吉林省白山市2024屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考模擬試題含解析

吉林省白山市2024屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí)，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實(shí)”．經(jīng)過調(diào)查核實(shí)，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是()A．乙B．甲C．丁D．丙2．若對(duì)任意的，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．3．方程的實(shí)根所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．4．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是()A． B．C． D．5．在中，若，，，則此三角形解的個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．不能確定6．設(shè)，則的值為（）A． B． C． D．7．已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，則E(X)的值為A．1 B．5 C．6 D．78．已知，，，則下列三個(gè)數(shù)，，（）A．都大于 B．至少有一個(gè)不大于C．都小于 D．至少有一個(gè)不小于9．用反證法證明命題“設(shè)為實(shí)數(shù)，則方程至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是（）A．方程沒有實(shí)根B．方程至多有一個(gè)實(shí)根C．方程至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程恰好有兩個(gè)實(shí)根10．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則函數(shù)有極值點(diǎn)的概率為（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.511．下列有關(guān)命題的說法正確的是A．“”是“”的充分不必要條件B．“x=2時(shí)，x2－3x+2=0”的否命題為真命題C．直線：，：，的充要條件是D．命題“若，則”的逆否命題為真命題12．若,則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）．14．在四棱錐中，底面是等腰梯形，其中∥，若，，且側(cè)棱與底面所成的角均為45°，則該棱錐的體積為_________．15．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則____.16．的不同正約數(shù)共有______個(gè)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.18．（12分）我校為了解學(xué)生喜歡通用技術(shù)課程“機(jī)器人制作”是否與學(xué)生性別有關(guān)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的辦法在我校高一年級(jí)抽出一個(gè)有60人的班級(jí)進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計(jì)男生18女生6合計(jì)60已知從該班隨機(jī)抽取1人為喜歡的概率是．(Ⅰ)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表；(Ⅱ)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按90%的可靠性要求，能否認(rèn)為“喜歡與否和學(xué)生性別有關(guān)”？請(qǐng)說明理由．參考臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：其中19．（12分）設(shè)函數(shù)=[]．（1）若曲線在點(diǎn)（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)實(shí)數(shù)為的最大值，若實(shí)數(shù)滿足，求的最小值.21．（12分）現(xiàn)從某醫(yī)院中隨機(jī)抽取了位醫(yī)護(hù)人員的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)(患者考核:分制)，用相關(guān)的特征量表示；醫(yī)護(hù)專業(yè)知識(shí)考核分?jǐn)?shù)(試卷考試:分制),用相關(guān)的特征量表示，數(shù)據(jù)如下表:（1）求關(guān)于的線性回歸方程(計(jì)算結(jié)果精確到)；（2）利用(1)中的線性回歸方程，分析醫(yī)護(hù)專業(yè)考核分?jǐn)?shù)的變化對(duì)關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)的影響，并估計(jì)當(dāng)某醫(yī)護(hù)人員的醫(yī)護(hù)專業(yè)知識(shí)考核分?jǐn)?shù)為分時(shí)，他的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)(精確到).參考公式及數(shù)據(jù):回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，其中.22．（10分）已知函數(shù)，．（1）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記表示中的最小值，若函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由題意，這個(gè)問題的關(guān)鍵是四人中有兩人說真話，另外兩人說了假話，通過這一突破口，進(jìn)行分析，推理即可得到結(jié)論.【題目詳解】在甲、乙、丙、丁四人的供詞中，可以得出乙、丁兩人的觀點(diǎn)是一致的，因此乙丁兩人的供詞應(yīng)該是同真同假（即都是真話或都是假話，不會(huì)出現(xiàn)一真一假的情況）；假設(shè)乙、丁兩人所得都是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說真話可推出丙是犯罪的結(jié)論；由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的結(jié)論；顯然這兩人是相互矛盾的；所以乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話，由甲、丙的供詞可以斷定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁說假話，丙說真話推出乙是犯罪的，綜上可得乙是犯罪的，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了推理問題的實(shí)際應(yīng)用，其中解答中結(jié)合題意，進(jìn)行分析，找出解決問題的突破口，然后進(jìn)行推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力.2、C【解題分析】

