2024屆廣東省東莞市北京師范大學石竹附屬學校數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題含解析

2024屆廣東省東莞市北京師范大學石竹附屬學校數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用反證法證明命題“若，則全為”，其反設正確的是（）A．至少有一個不為 B．至少有一個為C．全不為 D．中只有一個為2．已知，則“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件3．如圖梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點,將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，給出四個結論：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.則在翻折過程中，可能成立的結論的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．44．歐拉公式(為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．5．設定點，動圓過點且與直線相切.則動圓圓心的軌跡方程為（）A． B． C． D．6．用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調(diào)，則在上至多有一個零點”時，要做的假設是（）A．在上沒有零點 B．在上至少有一個零點C．在上恰好有兩個零點 D．在上至少有兩個零點7．若，則“成等比數(shù)列”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知，是兩條不同直線，，是兩個不同平面，則下列命題正確的是（）（A）若，垂直于同一平面，則與平行（B）若，平行于同一平面，則與平行（C）若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線（D）若，不平行，則與不可能垂直于同一平面9．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.6826 B．0.1587 C．0.1588 D．0.341310．為直線，為平面，則下列命題中為真命題的是（）A．若，，則 B．則，，則C．若，，則 D．則，，則11．若，滿足約束條件，則的最大值為（）A．-2 B．-1 C．2 D．412．是雙曲線的右焦點，過點向的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點，若，則的離心率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若命題：是真命題，則實數(shù)的取值范圍是______．14．的展開式中常數(shù)項為__________．(有數(shù)字填寫答案)15．現(xiàn)有3位男學生3位女學生排成一排照相，若男學生站兩端，3位女學生中有且只有兩位相鄰，則不同的排法種數(shù)是_____．（用數(shù)字作答）16．設等差數(shù)列的前項和為，則成等差數(shù)列.類比以上結論有：設等比數(shù)列的前項積為，則，__________，成等比數(shù)列.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知時，函數(shù)，對任意實數(shù)都有，且，當時，（1）判斷的奇偶性；（2）判斷在上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若且，求的取值范圍.18．（12分）畢業(yè)季有位好友欲合影留念，現(xiàn)排成一排，如果：（1）、兩人不排在一起，有幾種排法？（2）、兩人必須排在一起，有幾種排法？（3）不在排頭，不在排尾，有幾種排法？19．（12分）已知．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與對稱軸方程；（2）當時，求的最大值與最小值．20．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，若恒成立，求的取值范圍．21．（12分）如圖幾何體中，底面為正方形，平面，，且.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大小.22．（10分）我校為了解學生喜歡通用技術課程“機器人制作”是否與學生性別有關，采用簡單隨機抽樣的辦法在我校高一年級抽出一個有60人的班級進行問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計男生18女生6合計60已知從該班隨機抽取1人為喜歡的概率是．(Ⅰ)請完成上面的列聯(lián)表；(Ⅱ)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按90%的可靠性要求，能否認為“喜歡與否和學生性別有關”？請說明理由．參考臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：其中

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】由反證法的定義：證明命題“若，則全為”，其反設為至少有一個不為.本題選擇A選項.2、A【解題分析】

“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出結果．【題目詳解】a∈R，則“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要條件．故選A．【題目點撥】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．3、B【解題分析】分析：利用空間中線線、線面、面面間的位置關系求解.詳解：對于①：因為BC∥AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直,則①錯誤；對于②：設點D在平面BCF上的射影為點P,當BP⊥CF時就有BD⊥FC,而AD:BC:AB＝2:3:4可使條件滿足,所以②正確；對于③：當點P落在BF上時,DP?平面BDF,從而平面BDF⊥平面BCF,所以③正確；對于④：因為點D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④錯誤．故選B.點睛：本題考查命題真假的判斷，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).4、C【解題分析】

先由題意得到，進而可求出結果.【題目詳解】由題意可得：，所以虛部為.故選C【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的應用，熟記復數(shù)的概念即可，屬于?？碱}型.5、A【解題分析】

由題意，動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，求得，即可得到答案．【題目詳解】由題意知，動圓圓心到定點與到定直線的距離相等，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，則方程為故選A【題目點撥】本題考查拋物線的定義，屬于簡單題．6、D【解題分析】分析：利用反證法證明，假設一定是原命題的完全否定，從而可得結果.詳解：因為“至多有一個”的否定是“至少有兩個”，所以用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調(diào)，則在上至多有一個零點”時，要做的假設是在上至少有兩個零點，故選D.點睛：反證法的適用范圍是，（1）否定性命題；（2）結論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復雜，而反面情況較少．7、B【解題分析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可判定得到結論．詳解：由題意得，例如，此時構成等比數(shù)列，而不成立，反之當時，若，則，所以構成等比數(shù)列，所以當時，構成等比數(shù)列是構成的等比數(shù)列的必要不充分條件，故選B．點睛：本題主要考查了等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)，其中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的定義的應用是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力．8、D【解題分析】由，若，垂直于同一平面，則，可以相交、平行，故不正確；由，若，平行于同一平面，則，可以平行、重合、相交、異面，故不正確；由，若，不平行，但平面內(nèi)會存在平行于的直線，如平面中平行于，交線的直線；由項，其逆否命題為“若與垂直于同一平面，則，平行”是真命題，故項正確.所以選D.考點：1.直線、平面的垂直、平行判定定理以及性質(zhì)定理的應用.9、D【解題分析】分析：根據(jù)隨機變量符合正態(tài)分布，知這組數(shù)據(jù)是以為對稱軸的，根據(jù)所給的區(qū)間的概率與要求的區(qū)間的概率之間的關系，單獨要求的概率的值．詳解：∵機變量服從正態(tài)分布，，

