2024屆山東省青島三中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆山東省青島三中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，若為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的值是()A． B． C． D．2．已知的展開式中含的項的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．3．某班級有6名同學(xué)去報名參加校學(xué)生會的4項社團活動。若甲，乙兩位同學(xué)不參加同一社團，每個社團都有人參加，每個人只參加一個社團，則不同的報名方案數(shù)為A．2160 B．1320 C．2400 D．43204．學(xué)生會為了調(diào)查學(xué)生對年俄羅斯世界杯的關(guān)注是否與性別有關(guān)，抽樣調(diào)查人，得到如下數(shù)據(jù)：不關(guān)注關(guān)注總計男生301545女生451055總計7525100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，通過計算統(tǒng)計量，并參考以下臨界數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.828若由此認為“學(xué)生對2018年俄羅斯世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)”，則此結(jié)論出錯的概率不超過（）A． B． C． D．5．將函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把圖象上各點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的解析式為（）A． B．C． D．6．已知等差數(shù)列的前項和，且，則（）A．4 B．7 C．14 D．7．甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)報名參加社區(qū)服務(wù)活動,社區(qū)服務(wù)活動共有關(guān)愛老人?環(huán)境監(jiān)測?教育咨詢?交通宣傳?文娛活動五個項目,每人限報其中一項,記事件為“5名同學(xué)所報項目各不相同”,事件為“只有甲同學(xué)一人報關(guān)愛老人項目”,則()A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A． B．C． D．9．把一枚骰子連續(xù)擲兩次，已知在第一次拋出的是奇數(shù)點的情況下，第二次拋出的也是奇數(shù)點的概率為（）A． B． C． D．10．在中,為銳角,,則的形狀為()A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．以上都不對11．若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，，則、、滿足（）A． B． C． D．12．在中，若，則自然數(shù)的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，，，且的最小值是___.14．根據(jù)如圖所示的偽代碼，最后輸出的i的值為________．15．已知在平面內(nèi)，點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為.根據(jù)類比推理，在空間中，點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為__________．16．已知X的分布列如圖所示，則X-101P0.20.3a（1），（2），（3），其中正確的個數(shù)為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）如果，求的取值范圍.18．（12分）某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下：一個袋子裝有只形狀和大小均相同的玻璃球，其中兩只是紅色，三只是綠色，顧客從袋子中一次摸出兩只球，若兩只球都是紅色，則獎勵元；共兩只球都是綠色，則獎勵元；若兩只球顏色不同，則不獎勵．（1）求一名顧客在一次摸獎活動中獲得元的概率；（2）記為兩名顧客參與該摸獎活動獲得的獎勵總數(shù)額，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（12分）已知函數(shù)為實數(shù)）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求的范圍；20．（12分）將編號為1、2、3、4的四個小球隨機的放入編號為1、2、3、4的四個紙箱中，每個紙箱有且只有一個小球，稱此為一輪“放球”．設(shè)一輪“放球”后編號為的紙箱放入的小球編號為，定義吻合度誤差為(1)寫出吻合度誤差的可能值集合；(2)假設(shè)等可能地為1，2，3，4的各種排列，求吻合度誤差的分布列；(3)某人連續(xù)進行了四輪“放球”，若都滿足，試按(Ⅱ)中的結(jié)果，計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率(假定各輪“放球”相互獨立)；21．（12分）己知數(shù)列中，，其前項和滿足：．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，數(shù)列的前項和為，證明：對于任意的，都有．22．（10分）如圖，正方體的所有棱長都為1，求點A到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)確定取法，再根據(jù)單調(diào)性進行取舍，進而確定選項.【題目詳解】因為為奇函數(shù)，所以因為，所以因此選B.【題目點撥】本題考查冪函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，考查基本判斷選擇能力.2、D【解題分析】

