人教版數(shù)學(xué)九年級上冊第6講 圖形的旋轉(zhuǎn)-中心對稱滿分練習(xí)題（含解析）

第6講圖形的旋轉(zhuǎn)-中心對稱

知識點(diǎn)1圖形的旋轉(zhuǎn)

圖形的旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形

的旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。

旋轉(zhuǎn)的三個(gè)要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)的角度和旋轉(zhuǎn)方向.

圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

1、經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，

2、任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

3、一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，任意一組對應(yīng)點(diǎn)

與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。

【典例】

1.如圖，將木條a,b與c釘在一起，Zl=70°,Z2=50°,要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)

的度數(shù)至少是

【答案】20。

【解析】解：如圖.

?.?/AOC=N2=50°時(shí)，OA〃b,

.,?要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是70。-50°=20°?

2.如圖，AABC為鈍角三角形，將AABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。得到△ABC，,連接

【解析】解：?將AABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。得到AABC,

/BAB，=/CAC'=120。，AB=AB\

.,.NABP=L(180°-120°)=30°,

2

VAC,#BB,,

NC'AB'=NAB'B=30°,

ZCAB,=ZCAC,-NC'AB'=120°-30°=90°?

3.如圖，將AABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到AEBD,若點(diǎn)A恰好在ED的延長線上，則/

CAD的度數(shù)為

【答案】180°-a

【解析】解：由題意可得，

ZCBD=a,ZACB=ZEDB,

,.-ZEDB+ZADB=180°,

，/ADB+/ACB=180°,

,/ZADB+ZDBC+ZBCA+ZCAD=360°,ZCBD=a,

.".ZCAD=180°-a

4.如圖，往豎直放置的在A處由短軟管連接的粗細(xì)均勻細(xì)管組成的“U”形裝置中注入一定量

的水，水面高度為6cm,現(xiàn)將右邊細(xì)管繞A處順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。到AB位置，則AB中水

柱的長度約為

602片'3

【答案】8cm

【解析】解：如圖，AB中水柱的長度為AC,CH為此時(shí)水柱的高，設(shè)CH=x,豎直放置時(shí)

短軟管的底面積為S,

C

工?飛

VZBAH=90°-60°=30°,

AAC=2CH=2x,

???細(xì)管繞A處順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。到AB位置時(shí)，底面積為2S,

x?S+x?2S=6?S+6?S,角吊得x=4,

AC=2x=8,

即AB中水柱的長度約為8cmo

【方法總結(jié)】

由于旋轉(zhuǎn)前、后兩個(gè)圖形中，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的距離總相等，因此對應(yīng)點(diǎn)必在以旋轉(zhuǎn)中心

為圓心，分別以對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離為半徑的一組同心圓上，且對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連

線所成角相等，都等于旋轉(zhuǎn)角.

注意：在旋轉(zhuǎn)過程中保持不動(dòng)的點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心，保持不變的量是對應(yīng)元素.

【隨堂練習(xí)】

1.（2019?南平模擬）如圖，在矩形ABCZ）中，AB=3,BC=4,。是對角線AC上的動(dòng)

點(diǎn)，連接。P,將直線DP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使"PG=ND4C,且過。作，＞G_LPG,連

接CG,則CG最小值為（）

32D.史

2525

【解答】解：如圖，作。，_LAC于"，連接"G延長"G交C。于尸，作HE上CD于H.

?；DG工PG,DH上AC,

:.4DGP=4DHA,

\ZDPG=ZDAH,

:.^ADHS"DG,

ADDH

ZADH=APDG,

~DP~DG

.\ZADP=ZHDG,

/.^ADP^ADHG,

.?.ND〃G=NZMP=定值，

.??點(diǎn)G在射線HF上運(yùn)動(dòng)，

二.當(dāng)CGJL"￡時(shí)，CG的值最小，

???四邊形AHCD是矩形，

:.ZADC=90°,

:,ZADH+ZHDF=90°9

Z.DAH+ZADH=90°,

:.ZHDF=ZDAH=ZDHF.

