2024屆北京市育英學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末考試模擬試題含解析

2024屆北京市育英學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．3．設(shè)，，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．在某次高三聯(lián)考數(shù)學(xué)測(cè)試中，學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布，若在內(nèi)的概率為0.75，則任意選取一名學(xué)生，該生成績(jī)高于115的概率為（）A．0.25 B．0.1 C．0.125 D．0.55．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．6．下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是（）①，是無(wú)理數(shù)；②命題“?∈R，”的否定是“?x∈R，＋1≤3x”；③命題“若,則”的逆否命題為真命題；④。A．1 B．2 C．3 D．47．如果（，表示虛數(shù)單位），那么()A．1 B． C．2 D．08．下列四個(gè)命題中真命題是()A．同垂直于一直線的兩條直線互相平行B．底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C．過(guò)空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條D．過(guò)球面上任意兩點(diǎn)的大圓有且只有一個(gè)9．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）A． B． C． D．10．設(shè)集合U=x1≤x≤10,x∈Z，A=1,3,5,7,8，B=2,4,6,8A．2,4,6,7 B．2,4,5,9 C．2,4,6,8 D．2,4,6,11．曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．或 C． D．或12．已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．除以9的余數(shù)為_(kāi)______；14．已知矩陣，，則矩陣________.15．已知平面向量，滿足，，則向量與夾角的取值范圍是______.16．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)___．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列{an}，等比數(shù)列{bn}滿足：a1＝b1＝1，a2＝b2，2a3－b3＝1.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)記cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.18．（12分）在數(shù)列，中，，，且，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列（）.（1）求，，及，，；（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想，的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.19．（12分）已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，根據(jù)下列條件分別求實(shí)數(shù)的值.（Ⅰ）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)；（Ⅱ）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上.20．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（Ⅱ）當(dāng)不等式的解集為時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)與上下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為直徑的圓與直線相切．1求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；2設(shè)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且不重合于x軸的動(dòng)直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，探究在x軸上是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，試求出定值和點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（10分）假定某籃球運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中率均為.現(xiàn)有3次投籃機(jī)會(huì),并規(guī)定連續(xù)兩次投籃均不中即終止投籃,已知該運(yùn)動(dòng)員不放棄任何一次投籃機(jī)會(huì),且恰好用完3次投籃機(jī)會(huì)的概率是.(1)求的值；(2)設(shè)該運(yùn)動(dòng)員投籃命中次數(shù)為,求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：求出，且在第三象限，由此能將點(diǎn)M的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo).詳解：點(diǎn)M的直角坐標(biāo)，，在第三象限，.將點(diǎn)M的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo).故選B.點(diǎn)睛：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，常用方法有代入法、平方法等，還經(jīng)常會(huì)用到同乘(同除以)ρ等技巧．2、A【解題分析】

先化簡(jiǎn)集合A,B,再判斷每一個(gè)選項(xiàng)得解.【題目詳解】∵，，由此可知，，，，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】不能推出，反過(guò)來(lái)，若則成立，故為必要不充分條件.4、C【解題分析】

根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解即可得到所求概率．【題目詳解】由題意得，區(qū)間關(guān)于對(duì)稱，所以，即該生成績(jī)高于115的概率為．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求在給定區(qū)間上的概率，求解的關(guān)鍵是把所給區(qū)間用已知區(qū)間表示，并根據(jù)曲線的對(duì)稱性進(jìn)行求解，考查數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】，選C.6、B【解題分析】

由①中，比如當(dāng)時(shí)，就不成立；②中，根據(jù)存在性命題與全稱命題的關(guān)系，即可判定；③中，根據(jù)四種命題的關(guān)系，即可判定；④中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，即可判定，得到答案.【題目詳解】對(duì)于①中，比如當(dāng)時(shí)，就不成立，所以不正確；對(duì)于②中，命題“”的否定是“”，所以正確；③中，命題“若，則”為真命題，其逆否命題為真命題，所以正確；對(duì)于④中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，可得，所以錯(cuò)誤；故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了命題真假的判定，其中解答中熟記全稱命題與存在性命題的關(guān)系，以及四種命題的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】分析：復(fù)數(shù)方程左邊分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為的形式，利用復(fù)數(shù)相等求出即可詳解：解得故選點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)相等的充要條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，令其實(shí)部與虛部分別相等即可求出答案．8、C【解題分析】

通過(guò)“垂直于同一直線的兩條直線的位置關(guān)系不確定”可判斷A是否正確；通過(guò)“底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形”可判斷B是否正確；通過(guò)“兩條異面直線的公垂線是唯一的，所以經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條”可判斷C是否正確；通過(guò)“經(jīng)過(guò)球面上任意兩點(diǎn)的大圓有無(wú)數(shù)個(gè)”可判斷D是否正確。【題目詳解】A項(xiàng)：垂直于同一直線的兩條直線不一定互相平行，故A錯(cuò)；B項(xiàng)：底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故B錯(cuò)；C項(xiàng)：兩條異面直線的公垂線是唯一的，所以經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條，故C正確；D項(xiàng)：過(guò)球面上任意兩點(diǎn)的大圓有無(wú)數(shù)個(gè)，故D錯(cuò)，故選C項(xiàng)?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查了命題真假的判定以及解析幾何的相關(guān)性質(zhì)，考查了推理能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題，在進(jìn)行解析幾何的相關(guān)性質(zhì)的判斷時(shí)，可以根據(jù)圖像來(lái)判斷。9、B【解題分析】

函數(shù)，，令，解得x．利用三角函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)的單調(diào)性．【題目詳解】函數(shù)，，令，解得．∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．∴時(shí)函數(shù)取得極大值即最大值．．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．求三角函數(shù)的最值問(wèn)題，一般是通過(guò)兩角和差的正余弦公式將函數(shù)表達(dá)式化為一次一角一函數(shù)，或者化為熟悉的二次函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)來(lái)解決.10、D【解題分析】

