《線性系統(tǒng)復(fù)習(xí)》課件

線性系統(tǒng)復(fù)習(xí)contents目錄線性系統(tǒng)的基本概念線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性系統(tǒng)的時域分析線性系統(tǒng)的頻域分析線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析線性系統(tǒng)的控制設(shè)計線性系統(tǒng)的基本概念01線性系統(tǒng)是指系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表示為線性方程組的系統(tǒng)，即系統(tǒng)的輸出與輸入之間滿足線性關(guān)系。線性系統(tǒng)的輸出量與輸入量之間成正比關(guān)系，即當(dāng)輸入量增加或減少時，輸出量也相應(yīng)地按比例增加或減少。線性系統(tǒng)的輸出量與輸入量之間的關(guān)系可以用線性方程組來表示，其中不包含非線性項。線性系統(tǒng)的定義線性系統(tǒng)的特性系統(tǒng)的輸出量與輸入量的作用方式無關(guān)，即不同的輸入量同時作用于系統(tǒng)時，其輸出量互不影響。獨立性線性系統(tǒng)的輸出量可以由輸入量的線性組合得到，即多個輸入量同時作用于系統(tǒng)時，其輸出量等于各個輸入量單獨作用于系統(tǒng)時的輸出量之和。疊加性當(dāng)輸入量乘以一個常數(shù)時，輸出量也乘以相同的常數(shù)。齊次性時不變系統(tǒng)系統(tǒng)的特性不隨時間而改變，即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不隨時間而變化。時變系統(tǒng)系統(tǒng)的特性隨時間而改變，即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)隨時間而變化。連續(xù)時間系統(tǒng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸出變量都是連續(xù)變化的。離散時間系統(tǒng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸出變量都是離散變化的。線性系統(tǒng)的分類線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型0203應(yīng)用線性微分方程在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。01定義線性微分方程是包含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的方程，且方程中的未知函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的。02求解方法常用的求解線性微分方程的方法有分離變量法、常數(shù)變易法、參數(shù)法和積分因子法等。線性微分方程線性差分方程是包含未知函數(shù)及其前若干項的差分的方程，且方程中的未知函數(shù)和其差分都是一次的。定義常用的求解線性差分方程的方法有迭代法、遞推法、特征根法和常數(shù)變易法等。求解方法線性差分方程在離散系統(tǒng)的模擬、時間序列分析、統(tǒng)計學(xué)等領(lǐng)域都有應(yīng)用。應(yīng)用線性差分方程狀態(tài)方程是描述系統(tǒng)狀態(tài)變化的數(shù)學(xué)模型，通常由一組微分方程或差分方程組成。定義求解方法應(yīng)用狀態(tài)方程的求解方法包括分離變量法、常數(shù)變易法、參數(shù)法和狀態(tài)反饋控制等。狀態(tài)方程在控制系統(tǒng)、電路分析、網(wǎng)絡(luò)分析等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。030201狀態(tài)方程線性系統(tǒng)的框圖表示是一種用圖形方式描述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和功能的表示方法。定義框圖由各種基本元件（如輸入、輸出、加法器、乘法器等）和連接線組成。組成元素框圖表示方法在系統(tǒng)分析和設(shè)計中非常有用，可以幫助人們直觀地理解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和功能。應(yīng)用線性系統(tǒng)的框圖表示線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性03內(nèi)部穩(wěn)定性如果系統(tǒng)在零輸入下的狀態(tài)隨時間收斂于零，則稱系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定性如果系統(tǒng)是輸入/輸出穩(wěn)定和內(nèi)部穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。輸入/輸出穩(wěn)定性如果系統(tǒng)對任何有界輸入產(chǎn)生的有界輸出，則稱系統(tǒng)是輸入/輸出穩(wěn)定的。穩(wěn)定性的定義代數(shù)判據(jù)利用線性系統(tǒng)的特征根和矩陣的行列式、跡等代數(shù)性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。輸入/輸出判據(jù)利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或頻率響應(yīng)函數(shù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。零極點判據(jù)利用系統(tǒng)的極點和零點來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判別穩(wěn)定性的方法線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不隨輸入的改變而改變，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。線性不變性傳遞函數(shù)的極點和零點決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，極點越靠近虛軸，系統(tǒng)越不穩(wěn)定；零點越遠(yuǎn)離虛軸，系統(tǒng)越穩(wěn)定。傳遞函數(shù)的性質(zhì)頻率響應(yīng)函數(shù)的極點和零點與傳遞函數(shù)的極點和零點一一對應(yīng)，也可以用來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。頻率響應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)穩(wěn)定性的性質(zhì)線性系統(tǒng)的時域分析04零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)沒有輸入信號時，由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的系統(tǒng)輸出。