2024屆甘肅省金昌市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆甘肅省金昌市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線(xiàn)的傾斜角為（）A． B． C． D．2．在三棱錐中，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若與所成角為定值，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線(xiàn) D．拋物線(xiàn)3．設(shè)全集，，集合，則集合（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P到直線(xiàn)x-2y+10=0的距離最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．5．《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱(chēng)為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的定義域是，則的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A． B．192 C． D．2307．如圖，是橢圓與雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，分別是在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形為矩形，則的離心率是（）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)分別是的零點(diǎn)，則（）A． B． C． D．9．如圖是某手機(jī)商城2018年華為、蘋(píng)果、三星三種品牌的手機(jī)各季度銷(xiāo)量的百分比堆積圖（如：第三季度華為銷(xiāo)量約占50%，蘋(píng)果銷(xiāo)量約占20%，三星銷(xiāo)量約占30%）．根據(jù)該圖，以下結(jié)論中一定正確的是（）A．華為的全年銷(xiāo)量最大 B．蘋(píng)果第二季度的銷(xiāo)量大于第三季度的銷(xiāo)量C．華為銷(xiāo)量最大的是第四季度 D．三星銷(xiāo)量最小的是第四季度10．已知函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)．當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=116x2(0≤x≤2)(12)x(x＞2)，若關(guān)于x的方程[f（xA．(-∞,-C．(-1211．“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件12．已知集合滿(mǎn)足，則集合的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，其中、、、、是各項(xiàng)的系數(shù)，則在、、、、這個(gè)系數(shù)中，值為零的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．14．設(shè)，若，則15．四面體ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝4，則異面直線(xiàn)AB與CD的夾角為_(kāi)____．16．已知橢圓，直線(xiàn)，則橢圓上點(diǎn)到這條直線(xiàn)的最短距離是______________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知（1）求及的值；（2）求證：（），并求的值.（3）求的值.18．（12分）長(zhǎng)時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的健康，某校為了解A，B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)，分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取6名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個(gè)位數(shù)字）.如果學(xué)生平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)大于21小時(shí)，則稱(chēng)為“過(guò)度用網(wǎng)”（1）請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計(jì)A，B兩班的學(xué)生平均每周上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)的平均值；（2）從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取2個(gè)數(shù)據(jù)，求恰有1個(gè)數(shù)據(jù)為“過(guò)度用網(wǎng)”的概率；（3）從A班、B班的樣本中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生的數(shù)據(jù)，記“過(guò)度用網(wǎng)”的學(xué)生人數(shù)為，寫(xiě)出的分布列和數(shù)學(xué)期望E.19．（12分）（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）“節(jié)約用水”自古以來(lái)就是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng)．某市統(tǒng)計(jì)局調(diào)查了該市眾多家庭的用水量情況，繪制了月用水量的頻率分布直方圖，如下圖所示．將月用水量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的用水量相互獨(dú)立．（l）求在未來(lái)連續(xù)3個(gè)月里，有連續(xù)2個(gè)月的月用水量都不低于12噸且另1個(gè)月的月用水量低于4噸的概率；（2）用表示在未來(lái)3個(gè)月里月用水量不低于12噸的月數(shù)，求隨杌變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知函數(shù)，若定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿(mǎn)足，則稱(chēng)為“局部奇函數(shù)．（1）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說(shuō)明理由（2）設(shè)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．22．（10分）(本小題滿(mǎn)分12分)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)）和，系統(tǒng)和在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和。（Ⅰ）若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求的值；（Ⅱ）設(shè)系統(tǒng)在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】試題分析：記直線(xiàn)的傾斜角為，∴，故選B.考點(diǎn)：直線(xiàn)的傾斜角.2、B【解題分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，求出軌跡方程，可得其軌跡.【題目詳解】由題，三棱錐為正三棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得，設(shè)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則，由題與所成角為定值，，則則，化簡(jiǎn)得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓.選B【題目點(diǎn)撥】本題考查利用空間向量研究?jī)蓷l直線(xiàn)所成的角，軌跡方程等，屬中檔題.3、B【解題分析】由題得,,所以,,故選B.4、C【解題分析】分析：設(shè)與直線(xiàn)x-2y+10=0平行且與橢圓相切的直線(xiàn)方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用，解得，即可得出結(jié)論.詳解：設(shè)與直線(xiàn)x-2y+10=0平行且與橢圓相切的直線(xiàn)方程為，聯(lián)立，化為，，解得，取時(shí)，，解得，，.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查了直線(xiàn)與橢圓的相切與一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.5、C【解題分析】

