浙江省寧波效實(shí)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

浙江省寧波效實(shí)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，且.則展開式中的系數(shù)為（）A．12 B．-12 C．4 D．-42．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（）A． B． C． D．3．若函數(shù)則（）A．-1 B．0 C．1 D．24．已知函數(shù)，如果，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若某校研究性學(xué)習(xí)小組共6人，計(jì)劃同時(shí)參觀科普展，該科普展共有甲，乙，丙三個(gè)展廳，6人各自隨機(jī)地確定參觀順序，在每個(gè)展廳參觀一小時(shí)后去其他展廳，所有展廳參觀結(jié)束后集合返回，設(shè)事件A為：在參觀的第一小時(shí)時(shí)間內(nèi)，甲，乙，丙三個(gè)展廳恰好分別有該小組的2個(gè)人；事件B為：在參觀的第二個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人，則（）．A． B． C． D．6．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，且不在直線上，則周長(zhǎng)的最小值為A． B． C． D．7．斐波那契螺旋線，也稱“黃金蜾旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列（1，1，2，3，5，8…）畫出來(lái)的螺旋曲線，由中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列奧納多?斐波那契最先提出．如圖，矩形ABCD是以斐波那契數(shù)為邊長(zhǎng)的正方形拼接而成的，在每個(gè)正方形中作一個(gè)圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連成的弧線就是斐波那契螺旋線的一部分．在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．8．如果的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是（）A．21 B． C．7 D．9．區(qū)間[0，5]上任意取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則滿足x[0，1]的概率為A． B． C． D．10．觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則=A． B． C． D．11．10張獎(jiǎng)券中有3張是有獎(jiǎng)的，某人從中依次抽取兩張.則在第一次抽到中獎(jiǎng)券的條件下，第二次也抽到中獎(jiǎng)券的概率是()A． B． C． D．12．若直線把圓分成面積相等的兩部分，則當(dāng)取得最大值時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離是（）A．4B．C．2D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某學(xué)校擬從2名男教師和1名女教師中隨機(jī)選派2名教師去參加一個(gè)教師培訓(xùn)活動(dòng)，則2名男教師去參加培訓(xùn)的概率是_______．14．如圖，兩條距離為4的直線都與軸平行，它們與拋物線和圓分別交于，和，，且拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則的最大值為______.15．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且，將射線繞著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，并在所得射線上取一點(diǎn)，使得，連接，則的面積為__________．16．北緯圈上有A，B兩點(diǎn)，該緯度圈上劣弧長(zhǎng)為（R為地球半徑），則A，B兩點(diǎn)的球面距離為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知過(guò)點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程是為參數(shù)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程式為．（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，且，求實(shí)數(shù)m的值18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.19．（12分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).20．（12分）在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)：(1)求點(diǎn)D到平面A1BE的距離；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)F，使得B1F∥平面A1BE，若存在，指明點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（12分）對(duì)于給定的常數(shù),設(shè)隨機(jī)變量.（1）求概率.①說(shuō)明它是二項(xiàng)式展開式中的第幾項(xiàng)；②若,化簡(jiǎn)：；（2）設(shè)，求，其中為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知矩陣.（1）求直線在對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的曲線方程；（2）求矩陣的特征值與特征向量.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

求定積分得到的值，可得的值，再把按照二項(xiàng)式定理展開式，可得中的系數(shù)．【題目詳解】∵，且，則展開式，故含的系數(shù)為，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求定積分，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】由正態(tài)分布的特征得＝，選A.3、B【解題分析】

利用函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值即可．【題目詳解】函數(shù)∴，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

由函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把不等式，轉(zhuǎn)化為，即可求解．【題目詳解】由函數(shù)，可得，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，又由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，即，所以，解得，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性，合理轉(zhuǎn)化不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】

先求事件A包含的基本事件，再求事件AB包含的基本事件，利用公式可得.【題目詳解】由于6人各自隨機(jī)地確定參觀順序，在參觀的第一小時(shí)時(shí)間內(nèi)，總的基本事件有個(gè)；事件A包含的基本事件有個(gè)；在事件A發(fā)生的條件下，在參觀的第二個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人的基本事件為個(gè)，而總的基本事件為，故所求概率為,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查條件概率的求解，注意使用縮小事件空間的方法求解.6、C【解題分析】

求△MAF周長(zhǎng)的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，根據(jù)拋物線的定義，可知|MF|=|MD|，因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)D，M，A三點(diǎn)共線時(shí)|MA|+|MD|最小，因此最小值為xA﹣（﹣1）=5+1=6，∵|AF|==5，∴△MAF周長(zhǎng)的最小值為11，故答案為：C．7、B【解題分析】

根據(jù)幾何概型的概率公式，分別求出陰影部分面積和矩形ABCD的面積，即可求得?！绢}目詳解】由已知可得：矩形的面積為，又陰影部分的面積為，即點(diǎn)取自陰影部分的概率為，故選。【題目點(diǎn)撥】本題主要考查面積型的幾何概型的概率求法。8、A【解題分析】

令，則該式等于系數(shù)之和，可求出n，由二項(xiàng)展開式公式即可求得展開式中某項(xiàng)的系數(shù).【題目詳解】令，則，解得：，由二項(xiàng)展開式公式可得項(xiàng)為：，所以系數(shù)為21.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開式系數(shù)之和與某項(xiàng)系數(shù)的求法，求系數(shù)之和時(shí)，一般令，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)之和為.9、A【解題分析】

