2024屆湖北省黃岡高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題含解析

2024屆湖北省黃岡高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．長方體中，，，則直線與平面ABCD所成角的大小（）A． B． C． D．2．若為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A．-2 B．2 C．-3 D．33．在平面直角坐標系中，曲線（為參數(shù)）上的點到直線的距離的最大值為（）A． B． C． D．4．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．5．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高和底面邊長均為，則該球的體積為A． B． C． D．6．已知且,則的最大值為()A． B． C． D．7．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于復(fù)平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的最大值為（）A．2 B．4 C．6 D．89．已知函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，曲線在點處的切線過點，設(shè)曲線在處的切線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．10．指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)，關(guān)于上面推理正確的說法是（）A．推理的形式錯誤 B．大前提是錯誤的 C．小前提是錯誤的 D．結(jié)論是真確的11．若向區(qū)域內(nèi)投點，則該點落在由直線與曲線圍成區(qū)域內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．12．已知復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），若在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為Z，則點Z的軌跡為（）A．雙曲線的一支 B．雙曲線 C．一條射線 D．兩條射線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，.則的值為__________．14．設(shè)，若函數(shù)有大于零的極值點，則實數(shù)的取值范圍是_____15．在平面直角坐標系中,記橢圓的左右焦點分別為，若該橢圓上恰好有6個不同的點,使得為等腰三角形,則該橢圓的離心率的取值范圍是____________.16．校園某處并排連續(xù)有6個停車位，現(xiàn)有3輛汽車需要停放，為了方便司機上下車，規(guī)定：當(dāng)有汽車相鄰?fù)７艜r，車頭必須同向；當(dāng)車沒有相鄰時，車頭朝向不限，則不同的停車方法共有__________種．（用數(shù)學(xué)作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求；（2）證明：在區(qū)間上是增函數(shù).18．（12分）雙曲線的左、右焦點分別為、，直線過且與雙曲線交于、兩點．（1）若的傾斜角為，，是等腰直角三角形，求雙曲線的標準方程；（2），，若的斜率存在，且，求的斜率；（3）證明：點到已知雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為定值是該點在已知雙曲線上的必要非充分條件．19．（12分）已知函數(shù)在處取得極小值1．（1）求的解析式；（2）求在上的最值．20．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．在極坐標系(與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸)中，圓的極坐標方程為．（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標方程；（2）設(shè)圓與直線交于，兩點，若點的坐標為，求．21．（12分）（1）已知，是虛數(shù)單位，若，是純虛數(shù)，寫出一個以為其中一根的實系數(shù)一元二次方程；（2）求純虛數(shù)的平方根．22．（10分）設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若存在使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

連接，根據(jù)長方體的性質(zhì)和線面角的定義可知：是直線與平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用銳角三角函數(shù)知識可以求出的大小.【題目詳解】連接，在長方體中，顯然有平面ABCD，所以是直線與平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本題選B.【題目點撥】本題考查了線面角的求法,考查了數(shù)學(xué)運算能力.2、C【解題分析】

本題首先可以確定復(fù)數(shù)的實部和虛部，然后根據(jù)純虛數(shù)的相關(guān)性質(zhì)即可列出方程組，通過計算即可得出結(jié)果．【題目詳解】因為為純虛數(shù)，所以，解得，故選C．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查純虛數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，純虛數(shù)的實部為0且虛部不為0，考查運算求解能力，考查方程思想，是簡單題．3、B【解題分析】

將直線，化為直角方程，根據(jù)點到直線距離公式列等量關(guān)系，再根據(jù)三角函數(shù)有界性求最值.【題目詳解】可得：根據(jù)點到直線距離公式，可得上的點到直線的距離為【題目點撥】本題考查點到直線距離公式以及三角函數(shù)有界性，考查基本分析求解能力，屬中檔題.4、D【解題分析】分析：先根據(jù)復(fù)數(shù)除法得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模求結(jié)果.詳解：因為，所以,因此選D.點睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應(yīng)點為、共軛為5、A【解題分析】分析：設(shè)球的半徑為R,再根據(jù)圖形找到關(guān)于R的方程，解方程即得R的值，再求該球的體積.詳解：設(shè)球的半徑為R,由題得所以球的體積為.故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查球的內(nèi)接幾何體問題和球的體積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和空間想象能力.(2)解題的關(guān)鍵是從圖形中找到方程.6、A【解題分析】

根據(jù)絕對值三角不等式可知；根據(jù)可得，根據(jù)的范圍可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：當(dāng)，即時，即：，即的最大值為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查函數(shù)最值的求解，難點在于對于絕對值的處理，關(guān)鍵是能夠?qū)⒑瘮?shù)放縮為關(guān)于的二次函數(shù)的形式，從而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解得到最值.7、C【解題分析】

通過化簡，于是可得共軛復(fù)數(shù)，判斷在第幾象限即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，所以共軛復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的點為，故在第三象限，答案為C.【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，共軛復(fù)數(shù)的概念，難度不大.8、C【解題分析】，向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，所以，因為,所以即的最大值為6，選C.點睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.9、C【解題分析】

