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2024屆廣東省東莞市北京師范大學(xué)石竹附屬學(xué)校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.用反證法證明命題“若,則全為”,其反設(shè)正確的是()A.至少有一個(gè)不為 B.至少有一個(gè)為C.全不為 D.中只有一個(gè)為2.已知,則“”是“”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件3.如圖梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn),將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折,給出四個(gè)結(jié)論:①DF⊥BC;②BD⊥FC;③平面DBF⊥平面BFC;④平面DCF⊥平面BFC.則在翻折過(guò)程中,可能成立的結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.歐拉公式(為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集,建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”,根據(jù)歐拉公式可知,表示的復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.5.設(shè)定點(diǎn),動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與直線相切.則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為()A. B. C. D.6.用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調(diào),則在上至多有一個(gè)零點(diǎn)”時(shí),要做的假設(shè)是()A.在上沒(méi)有零點(diǎn) B.在上至少有一個(gè)零點(diǎn)C.在上恰好有兩個(gè)零點(diǎn) D.在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)7.若,則“成等比數(shù)列”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知,是兩條不同直線,,是兩個(gè)不同平面,則下列命題正確的是()(A)若,垂直于同一平面,則與平行(B)若,平行于同一平面,則與平行(C)若,不平行,則在內(nèi)不存在與平行的直線(D)若,不平行,則與不可能垂直于同一平面9.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則()A.0.6826 B.0.1587 C.0.1588 D.0.341310.為直線,為平面,則下列命題中為真命題的是()A.若,,則 B.則,,則C.若,,則 D.則,,則11.若,滿(mǎn)足約束條件,則的最大值為()A.-2 B.-1 C.2 D.412.是雙曲線的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)向的一條漸近線引垂線,垂足為,交另一條漸近線于點(diǎn),若,則的離心率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若命題:是真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.(有數(shù)字填寫(xiě)答案)15.現(xiàn)有3位男學(xué)生3位女學(xué)生排成一排照相,若男學(xué)生站兩端,3位女學(xué)生中有且只有兩位相鄰,則不同的排法種數(shù)是_____.(用數(shù)字作答)16.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則成等差數(shù)列.類(lèi)比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為,則,__________,成等比數(shù)列.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知時(shí),函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,且,當(dāng)時(shí),(1)判斷的奇偶性;(2)判斷在上的單調(diào)性,并給出證明;(3)若且,求的取值范圍.18.(12分)畢業(yè)季有位好友欲合影留念,現(xiàn)排成一排,如果:(1)、兩人不排在一起,有幾種排法?(2)、兩人必須排在一起,有幾種排法?(3)不在排頭,不在排尾,有幾種排法?19.(12分)已知.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱(chēng)軸方程;(2)當(dāng)時(shí),求的最大值與最小值.20.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),若恒成立,求的取值范圍.21.(12分)如圖幾何體中,底面為正方形,平面,,且.(1)求證:平面;(2)求與平面所成角的大小.22.(10分)我校為了解學(xué)生喜歡通用技術(shù)課程“機(jī)器人制作”是否與學(xué)生性別有關(guān),采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的辦法在我校高一年級(jí)抽出一個(gè)有60人的班級(jí)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表:喜歡不喜歡合計(jì)男生18女生6合計(jì)60已知從該班隨機(jī)抽取1人為喜歡的概率是.(Ⅰ)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表;(Ⅱ)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按90%的可靠性要求,能否認(rèn)為“喜歡與否和學(xué)生性別有關(guān)”?請(qǐng)說(shuō)明理由.參考臨界值表:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式:其中
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】由反證法的定義:證明命題“若,則全為”,其反設(shè)為至少有一個(gè)不為.本題選擇A選項(xiàng).2、A【解題分析】