令f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|，然后將f（x）化成分段函數(shù)，則m的最大值為f（x）的最小值．【題目詳解】設(shè)F(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝如圖所示，F(xiàn)(x)min＝－－3＝－.故m≤F(x)min＝－.【題目點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值在分段函數(shù)中的應(yīng)用，正確去掉絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵．3、B【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，考查該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得出答案．【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，由零點(diǎn)存在定理可知，方程的實(shí)根所在區(qū)間為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查零點(diǎn)所在區(qū)間，考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，注意零點(diǎn)存在定理所適用的情形，必要時(shí)結(jié)合單調(diào)性來考查，這是解函數(shù)零點(diǎn)問題的常用方法，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，從而可得結(jié)論.【題目詳解】根據(jù)的圖象可知，當(dāng)或時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由此可知函數(shù)在和處取得極值，并且在處取得極大值，在處取得極小值，所以的圖象最有可能的是C.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想和分析能力.解決此類問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，一定要注意極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反.5、C【解題分析】

判斷的大小關(guān)系，即可得到三角形解的個(gè)數(shù).【題目詳解】,,即，有兩個(gè)三角形.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查判斷三角形解的個(gè)數(shù)問題，屬于簡(jiǎn)單題型.6、A【解題分析】

解析：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故，應(yīng)選答案A．7、A【解題分析】分析：根據(jù)題意及結(jié)論得到E(X)=詳解：Y＝5X＋1，E(Y)＝6，則E(X)=故答案為A.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是期望的計(jì)算，兩個(gè)變量如果滿足線性關(guān)系，.8、D【解題分析】分析：利用基本不等式可證明，假設(shè)三個(gè)數(shù)都小于，則不可能，從而可得結(jié)果.詳解：，假設(shè)三個(gè)數(shù)都小于，則，所以假設(shè)不成立，所以至少有一個(gè)不小于，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，正難則反的思想，屬于一道基礎(chǔ)題.反證法的適用范圍：（1）否定性命題；（2）結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況較少．9、A【解題分析】分析：反證法證明命題時(shí)，假設(shè)結(jié)論不成立．至少有一個(gè)的對(duì)立情況為沒有．故假設(shè)為方程沒有實(shí)根．詳解：結(jié)論“方程至少有一個(gè)實(shí)根”的假設(shè)是“方程沒有實(shí)根．”點(diǎn)睛：反證法證明命題時(shí)，應(yīng)假設(shè)結(jié)論不成立，即結(jié)論的否定成立．常見否定詞語的否定形式如下：結(jié)論詞沒有至少有一個(gè)至多一個(gè)不大于不等于不存在反設(shè)詞有一個(gè)也沒有至少兩個(gè)大于等于存在10、C【解題分析】分析：函數(shù)有極值點(diǎn)，則有解，可得的取值范圍，再根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，從而可得結(jié)論.詳解：函數(shù)有極值點(diǎn)，有解，，，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)，考查正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，同時(shí)考查運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.11、D【解題分析】A選項(xiàng)不正確，由于可得，故“”是“”的必要不充分條件；B選項(xiàng)不正確，“時(shí)，”的逆命題為“當(dāng)時(shí)，”，是假命題，故其否命題也為假；C選項(xiàng)不正確，若兩直線平行，則，解得；D選項(xiàng)正確，角相等時(shí)函數(shù)值一定相等，原命題為真命題，故其逆否命題為真，故選：D．12、D【解題分析】

由于兩個(gè)對(duì)數(shù)值均為正，故m和n一定都小于1，再利用對(duì)數(shù)換底公式，將不等式等價(jià)變形為以10為底的對(duì)數(shù)不等式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較m、n的大小即可【題目詳解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0?lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴l(xiāng)gn﹣lgm<0即lgn<lgm?n<m∴1＞m＞n＞0故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及其換底公式的應(yīng)用，利用圖象和性質(zhì)比較大小的方法二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、390【解題分析】

用2色涂格子有種方法,

用3色涂格子,第一步選色有,第二步涂色,共有種,

所以涂色方法種方法,

故總共有390種方法.