由題意可得對任意恒成立，可得，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點處切線的斜率，進而可求出在點處切線的方程，將點代入切線的方程即可求出，進而可求出，再利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系，即可到答案．【題目詳解】因為函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，所以對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，所以，，所以，所以，所以函數(shù)在處的切線的斜率，又，所以切線的方程為，又切線過點，所以，解得，所以函數(shù)在處的切線的斜率，所以，所以，所以．故選：C．【題目點撥】本題考查函數(shù)的對稱中心方程應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及在一點處的切線的方程，同時考查誘導(dǎo)公式和同角基本關(guān)系，屬于中檔題．10、B【解題分析】分析:指數(shù)函數(shù)是R上的增函數(shù)，這個說法是錯誤的，要根據(jù)所給的底數(shù)的取值不同分類說出函數(shù)的不同單調(diào)性，有演繹推理的定義可知，大前提錯誤。詳解：指數(shù)函數(shù)是R上的增函數(shù)，這個說法是錯誤的，若,則是增函數(shù)，若,則是減函數(shù)所以大前提是錯誤的。所以B選項是正確的。點睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和演繹推理，意在考查三段論的推理形式和指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。11、B【解題分析】區(qū)域是正方形，面積為，根據(jù)定積分定理可得直線與曲線圍成區(qū)域的面積為，根據(jù)幾何概型概率公式可得該點落在由直線與曲線圍成區(qū)域內(nèi)的概率為，故選B．12、C【解題分析】分析：利用兩個復(fù)數(shù)的差的絕對值表示兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)點之間的距離，來分析已知等式的意義．詳解：∵復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為Z，則點Z到點（1，2）的距離減去到點（﹣2，﹣1）的距離之差等于3，而點（1，2）與點（﹣2，﹣1）之間的距離為3，故點Z的軌跡是以點（1，2）為端點的經(jīng)過點（﹣2，﹣1）的一條射線．故選C．點睛：本題考查兩個復(fù)數(shù)的差的絕對值的意義，兩個復(fù)數(shù)的差的絕對值表示兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)點之間的距離．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

在二項展開式中分別令和,然后兩個等式相減可得.【題目詳解】解：令，得：①令，得②①②可得所以:.故答案為:.【題目點撥】本題考查了利用二項展開式賦值求系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

先求導(dǎo)數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)為零的根，結(jié)合根的分布求解.【題目詳解】因為，所以，令得，因為函數(shù)有大于0的極值點，所以，即.【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點問題，極值點為導(dǎo)數(shù)的變號零點，側(cè)重考查轉(zhuǎn)化化歸思想.15、【解題分析】分析：橢圓上恰好有6個不同的點,使得為等腰三角形，6個不同的點有兩個為橢圓短軸的兩個端點，另外四個分別在第一、二、三、四象限，且上下對稱左右對稱，要注意分情況討論詳解：橢圓上恰好有6個不同的點,使得為等腰三角形，6個不同的點有兩個為橢圓短軸的兩個端點，另外四個分別在第一、二、三、四象限，且上下對稱左右對稱，設(shè)P在第一象限，，當(dāng)時，，即，解得又因為，所以當(dāng)時，，即且解得：綜上或點睛：圓錐曲線中離心率范圍問題是一個難點，在分析時要根據(jù)條件找到a和c之間的不等關(guān)系，有時可能要利用基本不等式、正余弦定理等其他知識綜合分析.16、528【解題分析】(1)當(dāng)三輛車都不相鄰時有(種)(2)當(dāng)兩輛車相鄰時有(種)(3)當(dāng)三輛車相鄰時有(種)則共有(種)點睛：本題考查了排列組合問題，由于本題里是三輛車有六個位置，所以情況較多，需要逐一列舉出來，注意當(dāng)三輛車都不相鄰時的情況要考慮周全，容易漏掉一些情況，然后利用排列組合進行計算即可．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，對直接求導(dǎo)即可；（2）根據(jù)，，，可以判斷，從而證明在上單調(diào)遞增．【題目詳解】（1），；（2）證明：由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，當(dāng)時，，在區(qū)間上是增函數(shù)．【題目點撥】本題考查復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和基本不等式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．18、（1）；（2）；（3）見解析.【解題分析】

（1）將代入雙曲線的方程，得出，由是等腰直角三角形，可得出，再將代入可得出的值，由此可得出雙曲線的標準方程；（2）先求出雙曲線的標準方程，并設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，并求出線段的中點的坐標，由得出，轉(zhuǎn)化為，利用這兩條直線斜率之積為，求出實數(shù)的值，可得出直線的斜率；（3）設(shè)點，雙曲線的兩條漸近線方程為，利用點到直線的距離公式、雙曲線的方程以及必要不充分條件的定義，即可得證.【題目詳解】（1）直線的傾斜角為，，可得直線，代入雙曲線方程可得，是等腰直角三角形可得，即有，解得，，則雙曲線的方程為；（2）由，，可得，直線的斜率存在，設(shè)為，設(shè)直線方程為，，可得，由，聯(lián)立雙曲線方程，可得，可得，線段的中點為，由，可得，解得，滿足，故直線的斜率為；（3）證明：設(shè)，雙曲線的兩條漸近線為，可得到漸近線的距離的乘積為，即為，可得，可得在雙曲線或上，即有點到已知雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為定值是該點在已知雙曲線上的必要非充分條件．【題目點撥】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，同時也考查為韋達定理和中點坐標公式、兩直線垂直的條件、點到直線的距離公式以及必要不充分條件的判斷，解題時要結(jié)合相應(yīng)條件進行轉(zhuǎn)化，考查化歸與轉(zhuǎn)化、以及方程思想的應(yīng)用，屬于難題.19、（1）（2）最小值為1，最大值為2．【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合在處取得極小值1，求得的值，由此求得解析式.（2）根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值，求得在區(qū)間上的最值.【題目詳解】（1），由，得或．當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意，由，得；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，不符合題意．所以．（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，所以的最小值為1，最大值為2．【題目點撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）直線l的普通方程為；圓C的直角坐標方程為；（2）.【解題分析】

（1）由直線的