:.FD=FH,

ZFCH+ZCDH=90°9ZFHC+ZFHD=90°,

:.NFHC=NFCH,

:.FH=FC=DF=3,

在RtAADC中，-.-ZA￡>C=90o,AD=4,CD=3,

AC=>/32+42=5,DH=AD9DC=—,

AC5

/.CH=y/CD2-DH2=-，

5

DH.CH36

CD25

??NCFG=ZHFE,ZCGF=ZHEF=90°,CF=HF,

:.^CGF^AHEF(AAS),

:.CG=HE=—

25

.?.CG的最小值為生,

25

故選：D.

填空題（共3小題）

2.（2019?楊浦區(qū)校級自主招生）如圖，在直角坐標(biāo)系中，將A4O5繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AOC。,

(-鴻)

.-.CM=OC=VK)>08=8=5,

.-.0(5,0),

BD=M,

-.OA=OC,OB=OD,ZAOB=ZCOD,

??.ZAOC=ZBOD,

...MOCS^BOD,

ACOA

.*.----=----,

BDOB

ACVio

:.AC=2,

m2+ri2=10

由題意:

(m+3)2+(n-l)2=4

9

m=——

m=-3

解得：/或

n=-\

n=一

5

?.?點(diǎn)C在第二象限,

913

z.C(--,—).

55

故答案為(-2,12).

55

3.(2018秋?青山區(qū)月考)平面直角坐標(biāo)系中，C(0,4),K(2,0),A為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連

接AC,將AC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到4?,當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)，取最小值時(shí),

點(diǎn)3的坐標(biāo)為

【解答】解：如圖，作軸于

VA

vC(0,4),K(2,0),

/.OC=4,OK=2,

???AC=A8,?/AOC=ZCAB=ZAHB=90°,

/.ZCAO+ZOCA=90°fZBAH+ZCAO=90°f

??.ZACO=ZBAHf

\ACO=\BAH(AAS),

.?.BH=OA=m,A〃=OC=4,

/.B(m+4,tn),

令x=m+4,y=m,

,\y=X-4,

.?.點(diǎn)g在直線y=x-4上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y=x-4交x軸于石，交y軸于“，

作KM_L￡F于則直線KM的解析式為y=-x+2,

[y=-x+2日fx=3

由，，解得「

[y=x_4[y=T

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)5與點(diǎn)M重合時(shí)，耿的值最小，此時(shí)8(3,-1),

故答案為：(3,-1)

4.(2018秋?思明區(qū)校級月考)四邊形ABC。是邊長為4的正方形，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn).且

滿足8PJ.PC,現(xiàn)將點(diǎn)夕繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，則CQ的最大值=_2+2萬

0

【解答】解：如圖，?.?8P_LPC,

:.ZBPC=90°,

.??點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以8C為直徑的園，

■.■PDLDQ,PD=QD,

.?.點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，且和點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是等圓，圓心。在血的延長線上，

（可以利用旋轉(zhuǎn)法證明：取的中點(diǎn)E,連接。E,PE,將ADEC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到AZMO,連接O。，只要證明AD￡P(guān)=ADOQ即可，推出OQ=PE=的值）

在RtABOC中，OC=\lBC2+OB2=《4。+6?=2713,

當(dāng)點(diǎn)0在CO的延長線上時(shí)，CQ|的長最大，最大值為2+2舊,

故答案為2+2萬.

三.解答題（共7小題）

5.（2019春?西崗區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,點(diǎn)8和點(diǎn)。的坐標(biāo)

分別為舊,0）,（〃,4）,且機(jī).0,四邊形ABCZ）是菱形.

VA

5-

4-

圖1-2r圖2

(1)如圖，當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求機(jī)，”的值.

(2)探究：當(dāng)，〃為何值時(shí)，菱形438的對角線AC的長度最短，并求出AC的最小值.

【解答】解：(1)如圖1中，作。尸_Ly軸于尸.

圖1

?.?四邊形ABCD是正方形，

：.AD=AB,ZDAB=ZDFA=ZAOB=90°,

ZDAF+ZOAB=9Q°,ZOAB+ZABO=9Q°,

ZDAF=ZABO,

.-.^DFA^AAOB(AAS),

：.DF=AB,AF=OB,

?.?A(0,3),a”,4),

.-.04=3,OF=4,AF=\,

:.DF=3,OB=\,

/./??=1,72=3.

