江蘇睢寧中學北校2024屆高二數(shù)學第二學期期末檢測試題含解析

江蘇睢寧中學北校2024屆高二數(shù)學第二學期期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間給出下列四個命題：①如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則⊥；②如果直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則∥；③如果直線與平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則⊥；④如果平面內(nèi)的兩條直線都平行于平面，則∥．其中正確的個數(shù)是A． B． C． D．2．設全集U＝｛1,3,5,7｝，集合M＝｛1，|a－5|｝，MU，M＝｛5，7｝，則實數(shù)a的值為()A．2或－8 B．－8或－2 C．－2或8 D．2或83．空間直角坐標系中，點關于點的對稱點的坐標是A．(－10,2,8) B．(－10,2,－8) C．(5,2,－8) D．(－10,3,－8)4．現(xiàn)有60個機器零件，編號從1到60，若從中抽取6個進行檢驗，用系統(tǒng)抽樣的方法確定所抽的編號可以是（）A．3，13，23，33，43，53B．2，14，26，38，40，52C．5，8，31，36，48，54D．5，10，15，20，25，305．2018年元旦期間，某高速公路收費站的三個高速收費口每天通過的小汽車數(shù)（單位：輛）均服從正態(tài)分布，若，假設三個收費口均能正常工作，則這個收費口每天至少有一個超過700輛的概率為（）A． B． C． D．6．已知集合，，現(xiàn)從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素組合，則可以組成這樣的新集合的個數(shù)為（）A． B． C． D．7．已知集合，，則集合中元素的個數(shù)為()A．2 B．3 C．4 D．58．有一散點圖如圖所示，在5個數(shù)據(jù)中去掉（3，10）后，下列說法正確的是（）A．殘差平方和變小 B．方差變大C．相關指數(shù)變小 D．解釋變量與預報變量的相關性變?nèi)?．已知，，，則的大小關系為（）A． B．C． D．10．下列關于曲線的結(jié)論正確的是（）A．曲線是橢圓 B．關于直線成軸對稱C．關于原點成中心對稱 D．曲線所圍成的封閉圖形面積小于411．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件12．為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，，第五組，如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）A．6 B．8 C．12 D．18二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，函數(shù)的圖象由兩條射線和三條線段組成．若,，則正實數(shù)a的取值范圍是_________．14．已知函數(shù)是上奇函數(shù)，且當時，則__________．15．先后擲骰子（骰子的六個面上分別標有、、、、、個點）兩次，落在水平桌面后，記正面朝上的點數(shù)分別為,,設事件為“為偶數(shù)”，事件為“,中有偶數(shù)且”，則概率等于_________.16．已知函數(shù)（），若對任意，總存在滿足，則正數(shù)a的最小值是_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)）.現(xiàn)以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若點坐標為，直線交曲線于,兩點，求的值.18．（12分）某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；（3）從評分在的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在的概率.19．（12分）某校為了了解學生對電子競技的興趣，從該校高二年級的學生中隨機抽取了人進行檢查，已知這人中有名男生對電子競技有興趣，而對電子競技沒興趣的學生人數(shù)與電子競技競技有興趣的女生人數(shù)一樣多，且女生中有的人對電子競技有興趣.在被抽取的女生中與名高二班的學生，其中有名女生對電子產(chǎn)品競技有興趣，先從這名學生中隨機抽取人，求其中至少有人對電子競技有興趣的概率；完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“電子競技的興趣與性別有關”.有興趣沒興趣合計男生女生合計參考數(shù)據(jù)：參考公式：20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)恰有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當，且時，證明：.（常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）.21．（12分）（1）求方程的非負整數(shù)解的個數(shù)；（2）某火車站共設有4個“安檢”入口，每個入口每次只能進1個旅客求—個小組4人進站的不同方案種數(shù)，要求寫出計算過程.22．（10分）某小組有7個同學，其中4個同學從來沒有參加過天文研究性學習活動，3個同學曾經(jīng)參加過天文研究性學習活動．（1）現(xiàn)從該小組中隨機選2個同學參加天文研究性學習活動，求恰好選到1個曾經(jīng)參加過天文研究性學習活動的同學的概率；（2）若從該小組隨機選2個同學參加天文研究性學習活動，則活動結(jié)束后，該小組有參加過天文研究性學習活動的同學個數(shù)是一個隨機變量，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】本題考查空間線面關系的判定和性質(zhì)．解答：命題①正確，符合面面垂直的判定定理．命題②不正確，缺少條件．命題③不正確，缺少兩條相交直線都垂直的條件．命題④不正確，缺少兩條相交直線的條件．2、D【解題分析】分析：利用全集，由，列方程可求的值.詳解：由，且，又集合，實數(shù)的值為或，故選D.點睛：本題考查補集的定義與應用，屬于簡單題.研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉(zhuǎn)化為元素間的關系.3、B【解題分析】