零狀態(tài)響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)處于某一初始狀態(tài)時，輸入信號引起的系統(tǒng)輸出。一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)01一階系統(tǒng)的特點是其微分方程中只包含一個積分項或一個一階導(dǎo)數(shù)項。02一階系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)通常是一個指數(shù)函數(shù)，其時間常數(shù)決定了響應(yīng)的速度。一階系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以通過求解一階常微分方程得到。03010203二階系統(tǒng)的特點是其微分方程中包含兩個一階導(dǎo)數(shù)項或一個二階導(dǎo)數(shù)項。二階系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可能包含指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)，取決于系統(tǒng)的阻尼比和自然頻率。二階系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以通過求解二階常微分方程得到，通常采用復(fù)數(shù)解法。二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)全響應(yīng)是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，它包括了系統(tǒng)對所有輸入信號的響應(yīng)。全響應(yīng)可以通過疊加原理得到，即分別求出零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，然后將它們相加。全響應(yīng)是線性系統(tǒng)時域分析的重要概念，它反映了系統(tǒng)的全部動態(tài)特性。線性系統(tǒng)的全響應(yīng)線性系統(tǒng)的頻域分析05定義通過系統(tǒng)傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的極點和零點進行計算，或者通過實驗測量獲得。計算方法物理意義頻率響應(yīng)函數(shù)描述了系統(tǒng)對不同頻率信號的增益和相位響應(yīng)，是分析線性系統(tǒng)動態(tài)特性的重要工具。頻率響應(yīng)函數(shù)是線性系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的比值，表示系統(tǒng)在不同頻率下的性能特性。頻率響應(yīng)函數(shù)123頻率響應(yīng)函數(shù)的實部表示系統(tǒng)的增益特性，虛部表示系統(tǒng)的相位特性。實部和虛部頻率響應(yīng)函數(shù)的極點和零點與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點和零點相對應(yīng)，反映了系統(tǒng)的動態(tài)特性。極點和零點頻率響應(yīng)函數(shù)的模值小于1時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；模值大于1時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性頻率響應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)系統(tǒng)性能分析通過分析頻率響應(yīng)函數(shù)，可以了解系統(tǒng)在不同頻率下的性能表現(xiàn)，如帶寬、阻尼比等。系統(tǒng)設(shè)計和優(yōu)化在系統(tǒng)設(shè)計和優(yōu)化過程中，頻率響應(yīng)函數(shù)是重要的設(shè)計指標(biāo)，用于指導(dǎo)系統(tǒng)的參數(shù)調(diào)整和優(yōu)化。控制工程在控制工程中，頻率響應(yīng)函數(shù)用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性，為控制系統(tǒng)設(shè)計和優(yōu)化提供依據(jù)。頻域分析的應(yīng)用線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析06狀態(tài)變量描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變量，通常選取系統(tǒng)的輸入、輸出和內(nèi)部狀態(tài)作為狀態(tài)變量。狀態(tài)方程描述系統(tǒng)狀態(tài)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方程，通常采用差分方程或微分方程形式。輸出方程描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)變量關(guān)系的數(shù)學(xué)方程，通常采用差分方程或微分方程形式。狀態(tài)空間的基本概念030201通過代數(shù)方法求解狀態(tài)方程，得到狀態(tài)變量的解析解。解析法采用數(shù)值計算方法求解狀態(tài)方程，如歐拉法、龍格-庫塔法等。數(shù)值法求解狀態(tài)方程時需要給出狀態(tài)變量的初始值，初始值的選擇對求解結(jié)果有很大影響。狀態(tài)變量的初始值狀態(tài)方程的解法描述系統(tǒng)狀態(tài)變量之間轉(zhuǎn)移關(guān)系的矩陣，通過求解狀態(tài)方程得到。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣描述系統(tǒng)輸入和輸出之間關(guān)系的矩陣，由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或微分方程得到。系統(tǒng)矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和系統(tǒng)矩陣線性系統(tǒng)的控制設(shè)計07可控性系統(tǒng)狀態(tài)可以由控制輸入從任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意目標(biāo)狀態(tài)的能力?？捎^性通過系統(tǒng)輸出能夠推斷系統(tǒng)狀態(tài)的能力?？煽匦耘袚?jù)若系統(tǒng)的可控性矩陣滿秩，則系統(tǒng)可控?？捎^性判據(jù)若系統(tǒng)的可觀性矩陣滿秩，則系統(tǒng)可觀。線性系統(tǒng)的可控性和可觀性在有限時間區(qū)間內(nèi)，使某種性能指標(biāo)（如系統(tǒng)狀態(tài)和控制變量的二次范數(shù)）達到最優(yōu)。線性二次調(diào)節(jié)器問題將系統(tǒng)狀態(tài)作為反饋信息，用于調(diào)整控制輸入。狀態(tài)反饋通過求解最優(yōu)控制問題，得到最優(yōu)控制輸入。最優(yōu)控制策略最優(yōu)