(2)如圖2中，作。尸，y軸于/，CE_Lx軸于石.

圖2

???四邊形48CD是菱形,

:.AD=BC,

,：ADIIBC,DFUBE,

:.ZADF=/CBE,?.?ZAFD=NCEB=900,

:.^DFA=^BEC(AAS),

,\EC=AF=\,

二.點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線y=\,

由題意相>0,觀察圖形可知當(dāng)點(diǎn)3與原點(diǎn)重合時(shí)，AC的值最小，此時(shí)菱形的邊長=3,

作CW_Lft4于H.則C〃=j32-F=2&,AC=\lAH2+CH2=j22+(2>/2)2=710,

二.AC的最小值為

6.(2019春?固始縣期末)如圖1,將一副直角三角板放在同一條直線A3上,

其中NCWM=30。，NOCD=45。

(1)觀察猜想

將圖1中的三角尺08沿A3的方向平移至圖②的位置，使得點(diǎn)。與點(diǎn)N重合,

CD與MN相交于點(diǎn)E,則ZCEN=105°.

(2)操作探究

將圖1中的三角尺0C。繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使一邊。。在NM0N的內(nèi)部,

如圖3,且。。恰好平分NMQV,CD與MW相交于點(diǎn)E,求NCEN的度數(shù);

(3)深化拓展

將圖1中的三角尺OCO繞點(diǎn)。按沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)

邊0C旋轉(zhuǎn)。時(shí)，邊CO恰好與邊MN平行.(直接寫出結(jié)果)

【解答】解：(1);NECN=45。,/ENC=30。,

:"CEN=TU5。.

故答案為：105。.

(2);0D平分/MON,

ADON=-ZMPN」x90。=45°,

22

.?."ON=Z￡)=45°,

:.CD//AB,

ZCEN=180°-ZMNO=180°-30°=150°；.

(3)如圖1,CO在AB上方時(shí)，設(shè)OM與CD相交于產(chǎn)，

'：CD//MN,

.?.NOFO=ZM=60°,

在△OQE中，ZMOD=180°-Z￡>-ZOFD,

=180°—45°-60°,

=75°,

當(dāng)CD在A3的下方時(shí)，設(shè)直線與相交于尸，

-：CDHMN,

:.ZDFO=ZM=O)°,

在\DOF中，ZDOF=180°-Z￡>-/DFO=180°—45°—60°=75°,

，旋轉(zhuǎn)角為75°+180°=255°,

綜上所述，當(dāng)邊。。旋轉(zhuǎn)75。或255。時(shí)，邊CD恰好與邊MN平行.

故答案為:75或255.

7.(2019春?鄲城縣期末)如圖，在等邊AABC中，點(diǎn)。是48邊上一點(diǎn)，連接

CD,將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。后得到CE,連接AE.求證:

AE//BC.

【解答】解：?.?AA8C是等邊三角形，

AC=BC,NB=ZACB=60。,

???線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CE,

:.CD=CE,ZDCE=60。，

:.ZDCE=AACB,

即/BCD+ZDCA=ZDCA+ZACE,

:"BCD=ZACE,

在ABC。與AACE中，

BC^AC

<NBCD=ZACE,

DC=EC

：.\BCD=AACE,

:.ZEAC=ZB=6O°,

:.NEAC=ZACB,

:.AE//BC.

8.（2018秋?秦淮區(qū)期末）探索新知：

如圖1,射線OC在NAO3的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：ZAOB,Z4OC和NBOC,若其中有

一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是NAOB的“巧分線”.

（1）一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的“巧分線”；（填"是”或“不是”）

（2）如圖2,若乙M/W=a,且射線尸。是乙MPN的“巧分線”，則/MPQ=；（用含

a的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）

深入研究：

如圖2,若NMPN=60。，且射線尸Q繞點(diǎn)尸從PN位置開始，以每秒10。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),

當(dāng)尸。與PN成180。時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為，秒.

（3）當(dāng),為何值時(shí)，射線是NQPN的“巧分線”；

（4）若射線PM同時(shí)繞點(diǎn)P以每秒5。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與P。同時(shí)停止，請直接寫出

當(dāng)射線PQ是ZMPN的“巧分線”時(shí)t的值.

