2024屆吳忠高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆吳忠高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A． B． C．2 D．-23．兩射手彼此獨立地向同一目標(biāo)射擊，設(shè)甲射中的概率，乙射中的概率，則目標(biāo)被擊中的概率為（）A．1.7 B．1 C．0.72 D．0.984．已知函數(shù),則下面對函數(shù)的描述正確的是（）A． B．C． D．5．用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有A．144個 B．120個 C．96個 D．72個6．下列命題是真命題的為（）A．若,則 B．若,則C．若,則 D．若,則7．雙曲線和有（）A．相同焦點 B．相同漸近線 C．相同頂點 D．相等的離心率8．設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則（）A． B． C． D．9．給出四個函數(shù)，分別滿足①；②；③；④，又給出四個函數(shù)圖象正確的匹配方案是（）A.①—?、凇尧邸堋譈.①—乙②—丙③—甲④—丁C.①—丙②—甲③—乙④—丁D.①—?、凇注邸尧堋?0．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為A． B． C． D．11．設(shè)命題甲：關(guān)于的不等式對一切恒成立，命題乙：對數(shù)函數(shù)在上遞減，那么甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則對任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必須在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科（3門理科，3門文科）中選擇3門學(xué)科參加等級考試，小李同學(xué)受理想中的大學(xué)專業(yè)所限，決定至少選擇一門理科學(xué)科，那么小李同學(xué)的選科方案有________種.14．設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______.15．一個直三棱柱的每條棱長都是，且每個頂點都在球的表面上，則球的表面積為________16．正項等差數(shù)列中的，是函數(shù)的極值點，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長半徑的圓與直線相切．（1）求與；（2）設(shè)該橢圓的左、右焦點分別為和，直線過且與軸垂直，動直線與軸垂直，交與點．求線段垂直平分線與的交點的軌跡方程，并指明曲線類型．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）是上不同的三點，若直線與直線的斜率之積為，證明：兩點的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).19．（12分）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）若，角，求角的值；（2）若的面積，，求的值.20．（12分）在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某張獎券中有一等獎券張，可獲得價值元的獎品，有二等獎券張，每張可獲得價值元的獎品，其余張沒有獎，某顧客從此張獎券中任抽張，求（1）該顧客中獎的概率；（2）該顧客獲得獎品總價值為元的概率.21．（12分）已知二項式.（1）當(dāng)時，求二項展開式中各項系數(shù)和；（2）若二項展開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，且存在常數(shù)項，①求n的值；②記二項展開式中第項的系數(shù)為，求.22．（10分）（1）已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為，求復(fù)數(shù)；（2）求曲線、直線及兩坐標(biāo)軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

通過對每一個選項進行判斷得出答案.【題目詳解】對于選項：函數(shù)在既不是偶函數(shù)也不是減函數(shù)，故排除；對于選項：函數(shù)既是偶函數(shù)，又在是減函數(shù)；對于選項：函數(shù)在是奇函數(shù)且增函數(shù)，故排除；對于選項：函數(shù)在是偶函數(shù)且增函數(shù)，故排除；故選：B【題目點撥】本題考查了函數(shù)的增減性以及奇偶性的判斷，屬于較易題.2、D【解題分析】試題分析：題中的條件乍一看不知如何下手，但只要明確了是一個常數(shù)，問題就很容易解決了．對進行求導(dǎo)：=，所以，-1.考點：本題考查導(dǎo)數(shù)的基本概念及求導(dǎo)公式．點評：在做本題時，遇到的主要問題是①想不到對函數(shù)進行求導(dǎo)；②的導(dǎo)數(shù)不知道是什么．實際上是一個常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0.3、D【解題分析】

先計算沒有被擊中的概率，再用1減去此概率得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點撥】本題考查了概率的計算，先計算沒有被擊中的概率是解題的關(guān)鍵.4、B【解題分析】分析：首先對函數(shù)求導(dǎo)，可以得到其導(dǎo)函數(shù)是增函數(shù)，利用零點存在性定理，可以將其零點限定在某個區(qū)間上，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值所滿足的條件，利用不等式的傳遞性求得結(jié)果.詳解：因為，所以，導(dǎo)函數(shù)在上是增函數(shù)，又，，所以在上有唯一的實根，設(shè)為，且，則為的最小值點，且，即，故，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)最值的范圍，首先應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而此時導(dǎo)數(shù)的零點是無法求出確切值的，應(yīng)用零點存在性定理，將導(dǎo)數(shù)的零點限定在某個范圍內(nèi)，再根據(jù)不等式的傳遞性求得結(jié)果.5、B【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個，末位數(shù)字為0、2、4中其中1個；進而對首位數(shù)字分2種情況討論，①首位數(shù)字為5時，②首位數(shù)字為4時，每種情況下分析首位、末位數(shù)字的情況，再安排剩余的三個位置，由分步計數(shù)原理可得其情況數(shù)目，進而由分類加法原理，計算可得答案．解：根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個，末位數(shù)字為0、2、4中其中1個；分兩種情況討論：①首位數(shù)字為5時，末位數(shù)字有3種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個位置上，有A43=24種情況，此時有3×24=72個，②首位數(shù)字為4時，末位數(shù)字有2種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個位置上，有A43=24種情況，此時有2×24=48個，共有72+48=120個．故選B考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題．6、A【解題分析】試題分析：B若，則，所以錯誤；C．若，式子不成立．所以錯誤；D．若，此時式子不成立．所以錯誤，故選擇A考點：命題真假7、A【解題分析】

