2024屆北京市西城66中高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆北京市西城66中高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．2．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對值為5的概率為A． B． C． D．3．在中，，BC邊上的高等于,則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，，若在上有且只有一個零點，則的范圍是()A． B．C． D．5．函數(shù)的定義域為，且，當時，；當時，，則A．672 B．673 C．1345 D．13466．已知離散型隨機變量的分布列為表格所示，則隨機變量的均值為（）0123A． B． C． D．7．三位女歌手與三位男歌手站成一排合影，要求每位女歌手互不相鄰，則不同的排法數(shù)為A．48 B．72 C．120 D．1448．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知回歸直線的斜率的估計值為1.8，樣本點的中心為（4，5），則回歸直線方程是（）A． B． C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A． B． C． D．11．從混有4張假鈔的10張一百元紙幣中任意抽取3張，若其中一張是假幣的條件下，另外兩張都是真幣的概率為（）A． B． C． D．12．在中，若，，，則的外接圓半徑，將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體中，若、、兩兩互相垂直，，，，則四面體的外接球半徑（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復數(shù)z=2-i14．已知向量.若與共線，則在方向上的投影為______________.15．若與的夾角為，，，則________.16．已知集合，則實數(shù)的取值范圍是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量（單位：瓶）為多少時，的數(shù)學期望達到最大值？18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；（2）設(shè)點在上，點在上，求的最小值及此時的直角坐標.19．（12分）設(shè)復數(shù)，復數(shù)．（Ⅰ）若，求實數(shù)的值.（Ⅱ）若，求實數(shù)的值.20．（12分）已知數(shù)列的前項和，函數(shù)對任意的都有，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和，是否存在正實數(shù)，使不等式對于一切的恒成立？若存在請求出的取值范圍；若不存在請說明理由．21．（12分）假設(shè)某種人壽保險規(guī)定，投保人沒活過65歲，保險公司要賠償10萬元；若投保人活過65歲，則保險公司不賠償，但要給投保人一次性支付4萬元已知購買此種人壽保險的每個投保人能活過65歲的概率都為，隨機抽取4個投保人，設(shè)其中活過65歲的人數(shù)為，保險公司支出給這4人的總金額為萬元(參考數(shù)據(jù)：)(1)指出X服從的分布并寫出與的關(guān)系；(2)求.(結(jié)果保留3位小數(shù))22．（10分）已知函數(shù)．（1）若，證明：；（2）若只有一個極值點，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由，得，則，故選A.2、A【解題分析】

陽數(shù)：，陰數(shù)：，然后分析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對值為5的情況數(shù)，最后計算相應(yīng)概率.【題目詳解】因為陽數(shù)：，陰數(shù)：，所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對值有：個，滿足差的絕對值為5的有：共個，則.故選：A.【題目點撥】本題考查實際背景下古典概型的計算，難度一般.古典概型的概率計算公式：.3、C【解題分析】試題分析：設(shè),故選C.考點：解三角形.4、B【解題分析】

將問題轉(zhuǎn)化為在有且僅有一個根，考慮函數(shù)，的單調(diào)性即可得解.【題目詳解】由題，所以不是函數(shù)的零點；當，有且只有一個零點，即在有且僅有一個根，即在有且僅有一個根，考慮函數(shù)，由得：，由得：所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，，，，要使在有且僅有一個根，即或則的范圍是故選：B【題目點撥】此題考查根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于等價轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)單調(diào)性解決問題，常用分離參數(shù)處理問題.5、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)周期的定義，得到函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，進而求得的值，進而得到，即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的定義域為，且，則函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，又由當時，，則，當時，，則，由函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，則則，所以，故選D.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)周期性的應(yīng)用，以及函數(shù)值的計算，其中解答中根據(jù)函數(shù)周期性的定義，求得函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】分析：利用離散型隨機變量分布列的性質(zhì)求得到，進而得到隨機變量的均值詳解：由已知得，解得：∴E（X）=故選：C點睛：本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的求法，考查離散型隨機變量的基本性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

女歌手不相鄰，則先排男生，再對女生插空即可.【題目詳解】由插空法得．選D.【題目點撥】本題考查排列組合用插空法解決問題，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】,,故函數(shù)在區(qū)間上遞增,,,故函數(shù)在上遞減.所以,解得,故選B.9、D【解題分析】

根據(jù)回歸直線必過樣本點的中心可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】回歸直線斜率的估計值為1.8，且回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，，即.故選：.【題目點撥】本題考查回歸直線的求解問題，關(guān)鍵是明確回歸直線必過樣本點的中心，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

分析程序中兩個變量和流程圖可知，該算法為先計算后判斷的直到型循環(huán)，模擬執(zhí)行程序，即可得到答案.【題目詳解】程序執(zhí)行如下終止條件判斷否否否否否否是故當時，程序終止，所以判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件應(yīng)為.故選：B.【題目點撥】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確判斷循環(huán)的類型和終止循環(huán)的條件是解題關(guān)鍵11、A【解題分析】分析:直接利用條件概率公式求解.詳解：由條件概率公式得.故答案為A點睛：（1）本題主要考查條件概率，意在考查學生對條件概率的掌握水平.(2)條件概率一般有“在已發(fā)生的條件下”這樣的關(guān)鍵詞，表明這個條件已經(jīng)發(fā)生，發(fā)生了才能稱為條件概率.但是有時也沒有，要靠自己利用條件概率的定義識別.12、A【解題分析】

