2024屆上海市長寧、寶山、嘉定、青浦四區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆上海市（長寧、寶山、嘉定、青浦（四區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)與兩條平行線，及軸圍成的區(qū)域面積是（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．64．甲，乙，丙，丁四人參加完某項(xiàng)比賽，當(dāng)問到四人誰得第一時，回答如下：甲：“我得第一名”；乙：“丁沒得第一名”；丙：“乙沒得第一名”；?。骸拔业玫谝幻?已知他們四人中只有一個說真話，且只有一人得第一.根據(jù)以上信息可以判斷得第一名的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．以為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B． C． D．6．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊在直線上，則（）A． B． C． D．7．設(shè)，均為實(shí)數(shù)，且，，，則()A． B． C． D．8．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．10．某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為（）A．588 B．480 C．450 D．12011．歐拉公式(為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．12．集合，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是________________.14．已知命題任意，恒成立，命題方程表示雙曲線，若“”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______.15．若從甲乙丙丁4位同學(xué)中選出3位同學(xué)參加某個活動，則甲被選中的概率為__________．16．若關(guān)于的不等式的解集是，則實(shí)數(shù)的值是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系.已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）設(shè)是參數(shù)，若，求直線的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)且,求實(shí)數(shù)的值.18．（12分）已知平面直角坐標(biāo)系xOy，直線l過點(diǎn)P0,3，且傾斜角為α，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為（1）求直線l的參數(shù)方程和圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與圓C交于M、N兩點(diǎn)，若PM-PN=2，求直線19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值.20．（12分）某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎促銷，凡在該超市購物滿元的顧客，將獲得一次摸獎機(jī)會，規(guī)則如下：一個袋子裝有只形狀和大小均相同的玻璃球，其中兩只是紅色，三只是綠色，顧客從袋子中一次摸出兩只球，若兩只球都是紅色，則獎勵元；共兩只球都是綠色，則獎勵元；若兩只球顏色不同，則不獎勵．（1）求一名顧客在一次摸獎活動中獲得元的概率；（2）記為兩名顧客參與該摸獎活動獲得的獎勵總數(shù)額，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知點(diǎn)為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，連接并延長交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為.（1）證明：直線恒過定點(diǎn)；（2）如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）設(shè)是等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記的前項(xiàng)和為，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)定積分的幾何意義直接求出在區(qū)間的定積分，即可得出答案?！绢}目詳解】故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查定積分的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題。2、B【解題分析】

由題意首先求得的值，然后利用二倍角公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【題目詳解】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得：，則.本題選擇B選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3、B【解題分析】

先根據(jù)已知得出的符號及的值，再根據(jù)基本不等式求解.【題目詳解】∵；∴∴∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式，注意基本不等式成立的條件“一正二定三相等”.4、B【解題分析】分析：分別假設(shè)甲、乙、丙、丁得第一名，逐一分析判斷即可.詳解：若甲得第一名，則甲、乙、丙說了真話，丁說了假話，不符合題意；若乙得第一名，則乙說了真話，甲、丙、丁說了假話，符合題意；若丙得第一名，則乙、丙說了真話，甲、丁說了假話，不符合題意；若丁得第一名，則丙、丁說了真話，甲、乙說了假話，不符合題意點(diǎn)睛：本題考查推理論證，考查簡單的合情推理等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】

由題意和拋物線的性質(zhì)判斷出拋物線的開口方向，并求出的值，即可寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【題目詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，

所以拋物線開口向右，且=2，

則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系求出tanθ的值，原式利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，將tanθ的值代入計(jì)算即可求出值．【題目詳解】解：由已知可得，tanθ＝2，則原式1．故選A．【題目點(diǎn)撥】此題考查了誘導(dǎo)公式的作用，三角函數(shù)的化簡求值，以及直線斜率與傾斜角的關(guān)系，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．7、B【解題分析】分析：將題目中方程的根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值，作出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可得出的大小關(guān)系.詳解：在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)的圖像由圖可知，故選B.點(diǎn)睛：解決本題，要注意①方程有實(shí)數(shù)根②函數(shù)圖像與軸有交點(diǎn)③函數(shù)有零點(diǎn)三者之間的等價關(guān)系，解決此類問題時，有時候采用“數(shù)形結(jié)合”的策略往往能起到意想不到的效果.8、C【解題分析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則化簡，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求出．【題目詳解】，所以在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，位于第三象限，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)的幾何意義．9、D【解題分析】

取的中點(diǎn)為，由二面角平面角的定義可知；根據(jù)球的性質(zhì)可知若和中心分別為，則平面，平面，根據(jù)已知的長度關(guān)系可求得，在直角三角形中利用勾股定理可求得球的半徑，代入球的表面積公式可得結(jié)果.【題目詳解】取的中點(diǎn)為由和都是正三角形，得，則是二面角的平面角，即設(shè)球心為，和中心分別為由球的性質(zhì)可知：平面，平面又，，外接球半徑：外接球的表面積為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定球心的大致位置，從而可利用勾股定理求解出球的半徑.10、B【解題分析】試題分析：根據(jù)頻率分布直方圖，得；該模塊測試成績不少于60分的頻率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)是600×0.8=480考點(diǎn)：頻率分布直方圖11、C【解題分析】