直接利用中點坐標公式求解即可.【題目詳解】設點關于點的對稱點的坐標是,根據(jù)中點坐標公式可得，解得，所以點關于點的對稱點的坐標是(－10,2,－8)，故選B.【題目點撥】本題主要考查中點坐標公式的應用，意在考查對基本公式的掌握與應用，屬于基礎題.4、A【解題分析】

由題意可知：606【題目詳解】∵根據(jù)題意可知，系統(tǒng)抽樣得到的產(chǎn)品的編號應該具有相同的間隔，且間隔是606【題目點撥】本題考查了系統(tǒng)抽樣的原則.5、C【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求解即可.詳解：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，每個收費口超過輛的概率，這三個收費口每天至少有一個超過輛的概率，故選C.點睛：本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)與實際應用，屬于中檔題.有關正態(tài)分布的應用題考查知識點較為清晰，只要掌握以下兩點，問題就能迎刃而解：（1）仔細閱讀，將實際問題與正態(tài)分布“掛起鉤來”；（2）熟練掌握正態(tài)分布的性質(zhì)，特別是狀態(tài)曲線的對稱性以及各個區(qū)間概率之間的關系.6、C【解題分析】

利用分類計數(shù)加法原理和分步計數(shù)乘法原理計算即可，注意這個特殊元素的處理.【題目詳解】已知集合，，現(xiàn)從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素組合，分為2類：含5，不含5；則可以組成這樣的新集合的個數(shù)為個.故選C.7、D【解題分析】由題意得，根據(jù)，可得的值可以是：，共有5個值，所以集合中共有5個元素，故選D.考點：集合的概念及集合的表示.8、A【解題分析】

由散點圖可知，去掉后，與的線性相關性加強，由相關系數(shù)，相關指數(shù)及殘差平方和與相關性的關系得出選項.【題目詳解】由散點圖可知，去掉后，與的線性相關性加強，且為正相關，所以變大，變大，殘差平方和變小，故選A.【題目點撥】該題考查的是有關線性相關性強弱的問題，涉及到的知識點有相關系數(shù)，相關指數(shù)，以及殘差平方和與相關性的關系，屬于簡單題目.9、A【解題分析】

利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大?。绢}目詳解】，，，故，所以．故選A．【題目點撥】本題考查大小比較問題，關鍵選擇中間量和函數(shù)的單調(diào)性進行比較．10、C【解題分析】

根據(jù)橢圓的方程判斷曲線不是橢圓；把曲線中的，同時換成，，判斷曲線是否關于直線對稱；把曲線中的，同時換成，，判斷曲線是否關于原點對稱；根據(jù)，，判斷曲線所圍成的封閉面積是否小于1．【題目詳解】曲線，不是橢圓方程，曲線不是橢圓，錯誤；把曲線中的，同時換成，，方程變?yōu)?，曲線不關于直線對稱，錯誤；把曲線中的，同時換成，，方程不變，曲線關于原點對稱，正確；，，曲線所圍成的封閉面積小于，令，所以曲線上的四點圍成的矩形面積為，所以選項D錯誤.故選：．【題目點撥】本題主要考查了方程所表示的曲線以及曲線的對稱性問題，解題時應結(jié)合圓錐曲線的定義域性質(zhì)進行解答，是基礎題．11、C【解題分析】解：令導數(shù)y′=-x2+81＞0，解得0＜x＜9；令導數(shù)y′=-x2+81＜0，解得x＞9，所以函數(shù)y=-x3+81x-234在區(qū)間（0，9）上是增函數(shù)，在區(qū)間（9，+∞）上是減函數(shù)，所以在x=9處取極大值，也是最大值，故選C．12、C【解題分析】試題分析：由直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有21人，分布在區(qū)間第一組與第二組的頻率分別為1．24，1．16，所以第一組有12人，第二組8人，第三組的頻率為1．36，所以第三組的人數(shù)：18人，第三組中沒有療效的有6人，第三組中有療效的有12人．考點：頻率分布直方圖二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：由已知可得且，若，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.考點：函數(shù)圖象的應用.【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的圖象及其應用，其中解答中涉及函數(shù)的圖象及其簡答的性質(zhì)，全稱命題、函數(shù)的恒成立問題等知識點的綜合考查，其中解答中根據(jù)已知條件和函數(shù)的圖象，列出相應的不等式組是解答本題的關鍵，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用，屬于中檔試題.14、【解題分析】分析：先求，再根據(jù)奇函數(shù)得.詳解：因為，因為函數(shù)是上奇函數(shù)，所以點睛：已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，首先抓住奇偶性討論函數(shù)在各個區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關于的方程，從而可得的值或解析式.15、【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，若事件A為“x+y為偶數(shù)”發(fā)生，則x、y兩個數(shù)均為奇數(shù)或均為偶數(shù)．共有2×3×3=18個基本事件，∴事件A的概率為=．而A、B同時發(fā)生，基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”，一共有6個基本事件，因此事件A、B同時發(fā)生的概率為=因此，在事件A發(fā)生的情況下，B發(fā)生的概率為P（B|A）=考點：條件概率與獨立事件16、【解題分析】