四面體中，三條棱、、兩兩互相垂直，則可以把該四面體補成長方體，長方體的外接球就是四面體的外接球，則半徑易求.【題目詳解】四面體中，三條棱、、兩兩互相垂直，則可以把該四面體補成長方體，，，是一個頂點處的三條棱長.所以外接球的直徑就是長方體的體對角線，則半徑.故選A.【題目點撥】本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)，多面體的外接球問題，合情推理.由平面類比到立體，結(jié)論不易直接得出時，需要從推理方法上進行類比，用平面類似的方法在空間中進行推理論證，才能避免直接類比得到錯誤結(jié)論.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2-【解題分析】試題分析：：z=2-i3=考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．14、【解題分析】

先根據(jù)與共線求出的值，再利用向量的投影公式求在方向上的投影.【題目詳解】∵∴.又∵與共線，∴，∴，∴，∴在方向上的投影為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查向量共線的坐標表示和向量的投影的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

，由此求出結(jié)果.【題目詳解】解：與的夾角為，，，.故答案為：.【題目點撥】本題考查向量的模的求法，考查向量的數(shù)量積公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

通過，即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，則，所以實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題主要集合交的運算，難度較小.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析；（2）520.【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，，；（2）分兩種情況：當時，當時，分別得到利潤表達式.詳解：（1）由題意知，所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，，.因此的分布列為0.20.40.4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮當時，若最高氣溫不低于25，則；若最高氣溫位于區(qū)間，則；若最高氣溫低于20，則因此當時，若最高氣溫不低于20，則，若最高氣溫低于20，則，因此所以時，的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元.方法點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.18、（1）的普通方程為：，的直角坐標方程為：（2）的最小值為，此時的直角坐標為【解題分析】

（1）直接利用參數(shù)方程和極坐標方程公式得到答案.（2）最小值為點到直線的距離，,再根據(jù)三角函數(shù)求最值.【題目詳解】（1）：，化簡：.：，由，，化簡可得：.所以的普通方程為：，的直角坐標方程為：；（2）由題意，可設(shè)點的直角坐標為，因為是直線，所以的最小值，即為到的距離的最小值，利用三角函數(shù)性質(zhì)求得最小值.，其中，，當且僅當，時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為.【題目點撥】本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程，利用三角函數(shù)求最小值可以簡化運算.19、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解題分析】

（Ⅰ）先由復數(shù)的加法法則得出，再利用復數(shù)的乘方得出，并表示為一般形式，由虛部為零求出實數(shù)的值；（Ⅱ）解法1：利用復數(shù)的除法法則求出，并表示為一般形式，利用復數(shù)相等列方程組，求出實數(shù)與的值；解法2：由變形為，利用復數(shù)的乘法將等式左邊復數(shù)表示為一般形式，再利用復數(shù)相等列方程組求出實數(shù)與的值．【題目詳解】（Ⅰ）===因為，所以，，；（Ⅱ）解法1：，所以，因此，；解法2：，則，所以．【題目點撥】本題考查復數(shù)相等求未知數(shù)，解題的關(guān)鍵就是利用復數(shù)的四則運算法則將復數(shù)表示為一般形式，明確復數(shù)的實部和虛部，再由復數(shù)列方程組求解即可，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、(1)，;(2).【解題分析】分析：（1）利用的關(guān)系，求解；倒序相加求。（2）先用錯位相減求，分離參數(shù)，使得對于一切的恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最值。詳解：（1）時滿足上式，故∵=1∴∵①∴②∴①+②，得.（2）∵，∴∴①，②①－②得即要使得不等式恒成立，恒成立對于一切的恒成立，即，令，則當且僅當時等號成立，故所以為所求.點睛：1、，一定要注意，當時要驗證是否滿足數(shù)列。2、等比乘等差結(jié)構(gòu)的數(shù)列用錯位相減。3、數(shù)列中的恒成立問題與函數(shù)中的恒成立問題解法一致。21、(1)；；(2)【解題分析】

（1）先由題意可得，服從二項分布；再由題意得到，化簡即可得出結(jié)果；（2）先由，根據(jù)（1）的結(jié)果，得到，進而可得，即可求出結(jié)果.【題目詳解】(1)由題意得，服從二項分布，即，因為4個投保人中，活過65歲的人數(shù)為，則沒活過65歲的人數(shù)為，因此，即.(2)由得，所以，所以=.所以約為.【題目點撥】本題主要考查二項分布的問題，熟記二項分布的概率計算公式即可，屬于?？碱}型.22、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

（1）將代入，可得等價于，即，令，求出，可得的最小值，可得證；（2）分，三種情況討論，分別對求導，其中又分①若②③三種情況，利用函數(shù)的零點存在定理可得a的取值范圍.【題目詳解】解：（1）當時，等價于，即；設(shè)函數(shù)，則，當時，；當時，．所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故為的最小值，而，故，即．（2），設(shè)函數(shù)，則；（i）當時，，在上單調(diào)遞增，又，取b滿足且，則，故在上有唯一一個零點，且當時，，時，