2024屆北京西城區(qū)育才中學高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆北京西城區(qū)育才中學高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．2．已知點是拋物線的焦點，點為拋物線上的任意一點，為平面上點，則的最小值為（）A．3 B．2 C．4 D．3．已知滿足約束條件，若的最大值為（）A．6 B． C．5 D．4．在的展開式中，的系數(shù)等于A．280 B．300 C．210 D．1205．為了解某高校高中學生的數(shù)學運算能力，從編號為0001，0002，…，2000的2000名學生中采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，并把樣本編號從小到大排列，已知抽取的第一個樣本編號為0003，則最后一個樣本編號是（）A．0047 B．1663 C．1960 D．19636．某大學安排5名學生去3個公司參加社會實踐活動，每個公司至少1名同學，安排方法共有()種A．60 B．90 C．120 D．1507．祖暅是南北朝時代的偉大科學家，公元五世紀末提出體積計算原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積恒相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等．設A，B為兩個同高的幾何體，A，B的體積不相等，A，B在等高處的截面積不恒相等．根據(jù)祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．若命題是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．9．已知三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為A．34B．C．74D．10．數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項的和為()A．100 B．-100 C．-110 D．11011．在高臺跳水運動中，時相對于水面的高度（單位：）是，則該高臺跳水運動員在時瞬時速度的大小為（）A． B． C． D．12．已知是空間中兩條不同的直線，是兩個不同的平面，有以下結論：①②③④.其中正確結論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將極坐標方程化為直角坐標方程得________．14．直線與圓恒有交點，則實數(shù)a的取值范圍是.15．已知復數(shù)z=1+mi（i是虛數(shù)單位，m∈R），且（3+i）為純虛數(shù)（是的共軛復數(shù)）則＝_____16．三個同學猜同一個謎語，如果每人猜對的概率都是，并且各人猜對與否相互獨立，那么他們同時猜對的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為迎接月日的“全民健身日”，某大學學生會從全體男生中隨機抽取名男生參加米中長跑測試，經(jīng)測試得到每個男生的跑步所用時間的莖葉圖（小數(shù)點前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點的后一位數(shù)字為葉），如圖，若跑步時間不高于秒，則稱為“好體能”.（Ⅰ）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（Ⅱ）要從這人中隨機選取人，求至少有人是“好體能”的概率；（Ⅲ）以這人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校男生的總體數(shù)據(jù)，若從該校男生（人數(shù)眾多）任取人，記表示抽到“好體能”學生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前項和為，證明：．19．（12分）已知以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為4的正方形.(1)求橢圓的方程：(2)若是橢圓上的動點,求的取值范圍；(3)直線：與橢圓交于異于橢圓頂點的,兩點,為坐標原點,直線與橢圓的另一個交點為點,直線和直線的斜率之積為1,直線與軸交于點.若直線,的斜率分別為,試判斷,是否為定值,若是,求出該定值；若不是,說明理由.20．（12分）“學習強國”APP是由中宣部主管，以新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的“PC端+手機客戶端”兩大終端二合一模式的學習平臺，2019年1月1日上線后便成為了黨員干部群眾學習的“新助手”.為了調(diào)研某地黨員在“學習強國”APP的學習情況，研究人員隨機抽取了名該地黨員進行調(diào)查，將他們某兩天在“學習強國”APP上所得的分數(shù)統(tǒng)計如表所示：分數(shù)頻數(shù)601002020頻率0.1（1）由頻率分布表可以認為，這名黨員這兩天在“學習強國”上的得分近似服從正態(tài)分布，其中近似為這名黨員得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），近似這名黨員得分的方差，求；（2）以頻率估計概率，若從該地區(qū)所有黨員中隨機抽取人，記抽得這兩天在“學習強國”上的得分不低于分的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：，若，則，，21．（12分）設數(shù)列的前項和為．已知，．（1）若，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和．22．（10分）設函數(shù)（其中）,且的圖像在軸右側的第一個最高點的橫坐標為（1）求的值；（2）如果在區(qū)間上的最小值為，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

，，故選C.2、A【解題分析】

作垂直準線于點，根據(jù)拋物線的定義，得到，當三點共線時，的值最小，進而可得出結果.【題目詳解】如圖，作垂直準線于點，由題意可得，顯然，當三點共線時，的值最??；因為，，準線，所以當三點共線時，，所以.故選A【題目點撥】本題主要考查拋物線上任一點到兩定點距離的和的最值問題，熟記拋物線的定義與性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.3、A【解題分析】分析：首先繪制不等式組表示的平面區(qū)域，然后結合目標函數(shù)的幾何意義求解最值即可.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點A坐標為：，據(jù)此可知目標函數(shù)的最大值為：.本題選擇A選項.點睛：求線性目標函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.4、D【解題分析】