【解答】解：（1）一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的“巧分線”；（填“是”或“不是”）

故答案為：是

(2)-.-AMPN=a,

\12

ZMPQ=-a^-a^—a；

故答案為或或2a；

233

深入研究：

(3)依題意有

(D10/=604-—x60,

2

解得f=9；

②101=2x60,

解得，=12；

③107=60+2x60,

解得7=18.

故當(dāng)/為9或12或18時(shí)，射線尸M是NQ/W的“巧分線”;

(4)依題意有

010r=1(5r+60),

解得，=2.4；

②101」(51+60),

2

解得，=4；

@10f=|(5r+60),

解得t=6.

故當(dāng)f為2.4或4或6時(shí)，射線PQ是ZMPN的“巧分線”.

9.(2019?沂南縣模擬)在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊

長為2的正方形ABC。與邊長為20的正方形AEFG按圖1位置放置，A。與

AE在同一直線上，A8與AG在同一直線上.

(1)小明發(fā)現(xiàn)。GL3E,請你幫他說明理由；

(2)如圖2,小明將正方形ABC。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)8恰好落在線段QG

【解答】解：（1）如圖1,延長￡?交￡>6于點(diǎn)H,

?/ABCD和AEFG為正方形，

,-,在RtAADG和RtAABE中，

AB=AD

<NGAD=ZGAE,

AE=AG

.1.RtAADG=RtAABE,

ZAGD=ZAEB,

?;/HBG=/EBA,

:.ZHGB+ZHBG=90°,

:.DG±BE；

(2)如圖2,過點(diǎn)A作APLBD交3。于點(diǎn)P,

vABCD和AEFG為正方形，

二在AZMG和中，

AD=AB

-NDAG=NBAE,

AE^AG

M)AG=^BAE(SAS),

:.DG=BE,

?.?ZAP。=90°,

AP=DP=C,

AG=2收,

PG=VAG2-ZM2=V6,

:.DG=DP+PG^y/2+y/6,

?;DG=BE,

BE—>/2+>/6.

10.(2019春?資陽期末)將兩塊全等的含30。角的直角三角形按圖1的方式放置，己知

ABAC=ZB^C,=30°,貝ijAB=2BC.

(1)固定三角板44C,然后將三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，AB與

AC、4月分別交于點(diǎn)。、E,AC與A#交于點(diǎn)F.

①填空：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于20。時(shí)，NBCB,=160度;

②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于多少度時(shí)，與垂直？請說明理由.

(2)將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使A8//Cg,他與

交于點(diǎn)。，試說明AO=CQ.

A(Ai)

【解答】解：（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，ZACA,=20°,

/BCD=ZACB-ZAC4,=90°-20°=70°,

/BCB[=/BCD+Z^CB,,

=700+90°,

=160°;

②當(dāng)4?與A6垂直時(shí)，ZA￡D=90°,

/.ZA,DE=90°一幺=90°-30°=60°,

.?./8。。=幺。石=60。，由已知易得NB=60。,

.?.NDCB=180°-ZBDC-々二60。，

NA*=30°，

即當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于30。時(shí)，■與A片垂直.

(2)?：ABI/CB\,

NADC=180°—N41c4=180°-90°=90°,

vZBAC=30°,

:.CD=-AC,

2

又?.?由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AIC=AC,

A]D=CD.

11.（2019春?雁江區(qū)期末）將兩塊全等的含30。角的直角三角板按圖1的方式

放置，已知N5AC=N54C=3O°，AB^2BC.

（1）固定三角板AgC，然后將三角板ABC繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位

置，A8與AC、Ag分別交于點(diǎn)。、E,AC與4與交于點(diǎn)尸.

①填空：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于20。時(shí)，NBCB,=160度;

②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于多少度時(shí)，A5與A4垂直？請說明理由.

(2)將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使AB//C4,

與A。交于點(diǎn)。，試說明4。=。。.

【解答】解：(1)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，ZACA=20°,

/BCD=ZACB-ZACA,=90°-20°=70°,

NBCB]=NBCD+NAQ],

=70°+90°,

=160°；

幺DE=90°-ZB,AC=90°-30°=60°,

NA*=NA,DE-NBAC=60°-30°=30°,

/.旋轉(zhuǎn)角為30。；

(2)vAB//CB,,

ZADC=180°-NACg=180°-90°=90°,

ABAC=30°,

:.CD=-AC,

2

又?.?由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AC=AC,

A^D=CD.