先求出CUA,再求?【題目詳解】由題得CU所以?UA∩B故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這種知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】試題分析：設(shè)，或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義12、A【解題分析】

先用基本不等式求時(shí)函數(shù)的值域，然后利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到整個(gè)函數(shù)的值域.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，,則的值域?yàn)?故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查利用基本不等式求函數(shù)最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

將變?yōu)椋枚?xiàng)式定理展開(kāi)可知余數(shù)因不含因數(shù)的項(xiàng)而產(chǎn)生，從而可知余數(shù)為.【題目詳解】由題意得：除以的余數(shù)為：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查余數(shù)問(wèn)題的求解，考查學(xué)生對(duì)于二項(xiàng)式定理的掌握情況，關(guān)鍵是能夠配湊出除數(shù)的形式，屬于?？碱}型.14、【解題分析】

先求出，再與矩陣B相乘即可.【題目詳解】由已知，，所以.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查矩陣的乘法運(yùn)算，涉及到可逆矩陣的求法，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.15、【解題分析】

由已知，得，由，得，由不等式可知，再由，得，最后由可得解.【題目詳解】由，，得，即由，得，即由，得由，得所以，.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量及其模的運(yùn)算，考查了向量的夾角公式和基本不等式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.16、2【解題分析】

根據(jù)約束條件得到可行域，令，則取最大值時(shí)，在軸截距最大；通過(guò)平移可知過(guò)時(shí)即可，代入求得最大值.【題目詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：令，則取最大值時(shí)，在軸截距最大通過(guò)平移可知當(dāng)過(guò)時(shí)，在軸截距最大本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃求解最值的問(wèn)題，關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為截距最值的求解問(wèn)題，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)an＝bn＝1或an＝2n－1，bn＝3n－1.(2)Sn＝n或Sn＝(n－1)×3n＋1.【解題分析】

(1)先解方程組得到，即得數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式.(2)利用錯(cuò)位相減求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.【題目詳解】(1)設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，由已知可得,解得.從而an＝bn＝1或an＝2n－1，bn＝3n－1.(2)①當(dāng)an＝bn＝1時(shí)，cn＝1，所以Sn＝n；②當(dāng)an＝2n－1，bn＝3n－1時(shí)，cn＝(2n－1)×3n－1，Sn＝1＋3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)×3n－1，3Sn＝3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n－1)×3n，從而有(1－3)Sn＝1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n－1)×3n＝1＋2(3＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝1＋2×－(2n－1)×3n＝－2(n－1)×3n－2，故Sn＝(n－1)×3n＋1.綜合①②，得Sn＝n或Sn＝(n－1)×3n＋1.【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查等比等差數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查錯(cuò)位相減求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則采用錯(cuò)位相減法.18、(1)，，，，，(2)猜想，，證明見(jiàn)解析【解題分析】分析：（1）根據(jù)條件中，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列及所給數(shù)據(jù)求解即可．（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明．詳解：（1）由已知條件得，，由此算出，，，，，.（2）由（1）的計(jì)算可以猜想，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，由已知，可得結(jié)論成立.②假設(shè)當(dāng)（且）時(shí)猜想成立，即，.則當(dāng)時(shí)，，，因此當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.由①②知，對(duì)一切都有，成立．點(diǎn)睛：用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)要嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟書寫，特別是對(duì)初始值的驗(yàn)證不可省略，有時(shí)可能要取兩個(gè)(或兩個(gè)以上)初始值進(jìn)行驗(yàn)證，初始值的驗(yàn)證是歸納假設(shè)的基礎(chǔ)；第二步的證明是遞推的依據(jù)，證明時(shí)必須要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)純虛數(shù)為實(shí)部為0，虛部不為0即可得到方程，于是求得答案；（Ⅱ）將復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)表示出來(lái)，代入直線上，即可得到答案.【題目詳解】解：因?yàn)椋瑥?fù)數(shù)可表示為，（Ⅰ）因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以解得；（Ⅱ）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上所以即解得或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查純虛數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何意義等相關(guān)概念，難度較小.20、(Ⅰ)(Ⅱ)或【解題分析】

(Ⅰ)根據(jù)的范圍得到分段函數(shù)的解析式，從而分別在三段區(qū)間上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由絕對(duì)值三角不等式得到的最小值，則最小值大于，得到不等式，解不等式求得結(jié)果.【題目詳解】(Ⅰ)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，無(wú)解綜上，的解集為(Ⅱ)當(dāng)，即時(shí),時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)，即時(shí),時(shí)等號(hào)成立所以的最小值為即或【題目點(diǎn)撥】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解、絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用問(wèn)題，屬于常規(guī)題型.21、（1）；（2）定點(diǎn)為.【解題分析】分析：（1）根據(jù)一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓與直線相切，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于、、的方程組，求出、、，即可得結(jié)果；(2)設(shè)直線聯(lián)立，得.假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，由韋達(dá)定理，利用平面向量數(shù)量積公式可得，要使為定值，則的值與無(wú)關(guān)，所以，從而可得結(jié)果.詳解：（1）由題意知，，解得則橢圓的方程是（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線聯(lián)立，得所以假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得為定值。所以要使為定值，則的值與無(wú)關(guān)，所以解得，此時(shí)為定值，定點(diǎn)為②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，也成立所以，綜上所述，在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值點(diǎn)睛：本題主要考查待定待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的定值問(wèn)題以及點(diǎn)在曲線上問(wèn)題，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，先根?jù)特殊位置和數(shù)值