先由題意得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意可得：，所以虛部為.故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的應(yīng)用，熟記復(fù)數(shù)的概念即可，屬于常考題型.12、B【解題分析】試題分析：集合，,，，故選B.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及集合的運(yùn)算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解題分析】試題分析：．故答案應(yīng)填：5【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)概念【名師點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基本題.首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如，其次要熟悉復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，模為，共軛為14、【解題分析】

根據(jù)題意求出命題P，Q的等價條件，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷即可.【題目詳解】當(dāng)時，不等式即為，滿足條件，若，不等式恒成立，則滿足，解得，綜上，即；若方程表示雙曲線，則，得，即；若“”為真命題，則兩個命題都為真，則，解得；故答案是：.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)邏輯的問題，涉及到的知識點(diǎn)有復(fù)合命題的真值，根據(jù)復(fù)合命題的真假求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，注意對各個命題為真時對應(yīng)參數(shù)的取值范圍的正確求解是關(guān)鍵.15、【解題分析】分析：先確定4位同學(xué)中選出3位同學(xué)事件數(shù)，再確定甲被選中事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)?位同學(xué)中選出3位同學(xué)共有種，甲被選中事件數(shù)有,所以甲被選中的概率為.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.16、【解題分析】分析：先根據(jù)二次函數(shù)圖像得恒成立且的兩根為1，3，再根據(jù)韋達(dá)定理求實(shí)數(shù)的值詳解：因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以恒成立且的兩根為1，3，所以.點(diǎn)睛：一元二次方程的根與對應(yīng)一元二次不等式解集以及對應(yīng)二次函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合思想，等價轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)，注意轉(zhuǎn)化時的等價性.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）(t為參數(shù))；（2）.【解題分析】

（1）先將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，代入，求得的值，由此求得直線的參數(shù)方程.（2）先求得曲線的直角坐標(biāo)方程，然后將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合利用參數(shù)的幾何意義列方程，解方程求得的值.【題目詳解】（1）由得直線，代入，求得，故直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（2）由得.將代入并化簡得，所以，由于在直線上，由得，即，化簡得，解得（負(fù)根舍去）.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查直線參數(shù)方程及直線參數(shù)的運(yùn)用，屬于中檔題.18、（1）直線l的參數(shù)方程為x=tcosαy=3+tsinα（t為參數(shù)），圓C【解題分析】

（1）根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義得出參數(shù)方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系化簡得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系得出α．【題目詳解】（1）因?yàn)橹本€l過點(diǎn)P(0,3)，且傾斜角為所以直線l的參數(shù)方程為x=tcosαy=3+tsinα因?yàn)閳AC的極坐標(biāo)方程為ρ2所以ρ2所以圓C的普通方程為：x2圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-1)2（2）直線l的參數(shù)方程為x=tcosαy=3+tsinα，代入圓C整理得t2設(shè)M、N兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則△>0恒成立，t1所以|PM|-|PN|=t1因?yàn)?≤α<π，所以α=π4或【題目點(diǎn)撥】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由代入曲線C的極坐標(biāo)方程，即可求出普通方程，消去直線l的參數(shù)方程中的未知量t，即可得到直線的普通方程；（2）因?yàn)橹本€和曲線C有兩個交點(diǎn)，所以根據(jù)直線的參數(shù)方程，建立一元二次方程根與系數(shù)，得出結(jié)果．【題目詳解】（1）由得曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為.(2)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為代入，整理得：,設(shè)所對應(yīng)的參數(shù)為，則,所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為普通方程，直線與曲線有兩個交點(diǎn)時的距離問題，是?？碱}型．20、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式可求得結(jié)果；（2）分別求出一名顧客摸球中獎元和不中獎的概率；確定所有可能的取值為：，，，，，分別計(jì)算每個取值對應(yīng)的概率，從而得到分布列；利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求解期望即可.【題目詳解】（1）記一名顧客摸球中獎元為事件從袋中摸出兩只球共有：種取法；摸出的兩只球均是紅球共有：種取法（2）記一名顧客摸球中獎元為事件，不中獎為事件則：，由題意可知，所有可能的取值為：，，，，則；；；；隨機(jī)變量的分布列為：【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型概率問題求解、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)通過積事件的概率公式求解出每個隨機(jī)變量的取值所對應(yīng)的概率，從而可得分布列.21、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）設(shè)，計(jì)算得到，直線的方程為，得到答案.（2）計(jì)算，設(shè)，討論，，三種情況，分別計(jì)算得到答案.【題目詳解】（1）設(shè)，因?yàn)椋?，由三點(diǎn)共線得，化簡得，即，由此可得，所以直線的方程為，即，因此直線恒過定點(diǎn).（2），，令，如果，則；如果，則，當(dāng)時