故答案為:39014、【解題分析】

過作于，求得，，，設(shè)為的中點(diǎn)，則，由題意得頂點(diǎn)在底面的射影為，且，再根據(jù)體積公式即可求出答案．【題目詳解】解：過作于，∵，，∴，，∴，設(shè)為的中點(diǎn)，則，∵側(cè)棱與底面所成的角均為45°，∴頂點(diǎn)在底面的射影到各頂點(diǎn)的距離相等，即為等腰梯形的外接圓的圓心，即為點(diǎn)，∴為四棱錐的高，即平面，∴，∴該棱錐的體積，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查棱錐的體積公式，考查線面垂直的的性質(zhì)，考查推理能力，屬于中檔題．15、3【解題分析】

由正弦定理和已知，可以求出角的大小，再結(jié)合已知，可以求出的值，根據(jù)余弦定理可以求出的值.【題目詳解】解:由正弦定理及得，，，，又，，，由余弦定理得：，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理、余弦定理、考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.16、【解題分析】

將進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解為，然后利用約數(shù)和定理可得出的不同正約數(shù)個(gè)數(shù).【題目詳解】將進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解為，因此，的不同正約數(shù)共有.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查合數(shù)的正約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算，一般將合數(shù)質(zhì)因數(shù)分解，并利用約數(shù)和定理進(jìn)行計(jì)算，也可以采用列舉法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）證明見解析【解題分析】

（1）計(jì)算導(dǎo)數(shù)，采用分類討論的方法，，與，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，然后構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，并計(jì)算最值，然后與比較大小，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋偃?，即時(shí)，則，此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為；②若，時(shí)，令的兩根為，，，所以的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.③當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，.則則要證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，又，，且在定義域上不間斷，由零點(diǎn)存在定理可知：在上唯一實(shí)根，且.則在上遞減，上遞增，所以的最小值為.因?yàn)?，?dāng)，，則，所以恒成立.所以，所以，得證.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于分類討論思想的應(yīng)用，同時(shí)掌握構(gòu)造函數(shù)，化繁為簡(jiǎn)，考驗(yàn)分析能力以及極強(qiáng)的邏輯推理能力，綜合性較強(qiáng)，屬難題.18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）有90%的可靠性認(rèn)為“喜歡與否和學(xué)生性別有關(guān)”【解題分析】

（I）根據(jù)“從該班隨機(jī)抽取1人為喜歡的概率是”，求得喜歡為人，由此填寫出表格缺少的數(shù)據(jù).（II）計(jì)算，由此可以判斷出有90%的可靠性認(rèn)為“喜歡與否和學(xué)生性別有關(guān)”．【題目詳解】解：(Ⅰ)列聯(lián)表如下；喜歡不喜歡合計(jì)男生141832女生62228合計(jì)204060(Ⅱ)根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，得到所以有90%的可靠性認(rèn)為“喜歡與否和學(xué)生性別有關(guān)”．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查補(bǔ)全聯(lián)表，考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)1(2)（，）【解題分析】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)：，2；再分類討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進(jìn)行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)?[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設(shè)知f′(1)=2，即(1–a)e=2，解得a=1．此時(shí)f(1)=3e≠2．所以a的值為1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當(dāng)x∈(，2)時(shí)，f′(x)<2；當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，f′(x)>2．所以f(x)<2在x=2處取得極小值．若a≤，則當(dāng)x∈(2，2)時(shí)，x–2<2，ax–1≤x–1<2，所以f′(x)>2．所以2不是f(x)的極小值點(diǎn)．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.20、（1）（2）【解題分析】

（1）由定義域?yàn)椋恍枨蠼獾淖钚≈?，即可得?shí)數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)（1）求得實(shí)數(shù)的值，利用基本不等式即可求解最小值．【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?對(duì)任意的恒成立，令，則，結(jié)合的圖像易知的最小值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）由（1）得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)等號(hào)成立，的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了含絕對(duì)值函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化思想和基本不等式的應(yīng)用，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于難題.21、(1).(2)隨著醫(yī)護(hù)專業(yè)知識(shí)的提高，個(gè)人的關(guān)愛患者的心態(tài)會(huì)變得更溫和，耐心。因此關(guān)愛忠者的考核分?jǐn)?shù)也會(huì)穩(wěn)定提高；他的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)約為分.【解題分析】分析：（1）由題意結(jié)合線性回歸方程計(jì)算公式可得，，則線性回歸方程為.（2）由(1)知.則隨著醫(yī)護(hù)專業(yè)知識(shí)的提高，關(guān)愛