根據(jù)二項式定理，把每一項里的系數(shù)單獨寫下來，然后相加，再根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，化簡求值．【題目詳解】解：在的展開式中，項的系數(shù)為．故選D．【題目點撥】本題主要考查二項式定理展開以及利用組合數(shù)性質(zhì)進行化簡求值．5、D【解題分析】,故最后一個樣本編號為,故選D.6、D【解題分析】分析：由題意結合排列組合公式整理計算即可求得最終結果.詳解：由題意可知，5人的安排方案為或，結合平均分組計算公式可知，方案為時的方法有種，方案為時的方法有種，結合加法公式可知安排方法共有種.本題選擇D選項.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．7、A【解題分析】分析：利用祖暅原理分析判斷即可.詳解：設A，B為兩個同高的幾何體，A，B的體積不相等，A，B在等高處的截面積不恒相等．如果截面面積恒相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等，根據(jù)祖暅原理可知，p是q的充分不必要條件.故選：A.點睛：本題考查滿足祖暅原理的幾何體的判斷，是基礎題，解題時要認真審查，注意空間思維能力的培養(yǎng).8、B【解題分析】因為命題是真命題，即不等式對恒成立，即恒成立，當a＋2＝0時，不符合題意，故有，即，解得，則實數(shù)a的取值范圍是．故選：B．9、D【解題分析】略視頻10、B【解題分析】

數(shù)列{an}滿足，可得a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．即可得出．【題目詳解】∵數(shù)列{an}滿足，∴a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．則數(shù)列{an}的前20項的和＝﹣（1+3+……+19）1．故選：B．【題目點撥】本題考查了數(shù)列遞推關系、數(shù)列分組求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．11、C【解題分析】

根據(jù)瞬時速度就是的導數(shù)值即可求解.【題目詳解】由，則，當時，.故選：C【題目點撥】本題考查了導數(shù)的幾何意義，同時考查了基本初等函數(shù)的導數(shù)以及導數(shù)的運算法則，屬于基礎題.12、B【解題分析】分析：根據(jù)直線與平面的位置關系的判定定理和性質(zhì)定理，即可作出判定得到結論.詳解：由題意，對于①中，若，則兩平面可能是平行的，所以不正確；對于②中，若，只有當與相交時，才能得到，所以不正確；對于③中，若，根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理，可得，所以是正確的；對于④中，若，所以是不正確的，綜上可知，正確命題的個數(shù)只有一個，故選B.點睛：本題考查線面位置關系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關系的定義、判定、幾何特征是解答的關鍵，其中垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

在曲線極坐標方程兩邊同時乘以，由可將曲線的極坐標方程化為普通方程.【題目詳解】在曲線極坐標方程兩邊同時乘以，得，化為普通方程得，即，故答案為：.【題目點撥】本題考查曲線極坐標方程與普通方程之間的轉化，解題時充分利用極坐標與普通方程之間的互化公式，考查運算求解能力，屬于中等題.14、【解題分析】

配方得，則，由已知直線和圓相交或相切，且直線過定點（0,1），只需點（0,1）在圓內(nèi)或圓上，,則，綜上所述的取值范圍是.15、【解題分析】

先求出的表達式，再由純虛數(shù)的定義，可求出的值，進而可求出.【題目詳解】由題意，，，則為純虛數(shù)，故，解得.故，.【題目點撥】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，考查了共軛復數(shù)、復數(shù)的模、純虛數(shù)的定義，屬于基礎題.16、【解題分析】分析：直接求即可.詳解：三個同學猜同一個謎語，如果每人猜對的概率都是，故他們同時猜對的概率是.故答案為：.點睛：本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是.(2).(3)分布列見解析；.【解題分析】分析：（Ⅰ）利用眾數(shù)和中位數(shù)的定義寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù).（Ⅱ）利用古典概型求至少有人是“好體能”的概率.（Ⅲ）利用二項分布求的分布列及數(shù)學期望.詳解：（I）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是；（II）設求至少有人是“好體能”的事件為A,則事件A包含得基本事件個數(shù)為;總的基本事件個數(shù)為，（Ⅲ）的可能取值為由于該校男生人數(shù)眾多，故近似服從二項分布，,,的分布列為故的數(shù)學期望點睛：（1）本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，考查古典概型的計算，考查分布列和期望的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算能力.(2)若～則.18、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）可以通過取計算出，再通過取時計算出,得出答案。（2）可通過裂項相消求解?！绢}目詳解】（1）當時，有，解得.當時，有，則，整理得：，數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．所以，即數(shù)列的通項公式為：．（2）由（1）有，則所以易知數(shù)列為遞增數(shù)列，所以?！绢}目點撥】本題考察的是求數(shù)列的通項公式以及構造數(shù)列然后求和，求等比數(shù)列的通項公式可以先求首項和公比，求和可以通過裂項相消求解。19、(1)；(2)；(3)是定值,為0.【解題分析】

(1)由題意可知：,解這個方程組即可；(2)把橢圓的方程化為參數(shù)方程,根據(jù)輔助角公式可以求出的取值范圍；(3)直線方程與橢圓的標準方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)關系,可以判斷出為定值.【題目詳解】(1)因為以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為4的正方形.所以有,解得,所以橢圓的方程為：(2)橢圓橢圓的參數(shù)方程為：(為參數(shù)且).因為是橢圓上的動點,所以,其中..(3)設,則,.直線：與橢圓的方程聯(lián)立為：消去得,由根與系數(shù)關系可得：直線的方程為：,令,因為,所以.。.【題目點撥】本題考查了求橢圓的標準方程,考查了橢圓參數(shù)方程的應用,考查了直線與橢圓的位置關系,考查了數(shù)學運算能力.20、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）利用分數(shù)統(tǒng)計表求得和；又，根據(jù)正態(tài)分布曲線可求得結果；（2）計算出從該地區(qū)所有黨員中隨機抽取人，抽得的人得分不低于分的概率，可知服從于二項分布，利用二項分布概率公式求解出每個可能的取值