知識點(diǎn)2中心對稱

1.中心對稱圖形與對稱中心:

在平面內(nèi)，某一圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后能與原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫

做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心。

2.中心對稱和對稱中心：

在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果它能夠與另一個(gè)圖形完全重合，那

么說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或成中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心。這兩個(gè)圖形中的對應(yīng)

點(diǎn)，叫做關(guān)于中心的對稱點(diǎn)。

3.中心對稱和中心對稱圖形的關(guān)系：

它們都是圖形關(guān)于某點(diǎn)成中心對稱，但中心對稱圖形是指一個(gè)圖形，表示一個(gè)圖形的特

性；成中心對稱是針對兩個(gè)圖形而言，表示兩個(gè)圖形之間的對稱關(guān)系，二者是相對的。

4.中心對稱的特征：

成中心對稱的兩個(gè)圖形中，連結(jié)對稱點(diǎn)的線段都經(jīng)過對稱中心，并且都被對稱中心平分;

反之，如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連成的線段都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且都被該點(diǎn)平分，那么這兩

個(gè)圖形一定關(guān)于這一點(diǎn)成中心對稱。

【典例】

1.如圖，已知AB=3,AC=1,ZD=90°,ADEC與AABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，則AE的

【答案】V13

【解析】解：:△DEC與AABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，

；.DC=AC=1,DE=AB=3,

...在RlAEDA中，AE的長是：^2^2=713

2.若AABC與ADEF關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，且A、B、C的對稱點(diǎn)分別為D、E、F,若AB=5,

AC=3,則EF的范圍是

【答案】2<EF<8

【解析】解：:△ABC與ADEF關(guān)于點(diǎn)0成中心對稱，且A、B、C的對稱點(diǎn)分別為D、E、

F,AB=5,AC=3,

；.DE=5,DF=3

；.EF的取值范圍為：2<EF<8

3.如圖，直線a、b垂直相交于點(diǎn)O,曲線C關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)是點(diǎn)A：

ABLa于點(diǎn)B,AD，b于點(diǎn)D.若OB=3,OD=2,則陰影部分的面積之和為.

【答案】6

【解析】解：???直線a、b垂直相交于點(diǎn)O,曲線C關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)是

點(diǎn)A',ABJ_a于點(diǎn)B,A'D_Lb于點(diǎn)D,0B=3,0D=2,

；.AB=2,

，陰影部分的面積之和為3x2=6.

4.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，AOAIBI是邊長為2的等邊三角形，作AB2A2B1與AOAIBI

關(guān)于點(diǎn)Bi成中心對稱，再作AB2A3B3與AB2A?Bi關(guān)于點(diǎn)B?成中心對稱，如此作下去，則

△B2nA2n+|B2n+l（n是正整數(shù)）的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是.

【答案】（4n+l,V3）

【解析】解：???△OABi是邊長為2的等邊三角形,

，Ai的坐標(biāo)為（1,炳）,Bi的坐標(biāo)為（2,0）,

AB2A2B|與AOAiBi關(guān)于點(diǎn)Bi成中心對稱，

，點(diǎn)A2與點(diǎn)Ai關(guān)于點(diǎn)B?成中心對稱,

V2x2-1=3,2x0-A/3--A/3>

.,.點(diǎn)A2的坐標(biāo)是(3,-&),

:Z\B2A出3與AB2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對稱，

.??點(diǎn)A3與點(diǎn)A2關(guān)于點(diǎn)B2成中心對稱，

V2x4-3=5,2x0-(-?)=遂，

??.點(diǎn)A3的坐標(biāo)是(5,,

,：AB3A4B4與AB3A3B2關(guān)于點(diǎn)B3成中心對稱，

???點(diǎn)A4與點(diǎn)A3關(guān)于點(diǎn)B3成中心對稱，

：2x6-5=7,2x0-&=-?,

...點(diǎn)A4的坐標(biāo)是(7,-b)，

?..,

V1=2X1-1,3=2x2-1,5=2x3-1,7=2x3-1,

；.An的橫坐標(biāo)是2n-1,A2n+1的橫坐標(biāo)是2(2n+l)-l=4n+l,

?.?當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，An的縱坐標(biāo)是當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，An的縱坐標(biāo)是-遙，

頂點(diǎn)A2n+I的縱坐標(biāo)是F，

△B2nA2n+lB2n+l(n是正整數(shù))的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是(4n+l,.

