2024屆廣東省東莞市北京師范大學(xué)石竹附屬學(xué)校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆廣東省東莞市北京師范大學(xué)石竹附屬學(xué)校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用反證法證明命題“若，則全為”，其反設(shè)正確的是（）A．至少有一個(gè)不為 B．至少有一個(gè)為C．全不為 D．中只有一個(gè)為2．已知，則“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件3．如圖梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn),將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折，給出四個(gè)結(jié)論：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.則在翻折過(guò)程中，可能成立的結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．44．歐拉公式(為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．5．設(shè)定點(diǎn)，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與直線相切.則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）A． B． C． D．6．用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調(diào)，則在上至多有一個(gè)零點(diǎn)”時(shí)，要做的假設(shè)是（）A．在上沒(méi)有零點(diǎn) B．在上至少有一個(gè)零點(diǎn)C．在上恰好有兩個(gè)零點(diǎn) D．在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)7．若，則“成等比數(shù)列”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知，是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（）（A）若，垂直于同一平面，則與平行（B）若，平行于同一平面，則與平行（C）若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線（D）若，不平行，則與不可能垂直于同一平面9．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.6826 B．0.1587 C．0.1588 D．0.341310．為直線，為平面，則下列命題中為真命題的是（）A．若，，則 B．則，，則C．若，，則 D．則，，則11．若，滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為（）A．-2 B．-1 C．2 D．412．是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點(diǎn)，若，則的離心率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若命題：是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．14．的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________．(有數(shù)字填寫(xiě)答案)15．現(xiàn)有3位男學(xué)生3位女學(xué)生排成一排照相，若男學(xué)生站兩端，3位女學(xué)生中有且只有兩位相鄰，則不同的排法種數(shù)是_____．（用數(shù)字作答）16．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則成等差數(shù)列.類(lèi)比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，__________，成等比數(shù)列.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知時(shí)，函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，當(dāng)時(shí)，（1）判斷的奇偶性；（2）判斷在上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若且，求的取值范圍.18．（12分）畢業(yè)季有位好友欲合影留念，現(xiàn)排成一排，如果：（1）、兩人不排在一起，有幾種排法？（2）、兩人必須排在一起，有幾種排法？（3）不在排頭，不在排尾，有幾種排法？19．（12分）已知．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱(chēng)軸方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值與最小值．20．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍．21．（12分）如圖幾何體中，底面為正方形，平面，，且.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大小.22．（10分）我校為了解學(xué)生喜歡通用技術(shù)課程“機(jī)器人制作”是否與學(xué)生性別有關(guān)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的辦法在我校高一年級(jí)抽出一個(gè)有60人的班級(jí)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計(jì)男生18女生6合計(jì)60已知從該班隨機(jī)抽取1人為喜歡的概率是．(Ⅰ)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表；(Ⅱ)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按90%的可靠性要求，能否認(rèn)為“喜歡與否和學(xué)生性別有關(guān)”？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：其中

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】由反證法的定義：證明命題“若，則全為”，其反設(shè)為至少有一個(gè)不為.本題選擇A選項(xiàng).2、A【解題分析】

“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】a∈R，則“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要條件．故選A．【題目點(diǎn)撥】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．3、B【解題分析】分析：利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解.詳解：對(duì)于①：因?yàn)锽C∥AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直,則①錯(cuò)誤；對(duì)于②：設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P,當(dāng)BP⊥CF時(shí)就有BD⊥FC,而AD:BC:AB＝2:3:4可使條件滿(mǎn)足,所以②正確；對(duì)于③：當(dāng)點(diǎn)P落在BF上時(shí),DP?平面BDF,從而平面BDF⊥平面BCF,所以③正確；對(duì)于④：因?yàn)辄c(diǎn)D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④錯(cuò)誤．故選B.點(diǎn)睛：本題考查命題真假的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).4、C【解題分析】

先由題意得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意可得：，所以虛部為.故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的應(yīng)用，熟記復(fù)數(shù)的概念即可，屬于?？碱}型.5、A【解題分析】

由題意，動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，求得，即可得到答案．【題目詳解】由題意知，動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)與到定直線的距離相等，所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，則方程為故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的定義，屬于簡(jiǎn)單題．6、D【解題分析】分析：利用反證法證明，假設(shè)一定是原命題的完全否定，從而可得結(jié)果.詳解：因?yàn)椤爸炼嘤幸粋€(gè)”的否定是“至少有兩個(gè)”，所以用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調(diào)，則在上至多有一個(gè)零點(diǎn)”時(shí)，要做的假設(shè)是在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，故選D.點(diǎn)睛：反證法的適用范圍是，（1）否定性命題；（2）結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無(wú)限”、“唯一”等詞語(yǔ)的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況較少．7、B【解題分析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可判定得到結(jié)論．詳解：由題意得，例如，此時(shí)構(gòu)成等比數(shù)列，而不成立，反之當(dāng)時(shí)，若，則，所以構(gòu)成等比數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，構(gòu)成等比數(shù)列是構(gòu)成的等比數(shù)列的必要不充分條件，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查了等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)，其中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的定義的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力．8、D【解題分析】由，若，垂直于同一平面，則，可以相交、平行，故不正確；由，若，平行于同一平面，則，可以平行、重合、相交、異面，故不正確；由，若，不平行，但平面內(nèi)會(huì)存在平行于的直線，如平面中平行于，交線的直線；由項(xiàng)，其逆否命題為“若與垂直于同一平面，則，平行”是真命題，故項(xiàng)正確.所以選D.考點(diǎn)：1.直線、平面的垂直、平行判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用.9、D【解題分析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，知這組數(shù)據(jù)是以為對(duì)稱(chēng)軸的，根據(jù)所給的區(qū)間的概率與要求的區(qū)間的概率之間的關(guān)系，單獨(dú)要求的概率的值．詳解：∵機(jī)變量服從正態(tài)分布，，