，

∴.故選：D．點睛：本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求某一個區(qū)間的概率，屬基礎題．10、B【解題分析】

根據(jù)空間中平面和直線平行和垂直的位置關系可依次通過反例排除，從而得到結果.【題目詳解】選項：若，則與未必平行，錯誤選項：垂直于同一平面的兩條直線互相平行，正確選項：垂直于同一平面的兩個平面可能相交也可能平行，錯誤選項：可能與平行或相交，錯誤本題正確選項：【題目點撥】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的相關命題的判定，通常通過反例，采用排除法的方式來得到結果，屬于基礎題.11、C【解題分析】分析：要先根據(jù)約束條件畫出可行域，再轉化目標函數(shù)，把求目標函數(shù)的最值問題轉化成求截距的最值問題詳解：如圖所示可行域：,故目標函數(shù)在點（2,0）處取得最大值，故最大值為2，故選C.點睛：本題考查線性規(guī)劃，須準確畫出可行域．還要注意目標函數(shù)的圖象與可行域邊界直線的傾斜程度（斜率的大小）．屬簡單題12、A【解題分析】試題分析：由題意得，因此，選A.考點：雙曲線離心率【名師點睛】求雙曲線的離心率（取值范圍）的策略求雙曲線離心率是一個熱點問題．若求離心率的值，需根據(jù)條件轉化為關于a，b，c的方程求解，若求離心率的取值范圍，需轉化為關于a，b，c的不等式求解，正確把握c2＝a2＋b2的應用及e＞1是求解的關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】試題分析：命題：“對，”是真命題.當時，則有；當時，則有且，解得.綜上所示，實數(shù)的取值范圍是.考點：1.全稱命題；2.不等式恒成立14、16【解題分析】展開式的次項與形成常數(shù)項，展開式的常數(shù)項和1形成常數(shù)項，所以展開式的次項為，常數(shù)項為1，所以的展開式中常數(shù)項為15+1=1615、72【解題分析】

對6個位置進行編號，第一步，兩端排男生；第二步，2，3或4，5排兩名女生，則剩下位置的排法是固定的.【題目詳解】第一步：兩端排男生共，第二步：2，3或4，5排兩名女生共，由乘法分步原理得：不同的排法種數(shù)是.【題目點撥】本題若沒有注意2位相鄰女生的順序，易出現(xiàn)錯誤答案.16、【解題分析】由于等差數(shù)列的特征是差，等比數(shù)列的特征是比，因此運用類比推理的思維方法可得：，，成等比數(shù)列，應填答案。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)偶函數(shù).(2)見解析.(3).【解題分析】

(1)利用賦值法得到，即得函數(shù)的奇偶性.(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義嚴格證明.(3)先求出，再解不等式.【題目詳解】（1）令，則，，為偶函數(shù).（2）設，，∵時，，∴，∴，故在上是增函數(shù).（3）∵,又∴∵，∴，即，又故.【題目點撥】(1)本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的證明，考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)的運用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：①取值，設，且；②作差，求；③變形（合并同類項、通分、分解因式、配方等）；④判斷的正負符號；⑤根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義下結論.18、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）利用插空法可求出排法種數(shù)；（2）利用捆綁法可求出排法種數(shù)；（3）分兩種情況討論：①若在排尾；②若不在排尾.分別求出每一種情況的排法種數(shù)，由加法原理計算可得出答案.【題目詳解】（1）將、插入到其余人所形成的個空中，因此，排法種數(shù)為；（2）將、兩人捆綁在一起看作一個復合元素和其他人去安排，因此，排法種數(shù)為；（3）分以下兩種情況討論：①若在排尾，則剩下的人全排列，故有種排法；②若不在排尾，則有個位置可選，有個位置可選，將剩下的人全排列，安排在其它個位置即可，此時，共有種排法.綜上所述，共有種不同的排法種數(shù).【題目點撥】本題考查了排列、組合的應用，同時也考查了插空法、捆綁法以及分類計數(shù)原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．對稱軸方程為，其中k∈Z．（2）f（x）的最大值為2，最小值為–1．【解題分析】（1）因為，由，求得，k∈Z，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．由，求得，k∈Z．故f（x）的對稱軸方程為，其中k∈Z．（2）因為，所以，故有，故當即x=0時，f（x）的最小值為–1，當即時，f（x）的最大值為2．20、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先求得函數(shù)的導函數(shù)，然后根據(jù)三種情況，討論的單調(diào)性.（2）由題可知在上恒成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究的單調(diào)性和最值，對分成兩種進行分類討論，根據(jù)在上恒成立，求得的取值范圍.【題目詳解】（1），當時，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當時，在上單調(diào)遞增．當時，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題可知在上恒成立，令，則，令，則，所以在上為減函數(shù)，．當時，，即在上為減函數(shù)，則，所以，即，得．當時，令，若，則，所以，所以，又，所以在上有唯一零點，設為，在上，，即單調(diào)遞增，在上，，即單調(diào)遞減，則的最大值為，所以恒成立．由，得，則．因為，所以，由，得．記，則，所以在上是減函數(shù)，故．綜上，的取值范圍為．【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)研究不等式恒