【方法總結(jié)】

I.對稱中心的確定：

將其中的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)和它們的對稱點(diǎn)的連線作出來，兩條連線的交點(diǎn)就是對稱中心

2.關(guān)于中心對稱的作圖：

(1)確定對稱中心；

(2)確定關(guān)鍵點(diǎn)；

(3)作關(guān)鍵點(diǎn)的關(guān)于對稱中心的對稱點(diǎn)；

(4)連結(jié)各點(diǎn)，得到所需圖形。

【隨堂練習(xí)】

1.(2019春?合浦縣期中)如圖，A4SC與ADE尸關(guān)于點(diǎn)O對稱，請你寫出兩個(gè)三角形中

的對稱點(diǎn)，相等的線段，相等的角.

E

F

【解答】解：對稱點(diǎn)為：A和。、8和E、C和F；

相等的線段有AC=￡）F、AB=DE、BC=EF；

相等的角有：ZA=ZD,ZB=ZE,ZC=ZF.

2.（2019春?港南區(qū)期中）如圖，在A4BC中，點(diǎn)。是他邊上的中點(diǎn)，已知AC=4,BC=6,

（1）畫出AfiC￡>關(guān)于點(diǎn)。的中心對稱圖形；

（2）根據(jù)圖形說明線段C￡>長的取值范圍.

【解答】解：（1）所畫圖形如下所示:

（2）由（1）知：A4￡）E=AfiZX7,

則8=￡>E,AE=BC,

AE-AC<2CD<AE+AC,即BC-AC<2CD<BC+AC,

:.2<2CD<\0,

解得：1<CD<5.

知識點(diǎn)3中心對稱綜合應(yīng)用

在解平面幾何題目的過程中，我們常把中心對稱作為一種解題技巧。由于對稱中心為對應(yīng)點(diǎn)

連線的中點(diǎn)，所以遇有線段中點(diǎn)問題，且有以中點(diǎn)為另外一條線段端點(diǎn)時(shí)，我們一般把以中

點(diǎn)為端點(diǎn)的這條線段反向延長一倍，來構(gòu)成中心對稱圖形，即常說的“倍長中線"，實(shí)際上''倍

長中線”就是“中心對稱綜合應(yīng)用”的一種遷變稱謂。

【典例】

1.如圖，在AABC中，D為BC上任一點(diǎn)，DE〃AC交AB于點(diǎn)E,DF〃AB交AC于點(diǎn)F,

求證：點(diǎn)E,F關(guān)于AD的中點(diǎn)對稱.

【解析】證明：如圖，連接EF交于點(diǎn)0.

：DE〃AC交AB與E,DF〃AB交AC于F,

四邊形AEDF是平行四邊形，

...點(diǎn)E,F關(guān)于AD的中點(diǎn)對稱.

2.如圖，已知：AB〃CD〃FE,AF〃BC〃DE、求作一條直線，將這個(gè)圖形分成面積相等的

兩部分、要求：對分法的合理性進(jìn)行說明，并在圖中作出分法的示意圖（保留作圖痕跡）.

【解析】解：（1）無數(shù).均經(jīng)過兩條對角線的交點(diǎn).

（2）延長BC交EF于點(diǎn)M,連接AM、BF交于點(diǎn)P,連接CE、DM交于點(diǎn)Q,過P、Q

的直線將這個(gè)圖形分成面積相等的兩部分，因?yàn)镻Q既將平行四邊形ABMF的面積平分，

又將平行四邊形CDEM的面積平分，所以直線PQ即為所求.

（3）如圖所示:

3.課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：

（1）如圖1,在AABC中，若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E,使得DE=AD,再連接

BE（或?qū)iACD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到AEBD）,把AB、AC、2AD集中在AABE中，

利用三角形的三邊關(guān)系可得2<AE<8,則1<AD<4.