“a>1”?“”,“”?“a>1或a<0”,由此能求出結(jié)果.【題目詳解】a∈R,則“a>1”?“”,“”?“a>1或a<0”,∴“a>1”是“”的充分非必要條件.故選A.【題目點(diǎn)撥】充分、必要條件的三種判斷方法.1.定義法:直接判斷“若則”、“若則”的真假.并注意和圖示相結(jié)合,例如“?”為真,則是的充分條件.2.等價(jià)法:利用?與非?非,?與非?非,?與非?非的等價(jià)關(guān)系,對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題,一般運(yùn)用等價(jià)法.3.集合法:若?,則是的充分條件或是的必要條件;若=,則是的充要條件.3、B【解題分析】分析:利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解.詳解:對(duì)于①:因?yàn)锽C∥AD,AD與DF相交不垂直,所以BC與DF不垂直,則①錯(cuò)誤;對(duì)于②:設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P,當(dāng)BP⊥CF時(shí)就有BD⊥FC,而AD:BC:AB=2:3:4可使條件滿(mǎn)足,所以②正確;對(duì)于③:當(dāng)點(diǎn)P落在BF上時(shí),DP?平面BDF,從而平面BDF⊥平面BCF,所以③正確;對(duì)于④:因?yàn)辄c(diǎn)D的投影不可能在FC上,所以平面DCF⊥平面BFC不成立,即④錯(cuò)誤.故選B.點(diǎn)睛:本題考查命題真假的判斷,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).4、C【解題分析】
先由題意得到,進(jìn)而可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意可得:,所以虛部為.故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的應(yīng)用,熟記復(fù)數(shù)的概念即可,屬于??碱}型.5、A【解題分析】
由題意,動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線,求得,即可得到答案.【題目詳解】由題意知,動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)與到定直線的距離相等,所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線,則方程為故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的定義,屬于簡(jiǎn)單題.6、D【解題分析】分析:利用反證法證明,假設(shè)一定是原命題的完全否定,從而可得結(jié)果.詳解:因?yàn)椤爸炼嘤幸粋€(gè)”的否定是“至少有兩個(gè)”,所以用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調(diào),則在上至多有一個(gè)零點(diǎn)”時(shí),要做的假設(shè)是在上至少有兩個(gè)零點(diǎn),故選D.點(diǎn)睛:反證法的適用范圍是,(1)否定性命題;(2)結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無(wú)限”、“唯一”等詞語(yǔ)的命題;(3)命題成立非常明顯,直接證明所用的理論較少,且不容易證明,而其逆否命題非常容易證明;(4)要討論的情況很復(fù)雜,而反面情況較少.7、B【解題分析】分析:根據(jù)等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì),即可判定得到結(jié)論.詳解:由題意得,例如,此時(shí)構(gòu)成等比數(shù)列,而不成立,反之當(dāng)時(shí),若,則,所以構(gòu)成等比數(shù)列,所以當(dāng)時(shí),構(gòu)成等比數(shù)列是構(gòu)成的等比數(shù)列的必要不充分條件,故選B.點(diǎn)睛:本題主要考查了等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì),其中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的定義的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與論證能力.8、D【解題分析】由,若,垂直于同一平面,則,可以相交、平行,故不正確;由,若,平行于同一平面,則,可以平行、重合、相交、異面,故不正確;由,若,不平行,但平面內(nèi)會(huì)存在平行于的直線,如平面中平行于,交線的直線;由項(xiàng),其逆否命題為“若與垂直于同一平面,則,平行”是真命題,故項(xiàng)正確.所以選D.考點(diǎn):1.直線、平面的垂直、平行判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用.9、D【解題分析】分析:根據(jù)隨機(jī)變量符合正態(tài)分布,知這組數(shù)據(jù)是以為對(duì)稱(chēng)軸的,根據(jù)所給的區(qū)間的概率與要求的區(qū)間的概率之間的關(guān)系,單獨(dú)要求的概率的值.詳解:∵機(jī)變量服從正態(tài)分布,,
,
∴.故選:D.點(diǎn)睛:本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義,考查根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求某一個(gè)區(qū)間的概率,屬基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】
根據(jù)空間中平面和直線平行和垂直的位置關(guān)系可依次通過(guò)反例排除,從而得到結(jié)果.【題目詳解】選項(xiàng):若,則與未必平行,錯(cuò)誤選項(xiàng):垂直于同一平面的兩條直線互相平行,正確選項(xiàng):垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能相交也可能平行,錯(cuò)誤選項(xiàng):可能與平行或相交,錯(cuò)誤本題正確選項(xiàng):【題目點(diǎn)撥】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)命題的判定,通常通過(guò)反例,采用排除法的方式來(lái)得到結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】分析:要先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域,再轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù),把求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求截距的最值問(wèn)題詳解:如圖所示可行域:,故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)(2,0)處取得最大值,故最大值為2,故選C.