩都不相鄰.分別計算求和即可得出結(jié)論。詳解：根據(jù)題意可得可以小孩為對象進(jìn)行分類討論：第一類：2個小孩在一起:,第二類：小孩都不在一起：，故不同的合影方法有216+144=360種，故答案為360點睛：考查計數(shù)原理和排列組合的綜合，對于此類題首先要把題意分析清楚，分清楚所討論的類別，再根據(jù)討論情況逐一求解即可，注意計算的準(zhǔn)確性.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解題分析】

（1）設(shè)函數(shù)，當(dāng)滿足時，函數(shù)關(guān)于對稱，且，這樣利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)題意可知，分別求兩個函數(shù)的的最大值，求解不等式.【題目詳解】解：設(shè)，所以的對稱軸方程為又，則兩式聯(lián)立，解得，所以由已知因為，所以在單增，單減，當(dāng)時，法一：當(dāng)時，在上為減函數(shù)，．，此時，解得當(dāng)時，上為增函數(shù)，此時，解得綜上，實數(shù)的取值范圍是或（法二：因為且，所以為單調(diào)函數(shù)，，又，于是由，解得又且，所以實數(shù)的取值范圍是或【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)解析式和最值的求法，對于第二問兩個都改成任意，那么轉(zhuǎn)化為，如果兩個都是存在，轉(zhuǎn)化為，理解任意，存在的問題如何轉(zhuǎn)化為最值的問題.18、（1）2,7；（2）1.【解題分析】

（1）由二項式系數(shù)和求得，然后再根據(jù)展開式中含項的系數(shù)為84求得．（2）由（1）先求出二項式中的有理項，結(jié)合題意可得展開式中的有理項，進(jìn)而得到所求．【題目詳解】（1）由題意可知，解得．故二項式展開式的通項為，令得含項的系數(shù)為，由題意得，又，∴．（2）由（1）得展開式的通項為，∴展開式中的有理項分別為，，，∴的展開式中有理項的系數(shù)和為1．【題目點撥】（1）本題考查二項展開式通項的應(yīng)用，這也是解決二項式問題的重要思路．二項式定理的應(yīng)用主要是對二項展開式正用、逆用，要充分利用二項展開式的特點和式子間的聯(lián)系．（2）解題時要把“二項式系數(shù)的和”與“各項系數(shù)和”，“奇(偶)數(shù)項系數(shù)和與奇(偶)次項系數(shù)和”嚴(yán)格地區(qū)別開來．19、（3）（3）【解題分析】

試題分析（I）把圓與直線的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出a；（II）不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ+，則|OA|+|OB|=3cosθ+3cos（θ+）=3cos（θ+），利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．解：（Ⅰ）曲線C：ρ=3acosθ（a＞2），變形ρ3=3ρacosθ，化為x3+y3=3ax，即（x﹣a）3+y3=a3．∴曲線C是以（a，2）為圓心，以a為半徑的圓；由l：ρcos（θ﹣）=，展開為，∴l(xiāng)的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3=2．由直線l與圓C相切可得=a，解得a=3．（Ⅱ）不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ+，則|OA|+|OB|=3cosθ+3cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=3cos（θ+），當(dāng)θ=﹣時，|OA|+|OB|取得最大值3．考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．20、（1）；（2）詳見解析.【解題分析】分析：（1）由條件可得的解集為，即的解集為，可得；（2）根據(jù)，展開后利用基本不等式可得結(jié)論.詳解