，

∴.故選：D．點(diǎn)睛：本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求某一個(gè)區(qū)間的概率，屬基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

根據(jù)空間中平面和直線平行和垂直的位置關(guān)系可依次通過(guò)反例排除，從而得到結(jié)果.【題目詳解】選項(xiàng)：若，則與未必平行，錯(cuò)誤選項(xiàng)：垂直于同一平面的兩條直線互相平行，正確選項(xiàng)：垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能相交也可能平行，錯(cuò)誤選項(xiàng)：可能與平行或相交，錯(cuò)誤本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)命題的判定，通常通過(guò)反例，采用排除法的方式來(lái)得到結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】分析：要先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)，把求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求截距的最值問(wèn)題詳解：如圖所示可行域：,故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)（2,0）處取得最大值，故最大值為2，故選C.點(diǎn)睛：本題考查線性規(guī)劃，須準(zhǔn)確畫(huà)出可行域．還要注意目標(biāo)函數(shù)的圖象與可行域邊界直線的傾斜程度（斜率的大?。畬俸?jiǎn)單題12、A【解題分析】試題分析：由題意得，因此，選A.考點(diǎn)：雙曲線離心率【名師點(diǎn)睛】求雙曲線的離心率（取值范圍）的策略求雙曲線離心率是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題．若求離心率的值，需根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的方程求解，若求離心率的取值范圍，需轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的不等式求解，正確把握c2＝a2＋b2的應(yīng)用及e＞1是求解的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】試題分析：命題：“對(duì)，”是真命題.當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，則有且，解得.綜上所示，實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)：1.全稱(chēng)命題；2.不等式恒成立14、16【解題分析】展開(kāi)式的次項(xiàng)與形成常數(shù)項(xiàng)，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)和1形成常數(shù)項(xiàng)，所以展開(kāi)式的次項(xiàng)為，常數(shù)項(xiàng)為1，所以的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為15+1=1615、72【解題分析】

對(duì)6個(gè)位置進(jìn)行編號(hào)，第一步，兩端排男生；第二步，2，3或4，5排兩名女生，則剩下位置的排法是固定的.【題目詳解】第一步：兩端排男生共，第二步：2，3或4，5排兩名女生共，由乘法分步原理得：不同的排法種數(shù)是.【題目點(diǎn)撥】本題若沒(méi)有注意2位相鄰女生的順序，易出現(xiàn)錯(cuò)誤答案.16、【解題分析】由于等差數(shù)列的特征是差，等比數(shù)列的特征是比，因此運(yùn)用類(lèi)比推理的思維方法可得：，，成等比數(shù)列，應(yīng)填答案。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)偶函數(shù).(2)見(jiàn)解析.(3).【解題分析】

(1)利用賦值法得到，即得函數(shù)的奇偶性.(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義嚴(yán)格證明.(3)先求出，再解不等式.【題目詳解】（1）令，則，，為偶函數(shù).（2）設(shè)，，∵時(shí)，，∴，∴，故在上是增函數(shù).（3）∵,又∴∵，∴，即，又故.【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的證明，考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)的運(yùn)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：①取值，設(shè)，且；②作差，求；③變形（合并同類(lèi)項(xiàng)、通分、分解因式、配方等）；④判斷的正負(fù)符號(hào)；⑤根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義下結(jié)論.18、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）利用插空法可求出排法種數(shù)；（2）利用捆綁法可求出排法種數(shù)；（3）分兩種情況討論：①若在排尾；②若不在排尾.分別求出每一種情況的排法種數(shù)，由加法原理計(jì)算可得出答案.【題目詳解】（1）將、插入到其余人所形成的個(gè)空中，因此，排法種數(shù)為；（2）將、兩人捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素和其他人去安排，因此，排法種數(shù)為；（3）分以下兩種情況討論：①若在排尾，則剩下的人全排列，故有種排法；②若不在排尾，則有個(gè)位置可選，有個(gè)位置可選，將剩下的人全排列，安排在其它個(gè)位置即可，此時(shí)，共有種排法.綜上所述，共有種不同的排法種數(shù).【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列、組合的應(yīng)用，同時(shí)也考查了插空法、捆綁法以及分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．對(duì)稱(chēng)軸方程為，其中k∈Z．（2）f（x）的最大值為2，最小值為–1．【解題分析】（1）因?yàn)椋?，求得，k∈Z，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．由，求得，k∈Z．故f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程為，其中k∈Z．（2）因?yàn)?，所以，故有，故?dāng)即x=0時(shí)，f（x）的最小值為–1，當(dāng)即時(shí)，f（x）的最大值為2．20、（1）見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)三種情況，討論的單調(diào)性.（2）由題可知在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和最值，對(duì)分成兩種進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)在上恒成立，求得的取值范圍.【題目詳解】（1），當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題可知在上恒成立，令，則，令，則，所以在上為減函數(shù)，．當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)，則，所以，即，得．當(dāng)時(shí)，令，若，則，所以，所以，又，所以在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為，在上，，即單調(diào)遞增，在上，，即單調(diào)遞減，則的最大值為，所以恒成立．由，得，則．因?yàn)?，所以，由，得．記，則，所以在上是減函數(shù)，故．綜上，的取值范圍為．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