點(diǎn)睛:本題考查線性規(guī)劃,須準(zhǔn)確畫(huà)出可行域.還要注意目標(biāo)函數(shù)的圖象與可行域邊界直線的傾斜程度(斜率的大?。畬俸?jiǎn)單題12、A【解題分析】試題分析:由題意得,因此,選A.考點(diǎn):雙曲線離心率【名師點(diǎn)睛】求雙曲線的離心率(取值范圍)的策略求雙曲線離心率是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題.若求離心率的值,需根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b,c的方程求解,若求離心率的取值范圍,需轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b,c的不等式求解,正確把握c2=a2+b2的應(yīng)用及e>1是求解的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解題分析】試題分析:命題:“對(duì),”是真命題.當(dāng)時(shí),則有;當(dāng)時(shí),則有且,解得.綜上所示,實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn):1.全稱(chēng)命題;2.不等式恒成立14、16【解題分析】展開(kāi)式的次項(xiàng)與形成常數(shù)項(xiàng),展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)和1形成常數(shù)項(xiàng),所以展開(kāi)式的次項(xiàng)為,常數(shù)項(xiàng)為1,所以的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為15+1=1615、72【解題分析】
對(duì)6個(gè)位置進(jìn)行編號(hào),第一步,兩端排男生;第二步,2,3或4,5排兩名女生,則剩下位置的排法是固定的.【題目詳解】第一步:兩端排男生共,第二步:2,3或4,5排兩名女生共,由乘法分步原理得:不同的排法種數(shù)是.【題目點(diǎn)撥】本題若沒(méi)有注意2位相鄰女生的順序,易出現(xiàn)錯(cuò)誤答案.16、【解題分析】由于等差數(shù)列的特征是差,等比數(shù)列的特征是比,因此運(yùn)用類(lèi)比推理的思維方法可得:,,成等比數(shù)列,應(yīng)填答案。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)偶函數(shù).(2)見(jiàn)解析.(3).【解題分析】
(1)利用賦值法得到,即得函數(shù)的奇偶性.(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義嚴(yán)格證明.(3)先求出,再解不等式.【題目詳解】(1)令,則,,為偶函數(shù).(2)設(shè),,∵時(shí),,∴,∴,故在上是增函數(shù).(3)∵,又∴∵,∴,即,又故.【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的證明,考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)的運(yùn)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟:①取值,設(shè),且;②作差,求;③變形(合并同類(lèi)項(xiàng)、通分、分解因式、配方等);④判斷的正負(fù)符號(hào);⑤根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義下結(jié)論.18、(1);(2);(3).【解題分析】
(1)利用插空法可求出排法種數(shù);(2)利用捆綁法可求出排法種數(shù);(3)分兩種情況討論:①若在排尾;②若不在排尾.分別求出每一種情況的排法種數(shù),由加法原理計(jì)算可得出答案.【題目詳解】(1)將、插入到其余人所形成的個(gè)空中,因此,排法種數(shù)為;(2)將、兩人捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素和其他人去安排,因此,排法種數(shù)為;(3)分以下兩種情況討論:①若在排尾,則剩下的人全排列,故有種排法;②若不在排尾,則有個(gè)位置可選,有個(gè)位置可選,將剩下的人全排列,安排在其它個(gè)位置即可,此時(shí),共有種排法.綜上所述,共有種不同的排法種數(shù).【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列、組合的應(yīng)用,同時(shí)也考查了插空法、捆綁法以及分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.對(duì)稱(chēng)軸方程為,其中k∈Z.(2)f(x)的最大值為2,最小值為–1.【解題分析】(1)因?yàn)椋?,求得,k∈Z,可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.由,求得,k∈Z.故f(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程為,其中k∈Z.(2)因?yàn)?,所以,故有,故?dāng)即x=0時(shí),f(x)的最小值為–1,當(dāng)即時(shí),f(x)的最大值為2.20、(1)見(jiàn)解析(2)【解題分析】
(1)先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),然后根據(jù)三種情況,討論的單調(diào)性.(2)由題可知在上恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和最值,對(duì)分成兩種進(jìn)行分類(lèi)討論,根據(jù)在上恒成立,求得的取值范圍.【題目詳解】(1),當(dāng)時(shí),令,得,令,得或,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),令,得,令,得或,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)由題可知在上恒成立,令,則,令,則,所以在上為減函數(shù),.當(dāng)時(shí),,即在上為減函數(shù),則,所以,即,得.當(dāng)時(shí),令,若,則,所以,所以,又,所以在上有唯一零點(diǎn),設(shè)為,在上,,即單調(diào)遞增,在上,,即單調(diào)遞減,則的最大值為,所以恒成立.由,得,則.因?yàn)?,所以,由,得.記,則,所以在上是減函數(shù),故.綜上,的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒
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