根據(jù)所給的二項式，利用二項展開式的通項公式寫出第項，整理成最簡形式，令的指數(shù)為，求得，再代入系數(shù)求出結(jié)果．【題目詳解】二項展開式通項為，令，得，由題意得，解得.故選：D.【題目點撥】本題考查二項式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是正確寫出二項展開式的通項，在這種題目中通項是解決二項展開式的特定項問題的工具．3、B【解題分析】

依題意，分和兩組，先分組，后排列，最后求和即可.【題目詳解】依題意，6名同學(xué)可分為兩組，第一組為，利用間接法，有種，第二組為，利用間接法，有,所以分類計數(shù)原理，可得種，故選B.【題目點撥】本題主要考查了排列、組合及簡單的計數(shù)原理，著重考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以及推理與運算能力，其中解答中合理分類，做到先分組后排列的方式是解答的關(guān)鍵.4、A【解題分析】因為,所以若由此認為“學(xué)生對2018年俄羅斯世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)”，則此結(jié)論出錯的概率不超過，故選A.【方法點睛】本題主要考查獨立性檢驗的應(yīng)用，屬于中檔題.獨立性檢驗的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計判斷.（注意：在實際問題中，獨立性檢驗的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，得到的結(jié)論也可能犯錯誤.）5、B【解題分析】試題分析：函數(shù)，的圖象上所有點向左平移個單位長度得，再把圖象上各點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，得，選B.考點：三角函數(shù)圖像變換6、B【解題分析】

由題意利用等差數(shù)列的定義、通項公式及前項和公式，求出首項和公差的值，可得結(jié)論．【題目詳解】等差數(shù)列的前項和為，且，，．再根據(jù)，可得，，則，故選．【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項公式及前項和公式，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

由條件概率與獨立事件可得：，P(AB)=，所以P(A|B)=，得解.【題目詳解】由已知有事件概率為：，事件概率為：P(AB)=，所以P(A|B)=，故選：A.【題目點撥】本題考查條件概率的計算，條件概率的兩種求法:(1)定義法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=即可；(2)基本事件法:借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=，本題屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

根據(jù)集合的定義可知為定義域，為值域；根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)定義域的要求可求得集合，結(jié)合對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可求得值域，即集合；根據(jù)圖可知陰影部分表示，利用集合交并補運算可求得結(jié)果.【題目詳解】的定義域為：，即：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，；當(dāng)時，的值域為：圖中陰影部分表示：又，本題正確選項：【題目點撥】本題考查集合基本運算中的交并補混合運算，關(guān)鍵是能夠明確兩個集合表示的含義分別為函數(shù)的定義域和值域，利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域要求和單調(diào)性可求得兩個集合；涉及到圖的讀取等知識.9、C【解題分析】分析：設(shè)表示“第一次拋出的是奇數(shù)點”，表示“第二次拋出的是奇數(shù)點”，利用古典概型概率公式求出的值，由條件概率公式可得結(jié)果.詳解：設(shè)表示“第一次拋出的是奇數(shù)點”，表示“第二次拋出的是奇數(shù)點”，，，在第一次拋出的是奇數(shù)點的情況下，第二次拋出的也是奇數(shù)點的概率為，故選C.點睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意條件概率計算公式的合理運用，同時注意區(qū)分獨立事件同時發(fā)生的概率與條件概率的區(qū)別與聯(lián)系.10、A【解題分析】分析：由正弦定理化簡并結(jié)合選項即可得到答案.詳解：，則由正弦定理可得：，即，則當(dāng)時，符合題意，故選：A.點睛：(1)三角形的形狀按邊分類主要有：等腰三角形，等邊三角形等；按角分類主要有：直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形等．判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別．(2)邊角轉(zhuǎn)化的工具主要是正弦定理和余弦定理．11、B【解題分析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，并比較出三個正數(shù)、、的大小關(guān)系，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【題目詳解】偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，，，故選：B.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，解題時要利用自變量的大小關(guān)系并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12、B【解題分析】