［感悟］解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對稱中心的中心對

稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.

（2）解決問題：受到（1）的啟發(fā)，請你證明下列命題：如圖2,在AABC中，D是BC邊

上的中點(diǎn)，DELDF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF.

求證：BE+CFAEF,若NA=90。，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明.

【解析】解：（1）如圖，延長FD到G,使得DG=DF,連接BG、EG.

（或把ACFD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到岫6口），

B—、——*---

M/

；.CF=BG,DF=DG,

VDE±DF,

；.EF=EG.

在ABEG中，BE+BG>EG,即BE+CF>EF.

（2）若NA=90°,則NEBC+/FCB=90°,

由（1）知/FCD=NDBG,EF=EG,

...NEBC+NDBG=90°,即NEBG=90°,

在RtAEBG中，BE2+BG2=EG2,

.,.BE2+CF2=EF2.

【方法總結(jié)】

倍長中線構(gòu)圖后，一般是先證兩個(gè)“8字型”三角形全等，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，隨后可推證兩

個(gè)“8字”底邊平行，再結(jié)合已知條件逐步展開，獲取進(jìn)一步解題條件。

【隨堂練習(xí)】

1.（2018秋?大豐區(qū)期末）在A48C中，AB=AC,N54c=100。.將線段C4繞著點(diǎn)。逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD,旋轉(zhuǎn)角為c,且0。<夕<360。，連接4）、BD.

（1）如圖1,當(dāng)夕=60。時(shí)，NCBP的大小為_30。_；

（2）如圖2,當(dāng)夕=20。時(shí)，NC8D的大小為—；（提示：可以作點(diǎn)。關(guān)于直線的對

稱點(diǎn)）

（3）當(dāng)a為。時(shí)，可使得NCBZ）的大小與（1）中NCBD的結(jié)果相等.

【解答】解：（1）?.?ZS4C=100°,AB=AC,

/.ZABC=ZACB=40°,當(dāng)a=60。時(shí),

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=8,

.?.AAS是等邊三角形，

ZZMC=60°,

/.ZBAD=ZS4C-ZZMC=100o-60°=40°,

?/AB=AC,AD=AC,

180°-ZBAD

ZABD=ZADB==70°,

2

...NCBD=ZABD-ZABC=70°-40。=30°,

故答案為：30°；

(2)如圖2所示；作點(diǎn)。關(guān)于的對稱點(diǎn)M,連接40、BM、CM、AM.

貝必。8。二反期/，

：.ZBCM=ZBCD=ZACD=20°,CD=CA=CM,

/.Z^CM=60°,

/.AACM是等邊三角形，

:.AM=AC=AB,NM4C=60。，

/.ZBAM=40°,

?/ACAD=ZCDA=^(180°-20°)=80°,

/.Z^AD=ZAMD=20°,

AD=ADf

:.ADAB=ADAM,

：.BD=DM,

,：BD=BM，

：,BD=DM=BM,

/.Zr>W=60o，

.?.ZDBC=ZCBM=30°,

故答案為30。

（3）①由（1）可知，Za=60°時(shí)可得Z^4L>=100o-60°=40°,

I（y）o

ZABC=ZACB=90°一一—=40°,

2

i[00。

ZABD=90°——/BAD=120°--—=70°,

22

ZCBD=ZABD-ZABC=3（T.

②如圖3,翻折ABDC到△3RC,

圖3

則此時(shí)NC6。=30°,

i()0。

/BCD=60°-ZACB=—--30°=20°,

2

1QAO_1()()0

Za=ZACB-ZBCD=ZACB-ZBCD=————--20°=20°；

1t2

③以C為圓心CD為半徑畫圓弧交BQ的延長線于點(diǎn)2,連接C2,

100°

ZCDD2=ZCBD+NBCD=30°+--30°=50°,

ZDCD,=180°-2NCDR=180°-100°=80°,

Na=60°+ZDCD2=140°.

綜上所述，a為60。或20?；?40。時(shí)，ZCBD=30°.

故答案為60或20或140.

2.(2019?安徽二模)如圖，三角形P0R是三角形經(jīng)過某種變換后得到的圖形，分別

觀察點(diǎn)A與點(diǎn)尸，點(diǎn)3與點(diǎn)Q,點(diǎn)C與點(diǎn)R的坐標(biāo)之間的關(guān)系.