利用幾何概型求解即可.【題目詳解】由幾何概型的概率公式得滿足x[0，1]的概率為.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何概型的概率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.10、D【解題分析】由歸納推理可知偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則是奇函數(shù)，所以，應(yīng)選答案D．11、B【解題分析】

根據(jù)第一次抽完的情況下重新計(jì)算總共樣本數(shù)和滿足條件樣本數(shù)，再由古典概型求得概率?！绢}目詳解】在第一次抽中獎(jiǎng)后，剩下9張獎(jiǎng)券，且只有2張是有獎(jiǎng)的，所以根據(jù)古典概型可知，第二次中獎(jiǎng)的概率為。選B.【題目點(diǎn)撥】事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為“事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率”，記為；條件概率常有兩種處理方法：（1）條件概率公式：。（2）縮小樣本空間，即在事件A發(fā)生后的己知事實(shí)情況下，用新的樣本空間的樣本總數(shù)和滿足特征的樣本總數(shù)來(lái)計(jì)算事件B發(fā)生的概率。12、D【解題分析】依題意可知直線過(guò)圓心，代入直線方程得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)當(dāng)好成立，此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求解即可.【題目詳解】從名教師中選派名共有：種選法名男教師參加培訓(xùn)有種選法所求概率：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型概率問(wèn)題的求解，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

先設(shè)直線的方程為，再利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系將用表示，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可得解.【題目詳解】解：由拋物線的準(zhǔn)線與圓相切得或7，又，∴.設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，則.設(shè)，，令，得；令，得.即函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故，從而的最大值為，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題.15、【解題分析】

由余弦定理求得，再結(jié)合正弦定理得，進(jìn)而得，得，則面積可求【題目詳解】由，得，解得.因?yàn)?，所以，，所?又因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題16、【解題分析】

先求出北緯圈所在圓的半徑，是、兩地在北緯圈上對(duì)應(yīng)的圓心角，得到線段的長(zhǎng)，設(shè)地球的中心為，解三角形求出的大小，利用弧長(zhǎng)公式求、這兩地的球面距離．【題目詳解】解：北緯圈所在圓的半徑為，它們?cè)诰暥热ι纤鶎?duì)應(yīng)的劣弧長(zhǎng)等于為地球半徑），是、兩地在北緯圈上對(duì)應(yīng)的圓心角），故，線段，，、這兩地的球面距離是，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查球的有關(guān)經(jīng)緯度知識(shí)，球面距離，弧長(zhǎng)公式，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）或【解題分析】分析：（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

（2）利用方程組求出一元二次方程，利用根和系數(shù)的關(guān)系式求出結(jié)果．詳解：（1）過(guò)點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程是為參數(shù)．轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：，曲線C的極坐標(biāo)方程式為．轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：．（2）直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，則：把為參數(shù)，代入曲線方程，整理得：．由于，故：．解得：或點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）將代入不等式，討論范圍去絕對(duì)值符號(hào)解得不等式.（2）利用絕對(duì)值三角不等式得到答案.【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí)，綜上(2)恒成立恒成立解不等式可得【題目點(diǎn)撥】本題考查了解絕對(duì)值不等式，絕對(duì)值三角不等式，利用絕對(duì)值三角不等式將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.19、（1）；（2）.【解題分析】

(1)利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角，再由兩角和的正弦可求出角；(2)利用三角形面積公式可得到，再由余弦定理可求出的周長(zhǎng)；【題目詳解】(1)由正弦定理知，∴，∴，.（或用余弦定理將換掉求解）(2)由(1)及已知可得，解得，由余弦定理知，∴，∴的周長(zhǎng)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理、余弦定理以及面積公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于較易題.20、(1)；(2)存在點(diǎn)，為中點(diǎn)【解題分析】

（1）根據(jù)體積橋，首先求解出，進(jìn)而根據(jù)解三角形的知識(shí)可求得，從而可構(gòu)造關(guān)于所求距離的方程，解方程求得結(jié)果；（2）將平面延展，與底面交于且為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)可作出的平行線，交于，為中點(diǎn)，即為所求的點(diǎn)；證明時(shí)，取中點(diǎn)，利用中位線可證得，從而可知平面，再利用平行四邊形證得，利用線面平行判定定理可證得結(jié)論.【題目詳解】（1）連接，，則又，，設(shè)點(diǎn)D到平面A1BE的距離為則，解得：即點(diǎn)D到平面A1BE的距離為：（2）存在點(diǎn)，為中點(diǎn)證明如下：取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)又，則四點(diǎn)共面平面又四邊形為平行四邊形，又平面平面【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到平面距離的求解、補(bǔ)全線面平行條件的問(wèn)題.求解點(diǎn)到平面距離通常采用體積橋的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為棱錐的高的求解問(wèn)題.21、(1);①;②;（2）.【解題分析】

(1)由二項(xiàng)分布的通項(xiàng)公式可得答案；①對(duì)比二項(xiàng)展開式可得項(xiàng)數(shù)；②將展開對(duì)比可得答案；（2）通過(guò)二項(xiàng)分布期望公式即得答案.【題目詳解】(1)由于隨機(jī)變量，故；它是二項(xiàng)式展開式中的第項(xiàng)；若，則，所以；（2）由（1）知，而，故，，所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)分布與二項(xiàng)式定理的聯(lián)系，意在考查學(xué)生的分析能力，轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度中等.22、（1）；（2）屬于特征值的一個(gè)特征向量為，屬于特征值的一個(gè)特征向量為.【解題分析】

（1）設(shè)是