利用二項式的通項公式求出的表達式,最后根據(jù),解方程即可求出自然數(shù)的值.【題目詳解】二項式的通項公式為：,因此,,所以,解得.故選B.【題目點撥】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9【解題分析】

根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合乘“1”法求出代數(shù)式的最小值即可．【題目詳解】∵，，，,當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立，故答案為9.【題目點撥】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．14、1【解題分析】分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出滿足條件T=1+3+5+7時i的值．詳解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加T=1+3+5+7，并輸出滿足條件時i值．∵T=1+3+5+7=16≥10，故輸出的i值為7+2=1．故答案為1．點睛：根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)（如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理）?②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模．15、【解題分析】

在空間中，點關(guān)于軸的對稱點：軸不變，軸取相反數(shù).【題目詳解】在空間中，點關(guān)于軸的對稱點：軸不變，軸取相反數(shù).點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為故答案為：【題目點撥】本題考查了空間的對稱問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力.16、1【解題分析】

由分布列先求出，再利用公式計算和即可.【題目詳解】解：由題意知：，即；綜上，故（1）正確，（2）（3）錯誤，正確的個數(shù)是1.故答案為：1.【題目點撥】本題考查了離散型隨機變量的期望和方差，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析；上是增函數(shù)；（2）.【解題分析】分析：（1）求導(dǎo)得：,分類討論可知當(dāng)時，在上是增函數(shù)，當(dāng)時，在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù).（2）由（1）可知，時，函數(shù)有最小值，據(jù)此可得關(guān)于實數(shù)a的不等式，且滿足題意，據(jù)此可知.詳解：（1）求導(dǎo)得：,當(dāng)時，恒成立，所以在上是增函數(shù)，當(dāng)時，令，則.①當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù)；②時，，所以在上是增函數(shù).（2）由（1）可知，時，，，，解得，又由于，綜上所述：.點睛：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準確判定導(dǎo)數(shù)的符號．關(guān)鍵是分離參數(shù)k，把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到．18、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）根據(jù)古典概型概率計算公式可求得結(jié)果；（2）分別求出一名顧客摸球中獎元和不中獎的概率；確定所有可能的取值為：，，，，，分別計算每個取值對應(yīng)的概率，從而得到分布列；利用數(shù)學(xué)期望計算公式求解期望即可.【題目詳解】（1）記一名顧客摸球中獎元為事件從袋中摸出兩只球共有：種取法；摸出的兩只球均是紅球共有：種取法（2）記一名顧客摸球中獎元為事件，不中獎為事件則：，由題意可知，所有可能的取值為：，，，，則；；；；隨機變量的分布列為：【題目點撥】本題考查古典概型概率問題求解、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)通過積事件的概率公式求解出每個隨機變量的取值所對應(yīng)的概率，從而可得分布列.19、（I）見解析；（Ⅱ）【解題分析】

(Ⅰ)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令，解得或，根據(jù)根的大小三種情況分類討論，即可求解．（II）依題意有在上的恒成立，轉(zhuǎn)化為在上的恒成立，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解．【題目詳解】(Ⅰ)由題意，函數(shù)，則令，解得或，①當(dāng)時，有，有，故在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，有，隨的變化情況如下表：極大極小由上表可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③同②當(dāng)時，有，有在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（II）依題意有在上的恒成立，即在上的恒成立，故在上的恒成立，設(shè)，，則有…（*）易得，令，有，，隨的變化情況如下表：極大由上表可知，又由（*）式可知，故的范圍為．【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．20、(1).(2)見解析(3)【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)題意知與的奇偶性相同，誤差只能是偶數(shù)，由此寫出的可能取值；（2）用列舉法求出基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式計算對應(yīng)的概率值，寫出隨機變量的分布列；（3）利用互斥事件的概率公式計算，再利用對立事件的概率公式求解.試題解析：(1)由于在