根據(jù)題先求出閱讀過(guò)西游記的人數(shù)，進(jìn)而得解.【題目詳解】由題意得，閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=10，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為10÷100=0.1．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．6、A【解題分析】

函數(shù)的定義域是可知，-1和2是方程的兩根，代入可求得值，再根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可【題目詳解】因?yàn)榈亩x域，所以-1和2是方程的兩根，將-1代入方程可得，則二項(xiàng)式定理為根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，，的系數(shù)答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考察了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式的求法及二項(xiàng)式系數(shù)的求法，難度不大，但綜合性強(qiáng)7、D【解題分析】

試題分析：由橢圓與雙曲線(xiàn)的定義可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a為雙曲線(xiàn)的長(zhǎng)軸長(zhǎng))，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四邊形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)．8、A【解題分析】由題意得，函數(shù)在各自的定義域上分別為增函數(shù)，∵，又實(shí)數(shù)分別是的零點(diǎn)∴，∴，故．選A．點(diǎn)睛：解答本題時(shí)，先根據(jù)所給的函數(shù)的解析式判斷單調(diào)性，然后利用判斷零點(diǎn)所在的范圍，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍，其中借助0將與聯(lián)系在一起是關(guān)鍵．9、A【解題分析】

根據(jù)圖象即可看出，華為在每個(gè)季度的銷(xiāo)量都最大，從而得出華為的全年銷(xiāo)量最大，從而得出正確；由于不知每個(gè)季度的銷(xiāo)量多少，從而蘋(píng)果、華為和三星在哪個(gè)季度的銷(xiāo)量大或小是沒(méi)法判斷的，從而得出選項(xiàng)，，都錯(cuò)誤．【題目詳解】根據(jù)圖象可看出，華為在每個(gè)季度的銷(xiāo)量都最大，所以華為的全年銷(xiāo)量最大；每個(gè)季度的銷(xiāo)量不知道，根據(jù)每個(gè)季度的百分比是不能比較蘋(píng)果在第二季度和第三季度銷(xiāo)量多少的，同樣不能判斷華為在哪個(gè)季度銷(xiāo)量最大，三星在哪個(gè)季度銷(xiāo)量最??；，，都錯(cuò)誤，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)銷(xiāo)量百分比堆積圖的理解．10、B【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)f(x)的解析式以及奇偶性分析可得f(x)的最小值與極大值，要使關(guān)于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0，a,b∈R有且只有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為t2+at+b=0必有兩個(gè)根【題目詳解】根據(jù)題意，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=1f(x)在(0,2)上遞增，在(2,+∞)上遞減，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值0，又由函數(shù)為偶函數(shù)，則f(x)在(-∞,-2)上遞增，在當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值14當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值0，要使關(guān)于x的方程[f(x)]設(shè)t=f(x)，則t2+at+b=0必有兩個(gè)根t1且必有t1=14，y=0<t2<14，y關(guān)于x的方程[f(x)]可得1又由-a=t則有-12<a<-【題目點(diǎn)撥】函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題以及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是高考的高頻考點(diǎn)，考生需要對(duì)初高中階段學(xué)習(xí)的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對(duì)稱(chēng)性非常熟悉；另外，函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)-g(x)在x軸的交點(diǎn)?方程f(x)-g(x)=0的根?函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的交點(diǎn).11、B【解題分析】，，，∴“”是“”的充分不必要條件．故選：．12、B【解題分析】

利用列舉法，求得集合的所有可能，由此確定正確選項(xiàng).【題目詳解】由于集合滿(mǎn)足，所以集合的可能取值為，共種可能.故選：B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查子集和真子集的概念，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求出的展開(kāi)式通項(xiàng)為，列舉出在的所有可能取值，從而可得出、、、、這個(gè)系數(shù)中值為零的個(gè)數(shù).【題目詳解】，而的展開(kāi)式通項(xiàng)為.所以，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，的可能取值有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個(gè)，因此，在、、、、這個(gè)系數(shù)中，值為零的個(gè)數(shù)為.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為零的個(gè)數(shù)，解題的關(guān)鍵就是借助二項(xiàng)展開(kāi)通項(xiàng)，將項(xiàng)的指數(shù)可取的全都列舉出來(lái)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.14、1【解題分析】