對于已知的兩條雙曲線，有，則半焦距相等，且焦點都在軸上，由此可得出結(jié)論.【題目詳解】解：對于已知的兩條雙曲線，有，半焦距相等，且焦點都在軸上，它們具有相同焦點.故選：A.【題目點撥】本題考查雙曲線的定義與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】試題分析：設(shè)，則，若函數(shù)在x∈R上有大于零的極值點．即有正根，當(dāng)有成立時，顯然有，此時．由，得參數(shù)a的范圍為．故選B．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．9、D【解題分析】四個函數(shù)圖象，分別對應(yīng)甲指數(shù)函數(shù)，乙對數(shù)函數(shù)，丙冪函數(shù)，丁正比例函數(shù)；而滿足①是正比例函數(shù)；②是指數(shù)函數(shù)；③是對數(shù)函數(shù)；④是冪函數(shù)，所以匹配方案是①—?、凇注邸尧堋?，選D。10、D【解題分析】分析：由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：，，，據(jù)此可得：.本題選擇D選項.點睛：對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．11、A【解題分析】

試題分析：若的不等式對一切恒成立，則，解得；在上遞減，則，解得，易知甲是乙的必要不充分條件，故選B.考點：1.充分條件與充要條件；2.二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).12、A【解題分析】

，可得在上是偶函數(shù).函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：，在上是偶函數(shù).函數(shù)，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，.故選：A.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性，不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、19【解題分析】

6門學(xué)科（3門理科，3門文科）中選擇3門學(xué)科可以分為全為理科，有理科有文科，全為文科，決定至少選擇一門理科學(xué)科包括前兩種，考慮起來比較麻煩，故用間接法：用總數(shù)減去全為文科的數(shù)量.【題目詳解】根據(jù)題意，從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科任選3門，有種選取方法，其中全部為文科科目，沒有理科科目的選法有種，所以至少選擇一門理科學(xué)科的選法有20－1＝19種；故答案為：19，【題目點撥】本題考查排列組合.方法：1、直接考慮，適用包含情況較少時；2、間接考慮，當(dāng)直接考慮情況較多時，可以用此法.14、【解題分析】分析：函數(shù)在上是增函數(shù)等價于，從而可得結(jié)果.詳解：因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以恒成立，因為，實數(shù)的取值范圍是故答案為.點睛：本題主要考查“分離常數(shù)”在解題中的應(yīng)用以及利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見方法：①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的;②利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問題求參數(shù)范15、【解題分析】

設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為，則球心為線段的中點，利用勾股定理求出球的半徑，由此能求出球的表面積．【題目詳解】∵一個直三棱柱的每條棱長都是，且每個頂點都在球的球面上，∴設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為，則球心為線段的中點，設(shè)球的半徑為，則∴球的表面積.故答案為：．【題目點撥】本題考查球的表面積的求法，空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、屬于中檔題．16、4【解題分析】

先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，根據(jù)題意，得到，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，得到，進而可求出結(jié)果.【題目詳解】因為，所以，又，是函數(shù)的極值點，所以，是方程的兩實根，因此，因為數(shù)列是正項等差數(shù)列，所以，解得，因此.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查由函數(shù)極值點求參數(shù)，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，熟記函數(shù)極值點的定義，以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于常考題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），．（2），該曲線為拋物線（除掉原點）．【解題分析】

（1）由題可知，直線與圓相切，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，結(jié)合離心率，即可求出與.（2）求出焦點坐標(biāo)，設(shè)點坐標(biāo)，從而得出的坐標(biāo)，同時設(shè)，利用垂直關(guān)系可得出關(guān)于的式子即為的軌跡方程.【題目詳解】解：（1），，．（2），兩點分別為，，由題意可設(shè)那么線段中點為，設(shè)是所求軌跡上的任意點由于，即，所以．又因為，消參得軌跡方程為.該曲線為拋物線（除掉原點）．【題目點撥】本題主要考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，包括離心率、短半軸長、焦點坐標(biāo)，還涉及中點坐標(biāo)公式，以及兩直線垂直時斜率相乘為-1，還利用消參法求動點的軌跡方程.18、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）直接用待定系數(shù)法可得方程；（2）設(shè)三點坐標(biāo)分別為，，，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓，求證為常數(shù)即可.【題目詳解】（1）由題意橢圓的焦距為2，且過點，所以，，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)三點坐標(biāo)分別為，，，設(shè)直線斜率分別為，則直線方程為由方程組消去，得由根與系數(shù)關(guān)系可得：故同理可得：又故則從而即兩點的橫坐標(biāo)之和為常數(shù)【題目點撥】本題主要考查橢圓的相關(guān)計算，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓中的定值問題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力，計算能力，難度較大.19、（1）或.(2)【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理，求得，進而可求解角B的大小；（2）根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，利用三角形的面積公式和余弦定理，即可求解?！绢}目詳解】（1）根據(jù)正弦定理得，.，，或.（2），且，.，，.由正弦定理，得.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關(guān)鍵．其中在中，通常涉及三邊三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解.20、(1);(2).【解題分析】分析：（1）由題意求出該顧客沒有中獎的概率，由此利用對立事件概率計算公式能求出該顧客中獎的概率；（2）利用古典概型概率公式即可求得該顧客獲得獎品總價值為元的概率.詳解：（1）由題意得該顧客沒有中獎的概率為=，∴該顧客中獎的概率為：P=1﹣=，∴該顧客中獎的概率為．（