對任意，總存在滿足，只需函數(shù)的值域為函數(shù)的值域的子集.【題目詳解】函數(shù)（）是對勾函數(shù)，對任意，在時，即取得最小值，值域為當時，若，即時在上是單減函數(shù)，在上是單增函數(shù)，此時值域為由題得，函數(shù)的值域為函數(shù)的值域的子集.顯然成立當時，若，即時是單增函數(shù)，此時值域為由題得，函數(shù)的值域為函數(shù)的值域的子集.，解得綜上正數(shù)a的最小值是故答案為：【題目點撥】利用函數(shù)圖象可以解決很多與函數(shù)有關的問題，如利用函數(shù)的圖象解決函數(shù)性質(zhì)問題，函數(shù)的零點、方程根的問題，有關不等式的問題等.解決上述問題的關鍵是根據(jù)題意畫出相應函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)參普互化和極值互化的公式得到標準方程；（2）聯(lián)立直線和圓的方程，得到關于t的二次，再由韋達定理得到.【題目詳解】（1）由消去參數(shù)，得直線的普通方程為又由得，由得曲線的直角坐標方程為，即；（2）其代入得，則所以.18、（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）在頻率分布直方圖中，由頻率總和即所有矩形面積之和為，可求；（Ⅱ）在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評分不低于80的頻率為，由頻率與概率關系可得該部門評分不低于80的概率的估計值為;（Ⅲ）受訪職工評分在[50,60)的有3人，記為，受訪職工評分在[40,50)的有2人，記為，列出從這5人中選出兩人所有基本事件，即可求相應的概率.試題解析：（Ⅰ）因為，所以……..4分)（Ⅱ）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為，所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為………8分（Ⅲ）受訪職工評分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即為;受訪職工評分在[40,50)的有：50×0.004×40＝2（人），即為.從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即，故所求的概率為考點：1.頻率分布直方圖；2.概率和頻率的關系；3.古典概型.【名師點睛】本題考查頻率分布直方圖、概率與頻率關系、古典概型，屬中檔題；利用頻率分布直方圖解題的時，注意其表達的意義，同時要理解頻率是概率的估計值這一基礎知識；在利用古典概型解題時，要注意列出所有的基本事件，千萬不可出現(xiàn)重、漏的情況.19、；列聯(lián)表見解析，沒有.【解題分析】

（1）計算出從名學生中隨機抽取人的可能，再計算出抽到的人中至少有人對電子競技有興趣的可能，利用古典概型公式即得答案；（2）先填寫列聯(lián)表，然后計算，與比較大小即可得到答案.【題目詳解】從名學生中隨機抽取人，共有種不同的抽取方案；抽到的人中至少有人對電子競技有興趣的方案數(shù)有：種抽取人中至少有人對電子競技有興趣的概率為.設對電子競技沒興趣的學生人數(shù)為，對電子競技沒興趣的學生人數(shù)與對電子競技有興趣的女生人數(shù)一樣多由題，解得.又女生中有的人對電子競技有興趣，女生人數(shù)為男生人數(shù)為，其中有人對電子競技沒興趣得到下面列聯(lián)表沒用的把握認為“對電子競技的興趣與性別有關”.【題目點撥】本題主要考查古典概型，獨立性檢驗統(tǒng)計案例，意在考查學生的計算能力，分析能力，難度不大.20、（1）（2）證明見解析【解題分析】

1，等價于方程在恰有一個變號零點．即在恰有一個變號零點．令，利用

函數(shù)圖象即可求解．

2要證明：只需證明，即證明要證明，即證明利用導數(shù)即可證明．【題目詳解】Ⅰ，，，函數(shù)恰有一個極值點，方程在恰有一個變號零點．在恰有一個變號零點．令，則．可得時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減．函數(shù)草圖如下，可得，．實數(shù)a的取值范圍為：2要證明：證明．證明，即證明．令則，時，，函數(shù)遞增，時，，遞減．，即原不等式成立．要證明，即證明．，故只需證明即可．令，則．時，，函數(shù)遞減，