15、【解題分析】

取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理可得平面，然后根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)可得，從而可得答案.【題目詳解】如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以異面直線(xiàn)與所成的角為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，考查了直線(xiàn)與平面垂直的判定定理和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

可將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)式轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，再由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求解即可【題目詳解】由對(duì)應(yīng)參數(shù)方程為：，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式得，當(dāng)時(shí)，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）.【解題分析】

（1）用賦值法可求解，令可求得，令可求得．（2）左邊用階乘展開(kāi)可證．再由己證式結(jié)合裂項(xiàng)求和，可求解（3）法一：先證公式再用公式化簡(jiǎn)可求值．法二：將兩邊求導(dǎo)，再賦值x=1和x=-1可求解．【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，（*）在（*）中，令得在（*）中，令得，所以（2）證明：因?yàn)?，由二?xiàng)式定理可得所以因?yàn)椋裕?）法一：由（2）知因?yàn)?，所?則，所以法二：將兩邊求導(dǎo)，得令得；①令得.②①②得解得，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理中的賦值法求值問(wèn)題，這是解決與二項(xiàng)式定理展開(kāi)式中系數(shù)求和中的常用方法．18、（1）19小時(shí)；22小時(shí).（2）（3）分布列見(jiàn)詳解；.【解題分析】

（1）根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式，分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式即可求得；（3）根據(jù)題意寫(xiě)出的取值范圍，再根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得對(duì)應(yīng)概率，寫(xiě)出分布列，根據(jù)分布列求得期望.【題目詳解】（1）A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間19小時(shí)；B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)B班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間22小時(shí).（2）因?yàn)閺腁班的6個(gè)樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取1個(gè)的數(shù)據(jù)，為“過(guò)度用網(wǎng)”的概率是，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式：從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回的抽取2個(gè)的數(shù)據(jù)，恰有1個(gè)數(shù)據(jù)為“過(guò)度用網(wǎng)”的概率：.（3）的可能取值為0,1,2,3,4.，，，，.的分布列是：01234P.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)莖葉圖計(jì)算數(shù)據(jù)的平均值，離散型隨機(jī)變量的分布列求解以及根據(jù)分布列求解數(shù)學(xué)期望，屬綜合中檔題.19、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）分類(lèi)討論，轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式組，即可求解不等式的解集；（2）由題意，令，則不等式恒成立，即為，分類(lèi)討論即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．詳解：（1）原不等式化為：①或②或③．解得或或．∴原不等式的解集為（2）令，則只須即可．①當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等）；②當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等）．∴．點(diǎn)睛：本題主要考查了絕對(duì)值不等式的求解及其應(yīng)用，其中合理分類(lèi)討論，轉(zhuǎn)化為等價(jià)不等式組進(jìn)行求解是解答絕對(duì)值問(wèn)題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．20、（1）0.027；（2）見(jiàn)解析【解題分析】分析：（1）利用相互獨(dú)立事件乘法概率公式和互斥事件加法公式能求出在未來(lái)連續(xù)3個(gè)月里，有連續(xù)2個(gè)月的月用水量都不低于12噸且另1個(gè)月的月用水量低于4噸的概率；（2）由題意得X的可能取值為0，1，2，3，且X～（3，0.3），由此能求出隨機(jī)變量X的分布列數(shù)學(xué)期望E（X）．詳解：（1）設(shè)表示事件“月用水量不低于12噸”，表示事件“月用水量低于4噸”，表示事件“在未來(lái)連續(xù)3個(gè)月里，有連續(xù)2個(gè)月的月用水量都不低于12噸且另1個(gè)月的月用水量低于4噸”.因此，，.因?yàn)槊刻斓挠盟肯嗷オ?dú)立，所以.（2）可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率分別為,,,.故的分布列為故的數(shù)學(xué)期望為.點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是:“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見(jiàn)的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的