(1)若三角形A8C內(nèi)任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)M經(jīng)過這種變換后得到點(diǎn)N,根據(jù)

你的發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為

(2)若三角形PQR先向上平移3個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位得到三角形產(chǎn)。叱，畫出三

角形PQR并求三角形PAC的面積.

(3)直接寫出AC與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：(1)如圖，點(diǎn)用與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對稱,

???點(diǎn)N的坐標(biāo)為(一x,-y),

故答案為：(―X,—y)；

(2)如圖，△產(chǎn)0K即為所求,

(3)設(shè)直線AC解析式為〉=區(qū)+匕,

把A(4,3),C(l,2)代入，可得

3=4Z+b

2=k+b

k=-

解得？

直線AC解析式為y=2x+°,

3.(2019春?錫山區(qū)校級期末)如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1個(gè)單位

長度.平面直角坐標(biāo)系宜力的原點(diǎn)。在格點(diǎn)上，x軸、y軸都在格線上.線段的兩個(gè)

端點(diǎn)也在格點(diǎn)上.

(1)若將線段4?繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AH.試在圖中畫出線段A8；

(2)若線段A"夕與線段A8關(guān)于y軸對稱，請畫出線段A”8〃；

(3)若點(diǎn)尸是此平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A、￡、夕、P四邊圍成的四邊形為平

行四邊形時(shí)，請你直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【解答】解：(1)如圖，線段48為所作;

(2)如圖,線段ATT為所作：

（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（一4,1）、（4,1）、（0,-5）.

4.（2019春?洛江區(qū)期末）為了美化環(huán)境，在一塊正方形空地上分別種植四種不同的花草.現(xiàn)

將這塊空地按下列要求分成四塊:

（1）分割后的整個(gè)圖形必須是軸對稱圖形;

（2）四塊圖形形狀相同;

（3）四塊圖形面積相等.

現(xiàn)已有兩種不同的分法:

（1）分別作兩條對角線（如圖中的圖（1））；

（2）過一條邊的四等分點(diǎn)作這邊的垂線段（圖（2））（圖（2）中兩個(gè)圖形的分割看作同

一方法）.

請你按照上述三個(gè)要求，分別在圖（3）、圖（4）兩個(gè)正方形中畫出另外兩種不同的分割方

法.（正確畫圖，不寫畫法）

5.（2019春?長春期末）如圖所示，在7x6的正方形網(wǎng)格中，選取14個(gè)格點(diǎn)，以其中三個(gè)

格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出A8C,請你以選取的格點(diǎn)為頂點(diǎn)再畫出一個(gè)三角形，且分別滿足下列條

件:

（1）圖①中所畫的三角形與ABC組成的圖形是軸對稱圖形;

（2）圖②中所畫的三角形與ABC組成的圖形是中心對稱圖形.

圖①圖②

【解答】解：(1)如圖①所示:

(2)如圖②所示.

圖①圖②

綜合運(yùn)用：圖形的旋轉(zhuǎn)

1.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)D與A,B不重合)，

連結(jié)CD,將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段CE,連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F,

連接BE.

(1)求證：AACDgaBCE；

(2)當(dāng)AD=BF時(shí)，求NBEF的度數(shù).

【解析】解：(1)由題意可知：CD=CE,ZDCE=90°,

,/ZACB=90°,

ZACD=ZACB-ZDCB,

ZBCE=ZDCE-ZDCB,

...NACD=NBCE,

在AACD與ABCE中，

'AC=BC

<ZACD=ZBCE

CD=CE

.,.△ACD^ABCE(SAS)

(2)VZACB=90°,AC=BC,

ZA=45°,

由(1)可知：/A=/CBE=45。,

VAD=BF,

，BE=BF,

ZBEF=67.5°

2.如圖，在RSABC中，ZC=30°,將AABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)。（0<0<60。）到△ABC，，邊AC

和邊AC相交于點(diǎn)P,邊AC和邊BC湘交于Q,當(dāng)ABPQ為等腰三角形時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角0值。

【解析】解：如圖，過B作BDJ_AC于D,